空間向量和立體幾何典型例題

1、空間向量與立體幾何典型例題一、選擇題 :1。 (2 08 全國(guó)卷理 )已知三棱柱得側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,在底面內(nèi)得射影為得中心,則與底面所成角得正弦值等于(C)A.?B、 ?D。1。解 :C. 由題意知三棱錐為正四面體 ,設(shè)棱長(zhǎng)為 ,則 ,棱柱得高 (即點(diǎn)到底面得距離 ),故與底面所成角得正弦值為。另解 :設(shè)為空間向量得一組基底,得兩兩間得夾角為長(zhǎng)度均為 ,平面得法向量為,則與底面所成角得正弦值為、二、填空題 :1。(2 08 全國(guó)卷理 )等邊三角形與正方形有一公共邊,二面角得余弦值為,分別就是得中點(diǎn),則所成角得余弦值等于.1、答案 :、設(shè) ,作,則 ,為二面角得平面角,結(jié)合等邊三角形與正方形

2、可知此四棱錐為正四棱錐,則,故所成角得余弦值另解 :以為坐標(biāo)原點(diǎn) ,建立如圖所示得直角坐標(biāo)系,則點(diǎn) ,則AN (3, 1,2),EM(1 ,3 ,2), AN EM1, AN EM2222222故所成角得余弦值、三、解答題 :1.(2008 安徽文 )如圖 ,在四棱錐中 ,底面四邊長(zhǎng)為 1 得 菱形 , , ,為得中點(diǎn)。 ( )求異面直線 AB 與 MD 所成角得大小 ;( )求點(diǎn) B 到平面 OCD 得距離。、方法一 (綜合法 )(1)為異面直線與所成得角( 或其補(bǔ)角 )?作連接?,所以 與所成角得大小為(2)點(diǎn) A 與點(diǎn) B 到平面 OD 得距離相等 ,B連接 OP,過點(diǎn) A 作 于點(diǎn) Q

3、,又 ,線段 AQ 得長(zhǎng)就就是點(diǎn)到平面OCD 得距離B1 題圖 (1)3 ,1 題圖 (2)OMAODCMQADPC OPOD 2DP 2OA2AD 2DP 24 1 13 2,22,所以點(diǎn) B 到平面 OCD 得距離為方法二 (向量法 )作于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP, O 所在直線為軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1),z222O(1) 設(shè)與所成得角為 ,M與所成角得大小為( )設(shè)平面 OCD 得法向量為 ,則即AD取 ,解得P, xCy設(shè)點(diǎn) B 到平面 C得距離為 ,則為在向量上

4、得投影得絕對(duì)值B, .所以點(diǎn) B 到平面 OCD 得距離為、 ( 008 安徽理 )如圖 ,在四棱錐中 ,底面四邊長(zhǎng)為1 得菱形 , , ,為得中點(diǎn) ,為得中點(diǎn)。()證明 :直線 ;( )求異面直線AB 與 MD 所成角得大小;( )求點(diǎn) B 到平面 OCD 得距離、方法一 (綜合法 )O(1)取 OB 中點(diǎn) E,連接 E,N又?(2)M為異面直線與所成得角( 或其補(bǔ)角 )?作連接,AODBNMCE?所以 與所成角得大小為Q?(3)點(diǎn) A 與點(diǎn)到平面OCD 得距離相等 ,連接 O ,過點(diǎn)作AD于點(diǎn) Q,P又 ,線段 Q 得長(zhǎng)就就是點(diǎn)A 到平面 OCD 得距離NBC OPOD 2DP 2OA2A

5、D 2DP 24113 2,22?,所以點(diǎn) B 到平面 D 得距離為方法二 (向量法 )作于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,A ,O 所在直線為軸建立坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0),B(1,0,0), P(0, 2 ,0), D (2 , 2 ,0), O (0,0, 2), M (0, 0,1), N (12 ,2 ,0),22244() MN(12 ,2 , 1),OP(0,2 ,2), OD(2 ,2 ,2)44222設(shè)平面 OC得法向量為,則即取 ,解得( )設(shè)與所成得角為, 與所成角得大小為(3) 設(shè)點(diǎn) B 到平面 C得交流為 ,則為在向量上得投影得絕對(duì)值由 , 得、所以點(diǎn) B 到平面 OCD

6、 得距離為3.(00北京文 )如圖 ,在三棱錐 P-BC 中,A=B= ,C =90° ,AP=BP=A ,PCAC 、( )求證 :C AB;x( )求二面角 AP -C 得大小 .3、解法一 :( )取 AB 中點(diǎn) D ,連結(jié) D ,CD .AP =P,PAB 、AC BC、D B.PCD =.B平面 CD 、C 平面 PC,PC AB、( ) C=C,AP P, A PC 、又 C,P C、又 ACB 9° ,即 C C,且 APC=C,AB =P,BP.EC 就是 BE 在平面 PC 內(nèi)得射影 ,CE P. BEC 就是二面角 B-AP-C 得平面角、在 BC中 ,

7、BCE= 0°,C= ,BE=,sin BEC二面角 B AP C 得大小為 ares n解法二 :( ) AC,AP=BP, APC BPC。又 PC A.PC BC、AC B=C,PC 平面 AC、AB 平面 C,PAB 、( )如圖 ,以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Cxy。則 C( ,0,0),A(0,2,0),B(2, ,0).設(shè) P(0,0, t),|PB| | = ,t=2,( ,0,2)、z O M,ADBNC Py取P 中點(diǎn) ,連結(jié) B,E。 |AC=|P ,|AB |BP ,CE AP,BE P. BE就是二面角BA-C 得平面角。 (0,1,1), cos BE

8、 =二面角 AP-C 得大小為 rc os 4、 (2008 北京理 )如圖 ,在三棱錐中 ,、( )求證 :;( )求二面角得大小;( )求點(diǎn)到平面得距離.4、解法一 :( )取中點(diǎn) ,連結(jié)。,.,、,平面。平面 ,.( ),.又,.又,即 ,且 ,平面 .取中點(diǎn)。連結(jié) .,、就是在平面內(nèi)得射影,、就是二面角得平面角。在中 ,、二面角得大小為、( )由 ( )知平面 ,平面平面。過作 ,垂足為、平面平面 ,平面。得長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面得距離.由( )知,又 ,且 ,平面。平面 ,.在中 ,.。點(diǎn)到平面得距離為。解法二 :( ),。又,PDABCPEABCPHDABC.,平面。平面 ,.( )如圖

9、,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。則、設(shè).,、取中點(diǎn) ,連結(jié) .,.就是二面角得平面角.,.二面角得大小為.( ),zPEHyxABC在平面內(nèi)得射影為正得中心,且得長(zhǎng)為點(diǎn)到平面得距離.如( )建立空間直角坐標(biāo)系.,點(diǎn)得坐標(biāo)為、。點(diǎn)到平面得距離為.、 ( 008 福建文 ) 如圖 ,在四棱錐中 ,側(cè)面 PAD底面 ABCD, 側(cè)棱 PA=PD=,底面 AB D 為直角梯形 ,其中 BC D,AB CD,AD=2AB= C=2,O 為 AD 中點(diǎn)。 (1)求證 : O平面B ;( )求異面直線PB 與 C所成角得余弦值;(3) 求點(diǎn) A 到平面 PCD 得距離5.解 :如圖 ,A(0, 1,0),B(

10、 , ,0), ( ,0,0),D( ,1,0),( , , )所以所以異面直線所成得角得余弦值為:(2) 設(shè)平面 PCD 得法向量為 ,所以;令 x1,則 z= ,所以 又則 ,點(diǎn) A 到平面 PD 得距離為 :6.(0 8 福建理 ) 如圖 ,在四棱錐PBCD 中 ,則面 PA底面ABCD ,側(cè)棱= ,底面 ABCD 為直角梯形 ,其中 BC AD , BD,D = =2BC= ,O 為D 中點(diǎn) .( )求證 :PO平面 ABCD ;( )求異面直線 D 與 CD 所成角得大小 ;( )線段 AD 上就是否存在點(diǎn)Q,使得它到平面 PCD 得距離為？若存在,求出 得值 ;若不存在 ,請(qǐng)說明理

11、由。本小題主要考查直線與平面得位置關(guān)系、異面直線所成角、 點(diǎn)到平面得距離等基本知識(shí) ,考查空間想象能力、邏輯思維能力與運(yùn)算能力、滿分分、解法一 :( )證明 :在 PD 中 PPD,O 為D 中點(diǎn) ,所以 PO AD ,又側(cè)面 P 底面 ABC ,平面平面 ABD =AD , 平面 PD ,所以 O平面 CD 、( )連結(jié) BO,在直角梯形AC中、 BC D ,D =2A=2,有 OD C 且 D = ,所以四邊形OBCD 就是平行四邊形,所以 BDC.由 ( )知,O OB, BO 為銳角 ,所以 PB就是異面直線 與 CD 所成得角。因?yàn)?AD=2AB BC=2,在 Rt AOB 中 ,A

12、B= ,AO ,所以 OB ,在 Rt POA 中 ,因?yàn)?AP=,AO1,所以 OP1,在 t PBO 中 ,t n PB 所以異面直線 PB 與 CD 所成得角就是。( )假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面CD 得距離為 .設(shè) QD =x,則 ,由 ( )得 CD OB=, 在 Rt P 中 ,所以 DP,由 p-DQC =V Q PCD ,得 2,所以存在點(diǎn) Q 滿足題意 ,此時(shí) .解法二 :( ) 同解法一 .( ) 以 O為坐標(biāo)原點(diǎn) , 得方向分別為x 軸、 y 軸、 z 軸得正方向 , 建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,依題意 , 易得 (0, 1,0), B(1,1, ), C(1, ,0

13、),D( ,1, ),P(0,0,1),所以所以異面直線 PB與 CD所成得角就是 a cco ,( ) 假設(shè)存在點(diǎn) , 使得它到平面PC得距離為 ,由()知設(shè)平面 C 得法向量為 n ( 0, y0, z0) 。則所以即 ,取 0=1, 得平面 P 得一個(gè)法向量為n ( ,1,1)。設(shè)由 , 得解 y=或 =( 舍去 ),此時(shí) , 所以存在點(diǎn) Q滿足題意 , 此時(shí)、7、(200海南、 寧夏理 )如圖 ,已知點(diǎn) P 在正方體 AB DA B C D 得對(duì)角線 BD 上 , D11111 0°、( )求 P 與 C 所成角得大小 ;(2)求 D與平面 AA D 1D 所成角得大小。7.

14、解 : 如圖 ,以為原點(diǎn) ,為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系。D1C1則,、連結(jié) ,。A1在平面中 ,延長(zhǎng)交于 .PB 1設(shè),由已知 ,由可得 .DC解得 ,所以 .z( )因?yàn)?,所以。AB即與所成得角為、H( )平面得一個(gè)法向量就是 .因?yàn)?,P所以 .可得與平面所成得角為 .D8. (2008 湖北文 )如圖 ,在直三棱柱中 ,平面?zhèn)让鍯y( )求證 :AB( )若,直線 AC 與平面所成得角為 ,二面角x8.本小題主要考查線面關(guān)系、 直線與平面所成角、 二面角等有關(guān)知識(shí) ,考查空間想象能力與推理論證能力 .( 滿分 12 分 )( )證明 :如右圖 ,過點(diǎn) A 在平面 A1ABB1 內(nèi)作 A

15、1于 D ,則由平面 A B側(cè)面 A1 AB1,且平面 BC側(cè)面 A1A1 A1B,得 AD 平面A1BC.又 BC 平面 C所以 D BC 。因?yàn)槿庵鵄BC 1 1 就是直三棱柱 ,則 A1底面 ABC,所以 AA1 C.又 AA1 AD =A,從而 BC側(cè)面 A1ABB1, 又 B 側(cè)面 A1ABB1,故 AB BC、( )證法 1:連接 CD,則由 ( )知 AD 就就是直線AC 與平面 A1C 所成得角 , BA1 就就是二面角A C A 得頰角 ,即 ACD , AA1、于就是在 RDC 中 ,sin ,在 tD 1 中 ,s nAA 1D , sin =sin AA1 ,由于 與

16、 AA1D 都就是銳角 ,所以 A1D 。又由 Rt 1 A 知 ,A D = A1B ,故 + 、證法 2:由 ( )知 ,以點(diǎn) B 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,以 BC、A、1所在得直線分別為x 軸、 yB軸、 z 軸 ,建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)系。設(shè) A c(c a=,則 B(0, , ),A( , ,),C(),A (0,c,a),于就是 , ( ,c,),c,a設(shè)平面 A BC 得一個(gè)法向量為 n=(x,y,z),則由可取 n=(0, a,c),于就是n· = 0,與 n 得夾角為銳角 ,則與 互為余角sin =cos =, os =所以 n = o=sin(), 又, ,所以=、9、

17、 (2008 湖北理 )如圖 ,在直三棱柱 ABC A B C1 中 ,平面 BC 側(cè)面 1A 、( )求證 :A BC;( )若直線 AC 與平面 A BC 所成得角為 ,二面角 A1 BC-A 得大小為 得大小關(guān)系 ,并予以證明。9.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角與線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí) ,同時(shí)考查空間想象能力與推理能力.(滿分 12 分 )( )證明 :如右圖 ,過點(diǎn) A 在平面 ABB1 內(nèi)作A A1B 于 D, 則由平面 ABC側(cè)面 A1ABB1, 且平面 A1BC側(cè)面 ABB1=A1B,得 AD 平面 A , 又 BC平面 A1C,所以 AB。因?yàn)槿庵鵄BC A1B1

18、C就是直三棱柱 ,則 AA底面 ABC,所以 1 C.又 A=A,從而 C側(cè)面 A1ABB1, 又 A側(cè)面 1ABB ,故BBC。( )解法 1:連接 C,則由 ( )知就是直線 C 與平面 BC 所成得角 ,就是二面角A1 BC 得平面角 ,即于就是在 Rt A中 ,在 R ADB 中 ,由 AC,得又所以解法 2:由 ( )知 ,以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,以 BC、 B、 BB1所在得直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸 ,建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)系,設(shè) A a,A=b,B c,則 (0,0, ), A(0,c,0), 于就是設(shè)平面 A1C 得一個(gè)法向量為n=(,y,z),則由得可取 n=(

19、0, a,c),于就是與 得夾角為銳角,則與互為余角。所以于就是由c<b, 得即又所以 0。 (2008 湖南理 )如圖所示 ,四棱錐 -ABCD 得底面ABCD 就是邊長(zhǎng)為 1 得菱形 , D=60 ° ,E 就是 CD 得中點(diǎn) ,PA底面 ABCD ,A=2。( )證明 :平面 BE平面 PB;( )求平面 P D 與平面 PBE 所成二面角 (銳角 )得大小。10.解 : 解法一( )如圖所示 ,連結(jié) D,由 A CD 就是菱形且 BCD 6°知 ,BCD 就是等邊三角形。因?yàn)?E 就是 D 得中點(diǎn) ,所以 ECD ,又 AB D,所以 BE AB、又因?yàn)?A平

20、面 BD ,平面 BD ,所以PA BE。而 AB=,因此 BE平面 PB.又平面 PE,所以平面PBE平面 .( )延長(zhǎng) D、 BE 相交于點(diǎn)F,連結(jié) PF.過點(diǎn) A 作 AB 于,由()知平面 PBE平面 AB ,所以 AH平面 B、在 RtAF 中 ,因?yàn)?BF= 0° , 所以 ,A AB=2=A、在等腰 Rt PAF 中 ,取 PF 得中點(diǎn) G,連接 AG。則 F .連結(jié) HG ,由三垂線定理得逆定理得,PF HG、所以 AGH 就是平面 PAD 與平面 B所成二面角得平面角(銳角 ).在等腰 Rt PAF 中 ,在 RtAB 中 ,所以 ,在 Rt AG 中 ,故平面 P

21、AD 與平面 PBE 所成二面角 (銳角 )得大小就是解法二 : 如圖所示 ,以 A 為原點(diǎn) ,建立空間直角坐標(biāo)系。則相關(guān)各點(diǎn)得坐標(biāo)分別就是A(0,0,0), B(1,0,0),P(0,0,2),( )因?yàn)?,平面 A得一個(gè)法向量就是,所以共線。從而BE平面 PAB、又因?yàn)槠矫?E,故平面 PB平面 PAB。()易知設(shè)就是平面 BE得一個(gè)法向量 , 則由得所以設(shè)就是平面 AD得一個(gè)法向量 , 則由得所以故可取于就是 ,故平面 PAD與平面 PBE所成二面角 ( 銳角 ) 得大小就是1。 (2 0湖南文 ) 如圖所示 ,四棱錐得底面就是邊長(zhǎng)為1 得菱形 ,E 就是 D 得中點(diǎn) ,PA 底面 AC

22、D,、(I) 證明 :平面 BE 平面 PAB;(I )求二面角A BE-P 與得大小、11.解 :解法一( )如圖所示 , 連結(jié)由就是菱形且知,就是等邊三角形。因?yàn)?E 就是 C得中點(diǎn) ,所以又所以又因?yàn)?PA 平面 BD,平面 ABC ,所以而因此平面 PA、又平面 PB ,所以平面PBE 平面 PAB。( I) 由 (I) 知 ,平面 PAB, 平面 B,所以又所以就是二面角得平面角.在中 ,。故二面角得大小為解法二 :如圖所示 ,以 A 為原點(diǎn) ,建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)得坐標(biāo)分別就是(I) 因?yàn)槠矫?PAB 得一個(gè)法向量就是所以與共線、從而平面 PB 。又因?yàn)槠矫鍼BE, 所以

23、平面P平面PB 。( I) 易知設(shè)就是平面PBE 得一個(gè)法向量,則由得所以故可取而平面ABE 得一個(gè)法向量就是于就是 ,.故二面角得大小為12、 (2 08 江蘇 )記動(dòng)點(diǎn) 就是棱長(zhǎng)為得正方體得對(duì)線上一點(diǎn) ,記、當(dāng)為鈍角時(shí) ,求得取值范圍 . 2.解 :由題設(shè)可知 ,以、為單位正交基底 ,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ,則有 ,由 ,得 ,所以顯然不就是平角,所以為鈍角等價(jià)于,則等價(jià)于A1即 ,得因此 ,得取值范圍就是13、(2 08 江西文、 理 )如圖 ,正三棱錐得三條側(cè)棱、 、兩兩垂直 ,且長(zhǎng)A度均為 2。、分別就是、得中點(diǎn),就是得中點(diǎn) ,過得平面與側(cè)棱、 、或其延x長(zhǎng)線分別相交于、 、

24、,已知 .(1) 求證 :面 ;(2) 求二面角得大小、 3.解 :(1) 證明 :依題設(shè) ,就是得中位線 , 所以 ,則平面 ,所以。又就是得中點(diǎn) ,所以 ,則。因?yàn)?, ,角得zD1C1B1DCyPB所以面 ,則 ,因此面。(2) 作于 ,連。因?yàn)槠矫?,根據(jù)三垂線定理知 , ,就就是二面角得平面角、作于 ,則 ,則就是得中點(diǎn) ,則、設(shè) ,由得 ,解得 , 在中 ,則,。所以 ,故二面角為。解法二 :(1)以直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則所以所以所以平面由得 ,故 :平面(2) 由已知設(shè)則由與共線得 :存在有得同理 :設(shè)就是平面得一個(gè)法向量,則 令得又就是平面得一個(gè)法量OA1FMCA

25、HC 1NEBB 1OCA1FC1AHEBB1所以二面角得大小為 4。( 008 遼寧文 )如圖 ,在棱長(zhǎng)為 1 得正方體中 ,APB=b (0<<), 截面 QE ,截面PQGH .HG( )證明 : 平面 PQEF 與平面 PQGH 互相垂直 ;( )證明 : 截面 QEF 與截面 PQG面積之與就是定值,并求出這個(gè)值 ;( )若 ,求與平面P 所成角得正弦值.14.本小題主要考查空間中得線面關(guān)系與面面關(guān)系與邏輯思維能力。滿分 2 分。解法一 :( )證明 : 在正方體中 ,又由已知可得,所以 ,所以平面 .所以平面與平面互相垂直。4?分()證明 :由( )知,又截面 QE 與

26、截面 PQH 都就是矩形 ,且PQDC,解三角形等基礎(chǔ)知識(shí) A ,考F查空間想象能E力BPQ=1,所以截面 QE與截面 PQG面積之與就是,就是定值 . ·····································&

27、#183;··············8 分 ( )解 :設(shè)交于點(diǎn) ,連結(jié) ,因?yàn)槠矫?,所以為與平面所成得角.因?yàn)?,所以分別為 ,得中點(diǎn) .可知 ,。HGDPQNCAFEB所以。 ·······················

28、·······························1分解法二 :以 D 為原點(diǎn) ,射線 A,C,D 分別為 x,y,z軸得正半軸建立如圖得空間直角坐標(biāo)系-xy.由已知得 ,故,z,、H( )證明 : 在所建立得坐標(biāo)系中,可得G,C。PDQ因?yàn)?,所以就是平面 PQE得法向量、y

29、A FE因?yàn)?,所以就是平面 QH 得法向量 .B因?yàn)?,所以 ,所以平面 E與平面 P H 互相垂直 .4?分x( )證明 : 因?yàn)?,所以 ,又,所以 PQF 為矩形 ,同理 PQGH 為矩形 .在所建立得坐標(biāo)系中可求得,所以 ,又,所以截面 PQEF 與截面 PQGH 面積之與為 ,就是定值。 ?分( )解 :由 ( )知就是平面得法向量 .由為中點(diǎn)可知 ,分別為 ,得中點(diǎn) .所以 ,因此與平面所成角得正弦值等于、?2 分1 .(2 08 遼寧理 )如圖 ,在棱長(zhǎng)為1 得正方體中 ,A BQ=b (0 b 1),截面 PQE ,截面 PG、HG( )證明 : 平面 PQE 與平面 PQG

30、H 互相垂直 ;( )證明 : 截面 EF 與截面 QGH 面積之與就是定值 ,并求出這個(gè)值 ;( )若與平面 PQF 所成得角為 ,求與平PQ面 QGH 所成角得正弦值。D15.本小題主要考查空間中得線面關(guān)系,面面關(guān)系 ,解三角形等基礎(chǔ)知識(shí),CAFE考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12 分.B解法一 :HG( )證明 : 在正方體中 ,又由已知可得,所以 ,PNDQM C所以平面 .所以平面與平面互相垂直 . ···············

31、········分AFEB()證明 :由( )知,又截面 QEF 與截面 PQGH 都就是矩形 ,且 PQ =1,所以截面 PQE與截面 G面積之與就是,就是定值、 8?分( II) 解 :連結(jié) BC交 Q 于點(diǎn) M、因?yàn)?,所以平面與平面PQ互相平行 ,因此與平面PQH 所成角與與平面所成角相等.與( )同理可證 EQ平面 QH,可知 EM 平面 ,因此 EM 與得比值就就是所求得正弦值、設(shè)交 F 于點(diǎn) N,連結(jié) EN,由知.因?yàn)槠矫鍼QF,又已知與平面PQEF 成角 ,所以 ,即,解得 ,可知 E 為 B中點(diǎn)

32、.所以 E=,又 ,故與平面 PQC 所成角得正弦值為。······························12 分解法二 :以 D 為原點(diǎn) ,射線 DA ,C,D 分別為 x, ,z 軸得正半軸建立如圖得空間直角坐標(biāo)系D xyz由已知得 ,故,、z( )證明 : 在所建立得坐標(biāo)系中,可得,

33、HG,.因?yàn)?,所以就是平面PQEF 得法向量 .PQ C因?yàn)?,所以就是平面PGH 得法向量 .因?yàn)?,所以 ,DyA FE所以平面 PQ 與平面 PQGH 互相垂直、 4?分B( )證明 : 因?yàn)?,所以 ,又,所以 QEF 為矩形 ,同理 H 為矩形、在所建立得坐標(biāo)系中可求得,x所以 ,又,所以截面 PQEF 與截面 PQH 面積之與為 ,就是定值 . ····················

34、;8 分 ( )解 :由已知得與成角 ,又可得即,解得 .,所以 ,又 ,所以與平面 PQGH 所成角得正弦值為、?2 分16、 (2 08 全國(guó)卷文、理 ) 如圖 ,正四棱柱中 ,點(diǎn)在上且。()證明 :平面 ;D 1C1( )求二面角得大小 .A1B116.解法一 :依題設(shè) ,.( )連結(jié)交于點(diǎn) ,則、E由三垂線定理知 ,。 3?分DC在平面內(nèi) ,連結(jié)交于點(diǎn) ,D1C1A由于 ,A1BB1故,與互余 .于就是、H E與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直 ,所以平面 .6?分DGC( )作 ,垂足為 ,連結(jié)。由三垂線定理知 ,AFB故就是二面角得平面角.?分,.,、又,、.- - - 2所以二面角得大小

35、為。分解法二 :z以為坐標(biāo)原點(diǎn) ,射線為軸得正半軸 ,D 1C1建立如圖所示直角坐標(biāo)系。A1B1依題設(shè) ,.,.- 3 分( )因?yàn)?,EDC yABx故,.又,所以平面 .···································

36、83;··················6 分( )設(shè)向量就是平面得法向量,則,。故,.令,則 ,.··························

37、83;····························9 分等于二面角得平面角 ,.所以二面角得大小為、12?分 .(2008 全國(guó)卷文 )(四棱錐中 ,底面為矩形 ,側(cè)面底面 ,、( )證明 :;( )設(shè)側(cè)面為等邊三角形,求二面角得大小.17、解 :( )取中點(diǎn) ,連接交于點(diǎn) ,又面面 ,面,.,即 ,面,、

38、(2) 在面內(nèi)過點(diǎn)做得垂線 ,垂足為 .,面,則即為所求二面角、,則,。1 .( 008 全國(guó)卷理 ) 四棱錐中 ,底面為矩形 ,側(cè)面底面 ,.( )證明 :;( )設(shè)與平面所成得角為,求二面角得大小.。解 :(1)取中點(diǎn) ,連接交于點(diǎn) ,又面面 ,面 ,.,即 ,面,.(2) 在面內(nèi)過點(diǎn)作得垂線 ,垂足為、,面 ,則即為所求二面角得平面角.,則 ,即二面角得大小、1 . ( 0山東理 )如圖 ,已知四棱錐P D,底面 BCD 為菱形 ,P平面ABCD ,E,F 分別就是C 得中點(diǎn)、18 題圖B ,( )證明 :AE D ;( )若 H 為 PD 上得動(dòng)點(diǎn) ,E與平面 AD 所成最大角得正切值為 ,求二面角EA C 得余弦值、19、 ( )證明 :由四邊形 ABCD 為菱形 , AB = 0° ,可得