圓周運(yùn)動(dòng)、萬有引力總結(jié)

1、、幾種常見的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例圖表圖形受力分析利用向心力公式F合在水平面上在水平面上mg tan m 2l sin,2mg tan m (lsin d)“4 2mg tanm r“4 2mg tanm r2Mg m r例1.如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量不同的小球用長度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn)，并在同一水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),則它們的(A)運(yùn)動(dòng)周期相同(C)運(yùn)動(dòng)角速度相同(B)運(yùn)動(dòng)線速度一樣(D)向心加速度相同例2.如右圖所示，為表演雜技飛車走壁 的示意圖。演員騎摩托車在一個(gè)圓桶形結(jié)構(gòu)的內(nèi)壁上飛馳，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖中 a、b兩個(gè)虛線圓表示同一位演員騎同一輛摩托，在離地面不同高度處進(jìn)行表演的運(yùn)動(dòng)軌跡。不考慮車

2、輪受到的側(cè)向摩擦，下列說法中正確的是(A.在a軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)角速度較大a二、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題一水平初速度v0 ,使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),A.球過最高點(diǎn)時(shí)，速度為零2C.開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩的拉力為 m L并且剛好能過最高點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）B.球過最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為 mgD.球過最高點(diǎn)時(shí)，速度大小為 JLgB.在a軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)線速度較大C.在a軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩托車對側(cè)壁的壓力較大D.在a軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩托車和運(yùn)動(dòng)員所受的向心力較大物理情景圖示在最高點(diǎn)的臨界特征做圓周運(yùn)動(dòng)的條件細(xì)繩拉著小球在豎直 平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).,11*f 011 1*.J2LV/日Fn=mg=m付v最小Rg

3、 T=0在最高點(diǎn)速度不小于v最小=J Rg小球在豎直放置的光 滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn) 動(dòng)O2LV/日Fn=mg=m付v 最小=J Rg T=0在最高點(diǎn)速度不小于v最小=jRg小球固定在輕桿上在 豎直平曲內(nèi)做圓周運(yùn) 動(dòng)f1 %X1 JJ.Jv=0Fn=0 得 F=mg在最高點(diǎn)速度廿0小球在豎直放置的光 滑雙圓管道內(nèi)側(cè)做圓 周運(yùn)動(dòng)ov=0Fn=0 得 F=mg在最高點(diǎn)速度廿0例3.長為L的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為 m的小球，另一端固定于某點(diǎn)，當(dāng)繩豎直時(shí)小球靜止，再給小球O為圓心，使小球做半徑為 R的例4：如圖6-11-3所示，一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端圓周運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（）A.球過最高

4、點(diǎn)時(shí)，桿所受的彈力可以等于零b.球過最高點(diǎn)時(shí)，最小速度為JRg-C.球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的彈力一定與球的重力方向相反圖6-11-3D.球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的彈力可以與球的重力反向，此時(shí)重力一定大于桿對球的彈力例5、如圖6-11-4所示，地球可以看作一個(gè)巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球半徑R（約為6400km）。地面上有一輛汽車，重量是 G = mg,地面對它的支持力是 F。汽車沿南北方向行駛，不斷加速。根據(jù) 上面的分析，汽車速度越大，地面對它的支持力就越小，會不會出現(xiàn)這樣的情況：速度大到一定程度地球可以看作一個(gè)巨大的拱形橋時(shí)，地面對車的支持力是零？這時(shí)駕駛員與座椅之間的壓力是多少？駕駛員身體各

5、部分之間的壓力是多少？他這時(shí)可能有什么感覺？ （ g取10m/s?）圖 6-11-4練習(xí)、如圖所示，長為 L=1m的輕質(zhì)木桿，一端固定一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小球，以支架上的 O點(diǎn)為軸在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),支架質(zhì)量M = 5kg,當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)v=2m/s,則此時(shí)支架對地面的壓力為多少？若要使支架對地面的壓力為零，則小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度又該為多少？（答案：62N; V35m / sg 取 10m/s2)三、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒例6 .長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為 m的小球，小球繞細(xì)繩另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)并恰能通過最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，設(shè)小球通過最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)的速度分別

6、為-V1和v2,細(xì)線所受拉力分別為E、F2,則 （）A . v1 = J5gLB. v2 = 0C. F1 = 5mg D. F2 = 0思考：拉力差是多少?例7.質(zhì)量可忽略，長為L的輕棒，末端固定一質(zhì)量為 m的小球， 做圓周運(yùn)動(dòng)，那么小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v必須滿足的條件為（A . v - J2gLB. v - ,3gLC. v 2國 D.思考：拉力差是多少？例8、如上圖所示，已知圓弧軌道的半徑是R,質(zhì)量為m的滑塊由靜止從圓心等高的水平位置滑到圓弧軌道的最低點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力是 .例9.如圖6-11-9所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道ABCD ,其A點(diǎn)與圓心等高，D點(diǎn)為軌道最高點(diǎn)，DB為

7、豎直線，AC為水平線，AE為水平面，今使小球自 A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放，且從A點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動(dòng)，通過適當(dāng)調(diào)整釋放點(diǎn)的高度，總能保證小球最終不通過最高點(diǎn)D,則小球在通過D點(diǎn)后 （）!A .會落到水平面 AE上 B. 一定會再次落到圓軌道上 C.可能會落到水平面 AE上 D,可能會再次落到圓軌道上B 圖 6-11-9例10.如圖6-11-7所示，一個(gè)高為h的斜面，與半徑為 R的圓形軌道平滑地連接在一起?，F(xiàn)有B而不落下，則斜面的高度 h圖 6-11-7小球從斜面的頂端無初速地滑下，若要使小球通過圓形軌道的頂端 應(yīng)為多大？小球在圓形軌道上不脫軌的條件是什么？已知地球與月球的地H轉(zhuǎn)移軌道停泊軌道b,

8、衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道上均可視地面發(fā)射軌道四、衛(wèi)星在軌、變軌問題1.衛(wèi)星的軌道(1)赤道軌道：衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi).同步衛(wèi)星就是其中的一種.(2)極地軌道：衛(wèi)星的軌道過南北兩極， 即在垂直于赤道的平面內(nèi).如定位衛(wèi)星系統(tǒng)中的衛(wèi)星軌道.(3)其他軌道：除以上兩種軌道外的衛(wèi)星軌道2.衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行與變軌運(yùn)行分析(1)圓軌道上的穩(wěn)定運(yùn)行2若衛(wèi)星受萬有引力等于向心力，將保持勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即G絲nv- = mrco 2= mr()2r rT(2)變軌運(yùn)行分析當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)(開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行.2當(dāng)v增大時(shí)，所需向心力 nv-增

9、大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進(jìn)入新的軌道運(yùn)行，由v=y不知其運(yùn)行速度要減小，動(dòng)能減小但重力勢能、機(jī)械能均增加.2 mv,1 一,一一， 一一一， , 一一一一，當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，向心力-1減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運(yùn)行時(shí)由v= GM口運(yùn)行速度將增大，但重力勢能、機(jī)械能均減少.(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理).【名師點(diǎn)睛】：(1) 一切地球衛(wèi)星的軌道圓心都與地心重合.(2)衛(wèi)星的變軌問題是離心運(yùn)動(dòng)和近心運(yùn)動(dòng)的具體應(yīng)用.例11. 2010 (

10、江蘇卷)2009年5月，航天飛機(jī)在完成對哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，在 A點(diǎn)從圓形軌道I進(jìn)入橢圓軌道n ,B為軌道n上的一點(diǎn)，如圖 542所示.關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中不正確的是()A.在軌道n上經(jīng)過 A的速度小于經(jīng)過 B的速度B.在軌道n上經(jīng)過 A的動(dòng)能小于在軌道I上經(jīng)過 A的動(dòng)能C.在軌道n上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道I上運(yùn)動(dòng)的周期D.在軌道n上經(jīng)過 A的加速度小于在軌道I上經(jīng)過 A的加速度練12.我國發(fā)射的“嫦娥二號”探月衛(wèi)星簡化后的路線示意圖如圖所示，衛(wèi)星由地面發(fā)射后經(jīng)過發(fā)射軌道進(jìn)入停泊軌道，然后在停泊軌道經(jīng)過調(diào)速后進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道， 經(jīng)過幾次制動(dòng)后進(jìn)入工作軌道，衛(wèi)星開始對月球進(jìn)行探測

11、.質(zhì)量之比為a,衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的半徑之比為 為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則衛(wèi)星 ()在停泊軌道和工作軌道運(yùn)行的速度之比為韭在停泊軌道和工作軌道運(yùn)行的周期之比為也在停泊軌道運(yùn)行的速度大于地球的第一宇宙速度從停泊軌道進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道時(shí)，衛(wèi)星必須加速A.B.C.D.【規(guī)律總結(jié)】衛(wèi)星的速度增大，應(yīng)做離心運(yùn)動(dòng)，要克服萬有引力做負(fù)功，其動(dòng)能要減小，速度也減小，所以穩(wěn)定后速度減小與衛(wèi)星原來速度增大并不矛盾，這正是能量守恒定律的具體體現(xiàn).五、人造衛(wèi)星能量問題它在近地點(diǎn)時(shí)，速度最大，動(dòng)能最大；此時(shí)離地面最近，重力勢能最小。衛(wèi)星由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行時(shí)動(dòng)能減小，重力勢能增大，動(dòng)能向重力勢能轉(zhuǎn)化。 直到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能

12、最小，重力勢能最大。 衛(wèi)星由遠(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)運(yùn)行時(shí)， 重力勢能向動(dòng)能轉(zhuǎn)化。在衛(wèi)星運(yùn)行過程中，不斷地有動(dòng)能和勢能的 相互轉(zhuǎn)化。例12、有一宇宙飛船繞地做圓周運(yùn)動(dòng)，某一時(shí)刻，宇宙飛船點(diǎn)火向后噴氣實(shí)施變軌。其軌道半徑由ri緩慢變?yōu)閞2,變軌前后的動(dòng)能分別為Ek1和Ek2,則下列關(guān)系正確的是（）A. ri vr2 ,Ek1vEK2 B. ri r2 ,Ek1vEK2 C. ri EK2 D. ri r2 , Eki EK2練3. （20ii大綱全國卷，i9）我國“嫦娥一號”探月衛(wèi)星發(fā)射后， 先在“ 24小時(shí)軌道”上繞地球運(yùn) 行（即繞地球一圈需要 24小時(shí)），然后，經(jīng)過兩次變軌依次到達(dá)“ 48小時(shí)軌道”和

13、“ 72小時(shí)軌道”； 最后奔向月球.如果按圓形軌道計(jì)算，并忽略衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則在每次變軌完成后與變軌前相比（）.A.衛(wèi)星動(dòng)能增大，引力勢能減小B.衛(wèi)星動(dòng)能增大，引力勢能增大C.衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能減小D.衛(wèi)星動(dòng)能減小，引力勢能增大2解析 由一r2= m：知,Ek=2mv2= 2r，r越大，Ek越小.r增大，衛(wèi)星在升高過程中要克服萬有引力做功，引力勢能增大.綜上所述D對，A、B、C錯(cuò).（8）雙星問題例7.（20ii年山東濟(jì)南模擬）天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星.雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍. 利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量.已知某雙星系統(tǒng)中兩

14、顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T,兩顆恒星之間的距離為r,試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量. （引力常量為G）結(jié)合共同的角速度，利用萬有引力充當(dāng)向心力計(jì)算.設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m、m,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為八2,角速度分別為 小、2.根據(jù)題CO i = CO 2（i 分）ri +2=（i 分）根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有mm22 八Gp- = mcoiri（i 分）年= mco2r2（i 分）聯(lián)立以上各式解得m+m= 32（ ri + r2/GD（i 分）根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知3i= 3 2=（i 分）解析：解決雙星問題關(guān)鍵是搞清每個(gè)星的軌道半徑和距離的區(qū)別.

15、聯(lián)立式解得2m1+m2=G3.(2 分)“雙星系統(tǒng)”具有以下特點(diǎn)：(1)彼此間的萬有引力是雙星各自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力一一作用力和反作用力.(2)雙星具有共同的角速度.(3)雙星始終與它們共同的圓心在同一條直線上.練18,宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它速圓周運(yùn)動(dòng)而不至因萬有引力的作用吸引到 一起.(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比.(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為 m1和m2,兩者相距L,試寫出它們角速度的表達(dá)式.六、兩衛(wèi)星的追擊相遇問題設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是 Ti、T2,練19.如圖是在同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星.(T1VT2),且某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近.

16、問：(1)(2)兩衛(wèi)星再次相距最近的時(shí)間是多少? 兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)間是多少？(1)(2)22-t2k 1(k=0.1.2 )T2t 2k1T1T22T2 Ti(k=0.1.2 )七、人造天體的交會對接問題練20.(不定項(xiàng)選擇)關(guān)于航天飛機(jī)與空間站對接問題，下列說法正確的是A.先讓航天飛機(jī)與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機(jī)加速，即可實(shí)現(xiàn)對接B.先讓航天飛機(jī)與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機(jī)減速，即可實(shí)現(xiàn)對接C.先讓航天飛機(jī)進(jìn)入較低的軌道，然后再對其進(jìn)行加速，即可實(shí)現(xiàn)對接D.先讓航天飛機(jī)進(jìn)入較高的軌道，然后再對其進(jìn)行加速，即可實(shí)現(xiàn)對接八、萬有引力與拋體運(yùn)動(dòng)結(jié)合例8、宇航員在月球表面附近自 h

17、高處以初速度V。水平拋出一個(gè)小球，測出小球的水平射程為 L,已知月球半徑為 R,若在月球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，它在月球表面附近繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)的周期多大？【目標(biāo)達(dá)成】1.如圖6-11-5所示，細(xì)線的一端有一個(gè)小球，現(xiàn)給小球一初速度，使小球繞細(xì)線另一端O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，用F表示球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線對小球的作用力，則F可能 （）A.是拉力B.是推力C.等于零D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零圖 6-11-5解析：到最高點(diǎn)臨界速度為v臨JRg ,當(dāng)v v臨界時(shí)，F(xiàn) = 0;當(dāng)v v臨界時(shí)，F(xiàn)為拉力。故選：A、C對球的作用力可能是（）A . a處為拉力，b處為拉力B. a處為拉力，b處為

18、推力C. a處為推力，b處為拉力D . a處為推力，b處為推力解析：小球到最低點(diǎn)時(shí)，向心力向上jbx/ i i7）a圖 6-11-6 此時(shí)細(xì)桿的作用力與小球的重力的合力提供向心力,2 . （ 1999年 全國）如圖6-11-6所示，細(xì)桿的一端與小球相連，可繞過 。點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn) 動(dòng)，現(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿桿作用力向上，一定為拉力；當(dāng)?shù)阶罡唿c(diǎn)時(shí)，向心力向下，當(dāng) 0 V JRg時(shí)，F(xiàn)向 mg，此時(shí)為推力，當(dāng)v jRg , 5向 mg ,此時(shí)為拉力。故選：A、B3 .長為L的輕桿，一端固定一個(gè)小球，另一端與光滑的水平軸相連?，F(xiàn)給小球一個(gè)初

19、速度， 使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為 v,則下列敘述正確的是（）A. v的最小值為 . gLB.v由零逐漸增大，向心力也逐漸增大C. v由零當(dāng)增大，桿對小球的彈力也逐漸增大d . v由jg逐漸減小，桿對小球的彈力逐漸增大2解析：這是“桿模型”，小球到最高點(diǎn)速度 v 0, A錯(cuò)；由F向 m（得，v增大，F(xiàn)向增 大，B對；當(dāng)0V v JLg時(shí)，F(xiàn)隨v增 大而增大（F為拉力），C錯(cuò)，D對。故選：B、D4 .質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)而不脫離軌道的臨界速度為v,當(dāng)小球以2V的速度經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力是（）A . 0B. mgC. 3mg

20、D. 5mg22解析：到最高點(diǎn)臨界速度為 V,則：mg mv-;當(dāng)速度為2V時(shí)，則：f mg m-（2v）- （FRR為壓力）；由上兩式解得：F = 3mgo故選：C-5 .長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為 m的小球，小球繞細(xì)繩另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) 并恰能通過最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，設(shè)小球通過最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)的速度分別為.V1和v2,細(xì)線所受拉力分別為F1、F2 ,則 （）A . V1 =，5gLB. v2 = 0C. F1 = 5mgD. F2 = 0解析：小球恰能通過最高點(diǎn)，細(xì)線拉力F2 = 0,有mg1mv12 mg|2L故選：A、D1mv2 ,解得：v = ,y2rb. vj3gr

21、C. v 2VgLD. v75gL解析：小球到最高點(diǎn)速度 v1 0,由機(jī)械能守恒得：-mv2 mg(2L工mv12 ,解得：v 2 J3L。 22故選：C7.如圖6-11-7所示，一個(gè)高為h的斜面，與半徑為 R的圓形軌道平滑地連接在一起?，F(xiàn)有B而不落下，則斜面的高度 h小球從斜面的頂端無初速地滑下，若要使小球通過圓形軌道的頂端 應(yīng)為多大？解析：小球到達(dá)頂端 B速度為v,則：mg解得：v , Rg ,由機(jī)械能守恒得：mgh mg圖 6-11-7解得：h 5 R28.如圖6-11-8所示，桿長為L,桿的一端固定一質(zhì)量為m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另一端 O在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，求：(1)小球在最高點(diǎn) A時(shí)速度va為多大時(shí)，才能使桿對小球m的作用力為零？(2)小球在最高點(diǎn) A時(shí)，桿對小球的作用力 F為拉力和推力時(shí)的臨界速度是多少？(3)如m = 0.5kg, L = 0.5m, vA = 0.4m/s,則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B時(shí)，桿對小球m