2020屆四川省廣安市高三第二次診斷性考試試題數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020 屆四川省廣安市高三第二次診斷性考試試題數(shù)學(xué)（理）試題、單選題1已知集合 A x|y1，B 2, 1,0,1,2,3 ，則 (eRA)I B (）2x，A 2, 1,0,1,2B0,1,2,3C 1,2,3D 2,3【答案】 D【解析】 利用函數(shù)定義域，化簡集合A，利用集合交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，即得解【詳解】由題意得集合 A x|y1(,2) ，2x所以 eRA 2,) ，故 (eRA) B 2,3故選： D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題222若 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z sin icos 的共軛復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)33位于

2、（ ）A 第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】 B解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義得到 z ，通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得由題意得2sin3詳解】2 icos ，32因?yàn)?sin 20 ， cos2312 0，故選： B點(diǎn)睛】 本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué) 運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題 .3“ ”是“函數(shù) f(x) sin(3x )的圖象關(guān)于直線 x 對稱 ”的( ) 88A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D既不充分也不必要條件【答案】 A【解析】 先求解函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于直線 x 對稱的等價條件，得到8k 7

3、,k Z ，分析即得解 .8【詳解】 若函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于直線 x 對稱，8則38k ,k Z ，2解得k778 ,k Z ，故“ ”是“函數(shù) f (x) sin(3x )的圖象關(guān)于直線 x 對稱”的充分不必要 88條件故選： A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷， 考查了學(xué)生邏輯推理， 概念理解， 數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力， 屬于基礎(chǔ)題 .4幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3， n2這 n 2個數(shù)填入 n n方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等， 這個正方形數(shù)陣就叫 n階幻方定義 f (n)為 n 階幻方對角線上所有數(shù)的和，如f (3) 15 ，則 f(10) (B 50

4、0C505D 5050A 55答案】 C解析】 因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得1 2 3 n f (n) 1 2 3 n ，即得解 .n【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以 n階幻方對角線上數(shù)的和 f(n) 就等于每行(或每列)的數(shù)的和，又 n 階幻方有n 行(或 n 列)，因此， f (n)1 2 3n2，n于是 f (10)1 2 3 99 10050510故選： C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題5已知 m ， n 是兩條不重合的直線， 是兩個不重合的平面，則下列命題中錯誤的是( )A 若 m / ，

5、 / ，則 m / 或 m B若m/ n，m/ ，n ，則n / C若 m n，m， n ，則D若 m n，m，則n /【答案】 D【解析】 根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定 A ；由線面平行的判定定理，可判斷 B；C中可判斷 ， 所成的二面角為 900 ；D中有可能 n ，即得解 .【詳解】選項(xiàng) A ：若 m /，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)， 有 m / 或m，故 A 正確；選項(xiàng) B：若 m /n，m /， n ，由線面平行的判定定理， 有 n / ，故 B 正確；選項(xiàng) C：若 mn，m， n ，故 ， 所成的二面角為 900 ，則，故C 正確；選項(xiàng) D，若 mn，m，有可能 n ，故

6、 D 不正確 .故選： D點(diǎn)睛】 本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中 檔題.256 x2 2 (x 2)5的展開式中含 x4 的項(xiàng)的系數(shù)為()A 20B 60C70D 80【答案】 B【解析】 展開式中含 x4的項(xiàng)是由 (x 2)5的展開式中含 x4和 x2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng) 2和 x2項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開式中含4x4 的項(xiàng)是由 (x52)5 的展開式中含x4和 x2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng) 2 和 x2 項(xiàng)相乘得到，所以 x2 2 (x 2)5的展開式中含 x4的項(xiàng)的系數(shù)為 2C51 2 C53 23 60 故選：

7、 B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題7若不相等的非零實(shí)數(shù) x ，y，z 成等差數(shù)列，且 x ， y ， z 成等比數(shù)列，則xyz5A2BC27D2答案】解析】xz由題意， 可得 y22，zxy ，消去 y 得 x2xz2z2x0,可得2 ，z繼而得到zy 2 ，代入即得解詳解】 由 x ， y ， z 成等差數(shù)列，xz所以 y，又 x，z， y成等比數(shù)列，2所以 z2 xy ，消去 y 得 x2 xz 2z2 0 ，2所以xx 2 0，解得 x 1或x2，zz z z因?yàn)閤，y，z 是不相等的非零實(shí)數(shù)，所以x2，此時 yz ，z2所以xy2 1

8、 5 z22故選：A點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能 力，屬于中檔題 .8周易是我國古代典籍，用 “卦 ”描述了天地世間萬象變化如圖是一個八卦圖，包”表示含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中 一個陽爻， “ ”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（ ）A356B 28C 3141D4答案】 C解析】 分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻 的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典 概型即得解詳解】 由圖可知， 僅有一個陽

9、爻的有坎、 艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件， 其種數(shù)是 C32 3 ；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是1 3 3 3 C31 3 ，于是所求的概率 P 2 C814故選： C點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于 基礎(chǔ)題 .9在VABC中，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與 AB ，AC所在直線分別交于點(diǎn) M ，uuuuruuuruuuruuurN，若 AMAB ，ANAC(5AB24答案】 B解析】由M ，P，N三點(diǎn)共線，可得 20, 0) ，則的最小值為（ ）7C3D21111，轉(zhuǎn)化( ) 1 1 ，222

10、利用均值不等式，即得解 .【詳解】uuur 1uuur 因?yàn)辄c(diǎn) P為BC中點(diǎn)，所以 AP 1 AB 2 uuuuruuur uuuruuur又因?yàn)?AMAB ， ANAC ，1uuurAC ，2uuur1uuuur 1 uuur所以APAM AN 22因?yàn)镸，P，N 三點(diǎn)共線，11所以1，22111所以()222111122，222當(dāng)且僅當(dāng) 即當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 1即221時等號成立，所以 的最小值為 2故選： B點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析， 轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題10如圖，平面四邊形 ACBD中， AB BC， AB3， BC 2

11、，ABD為等邊三角形，現(xiàn)將 ABD 沿 AB 翻折，使點(diǎn) D 移動至點(diǎn) P，且 PBBC ，則三棱錐P ABC 的外接球的表面積為(A8B 6D823【答案】 A【解析】 將三棱錐 P ABC 補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易 知外接球球心 O應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上， 在 RtVOBE中，計(jì)算半徑 OB 即可 .【詳解】由 AB BC ， PB BC ，可知 BC 平面 PAB 將三棱錐 P ABC 補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同由此易知外接球球心 O 應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記 ABP 的外心為 E ，由 ABD 為等邊三角形，BC可得

12、BE 1又 OE1，故在 RtVOBE中， OB 2，2此即為外接球半徑，從而外接球表面積為 8 故選： A【點(diǎn)睛】 本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué) 運(yùn)算的能力，屬于較難題 .11若函數(shù) f (x) ex 的圖象上兩點(diǎn) M ，N 關(guān)于直線 y x的對稱點(diǎn)在 g(x) ax 2的 圖象上，則 a 的取值范圍是( )eeA ,B ( ,e)C 0,D (0,e)22答案】 D 【解析】 由題可知， 可轉(zhuǎn)化為曲線 g(x) ax 2與 y ln x有兩個公共點(diǎn)， 可轉(zhuǎn)化為方 程 ax 2 lnx 有兩解，構(gòu)造函數(shù) h(x) 2 ln x ，利用導(dǎo)數(shù)研究函

13、數(shù)單調(diào)性，分析即x得解【詳解】函數(shù) f(x) ex的圖象上兩點(diǎn) M ，N 關(guān)于直線 y x的對稱點(diǎn)在 y lnx上，即曲線 g(x) ax 2與 y ln x有兩個公共點(diǎn)，即方程 ax 2 lnx 有兩解，2 ln xa 有兩解，x2 ln x ，x1 ln x2，x1x 時， h(x) 0 ；eh(x)h(x)則當(dāng)1e時， h(x)0，故x時 h(x) 取得極大值e ，也即為最大值，當(dāng)x0 時， h(x)當(dāng)x時， h(x) 0 ，所以0 a e 滿足條件故選： D點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題 12已知拋物線 C :

14、 y2 4x 和點(diǎn) D (2,0) ，直線 x ty 2與拋物線 C 交于不同兩點(diǎn) A， B ，直線 BD 與拋物線 C 交于另一點(diǎn) E 給出以下判斷： 以 BE 為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離； 直線 OB 與直線 OE 的斜率乘積為 2； 設(shè)過點(diǎn) A， B ， E的圓的圓心坐標(biāo)為 (a,b)，半徑為 r，則 a2 r2 4 其中，所有正確判斷的序號是( )A BCD 【答案】 D【解析】 對于 ，利用拋物線的定義， 利用 d d1 d2 |BF | |EF | |BE | R可2 2 2判斷；對于 ，設(shè)直線 DE 的方程為 x my 2 ，與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線 OB 與直線OE 的斜率

15、乘積，即可判斷；對于 ，將 x ty 2代入拋物線 C 的方程可得， yAy1 8，從而， yAy2 ，利用韋2達(dá)定理可得 |BE|2 16m4 48m2 32 ，再由r 2 |MN|2 |BE| ，可用 m表示r2， 線段 BE 的中垂線與 x 軸的交點(diǎn)（即圓心 N ）橫坐標(biāo)為 2m2 4，可得 a，即可判斷詳解】如圖，設(shè) F 為拋物線 C的焦點(diǎn)，以線段 BE 為直徑的圓為 M ，則圓心 M 為線段 BE 的中點(diǎn)設(shè)B ， E到準(zhǔn)線的距離分別為 d1， d2 ， e M的半徑為 R，點(diǎn)M 到準(zhǔn)線的距離為 d，顯然 B，E， F三點(diǎn)不共線，則 d d12d2|BF | |EF | |BE |22

16、R 所以 正確由題意可設(shè)直線 DE 的方程為 x my 2 ，代入拋物線 C 的方程，有 y2 4my 8 0設(shè)點(diǎn) B ， E 的坐標(biāo)分別為x1,y1 ， x2,y2 ，則 y1 y2 4m ， y1y2 8 所以 x1x2my1 2 my2 22m y1y22m y1 y2 4 4 y1y2則直線 OB與直線 OE的斜率乘積為 1 2 2所以 正確 x1x2將 x ty 2 代入拋物線 C 的方程可得， yA y1 8，從而， yAy2 根據(jù)拋物線的對稱性可知，A， E兩點(diǎn)關(guān)于 x軸對稱，所以過點(diǎn) A， B ， E的圓的圓心 N 在 x軸上 由上，有 y1 y2 4m ， x1 x2 4m2

17、 4 ，2 2 2 4 2則 |BE |2 x1 x2 4x1x2 y1 y2 4y1y2 16m4 48m2 32 所以，線段 BE 的中垂線與 x軸的交點(diǎn)(即圓心 N )橫坐標(biāo)為 2m2 4 ，所以 a 2m2 4 于是，2 r|MN |22|BE | 22m224 x1 x22y1 y24m4 12m2 8，2422代入x1 x24m2 4 ，y1 y24m，得 r 24m4 16m212，所以22 ar2m2 4244m16m2 124所以 正確故選： D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算 的能力，屬于較難題 .二、填空題x y 10,

18、13已知實(shí)數(shù) x， y滿足約束條件 3x y 3, 0,則 z 2x y的最大值為 y0,【答案】 7【解析】 作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù) z 2x y為 y 2x z ，當(dāng)目 標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn) (2,3) 時，直線的截距最大，取得最大值，即得解 .【詳解】是以 A(2,3), B( 1,0), C (1,0), 為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù) z 2x y為 y 2x z當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn) (2,3) 時，直線的截距最大此時 z 2 2 3 7 取得最大值 7故答案為： 7【點(diǎn)睛】 本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ) 題.14某中學(xué)舉行了

19、一次消防知識競賽， 將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為 5 組，繪制如 圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是 80，則成績在區(qū)間 80,100 的學(xué)生人數(shù)是 【答案】 30【解析】 根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量， 再計(jì)算成績在 80100 分的頻率，繼 而得解 .【詳解】 80根據(jù)直方圖知第二組的頻率是 0.040 10 0.4 ，則樣本容量是 80 200 ，0.4又成績在 80 100 分的頻率是 (0.010 0.005) 10 0.15，則成績在區(qū)間 80,100 的學(xué)生人數(shù)是 200 0.15 30故答案為： 30點(diǎn)睛】本題

20、考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析， 數(shù)據(jù)處理， 數(shù)形運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題 .2215設(shè)雙曲線 C: x2 y2 1(a 0,b 0) 的左焦點(diǎn)為 F ，過點(diǎn) F 且傾斜角為 45°的直線 abuuur uuur 與雙曲線 C的兩條漸近線順次交于 A，B兩點(diǎn)若 FB 3FA，則 C的離心率為答案】 5b uuur uuurx 聯(lián)立得到 A 點(diǎn)坐標(biāo)，由 FB 3FA a【解析】設(shè)直線 AB的方程為 x y c，與 y 得， yB 3yA，代入可得 b 2a ，即得解 .詳解】由題意，直線 AB的方程為 x y c ，與 y聯(lián)立得 yAbcabyBbcbauuur uuur

21、由 FB 3FA 得， yB 3yA ，從而bcba3bc ，ba即 b 2a ，從而離心率 e c 5 a故答案為： 5點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題 .16已知f (x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x) 若 x0時， f (x) 2x ，則不等式f (2x) f (x 1)3x22x 1 的解集是【答案】1,13【解析】構(gòu)造 g(x) f (x)2 x，先利用定義判斷g(x) 的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化 f(2x) f (x1)3x2 2x 1為 g(2x) g(x 1)，結(jié)合奇偶性， 單調(diào)性求解不等式即

22、可詳解】令 g(x) f(x) x2，則 g(x)是R上的偶函數(shù)，g (x) f (x) 2x 0，則 g(x)在 (0, )上遞減，于是在 ( ,0)上遞增由 f (2x) f (x 1) 3x2 2x 1得 f(2x) (2x)2 f (x 1) (x 1)2，即 g(2x) g(x 1)，于是 g(|2x|) g(| x 1|)，則 |2x | |x 1| ，1解得 1 x 31故答案為： 1,3【點(diǎn)睛】 本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù) 學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題 .三、解答題17某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量， 隨機(jī)抽取了 200 名進(jìn)場購物的顧客進(jìn)行

23、問卷調(diào)查 調(diào)查后， 就顧客 “購物體驗(yàn) ”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男4040女80401)是否有 97.5% 的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？2)為答謝顧客，該商場對某款價格為100 元 /件的商品開展促銷活動據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP 支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按 9 折支按 8 折支付其中有 1/3的顧客按 4折支付， 1/2的顧客按 6折支付， 1/6 的顧付客按 8 折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望附表及公式：2 n(ad bc)2

24、K(a b)(c d)(a c)(b d)P K 2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有 97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；（2）67 元，見解析 .【解析】（ 1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解； （2）X 的可能取值為 40，60，80，90，根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué) 期望即可 .【詳解】 （ 1）由題得 K 2 200（40 40 80 40）2 50 5.556 5.024，120 80 80 120 9 所以，有 97.

25、5% 的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).（ 2）由題意可知 X 的可能取值為 40，60，80， 901113P（X 40） 60% ， P（X 60） 60% ，35210121P（X 80） 30% 60% ， P（X 90） 10% 6510則 X 的分布列為X406080901321P5105101321所以， EX 40 60 80 90 67 （元）5 10 5 10【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題 .18已知 a，b，c分別是 VABC 三個內(nèi)角 A， B， C的對

26、邊，acosC3csinAbc（ 1）求A；（2）若a 3， bc3，求 b ，c【答案】（1）3；（2）b 1， c 2或 b 2， c 1sinC ，【解析】（ 1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化原式為 sin AcosC 3sin Csin A sinB 1結(jié)合 B A C ，可得 sin A ，即得解；62（ 2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解【詳解】（1）由 acosC3csin A b c 及正弦定理得sin AcosC 3sin Csin A sinB sinC 因?yàn)?B A C，所以 sinB sin AcosC cosAsinC，代入上式并化簡得3

27、sin Csin A cos Asin C sinC 1由于 sin C 0 ，所以 sin A 62又 0 A ，故 A 3( 2)因?yàn)?a3 ， b c 3 ， A，3由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A即 3 (b c)2 2bc bc 9 3bc,所以 bc2而bc3，所以b，c 為一元二次方程 x23x 2 0 的兩根所以b1， c 2 或 b 2， c1【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題19如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD是菱形， BAD 60 ，PAD 是 邊長為 2的正三角形，

28、PC 10， E為線段 AD的中點(diǎn)（ 1）求證：平面 PBC 平面 PBE ；（2）若 F 為線段 PC上一點(diǎn)，當(dāng)二面角 P DB F 的余弦值為 5 時，求三棱錐 5B PDF 的體積5【答案】（ 1）見解析； （2） 5.9【解析】（ 1）先證明 PE AD ， BE AD可證 AD 平面 PBE ，再由 ADBC 可 證 BC 平面 PBE ，即得證；（ 2）以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E xyz ，設(shè)uuuruuur ur rPFPC（0剟 1） ，求解面 DBP的法向量 m，面 DFB 的法向量 n ，利用二面角5P DB F 的余弦值為 5 ，可求解 ，轉(zhuǎn)化 VB

29、 PDF VPBDC VF BDC 即得解 .5【詳解】（ 1）證明：因?yàn)?PAD 是正三角形， E 為線段 AD 的中點(diǎn)，所以 PE AD 因?yàn)?ABCD是菱形，所以 AD AB 因?yàn)?BAD 60 ，所以 ABD 是正三角形，所以 BE AD ，所以 AD 平面 PBE 又AD BC ，所以 BC平面 PBE因?yàn)?BC 平面 PBC ，所以平面 PBC 平面 PBE （ 2）由（ 1）知 BC 平面 PBE ，所以 BC PB， PB PC2 BC26而 PE BE 3 ，所以 PB2 PE2 BE2 ， PE EB 又 PE AD ，所以 PE 平面 ABCD (1, 3,0) 是，xy

30、zuuur uuurDP (1,0, 3) ， DBur設(shè)面 DBP 的一個法向量 m( x, y, z) ，v uuuv m DB 0,v uuuv 得 m DP 0,0,x 3 ，則 y( 3, 1,uuurPF1，0.1)uuurPC(0剟 1) ，易得 F( 2 , 3 , 3 3uuur)， DF(1 2 , 3 , 3 3 ) 設(shè)面 DFB 的一個法向量 n(x,y,z) ，v uuuvn DB 0,v uuuv 得 n DF 0,3y0,x 3 ，則 y依題意 |cos m,n |x(1 2 )x 31，3，1( 3 3 )z 0.t ，則 t32，23，即所以 VB PDFVP

31、 BDC5VF BDCVP BDC913 3 3 59點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，棱錐的體積等知識點(diǎn)， 考查了學(xué)生空間想象， 邏輯推理， 數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力， 屬于中檔題 .20已知橢圓 C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O ，其短半軸長為 1，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （1,0） ，點(diǎn) A在橢圓 C上，點(diǎn) B在直線 y 2 上，且 OA OB1）證明：直線 AB 與圓 x2 y2 1相切；2）設(shè) AB與橢圓 C的另一個交點(diǎn)為 D ，當(dāng)VAOB的面積最小時，求 OD 的長答案】（ 1）見解析； （2） 103解析】（1）分斜率為 0，斜率不存在，斜率不為 0三種情況討論

32、， 設(shè)OA的方程為 y kx，可求解得到 |OA|2 2 2k2 ，1 2k2|OB|2 2 2k2，可得 O到 AB的距離為 1，即得證；2）表示 VAOB 的面積為 S1 2 2k2|OA| |OB| ，利用均值不等式，2 2 1 2k2即得解 .詳解】1）由題意，橢圓 C 的焦點(diǎn)在x 軸上，且 b c 1 ，所以 a 2 2 所以橢圓 C的方程為 x2 y2 1由點(diǎn) B在直線 y 2上，且 OA OB知OA的斜率必定存在，當(dāng)OA的斜率為 0時， |OA| 2，|OB|于是 |AB| 2，O到 AB的距離為 1，直線AB 與圓 x2 y2 1 相切當(dāng) OA 的斜率不為 0 時，設(shè) OA 的

33、方程為 y2x 2 2 kx ，與 x y2 1 聯(lián)立得 1 2k2，從而 |OA|2 2 2k21 2k2所以 x2A 1 22k2， y2A 12k2k2而OB OA，故 OB的方程為 x ky，而 B在 y 2上，故 x2k，從而|OB |2 2 2k2，于是 |OA|2 |OB|2此時， O到 AB 的距離為 1，直線 AB 與圓 x2綜上，直線 AB 與圓 x2 y2 1相切2)由( 1)知， VAOB 的面積為21 2 2k2 1 1 2k2 S 2|OA| |OB | 2 22 2 1 2k2 2 1 2k 211相切112k21 2k2 1，上式中，當(dāng)且僅當(dāng) k 0 等號成立，

34、所以 VAOB 面積的最小值為 1此時，點(diǎn) A在橢圓的長軸端點(diǎn)， B為(0, 2) 不妨設(shè) A 為長軸左端點(diǎn)，則直線 AB 的方程為 y x 2 ，代入橢圓 C 的方程解得 yD，D3即 yD2 8 ， xD2 2 ，所以 |OD | 10 9 9 3【點(diǎn)睛】 本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷，面積的最值問題，考查 了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題 .21已知函數(shù) f(x) ex xlnx ax， f (x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù) f (x)在 x x0處 取得最小值( 1)求證： ln x0 x0 0 ；a 的取值范圍答案】( 1)見解析； (2) 1 e,

35、).解析】( 1)對 f(x) 求導(dǎo)，令 g(x)ln x a 1 ，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存在 1 t0 1 使得 g2t0 0 ，即 et01t00 ，即得證；12)分x0 a10， 1 x0x01 0 兩種情況討論，1當(dāng)x0x0轉(zhuǎn)化 f (x)minx01 x02 x0a 利用均值不等式即得證；x0當(dāng) x1 x0x02)若 xx0 時， f ( x)1恒成立，求e，f ( x)有兩個不同的零點(diǎn) x1， x2 ，分析可得 f (x)的最小值為 f x2 ，分 a 1 a 1 e 討論即得解 .【詳解】( 1)由題意 f (x) ex ln x a 1 令 g(x) ex ln x a 1

36、，則 g (x) 因?yàn)?g (1) e 1 0 ， g 1 e21所以，存在 1 t0 1 使得 g t0 02所以，當(dāng) x 0,t0 時 g (x) g t0 當(dāng) x t0,時 g(x) g t0 0，1ex 1 ，知 g (x)為 (0, )的增函數(shù)， x2 0 ，1即 et0 1 0 t00， g(x) 為減函數(shù)，g(x) 為增函數(shù)，故當(dāng) x t0時， g( x)取得最小值，也就是 f (x) 取得最小值x 1 x 1故 x0 t0 ，于是有 e0 ，即 e，x0x0所以有 ln x0 x0 0 ，證畢2)由( 1)知，f (x) ex ln11 的最小值為x0x0當(dāng)x0x010 ，即

37、a1x0所以f (x)minx0x0e 0x0由( 1)x0x0 ln x0x0a2 x0x0 1x0x0x0x0時， f(x) 為 x0,12 x0 x0x0a ，的增函數(shù)，中 12x01，得x0x01，即 f(x)1故 a1x0 當(dāng) 1 x0x0x0x0時， f (x) 有兩個不同的零點(diǎn) x1， x2 ，且 x1x0x2 ，即 f x2e2ln x2 a 10alnx2e2若xx0,x2時f (x) fx20，f (x) 為減函數(shù)，()若xx2,時 f (x) fx20，f (x) 為增函數(shù)，所以 f (x) 的最小值為 f x2注意到f (1)e a 1 時，a1 e ，且此時 f (1

38、) ea10，()當(dāng)a1e 時， f (1)ea10 fx2 ，所以 0x2,1，即 1 x2 0又 f x2ex2x2 ln x2 ax2ex2x2 ln x2ln x2 ex2 1x21x2ex21 1 ，而 ex210，所以 1 x2ex211 1 ，即f x2 1 由于在1x01下，恒有1x0e，所以1e11x02x0x01，x21 x2 e 2 x2)當(dāng)a1 e 時，f (1) e10x2 ，所以 x2 1x0，所以由()知1,x2時， f (x) 為減函數(shù)，所以 f (x)f (1)ea1 ，不滿足 xx0 時，f (x)1 恒成立，故舍去故 1 e, a1x0滿足條件x0綜上所述：a 的取值范圍是1 e, ) x cos ,以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸 y sin .C3 :6(0)上，且 VAOB為正三角形點(diǎn)睛】 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問題， 考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題 22在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為（1）求點(diǎn) A， B 的極坐