(完整word版)高中數(shù)學(xué)排列組合題型歸納總結(jié)(2),推薦文檔

1、5排列組合1. 分類計數(shù)原理 （加法原理 ）完成一件事，有 n 類辦法，在第 1 類辦法中有 m1種不同的方法，在第 2 類辦法中有 m2種不同的 方法， ，在第 n 類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有： N m1 m2 L mn 種 不同的方法2. 分步計數(shù)原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成 n個步驟，做第 1步有m1種不同的方法，做第 2步有m2種不同的方法， 做第 n 步有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： N m1 m2 L mn 種不同的方法3. 分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別 分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。 分步計數(shù)原理各步相

2、互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件一. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1、.由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù) .解: 由分步計數(shù)原理得 C14C31A43 288練習(xí)題： 7種不同的花種在排成一列的花盆里 ,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里， 問有多少不同的種法？二. 相鄰元素捆綁策略例 2 、 7 人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰 , 共有多少種不同的排法 . 解： A55 A22A22 480要求某幾個元素必須排在一起的問題 ,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素 合并為一個元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時要注

3、意合并元素內(nèi)部也必須排列 .練習(xí)題：某人射擊 8 槍，命中 4 槍，4 槍命中恰好有 3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20三. 不相鄰問題插空策略解 A55A46例 3.、一個晚會的節(jié)目有 4個舞蹈,2個相聲,3 個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場 ,則節(jié)目的出場順序 有多少種？元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單， 開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩 個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四. 定序問題倍縮空位插入策略例 4. 、 7 人排隊 , 其中甲乙丙 3 人順序一定

4、共有多少不同的排法解:（倍縮法 ）對于某幾個元素順序一定的排列問題 ,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列 ,然 后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù)是： A77/ A33 （空位法 ）設(shè)想有 7 把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 A74種方法，其余的三個位置甲乙丙 共有 1種坐法，則共有 A47 種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎 ?插入法 ）先排甲乙丙三個人 ,共有 1 種排法 ,再把其余 4四人依次插入共有方法定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 空模型處理練習(xí)題: 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人,要求從左至右身高逐漸增加， 共有多少排法？

5、 C150五. 重排問題求冪策略例 5. 、把 6 名實習(xí)生分配到 7 個車間實習(xí) , 共有多少種不同的分法允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個元素的位置，一般地 n不同的元素沒有限制地安排在 m 個位置上的排列數(shù)為 mn種練習(xí)題：1某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩個節(jié) 目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 422.某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人,他們到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 78所以固定一人 A44 并從此位置把六. 環(huán)排問題線排策略 例 6. 、 8 人圍桌而坐 , 共有多少

6、種坐法 ? 解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于， 坐成圓形沒有首尾之分，圓形展成直線其余 7 人共有( 8-1)！種排法即 7 ！CDAA B C D E F G H A一般地,n個不同元素作圓形排列 ,共有(n-1)!種排法.如果從 n個不同元素中取出 m 個元素 作圓形排列共有 1 Anmn練習(xí)題： 6 顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七. 多排問題直排策略 例7.、8人排成前后兩排 ,每排 4人,其中甲乙在前排 ,丙在后排,共有多少排法解:,則共有 A42 A14A55種練習(xí)題：有兩排座位，前排 11個座位，后排 12個座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3 個座 位不能坐，并

7、且這 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346八. 排列組合混合問題先選后排策略例 8.、有 5 個不同的小球 , 裝入 4 個不同的盒內(nèi) ,每盒至少裝一個球 ,共有多少不同的裝法 . C52A44練習(xí)題：一個班有 6 名戰(zhàn)士 ,其中正副班長各 1 人現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務(wù) ,每人完成一種 任務(wù),且正副班長有且只有 1 人參加,則不同的選法有 192 種九. 小集團問題先整體后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾 1,在兩個奇數(shù)之間 ,這樣的五位 數(shù)有多少個？解：共有 A22A22A22 種排法. 1524 3練習(xí)題：、計劃展出

8、10 幅不同的畫 ,其中 1 幅水彩畫 ,幅油畫 ,幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為A 22A55A442、 5男生和女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女生也相鄰的排法有 A22A55A55種十.元素相同問題隔板策略,有多少種分配方案？例 10. 、有 10 個運動員名額，分給 7 個班，每班至少一個一班二班三班四班五班六班七班將 n個相同的元素分成 m份（ n，m為正整數(shù)） ,每份至少一個元素 ,可以用 m-1塊隔板，插 入 n 個元素排成一排的 n-1 個空隙中，所有分法數(shù)為 Cnm11練習(xí)題： 1、10 個相同的球裝 5

9、 個盒中 ,每盒至少一有多少裝法？2 、 x y z w 100 求 這 個 方 程 組 的 自 然 數(shù) 解 的 組 數(shù) C1303十一.正難則反總體淘汰策略例 11.、從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于 10 的偶數(shù) ,不同的 取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很困難 ,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有 5個偶 數(shù) 5 個奇數(shù) ,所取的三個數(shù)含有 3個偶數(shù)的取法有 C53 ,只含有 1個偶數(shù)的取法有 C51C52 ,和為偶數(shù) 的取法共有 C51C52 C53。再淘汰和小于 10 的偶數(shù)共 9種，符合條件的取法共有 C51C52

10、C53 9 有些排列組合問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡捷 ,可以先求出它的 反面 ,再從整體中淘汰 .練習(xí)題：我們班里有 43 位同學(xué),從中任抽 5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 ?十二.平均分組問題除法策略例 12. 、 6本不同的書平均分成3 堆 , 每 堆 2 本 共 有 多 少 分 法 ？C62C42C22/ A33 。平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 Ann（n 為均分 的組數(shù) ）避免重復(fù)計數(shù)。練習(xí)題：1 、 將 13 個 球 隊 分 成 3 組組 5 個 隊 ,其 它 兩組 4 個 隊 , 有

11、 多少 分 法？2、 10名學(xué)生分成 3組,其中一組 4 人, 另兩組 3人但正副班長不能分在同一組 ,有多少種不同的分 組方法？ （1540）3、某校高二年級共有六個班級， 現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4 名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安 排 2 名 ， 則 不 同 的 安 排 方 案 有 多 少 （ C42 C22 A 62/ A22 90 ） 十三 . 合理分類與分步策略例 13. 、在一次演唱會上共 10 名演員 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人會跳舞 , 現(xiàn)要演出一個 2 人唱歌 2 人 伴舞的節(jié)目 ,有多少選派方法解： 10演員中有 5人只會唱歌， 2人只會跳舞 3人為全能演員。選上

12、唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進行研 究只會唱的 5人中沒有人選上唱歌人員共有 C32C32種,只會唱的 5人中只有 1 人選上唱歌人員C15C31C42種,只會唱的 5 人中只有 2 人選上唱歌人員有 C52C52 種，由分類計數(shù)原理共有C32CC51C31C42C52C52種解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的 始終。練習(xí)題：1、.從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個座談會，若這 4 人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 342、3成人 2小孩乘船游玩 ,1號船最多乘

13、3人, 2號船最多乘 2人,3號船只能乘 1人,他們?nèi)芜x 2只 船或 3只船,但小孩不能單獨乘一只船 , 這 3人共有多少乘船方法 . （27）十四.構(gòu)造模型策略例 14.、 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈 ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞 ,但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3盞,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在 6 盞亮燈的 5 個空隙中插入 3 個不亮的燈有 C53 種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝 盒模型等，可使問題直觀解決練習(xí)題：某排共有 10 個座位，若 4 人

14、就坐，每人左右兩邊都有空位， 那么不同的坐法有多少種？ （120）十五.實際操作窮舉策略例 15.、設(shè)有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2,3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5 個球投入這五個盒子內(nèi) ,要 求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法解：從 5個球中取出 2個與盒子對號有 C52種還剩下 3球 3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法， 如果剩下 3,4,5號球, 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則4,5號球有只有 1種裝法，同理 3號 球裝 5號盒時,4,5號球有也只有 1 種裝法,由分步計數(shù)原理有 2C52種對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題， 不

15、易用公式進行運算， 往往利用窮舉法或畫出樹狀圖 會收到意想不到的結(jié)果,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀練習(xí)題： 1.同一寢室 4 人 ,每人寫一張賀年卡集中起來 年卡不同的分配方式有多少種？ （9）2.給圖中區(qū)域涂色 ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則不同的著色方法有 72種549十六 . 分解與合成策略例 16.、 30030 能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235 7 1113，依題意可知偶因數(shù) 必先取 2,再從其余 5 個因數(shù)中任取若干個組成乘積， 所有的偶因數(shù)為： C51 C52 C53 C54 C55十八.數(shù)字

16、排序問題查字典策略例 18、由 0，1，2，3，4，5 六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比 324105大的數(shù)？ 解:N 2A55 2A44 A33 A22 A11 297數(shù)字排序問題可用查字典法 , 查字典的法應(yīng)從高位向低位查 , 依次求出其符合要求的個數(shù) 根據(jù)分類計數(shù) 原理求出其總數(shù)。練習(xí):用 0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù) ,將這些數(shù)字從小到大排列起來 ,第 71 個數(shù) 是 3140排列組合易錯題正誤解析例1 從 6臺原裝計算機和 5臺組裝計算機中任意選取 5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺 則不同的取法有種.例 2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有 （ ）種 .（A） A 43（B） 43（C）34（D） C43例 3 有大小形狀相同的 3 個紅色小球和 5 個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 例 4 5 本不同的書全部分給 4 個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480 種 例 5 某交通崗共有 同的排法共有（B）240 種（C）120種（D）96種2 天，其不例6A)5040B）1260(C)210D)630C72C52A332，3，（B） 如