2020年北京市朝陽區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)

1、北京市朝陽區(qū)高三年級高考練習(xí)二數(shù)學(xué)2020.6(考試時間120分鐘 滿分150分)本試卷分為選擇題(共40分)和非選琛題(共IlO分)兩部分考土務(wù)必袴答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1) 在復(fù)平血內(nèi)，復(fù)數(shù)i(l÷i)對應(yīng)的點位于(A) 第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2) 函數(shù)/(x) = 的定義域為(A) (0,÷oc)(B) (0,l)(l,+oo)(C) 0,+x>)(D) 0,l

2、)U(l,+)(3) 若d, b、CGR且>b>c,則下列不等式一定成立的是(A) ac1 > bc2(B) a2 >b2 > Ci(C) a-c>2b(D) a-c>b-c(4) 圓心在直線X y = 0±且與y軸相切于點(0, 1)的圓的方程是(A) (x-l)2+(J-I)2 =1(B) (x + l)2+(y + l)2=l(C) (x-l)2+(-I)2 =2(D) (x÷1)2+(j1)2=2(5) M線/過拋物線V2 = Ix的焦點F,與該拋物線交于不同的兩點J(Xll), B(x2ty2).若xl+x2=3,則弦/1

3、的長是(A) 4(B) 5(C) 6(D) 8(6) 設(shè)等差數(shù)列q的公差為d,若=2fl-,則“dvO”是“ »為遞減數(shù)列”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(7) 己知函數(shù)/(x)= sin(2-),則下列四個結(jié)論中止確的是6(A) 函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(詈,0)中心對稱(B) 函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=-對稱8(C) 函數(shù)/(x)在區(qū)間(-.)內(nèi)冇4個零點(D) 函數(shù)/(x)在區(qū)間-,0±單調(diào)遞增(8) 圭表(如圖1)是我國古代一種通過測最正午H影長度來推定節(jié)氣的天文儀器.它包括一根直工的標 竿(稱為“表”)

4、和一把呈南北方向水半同定擺放的與標竿乖直的長尺(稱為“玉”)當止午太陽照 射在表上時，口影便會投於在圭面上，圭面上口影長度最長的那天定為冬至，口影長度最短的那 天定為夏至.圖2是-個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，己知北京冬至正午太陽高度角(即 ZABC)為26.5“，夏至正午太陽高度角(即ZJDC)為73.5“，定面上冬至線與夏至線之間的距離 (即DB的長)為,則表高(即/C的長)為(C)(第8題圖)sin53°2sin47p2si470sin5atan26.5Xan735,tan 47°(D)Qsin265 sin73,5°sin47 廠(9) 在平行四

5、邊形ABCD中，ZJ = -, AB = I. 3AD = .若M , N分別是邊BC, CQ上的點且-=則麗麗的最大債為(A) 2(B) 4(C) 5(D) 6(10) 設(shè)函數(shù))的定義域為D,如果對任½X1D,都存在唯一的x2eD,使得/(齊)+ /(忑)=川(加為 /(x) = tanx .常數(shù))成立，那么稱函數(shù)/(x)在Z)上具有性質(zhì)屮*現(xiàn)有函數(shù):/(x) = 3x; /(x) = 3x; f(x) = IOg) X:英中，在梵定義域匕具冇性質(zhì)屮,的函數(shù)的用號是(A)®(B) (D®(C)(D) ®第二部分(Ihiaff題共110分)二、填空題共5

6、小題，每小題5分，共25分。(11) 已知平而向 = (w3), = (1.6),若a / h 則加=.(12) 在( + -)6的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)X(13) 某四棱錐的三視團如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊K為1那么該四棱錐的體積為(14) 已知雙曲線Q的焦點為存(0,2).巧(0,-2),實軸長為2則雙曲線Q的離心率是:若點Q是雙曲線C的漸近線上一點，且斥0丄F2Qf則AQ仟竹的面積為.C -C(15) 顆粒物過濾效率是衡量口鍛防護效果的-個重要抬標，計算公式為UIo0%,其中CtHW 匕OH表示單位體積壞境大氣中含有的顆粒物數(shù)量(單位：ind.L), Chl表示經(jīng)Il

7、就過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量(單位：ind.L).某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了 4次測試，測試結(jié)果如圖所示.圖中點4/的橫坐標表示第,種口罩第J次測試時C(M的值,縱坐標表示第f種口罩第丿次測試時Cjn的值(21,2,八1,2,3,4).QindA) 44GindI.)(第15題圖)該研究小組得到以下結(jié)論：1在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高；2在第2種口罩的4次測試屮，第3次測試時的顆粒物過濾效率;(3在每次測試中，第I種口罩的顆粒物過滋效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高：1存第3次和第4次測試中.第I種罩的顆柿

8、物過濾效率都比第2種罩的顆知物過濾效率低.其中，所育正確結(jié)論的序號足.注：本題給出的結(jié)論中，有多個軒合題目要求.全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫岀文字說明，演算步驟或證明過程。(16) (本小題14分)已知陽是公差為“的等差數(shù)列，其前項和為S”，5=l, 若存在正整數(shù)，使得S”冇最小值.(I )求,的通項公式：(II)求®的最小值.從=Td = 2d = -2這三個條件中選擇符合題恿的-個條件，補充在上血問題中并作答 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(17) (本小題14分)如圖.在五而體 ABCDEF 中.而 A

9、BCDSL正方形 AD DE , AD 4 , DE=EF= 2 RBEDC=匹.3(I )求證：AD 平面CD£尸：(II )求直線BD與平面/DE所成角的正弦值：(11【)設(shè)M是CF的中點，棱M3上是否存在點G, 使得MG/ f面/1DE?若存在，求線段/G 的長；若不在，說明理由(18) (本小題14分)近年來，隨著5G網(wǎng)絡(luò)、人工智能等技術(shù)的發(fā)展，無人駕駛技術(shù)也l趨成熟.為了盡快在實際生活中 應(yīng)用無人駕駛技術(shù)，國內(nèi)各大汽車研發(fā)企業(yè)都在枳極進行無人駕駛汽車的道路安全行駛測試.某機構(gòu)調(diào)杳 了部分企業(yè)參與測試的若干輛無人駕駛汽車，按照每輛車的行駛里程(單位：萬公里)將這些汽車分為4組

10、: 5,6)6,7), 7,8), 8,9并撤理得到如下的頻率分布直方圖:(I) 求4的值；(II該機構(gòu)用分層抽樣的方法，從上述4組無人駕駛汽車中隨機抽取了 10輛作為樣本.從樣本中行駛里 程不小于7萬公里的無人駕駛汽午中隨機抽取2輛，其中有X輛汽午行駛里程不小于8萬公里,求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望：(In)設(shè)該機構(gòu)調(diào)查的所有無人駕駛汽乍的行駛里程的平均數(shù)為角.若用分層抽樣的方法從上述4組無人 翹駛汽乍中隨機抽取io輛作為樣本，梵行駛Fn程的平均數(shù)為M ：若用簡單隨機抽樣的方法從上述無 人駕駛汽車中隨機抽取10輛作為樣木，其行駛里程的平均數(shù)為“2有同學(xué)認為|如-HlV-叢|, 你認為正確嗎？說明

11、理Itb(19) (木小題14分己知橢圓C： 4÷ = I(>>0)的離心率為返，11橢圓C經(jīng)過點(1,).X b22(I )求橢惻C的方程；(II) 己知I過點P(4,0)的直線/與橢圓C交于不同的兩點/B ,與直線X = I交于點0,設(shè)lP = PB,AQ = QB (2, R),求證： + 為定值(20) (本小題15分)已知函數(shù) f(x) = 2SinX-XCOSX-ox (GWR).(I )若曲線J = /(-V)在點(0,/(0)處的切線的斜率為1.(i )求的值：(H)證明：函數(shù)/(力在區(qū)間(0,町內(nèi)有P隹一極值點：(Il)當l 時，證明：對任意xe(0,)

12、t /(X)>0.(21) (本小題14分)設(shè)集合 A-ava2,a3,a4 » 其中坷，a2 , 3, 4 是止整數(shù) id SA =1 +a2 +3 +a4.對于 q, , J (l<j4),若存在整數(shù)八滿足k(a,a I) = SA ,則稱+勺整除比，設(shè)心是滿足,+y除/ 的數(shù)對(dj) (/<./)的個數(shù).(I) 若 J = 1,2,4,8, B = l,5,7,Hb 寫出你，勺的值;(II) 求心的最大值;(HI)設(shè)/中最小的元素為求使得心取到最大值時的所有集合2020. 6北京市朝陽區(qū)高三年級高考練習(xí)二數(shù)學(xué)參考簽案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題(共1

13、0小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項)(I) B(2) B(3) D(4) A(5) A(6) C(7) C(8) D(9) C(10) A第二部分(非選擇題共110分)二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)(II) 丄(12 15(13) 122(14) 2； 23(15)三、解答題(共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程)(16)(本小題14分)解：(不可以選擇作為補充條件.)選擇作為補充條件.解答如下：(I )因為, = , =-I ,所以d = .所以 z = l÷(w-5)×l = -4(wN*)

14、.4 分(Il )由(I )可知 q =-3.所以 5ju=In(W_7b2 2伏!為”wN，所以當/7 = 3或4時.S,取得最小值.最小值為-6.故存在正整數(shù)心3或4,使得SII有最小值，鍛小值為-6.14分選擇作為補充條件.解答如下：(I )因為勺i，d = 2、所以=1 + (" - 5)X 2 = 2" - 9 ( w N°).4 分(II)由(I )可知耳=一7 .所以S” = W")=宀8”.所以當” =4時，S”取得最小值，最小值為一 16.故存在正整數(shù)" = 4使得51冇最小值.最小優(yōu)為-16.14分(17)(本小題14分)：

15、 ( I)因為ABCD是正方形所以AD CD.乂因為 AD DE9 DEl 平面 CQEF,CDi 平面Cz)EF CDl DE= D.所 以 肋平 而CDEF4分(Il ) f ( 1 )知 AD A 平而 CDEF、所以平面ABCD'平面CDEF.過點E作EO" CD、垂足為O, 則平而ABCD .在平面ABCD內(nèi)，過O作OH CD, 則 OE' OH.因為/D =：4, DE=EF = 2,且 DEDC= P 所以 DO= , OE= 3 .如圖建立空間宜角坐標系O-砂則 4(4,一 Im 3(4,3,0), C(0,3,0), D(Or 1,0), E(OA

16、3) >UUaUlAIL UuI所以 AD (-4.0,0), AE (-4J.3), BD (-4,-4,0).設(shè)平面ADE的一個法向量為/f = (XJQ) Suuirn WD= 0,Ullr存維=0.I- 4x= 0,I- 4x+ y+ 3= 0.令 y-y/3 則 x = 0» Z = -I,于是 H = (0,3,- 1).設(shè)直線BD與平面ADE所成角為則 Sing= cos<IlLIrt>=I=-45I"IIBZ)I It 424所以宜線BD與平面ADE所成角的正弦值為心.IO4分(In)棱肋上存在點G,使得MG平面ADE ,此時AG= 3.理

17、由如下：因為 DCIfAB , DCE 平 ABFE , /仍 t 平面 ABFE 所以DC/平面ABFE 因為 DCI 平Iai DCFE, YlftI DCFE I YIfil ABFE = EF 所以DCHEF.M(OUlnr§則MG= (4P-由(H)知,F(0t2,3), 設(shè) G(4j,0)(- 1»3),UUUL若MG平面 ADE.則 MGW= O 由(1【)知.平面ADE的 個法向量為=(0,3,- 1).即 3(y1- |)+ y = 解得 X= 2,即 G(4.2.0).經(jīng)驗證此時MG平面ADE.14分所以棱初上存在點G,使得MG/平而ADE,此時JG=

18、3.(18) (本小題14分)解：(I )由題意知，1x(0+ 0.2 + 0.4 + ) = I 所以(7 = 03.3 分(II) 4組無人駕駛汽車的數(shù)雖比為1:2:4:3,若便用分層抽樣抽収IO輛汽車，則行駛里程在7,8)這一組的無人駕駛汽車冇10× = 4輛，行駛里稈在&9這一組的無人駕駛汽車有IOX = 3輛.由題意可知，X的所冇可能取值為0，1, 2.CI 2r,Cl 4C2 1P(%=O)=7,P( = I)= ¢=7*-V=2)=g- = y.所以X的分布列為X012P241777所以X的數(shù)學(xué)期望r()=o××2×y=.

19、H分(In)這種說法不正確.理由如下：由于樣本具有隨機性，故“，X是隨機變雖，受抽樣結(jié)果影響.因此有可能“I史按近從，也有可能“史接近“)，所以1從-“ IVlM)- I不也成立.所以這種說法不正確14分(19) (本小題14分)a2b2+c29(«)2解：(I)IIJ題意可知丄= 得圧=2, a2=4.X IrC 2 _ 2，5分所以fffiac的方程為+2=.42(II)由題意可知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=k(x-4).y = k(x-4),X = LIIlf I C 得 所以Q(-3k).X-I = Oy = -3.由 K= k2 2 得 X + 2(AX - A

20、k)2 = 4 X + Iy =4整理得( + 2k2)x2-6k2x + (32X-4) = 0.由 A = (16嚴F _4(l + 2FX32f 4)0,得一逅斤6設(shè)S：線/與橢圓C的交點A(XnyI), B(XQ2)，高二數(shù)于試卷 第11頁(共14頁)則 J1+A =k21 + 2F32疋一4"1 + 2JIr因為 APPB. AQ = QB 且喬= (4-x,-y), PB = (X2-43y2).j = (-ArP-3Ar-yl)f QB(x2-.y2+3k)9所以兄 +4_斗 + 1 _斗=(4一兒)(5 - 1) +(I-XI)( -4)x?4 X2 1(x2 X2

21、O(x2-4x2-1)W5(xi÷x2)-2xix2-8 = 5× 16 -2×32A 4-Sl+2k 1+2/80" 一64+8-8-16F=:=0 .1 + 2"所14分(20) (本小題15分) 解：(I )( i )因為/(x) = 2SinX-XCOSX-Or ,所以/'(x) = 2cOSX-(CoSX-XSinX)- = COSX+ xsinx- 因為曲線V = /(x)點(OJ(O)處的切線的斜率為1.4分所以/'(0) = 1,即l- = l, = 0.經(jīng)檢鯊符合題意.(ii)由(i )可)ilW = 2sin

22、x-XCOSX t 廠(X) = CoSx + xsinx.設(shè) g(x) = ft(x),則 g9(x) = XCOSX .令g,(x) = O ,又Xe(O,),得"專.當x(0,)時，g'(x)>0：當x(y,)時，g'(x)v, 所以g()(0=)內(nèi)單調(diào)遞增，任內(nèi)單凋遞減.2 2又 g(0) = , g(*)=號，g() = -1,因此，當x(0,時，g(.r)>g(O)>O,即ffM > 0 ,此時/在區(qū)間(0,扌上無極值當x(,)時，g(x) = 0冇唯一解勺，BPfx) = 0冇唯一解X。，Jl易知當XE(Xo)時，(X)>O

23、,當(x0,)時，/'(X)VO, 故此時/在區(qū)間(訐)內(nèi)有唯一極大值點綜上可知，函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,兀)內(nèi)有唯一極值點.IO(II )因為 f'(x) = COSX + XSinx-a ,設(shè)h(x) Jf(X),則 (x) = xcosx.令 r(x) = Ot 又 (0,),得JI 當 X W(O 白時，r(x) > 0 :當 ()時，/f () < 0 ,2 2 2所以廠(對在(0上)內(nèi)單調(diào)遞堆，在(£“)內(nèi)單調(diào)遞減2 2當 Sl 時 AO) = I-0, H-) = -u>0, f() = -l-.2 2(1) 當 /,() = -l-0,即 -l 時，fx) 0 .此時函數(shù)/(X)在(0,x)內(nèi)單調(diào)遞增,/«>/(0) = 0.(2) 當 /,() = -l-<0,即一IVaWlR 寸，H(0)-l-0 , *(i) = -fl>0,所以，在(0,彳)內(nèi)f,(x)0恒成立,而在區(qū)間(%覧)內(nèi)廣有H只有一個零點,記為和則函數(shù)/(X)在(0,K)內(nèi)單調(diào)遞增,在(Xm內(nèi)單調(diào)遞減.又因為/(0) = 0f /() = (l-)0t 所以此時/(x