高中數(shù)學(xué)選修部分之不等式選講

1、選修4_5 不等式選講課 題：第01課時 不等式的基本性質(zhì)目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。列子湯問中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也

2、起著相當重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢? 二、

3、不等式的基本性質(zhì)：1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質(zhì)：、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對稱性)、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d即a>b， c>d a+c>b+d、如果

4、a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)。三、典型例題：例1、已知a>b，c<d，求證：a-c>b-d例2已知a>b>0，c<0，求證：。四、練習(xí)：五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第02課時 含有絕對值的不等式的解法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的

5、不等式。關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的意義.請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。 在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即。2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型。 設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是 ，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（a，a），如圖所示。 圖1-1 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。第二種類

6、型。 設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是 或它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間的并集。如圖1-2所示。 圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。二、典型例題：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分域討論方法2：依題意，或，（為什么可以這么解？）例3、解不等式。例4、解不等式。解 本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點x到1，2的距離的和大于等于5。因為1，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（51）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說，或例5、不等式 &

7、gt;，對一切實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍。三、小結(jié)：四、練習(xí)：解不等式1、 2、3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第02課時 含有絕對值的不等式的證明目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1） （2）（3） （4）請同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？實際上，性質(zhì)和可以從正負數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明對于任意實數(shù)都

8、成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。現(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題：設(shè)為實數(shù)，和哪個大？顯然，當且僅當時等號成立（即在時，等號成立。在時，等號不成立）。同樣，當且僅當時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用、及絕對值的和的性質(zhì)。二、典型例題：例1、證明 （1）， （2）。證明（1）如果那么所以如果那么所以 （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有，就是，。 所以，。例2、證明 。例3、證明 。思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？（設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b，c，則線段當且僅當C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）

9、探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式的幾何解釋？含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來證明。例4、已知 ，求證 證明 （1）， （2）由（1），（2）得：例5、已知 求證：。證明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、已知求證：。2、已知求證：。五、作業(yè)：鏈接：不等式的圖形借助圖形的直觀性來研究不等式的問題，是學(xué)習(xí)不等式的一個重要方法，特別是利用絕對值和絕對值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式，往往能使問題變得直觀明了，幫助我們迅

10、速而準確地尋找到問題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問題時，能否準確地把握不等式的圖形，從而有效地解決問題。我們再來通過幾個具體問題體會不等式圖形的作用。1解不等式。題意即是在數(shù)軸上找出到與的距離之和不大于到點的距離的所有流動點。首先在數(shù)軸上找到點，（如圖）。 -1 0 1 2 3從圖上判斷，在與之間的一切點顯示都合乎要求。事實上，這種點到與的距離和正好是1，而到的距離是?，F(xiàn)在讓流動點由點向左移動，這樣它到點的距離變，而到點與的距離增大，顯然，合乎要求的點只能是介于與之間的某一個點。由可得再讓流動點由點向右移動，雖然這種點到與的距離的和及到的距離和都在增加，但兩相比較，到與的距離的和增加的要快。所以，

11、要使這種點合乎要求，也只能流動到某一點而止。由可得從而不等式的解為2畫出不等式的圖形，并指出其解的范圍。先考慮不等式在平面直角坐標系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價于： ，.其圖形是由第一象限中直線下方的點所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式的圖形是以原點O為中心，四個等點分別在坐標軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究：利用不等式的圖形解不等式 1. ; 2 A組1解下列不等式：（1） （2） 1（3） （4） 2解不等式： （1） （2）3解不等式： （1） （2）4利用絕對值的幾何意義，解決問題：要使不等式<有解，要滿足什么條件？5已知 求證：（1）；

12、（2）6已知 求證： 7已知 求證： B組*8求證 *9已知 求證：10若為任意實數(shù)，為正數(shù)，求證： （，而）選修4_5 不等式選講課 題：第03課時 指數(shù)不等式的解法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：二、典型例題：例1、解不等式解：原不等式可化為： 底數(shù)2>1 整理得：解之，不等式的解集為x|-3<x<2例2、解不等式。解：原不等式可化為：即： 解之： 或x>2或 不等式的解集為x|x>2或例3、解不等式： (當a>1時 當0<a<1時)例4、解不等式： (-1<x<3)三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講

13、課 題：第04課時 對數(shù)不等式的解法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：二、典型例題：例1、解不等式。解：原不等式等價于 或 解之得：4<x5原不等式的解集為x|4<x5例2、解關(guān)于x的不等式： 解：原不等式可化為當a>1時有 （其實中間一個不等式可省）當0<a<1時有當a>1時不等式的解集為；當0<a<1時不等式的解集為。例3、解關(guān)于x 的不等式。解：原不等式等價于： 或 ：解： 解： 當a>1時有0<x<a 當0<a<1時有x>a原不等式的解集為x|0<x<a, a>1或x|x&g

14、t;a, 0<a<1例4、解不等式。解：兩邊取以a為底的對數(shù)：當0<a<1時原不等式化為： 當a>1時原不等式化為： 原不等式的解集為 或三、小結(jié)：四、練習(xí)：解下列不等式 1 (-2<x<1或4<x<7)2當，求不等式： (a<x<1)3，求證： 4 (-1<x<0)5時解關(guān)于x的不等式 (；)五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第05課時 無理不等式的解法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：1、無理不等式的類型：、二、典型例題：例1、解不等式解：根式有意義 必須有： 又有 原不等式可化為 兩邊平方得：

15、解之：例2、解不等式解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集： ：解： 解：原不等式的解集為例3、解不等式解：原不等式等價于特別提醒注意：取等號的情況例4、解不等式解 ：要使不等式有意義必須：原不等式可變形為 因為兩邊均為非負 即x+10 不等式的解為2x+10 即 例5、 解不等式例6、解不等式解：定義域 x-10 x1原不等式可化為：兩邊立方并整理得：在此條件下兩邊再平方, 整理得：解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為三、小結(jié)：四、練習(xí)：解下列不等式1 2 3 ()s4 5 五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第06課時 含有參數(shù)不等式的解法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入

16、：二、典型例題：例1、解關(guān)于x的不等式 解：原不等式等價于 即： 若a>1 ，若0<a<1 。例2、解關(guān)于x的不等式 解：原不等式可化為即：s當m>1時 當m=1時 xÎ當0<m<1時 當m0時 x<0例3、解關(guān)于x的不等式 解：原不等式等價于 當即時 當即時 x¹-6當即時 xÎR。例4、解關(guān)于x的不等式 解：當即qÎ(0,)時 x>2或x<1當即q=時 xÎ當即qÎ(,)時 1<x<2例5、滿足的x的集合為A；滿足的x的集合為B。 1° 、若AÌ

17、B 求a的取值范圍 2° 、若AÊB 求a的取值范圍 3° 、若AB為僅含一個元素的集合，求a的值。解：A=1,2 B=x|(x-a)(x-1)0 當a1時 B=a,1 當a>1時 B=1,a當a>2時 AÌB當1a2時 AÊB當a1時 AB僅含一個元素例6、方程有相異兩實根，求a的取值范圍。解：原不等式可化為，令： 則設(shè) 又a>0三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：1 2 若 求a的取值范圍 (a1)3 4 5當a在什么范圍內(nèi)方程：有兩個不同的負根 6若方程的兩根都對于2，求實數(shù)m的范圍。 選修4_5 不等式選講課 題：第07課時

18、 不等式的證明方法之一：比較法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：例1、設(shè)，求證：。例2、若實數(shù)，求證：證明：采用差值比較法： = = = =討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè) 故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。例4、甲、乙兩人同時同地

19、沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題，只要比較的大小就可以了。解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據(jù)題意有，可得，從而，其中都是正數(shù)，且。于是，即。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論：如果，甲、乙兩人誰先到達指定地點？例5、設(shè)求證；對任意實數(shù)，恒有 （1）證明 考慮（1）式兩邊的差。 （2）即（1）成立。三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：1比較下面

20、各題中兩個代數(shù)式值的大?。海?）與；（2）與.2已知 求證：（1） （2）3若，求證4比較a4-b4與4a3(a-b)的大小解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)= (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (當且僅當db時取等號) a4-b44a3(a-b)。5比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小6已知x0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小7如果x>0，比較與的大小8已

21、知a0，比較與的大小9設(shè)x1，比較x3與x2-x+1的大小說明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。閱讀材料：琴生不等式例5中的不等式有著重要的數(shù)學(xué)背景，它與高等數(shù)學(xué)中的一類凸函數(shù)有著密切的關(guān)系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年給出了一個定義：設(shè)函數(shù)的定義域為a,b，如果對于a,b內(nèi)任意兩數(shù)，都有 （1）則稱為a,b上的凸函數(shù)。若把（1）式的不等號反向，則稱這樣的為a,b上的凹函數(shù)。凸函數(shù)的幾何意義是：過曲線上任意兩點作弦，則弦的中點必在該曲線的上方或在曲線上。其推廣形式是：若函數(shù)的是a,b上的凸函數(shù)，則對a,b內(nèi)的任

22、意數(shù)，都有 （2） 當且僅當時等號成立。一般稱（2）式為琴生不等式。 更為一般的情況是：設(shè)是定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)，如果對于a,b上的任意兩點，有其中，則稱是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有則稱是a,b上的凹函數(shù)。其推廣形式 ，設(shè)，是a,b上的凸函數(shù)，則對任意有，當且僅當時等號成立。若是凹函數(shù)，則上述不等式反向。該不等式稱為琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式應(yīng)用于一些具體的函數(shù)，可以推出許多著名不等式。選修4_5 不等式選講課 題：第08課時 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等

23、式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學(xué)習(xí)，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。以前得到的結(jié)論，可以作為證明的根據(jù)。特別的，是常常要用到的一個重要不等式。二、典型例題：例1、都是正數(shù)。求證：證明：由重要不等式可得本例

24、的證明是綜合法。例2、設(shè)，求證證法一 分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。證法二 綜合法 注意到，即，由上式即得， 從而成立。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且求證： （1）證法一 要證（1），只需證 （2）要證（2），只需證 （3）要證（3），只需證 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因為 是正數(shù)，所以 兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得（1）。讀一讀：如果用或表示命題P可以推出命題Q（命題Q可以由命題P推出），那

25、么采用分析法的證法一就是 （1）而采用綜合法的證法二就是 如果命題P可以推出命題Q，命題Q也可以推出命題P，即同時有，那么我們就說命題P與命題Q等價，并記為在例2中，由于都是正數(shù)，實際上 例4、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為，則周長為的圓的半徑為，截面積為；周長為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。證明：設(shè)截面的周長為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。為了證明上式成立，只需證明。兩邊同乘以正數(shù)，

26、得：。因此，只需證明。上式顯然成立，所以 。這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：。證法一 因為 （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）兩邊同時除以2即得（1）。證法二 因為所以（1）成立。例6、證明： （1）證明 （1） （2）（3） （4） （5）（5）顯然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號在什么時候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式 著手。證明： = = 由于都是正數(shù)，所以而，可知 即（等號在時成立）探究：如果將不等式中的分別用來代替，并在兩邊同除以3，會得到怎樣的

27、不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： ，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、小結(jié)：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上（或減去）一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、練習(xí)：1、已知求證：2、已知求證3、已知求證4、已知求證：（1）（2） 5、已知都是正數(shù)。求證：（1） （2）6、已知都是互不相等的正數(shù)，求證五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第09課時 不等式的證明方法之三：反證法目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：前面所

28、講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步 分清

29、欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知，求證：（且）例1、設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而 因為，所以，這與題設(shè)條件矛盾，所以，原不等式成立。例2、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于.證明：假設(shè)都小于，則 （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有 （2） （1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法

30、進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例3、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘：

31、 (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設(shè)a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、利用反證法證明：若

32、已知a，b，m都是正數(shù)，并且，則 2、設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同時大于13、若x, y > 0，且x + y >2，則和中至少有一個小于2。提示：反設(shè)2，2 x, y > 0，可得x + y 2 與x + y >2矛盾。五、作業(yè)：選修4_5 不等式選講課 題：第10課時 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得

33、到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若是自然數(shù)，求證證明： = =注意：實際上，我們在證明的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 例3、若a, b, c, dÎR+，求證：證：記m = a, b, c, dÎR+ 1 < m < 2 即原式成立。例4、當 n > 2 時，求證：證：n > 2 n > 2時, 三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、設(shè)為大于1的自然

34、數(shù)，求證2、設(shè)為自然數(shù)，求證五、作業(yè)：A組1、對于任何實數(shù)，求證：（1）；（2）2、設(shè)，求證：（1）；（2）3、證明不等式.4、若都是正數(shù)，求證：5、若 求證 6、如果同號，且均不為0. 求證：，并指出等號成立的條件.7、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：8、已知三個正數(shù)的和是1，求證這三個正數(shù)的倒數(shù)的和必不小于9.9、若，則.10、設(shè)，且求證：11、已知，求證：（1）；（2）.12、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：13、已知都是正數(shù)，求證： （1）（2）14、已知求證： 15、已知求證：16、已知都是正數(shù)，且有 求證：17、已知都是正數(shù)，且，求證：18、設(shè)的三條邊為求證.19、已知都是正數(shù)，設(shè) 求證：20

35、、設(shè)是自然數(shù)，利用放縮法證明不等式21、若是大于1的自然數(shù)，試證B組22、已知都是正數(shù)，且求證：23、設(shè)，試用反證法證明不能介于與之間。24、若是自然數(shù)，求證鏈接：放縮法與貝努利不等式在用放縮法證明不等式時，有時需要“舍掉幾個正項”以便達到目的。就是說，如果在和式里都是正數(shù)，可以舍掉，從而得到一個明顯成立的不等式.例如，對于任何和任何正整數(shù)，由牛頓二項式定理可得 舍掉等式右邊第三項及其以后的各項，可以得到不等式： .在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性。該不等式不僅當是正整數(shù)的時候成立，而且當是任何大于1的有理數(shù)的時候也成立。這就是著名的貝努利不等式。在今后的學(xué)習(xí)中，

36、可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設(shè)，則在或時，在時，閱讀材料：貝努利家族小史在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，17-18世紀出現(xiàn)了一個著名的數(shù)學(xué)世家貝努利（Bernoulli）家族（瑞士），這個家族中的三代人中共出現(xiàn)了8位數(shù)學(xué)家，它們幾乎對當時數(shù)學(xué)的各個分支都做出了杰出的貢獻。其中，又以第一代的雅各布貝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、約翰貝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼爾貝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，約翰貝努利的兒子）最為著名。在數(shù)學(xué)的多個分支中，以“貝努利”命名的定義、

37、定理、公式數(shù)不勝數(shù)。除了我們前面提到的“貝努利不等式”之外，將來會有機會學(xué)習(xí)到微積分中的“貝努利方程”、“貝努利級數(shù)判別法”，解析幾何中的“貝努利雙紐線”，概率論中的“貝努利定理”（即“大數(shù)定律”的早期形式）、“貝努利數(shù)”、“貝努利多項式”等等。特別是，丹尼爾貝努利創(chuàng)造性地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到物理學(xué)的研究中，取得了卓著的成就，被推崇為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人。貝努利家族之所以取得如此大的數(shù)學(xué)成就，至少有以下幾個方面的主要原因：（1）對數(shù)學(xué)的真摯熱愛?？疾熵惻易宓?位數(shù)學(xué)家，可以發(fā)現(xiàn)一個共同的特點：都是從父輩不同意他們研究數(shù)學(xué)，而要求他們經(jīng)商、從醫(yī)或做律師開始，到最終走上從事數(shù)學(xué)的生涯。這一過程中，

38、個人對數(shù)學(xué)的極大熱情和興趣起到了決定性的作用。當然，家族的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和學(xué)習(xí)精神的影響也是不容忽視的重要因素。（2）廣泛的學(xué)術(shù)交流。貝努利家族的成員們，都注重與當時的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家進行廣泛的學(xué)術(shù)交流和爭辯，以此互相促進和提高。如雅各布貝努利、約翰貝努利與他們那個時代的大數(shù)學(xué)家、微積分的創(chuàng)始人萊布尼茨之間，丹尼爾貝努利與當時歐洲數(shù)學(xué)界的中心人物歐拉的頻繁通信交流成為數(shù)學(xué)史上的美談。（3）繼承基礎(chǔ)上的大膽創(chuàng)新。在繼承已有數(shù)學(xué)研究成果的基礎(chǔ)上大膽開拓、創(chuàng)新，是貝努利家族成員從事研究的又一個共同特點。貝努利家族的主要成員正處于數(shù)學(xué)思想方法的兩次大轉(zhuǎn)變時期：一是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折；二是從確定性數(shù)學(xué)到

39、可能性數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折。他們不僅善于接納新思想、新方法，更是進行了大膽地改進、突破，取得了許多開創(chuàng)性的成就。親愛的同學(xué)們，你能從貝努利家族的成功中得到哪些啟示呢？選修4_5 不等式選講課 題：第11課時 幾個著名的不等式之一：柯西不等式目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：除了前面已經(jīng)介紹的貝努利不等式外，本節(jié)還將討論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。這些不等式不僅形式優(yōu)美、應(yīng)用廣泛，而且也是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實數(shù)，則， 其中等號當且僅當時成立。證明：幾何意義：設(shè)，為平面上以原點O為起點的兩個非零向量，它們的終點

40、分別為A（），B（），那么它們的數(shù)量積為，而，所以柯西不等式的幾何意義就是：，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個向量，則，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。3、定理3：（三角形不等式）設(shè)為任意實數(shù)，則：分析：思考：三角形不等式中等號成立的條件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推廣形式）：設(shè)為大于1的自然數(shù)，（1，2，）為任意實數(shù)，則：，其中等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，）。證明：構(gòu)造二次函數(shù)： 即構(gòu)造了一個二次函數(shù)：由于對任意實數(shù)，恒成立，則其，即：，即：，等號當且僅當，

41、即等號當且僅當時成立（當時，約定，1，2，）。如果（）全為0，結(jié)論顯然成立?？挛鞑坏仁接袃蓚€很好的變式：變式1 設(shè) ，等號成立當且僅當變式2 設(shè)ai，bi同號且不為0（i=1，2，n），則：，等號成立當且僅當。二、典型例題：例1、已知，求證：。例2、設(shè)，求證：。例3、設(shè)為平面上的向量，則。例4、已知均為正數(shù)，且，求證：。方法1：方法2：（應(yīng)用柯西不等式）例5：已知，為實數(shù)，求證：。分析：推論：在個實數(shù)，的和為定值為S時，它們的平方和不小于，當且僅當時，平方和取最小值。三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、設(shè)x1，x2，xn >0, 則 2、設(shè)（i=1，2，n）且 求證: 3、設(shè)a為實常數(shù),試求函數(shù) (

42、xR)的最大值 4、求函數(shù)在上的最大值,其中a，b為正常數(shù)五、作業(yè)：1、已知：，,證明：。提示：本題可用三角換元、柯西不等式等方法來證明。2、若 ，且=，= ，求證： 都是不大于的非負實數(shù)。證明：由 代入=可得 0 即 化簡可得 ： 同理可得：， 由此可見，在平常的解題中，一些證明定理、公理、不等式的方法都可以為我們所用；只要能靈活運用，就能收到事半功倍的效果。3、設(shè)ab為不相等的正數(shù)，試證：(ab)(a3b3)(a2b2)2。4、設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=10，求的最小值。5、設(shè)x，y，zÎR，求的最大值。6、ABC之三邊長為4，5，6，P為三角形內(nèi)部一點P，P到三邊的距

43、離分別為x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。解：s=DABC面積=且DABC=DPAB+DPBC+DPACÞÞ4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2³(x2+y2+z2)(42+52+62)Þ³(x2+y2+z2)´77Þx2+y2+z2³7、設(shè)三個正實數(shù)a,b,c滿足，求證： a，b，c一定是某三角形的三邊長。8、求證個正實數(shù)a1，a2，an滿足9、已知,且求證: 。10、設(shè),求證: 。11、設(shè),且x+2y+3z=36,求的最小值選修4_5 不等式選講課 題：第12課時 幾個著名的不等式之二：排

44、序不等式目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入：1、問題：若某網(wǎng)吧的3臺電腦同時出現(xiàn)了故障，對其維修分別需要45min，25 min和30 min，每臺電腦耽誤1 min，網(wǎng)吧就會損失0.05元。在只能逐臺維修的條件下，按怎么樣的順序維修，才能使經(jīng)濟損失降到最??？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地，設(shè)有兩組數(shù)：，我們考察這兩組數(shù)兩兩對應(yīng)之積的和，利用排列組合的知識，我們知道共有6個不同的和數(shù)，它們是：對 應(yīng) 關(guān) 系和備 注（，）（，）同序和（，）（，）亂序和（，）（， ）亂序和（，）（， ，）亂序和（，）（，）亂序和（，）（， ）反序和根據(jù)上面的猜想，在這6個不同的和數(shù)中，應(yīng)有結(jié)論

45、：同序和最大，反序和最小。2、對引例的驗證：對 應(yīng) 關(guān) 系和備 注（1，2，3）（25，30，45）同序和（1，2，3）（25，45，30）亂序和（1，2，3）（30，25，45）亂序和（1，2，3）（30，45，25）亂序和（1，2，3）（45，25，30）亂序和（1，2，3）（45，30，25）反序和3、類似的問題：5個人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個人的水桶需要的時間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘。那么如何安排這5個人接水的順序，才能使他們等待的總時間最少？分析：4、排序不等式的一般情形：一般地，設(shè)有兩組實數(shù)：，與，且它們滿足：，若，是，的任意一個排列，則

46、和數(shù)在，與，同序時最大，反序時最小，即：，等號當且僅當或時成立。分析：用逐步調(diào)整法三、典型例題：例1、已知為正數(shù)，求證：。例2、設(shè)，為正數(shù)，求證：。四、小結(jié)：五、練習(xí)：六、作業(yè)：1、求證：。2、在ABC中，ha , hb ,hc 為邊長a,b,c上的高，求證：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc 3、若a>0,b>0，則4、在ABC中，求證：（IMO）5、若a1，a2，an 為兩兩不等的正整數(shù)，求證：6、若x1，x2，xn0，x1+x2+xn，則選修4_5 不等式選講課 題：第13課時 幾個著名的不等式之三：平均不等式目的要求： 重點難點： 教學(xué)過程：一、引入： 1、定理1：如果，那么（當且僅當時取“=”） 證明： 1指出定理適用范圍：強調(diào)取“=”的條件。2、定理2：如果是正數(shù)，那么（當且僅當時取“=”） 證明： 即： 當且僅當時 注意：1這個定理適用的范圍：； 2語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3、定理3：如果，那么（當且僅當時取“=”） 證明： 上式0 從而指出：這里 就不能保證。 推論：如果，那么。（當且僅當時取“=”） 證明： 4、算術(shù)幾何平均不等式：如果 則：叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)；基本不等式： （） 這個結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述