學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)

1、同步精練第七講因數(shù)與倍數(shù)（公因數(shù)和公倍數(shù)（二）【知識(shí)概述】這一講我們主要介紹最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之間的關(guān)系。定理一：兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)，即： 如果（a, b） =d,那么（a+d,bd）=1o定理二：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的乘 積。即a, bX （a, b） =aXbo定理三：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。例題精學(xué)例1兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4.最小公倍數(shù)是252,其中一個(gè)數(shù)是28,另一個(gè)數(shù)是多少一.4A【思路點(diǎn)撥】設(shè)一個(gè)數(shù)為A,得短除式如下：顯然，7和a互質(zhì)，否則4就不是最大公因數(shù)，那么252=4X7Xa,a=9, A=4

2、X9=36O另夕卜，我們可以根據(jù)定理：a, b X （a, b） =a X b。求得4 X 252+28=36。1 .某數(shù)與24的最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是168,這個(gè)數(shù)是多少2 .甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是6,最小公倍數(shù)是90,且小數(shù)不能整除 大數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)。3 .四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)為6435,這四個(gè)奇數(shù)中最大的一個(gè)為 多少例2兩個(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大公因數(shù)是5,求這兩個(gè)數(shù)的 差?！舅悸伏c(diǎn)撥】若(A, B) =d,可以假設(shè)A=ad, B=bd,那么a和b互質(zhì)， 即(a,b)=1。在本題中，由于已知兩數(shù)的最大公因數(shù)為5,故可設(shè)一 個(gè)數(shù)為5a,另一個(gè)數(shù)為5b, (a, b)=1o

3、又因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的和為50, 這樣可以得到5a+5b=50, 5 (a+b)=50, a+b=10o根據(jù)a與b互質(zhì)， 我們不難得到a=1,b=9或a=3,b=7。這樣可以求出這兩個(gè)數(shù)是5X3=15 和5X7=35或5X1=5或5X9=45。它們的差也就好求了。1 .兩個(gè)自然數(shù)的和是56,它們的最大公因數(shù)是7,求這兩個(gè)數(shù)。2 .已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766,它們的最大公因數(shù)是31,求這兩個(gè) 數(shù)。3 .兩個(gè)數(shù)的和是70,它們的最大公因數(shù)是7,求這兩個(gè)數(shù)的差是多少。例3兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)為21,最小公倍數(shù)為126,求這兩個(gè)數(shù)的 和?！舅悸伏c(diǎn)撥】已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,要 求這

4、兩個(gè)數(shù)，可以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等 于這兩個(gè)數(shù)的乘積”先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再把這個(gè)積分解成兩個(gè) 數(shù)。再求兩個(gè)數(shù)的和。設(shè)這兩個(gè)數(shù)為A和B,根據(jù)題意：21 I-T-B-（a與b互質(zhì)） aXb=12621=6=1 X 6=2X3a=2A=21X2 明=2.26=147b=3B=21 X S a+B=42+63=1 05b=6B=21X6=izo同步精練1 .兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是7,最小公倍數(shù)是210,這兩個(gè)數(shù)的和 是77。求這兩個(gè)數(shù)。2 .兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12,最小公倍數(shù)是72,這兩個(gè)數(shù)的和是多 少3 .兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是18,最小公倍數(shù)是180,兩個(gè)數(shù)的差是54,

5、如果 m=2 ,那么 a+b=27 , a X b=58。58=1 X 58=2 X 29 ,且求這兩個(gè)數(shù)的和。例4兩個(gè)自然數(shù)的和是54,它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是 114,求這兩個(gè)自然數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】設(shè)兩個(gè)自然數(shù)為A, B,且人8。mB m是兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù),a與b互質(zhì)。根據(jù)條件可得:aXbXm-m=114,a X m+b X m=54o 化簡(jiǎn)后 得(ab-1) Xm=4m是14和54的公因數(shù)。(a+b) Xm=54(114,54) =6o因?yàn)?的因數(shù)有1, 2, 3, 6,所以m可能是1, 2,3,6o 如果 m=1,那么 a+b=54, aXb=115o115=1X115=5X

6、23,且 1+115=11654, 5+23=2854,所以 m 不可能是1o1+58=59/27, 2+29=31/27,所以加不可能是 2。如果 m=3,那么 a+b=18, aXb=390 39=1 X39=3X13, JL 1+39=40/18, 3+13=16-18,所以m不可能是3。如果 m=6,那么 a+b=9, aXb=20o 20=4X5,且4+5=9,所以 m=6。那么 A=6X4=24, B=6X5=30o同步精練1 .兩個(gè)數(shù)的差是4,最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是252,求這兩個(gè) 數(shù)。2 .兩個(gè)數(shù)的差是30,它們最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是450,求這 兩個(gè)數(shù)。3 .兩個(gè)

7、自然數(shù)的差是2,它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之和是86, 求這兩個(gè)數(shù)。練習(xí)卷1 .兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是60,最小公倍數(shù)是720,其中一個(gè)數(shù)是180, 另一個(gè)數(shù)是多少2 .兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是15,最小公倍數(shù)是180,其中一個(gè)數(shù)是 45,求這兩個(gè)自然數(shù)的差。3 .已知兩個(gè)自然數(shù)的和為165,它們的最大公因數(shù)是15,求這兩個(gè)數(shù)。4 .已知兩個(gè)自然數(shù)的積為240,最小公倍數(shù)為60,求這兩個(gè)數(shù)。5 .兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6,最小公倍數(shù)是144,求這兩個(gè)數(shù)。6 .兩個(gè)不同自然數(shù)的和是60,它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和 也是60,滿足條件的自然數(shù)共有多少組7 .兩個(gè)自然數(shù)的和是60,它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和是84, 求這兩個(gè)數(shù)。8 .已知a與b, a與c的最大公因數(shù)分別是12和15, a, b, c的最小 公倍數(shù)是1