一元二次方程根的分布

1、如對(duì)你有幫助，請(qǐng)購(gòu)買下載打賞，謝謝!一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用。函數(shù)與方程思想：若y=f(x)與x軸有交點(diǎn)x：=f(x0)=0若y=f(X)與y=g(X)有交點(diǎn)(Xo，y)：=f (x)=g(x)有解Xo。下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次方程實(shí)根分布的充要條件及其運(yùn)用。一.一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就

2、是指這個(gè)二次方 程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)。、2設(shè)一元二次方程ax bx c = 0(a = 0)的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且x1x2。2.: = b 4ac _0b，X x =一 0acX1X20a【定理 1】xi 0，X20(兩個(gè)正根)= b24ac _ 0a 0f(0) =c 0b：0上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到?！纠?1】若一元二次方程(m-1)x2 2(m T)x-m = 0有兩個(gè)正根，求推論：x-i0，x2 0 =2A =b _4acA0或a 0f (0) =c : 0m的取值范分析：依題意有 =4(m +1)2+4m(m -1) Z02(m +

3、1)0m 1-m小0m -10m1。【定理2】x1: 0，x2:：:推論：x1: 0，x2:0二由二次函數(shù)圖象易知它的正確性?！纠?2】若一元二次方程的取值范圍。(k0f(0) =c 0 b .0X1x2：kx23kx-3=0的兩根都是負(fù)數(shù)，或 k3)5c【定理 3】x1- 0：x20a【例 3】k在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程kx2 3kx k - 3 =0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根?分析：依題意有k -3k0k0-Ak2a【定理；= b2_ 4ac _ 00。-；k2a【定理推論 1Xixi: k :X2:0 : X2 =af(k) : 0。ac：0。a（a b c）: 0?！径ɡ?4】有且僅有k

4、i：Xi（或X2）: k2 =推論 2Xi:1： ： ：X2：=f (ki)f (k2) 0f(pi)0f(P2)：0此定理可直接由定理 4推出，請(qǐng)讀者自證。:0【定理 6】ki:Xi乞X2: k2uf(ki)0f(k2)02 : k22aki：-三、例題與練習(xí)2【例 5】已知方程X-iix m-2 =0的兩實(shí)根都大于）若一元二次方程（m：-2或m 5 2、6） 若一元二次方程(2)(3)可能;f(kj：0f(k2)： ：0ki，衛(wèi)2ai，求m的取值范圍。（i2 *m.竺）4求mx2-（m i）x 3 = 0的兩個(gè)實(shí)根都大于mx2-（m i）x 0的兩實(shí)根都小于（m：-1或m 5 2 6）2【

5、例 6】已知方程x22mx 2 m2-3 = 0有一根大于/ . 2 , . 0,f(1)0, -0,0：-m : 11-若方程4(m-3)伯走呈y卜寅幼；提示：令2x=t轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根。答案： om122.若關(guān)于x的方程lg( x 20 x) -lg(8x -6a -3) = 0有唯一的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x：-20或x 0 x212x 6a 3 =2令f (x)=x+12x+6a+311(1)若拋物線y=f (x)與x軸相切，有 =144 4(6a+3)=0 即a= 21111將a= 代入式有x=- 6 不滿足式，a工 。22(2)若拋物線y=f (x)

6、與x軸相交，注意到其對(duì)稱軸為x=-6,故交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)有且僅有一個(gè)滿足式的充要條件是f(20)0解得止。f (0) :：062163 *1(5)若方程x亠(k -2)x2k -1=0的兩根中，一根在 o 和 1 之間，另一根在(6)已知關(guān)于x的方程(m _1)x2_2mx m2 m _6 = 0的兩根為:-、(.3 :m： ： ：_ 7 或 2 :m：. 7)【例 7】已知關(guān)于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+仁 0.如對(duì)你有幫助，請(qǐng)購(gòu)買下載打賞，謝謝！1 , 223且滿足0: 1：，求m的取值范圍。1 和 2 之間，求k的取值范圍。(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一 1, 0)內(nèi)，另

7、一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1 )內(nèi)，求 m 的范圍.本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義m 的范圍.技巧與方法： 設(shè)岀二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)， 可畫岀相應(yīng)的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制 解：(1)條件說明拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1與 x 軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1 , 0)和(1, 2)內(nèi)，畫出示意圖，得f (0)=2m+10,_f (1) =4m 2：0,=f (2) = 6m 5 01m 2m R,1m _651m :62二gm1212,_1. 2 或 m E1 - . 2,(這里 0-nr1 是因?yàn)閷?duì)稱軸x=-m應(yīng)在區(qū)間(0， 1)內(nèi)通過)m一 1：m：0.(2)據(jù)拋物線與 x 軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組 2X2+20 xA0提示：原方程等價(jià)于g即x220 x =8x -6a -32二當(dāng)a時(shí)原方程有唯一解。6 2另法：原方程等價(jià)于x+20 x=8x- 6a-3(x0) 問題轉(zhuǎn)化為：求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使直線y=8x- 6a- 3 與拋物線2y