解直角三角形培優(yōu)專練

1、解直角三角形培優(yōu)專練一選擇題（共5小題）1數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A、B的距離，他們設(shè)計(jì)了如圖所示的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再從E沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點(diǎn)，其中3位同學(xué)分別測得三組數(shù)據(jù)：AC，ACB；EF、DE、AD；CD，ACB，ADB其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A、B兩樹距離的有（）A0組B一組C二組D三組2如圖，ABC中，A=30°，AC=，則AB的長為（）ABC5D3一個(gè)三角形的邊長分別為a，a，b，另一個(gè)三角形的邊長分別為b，b，a，其中ab，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，的值等于（）ABCD4如圖，在矩形ABCD中，D

2、EAC于E，AOB：AOD=1：2，且BD=12，則DE的長度是（）A3B6C6D35如圖，已知燈塔M方圓一定范圍內(nèi)有鐳射輔助信號(hào)，一艘輪船在海上從南向北方向以一定的速度勻速航行，輪船在A處測得燈塔M在北偏東30°方向，行駛1小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)剛好進(jìn)入燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)，測得燈塔M在北偏東45°方向，則輪船通過燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)的時(shí)間為（）A（1）小時(shí)B（+1）小時(shí)C2小時(shí)D小時(shí)二填空題（共5小題）6如圖，為了測量河的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45°，測得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A、B、C在同一條直線上），

3、則河的寬度AB約為m（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）7如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為海里（取，結(jié)果精確到0.1海里）8在RtABC中，C=90°，BD是ABC的角平分線，將BCD沿著直線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是9如圖ABC中，C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC

4、于D，連接BD，若cosBDC=，則BC的長為10在RtABC中，C=90度若sinA=，則sinB=三解答題（共5小題）11釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少（結(jié)果保留根號(hào)）12如圖，將含30°角的直角三角板ABC（A=30°）繞其直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0°

5、;90°），得到RtABC，AC與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAB交CB于點(diǎn)E，連接BE易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，BDE為直角三角形設(shè)BC=1，AD=x，BDE的面積為S（1）當(dāng)=30°時(shí)，求x的值（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑作E，當(dāng)S=時(shí)，判斷E與AC的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tan值13如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖，天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：，若新坡角下需留3米的人行道，問離原坡面點(diǎn)A處10米的建筑物EF是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：1.

6、414，1.732 ）14已知：如圖，在RtABC中，C=90°，ABC=45°，D是BC上的點(diǎn)，BD=10ADC=60°求AC（1.73，結(jié)果保留整數(shù)）15在ABC中，B是銳角，AD是BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，BC=14，AD=12，sinB是方程10x23x4=0的一個(gè)根（1）求線段CD的長；（2）求tanEDC的值參考答案與試題解析一選擇題（共5小題）1（2015江西校級(jí)模擬）數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測量被池塘相隔的兩棵樹A、B的距離，他們設(shè)計(jì)了如圖所示的測量方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E，再從E沿著垂直于AE的方向走到F，C為AE上一點(diǎn)，其中

7、3位同學(xué)分別測得三組數(shù)據(jù)：AC，ACB；EF、DE、AD；CD，ACB，ADB其中能根據(jù)所測數(shù)據(jù)求得A、B兩樹距離的有（）A0組B一組C二組D三組【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；相似三角形的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題；壓軸題【分析】根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可所以借助于（1）（3），根據(jù)AB=即可解答【解答】解：此題比較綜合，要多方面考慮，第組中，因?yàn)橹繟CB和AC的長，所以可利用ACB的正切來求AB的長；第組中可利用ACB和ADB的正切求出AB；第組中設(shè)AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；因?yàn)橐阎狢D，ACB，ADB，可求出x，然后得出AB故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查

8、解直角三角形的應(yīng)用，解答道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實(shí)際問題抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出2（2013攀枝花模擬）如圖，ABC中，A=30°，AC=，則AB的長為（）ABC5D【考點(diǎn)】解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】作CDAB于D，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形根據(jù)銳角三角函數(shù)求得CD、AD的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求得BD的長，從而求得AB的長【解答】解：作CDAB于D在直角三角形ACD中，A=30°，AC=，CD=，AD=3在直角三角形BCD中，BD=2AB=AD+BD=5故選C【點(diǎn)評(píng)】巧妙構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求解3（

9、2012余姚市校級(jí)自主招生）一個(gè)三角形的邊長分別為a，a，b，另一個(gè)三角形的邊長分別為b，b，a，其中ab，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，的值等于（）ABCD【考點(diǎn)】解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】根據(jù)余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等關(guān)系，解方程即可【解答】解：余弦定理：a，a，b中最小內(nèi)角為邊b所對(duì)，cosx=b，b，a中最小內(nèi)角為邊b所對(duì)，cosy=x=y，=解方程得：=故選B【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是根據(jù)余弦定理，利用兩三角形中有一個(gè)等角，建立等式，解方程求值4（2012深圳校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，DEAC于E，AOB：AOD=1：2，且BD=12，則DE的長度是

10、（）A3B6C6D3【考點(diǎn)】解直角三角形；矩形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】由已知條件可分析得出COD=60°，OD=6解直角三角形ODE即可得出DE的長度【解答】解：在矩形ABCD中AOB：AOD=1：2，且BD=12COD=60°，OD=6DEACDE=ODsin60°=3故選D【點(diǎn)評(píng)】考查了矩形的性質(zhì)以及解直角三角形的簡單應(yīng)用5（2013武漢模擬）如圖，已知燈塔M方圓一定范圍內(nèi)有鐳射輔助信號(hào)，一艘輪船在海上從南向北方向以一定的速度勻速航行，輪船在A處測得燈塔M在北偏東30°方向，行駛1小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)剛好進(jìn)入燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)，測得

11、燈塔M在北偏東45°方向，則輪船通過燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)的時(shí)間為（）A（1）小時(shí)B（+1）小時(shí)C2小時(shí)D小時(shí)【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】連接MC，過M點(diǎn)作MDAC于D根據(jù)三角函數(shù)的定義，在RtADM中可得AD=MD，在RtBDM中可得BD=MD，根據(jù)垂徑定理可得BC=2MD，依此求出BC：AB的值即可求解【解答】解：連接MC，過M點(diǎn)作MDAC于D在RtADM中，MAD=30°，AD=MD，在RtBDM中，MBD=45°，BD=MD，BC=2MD，BC：AB=2MD：（1）MD=2：+1故輪船通過燈塔M的鐳射信號(hào)區(qū)的時(shí)間為

12、（+1）小時(shí)故選B【點(diǎn)評(píng)】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，本題關(guān)鍵是得到AD=MD，BC=2MD二填空題（共5小題）6（2013大連）如圖，為了測量河的寬度AB，測量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測得河岸B處的俯角為45°，測得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A、B、C在同一條直線上），則河的寬度AB約為15.3m（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】在RtACD中求出AC，在RtBCD中求出BC，繼而可得出AB【解答】解：在RtACD中，CD=21m，DAC=30°，則A

13、C=CD36.3m；在RtBCD中，DBC=45°，則BC=CD=21m，故AB=ACBC=15.3m故答案為：15.3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，理解俯角的定義，能利用三角函數(shù)表示線段的長度7（2013泰安）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為67.5海里（取，結(jié)果精確到0.1海里）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

14、菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】應(yīng)用題；壓軸題【分析】過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，設(shè)DE=x，在RtCDE中表示出CE，在RtBDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出關(guān)于x的方程，解出后即可計(jì)算AB的長度【解答】解：DBA=DAB=45°，DAB是等腰直角三角形，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，則DE=AB，設(shè)DE=x，則AB=2x，在RtCDE中，DCE=30°，則CE=DE=x，在RtBDE中，DAE=45°，則DE=BE=x，由題意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）故答案為：67.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本

15、題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長度，難度一般8（2013崇明縣一模）在RtABC中，C=90°，BD是ABC的角平分線，將BCD沿著直線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，如果AB=5，AC=4，那么sinADC1的值是【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】常規(guī)題型；壓軸題【分析】根據(jù)題意知：將BCD沿著直線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，C1點(diǎn)恰好在斜邊AB上，根據(jù)角之間的關(guān)系可知ADC1=ABC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可解答【解答】解：C=90°，BD是ABC的角平分線，將BCD沿著直線BD折疊，C1點(diǎn)恰好在斜邊AB上，

16、DC1A=90°，ADC1=ABC，AB=5，AC=4，sinADC1=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及翻折變換（折疊問題）解題時(shí)利用了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等9（2013大連模擬）如圖ABC中，C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若cosBDC=，則BC的長為4【考點(diǎn)】解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題；壓軸題【分析】由于cosBDC=，可設(shè)DC=3x，BD=5x，由于MN是線段AB的垂直平分線，故A

17、D=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可據(jù)此列方程解答【解答】解：cosBDC=，可設(shè)DC=3x，BD=5x，又MN是線段AB的垂直平分線，AD=DB=5x，又AC=8cm，3x+5x=8，解得，x=1，在RtBDC中，CD=3cm，DB=5cm，BC=4故答案為4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算要仔細(xì)10（2012宜賓縣校級(jí)模擬）在RtABC中，C=90度若sinA=，則sinB=【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值與直角三角形的性質(zhì)求出A，B的度數(shù)，再求解即可【解答】解：在RtA

18、BC中，C=90°，sinA=，A=45°=BsinB=【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是數(shù)記特殊角的三角函數(shù)值及直角三角形的性質(zhì)三解答題（共5小題）11（2013遂寧）釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】

19、壓軸題【分析】首先過點(diǎn)B作BDAC于D，由題意可知，BAC=45°，ABC=90°+15°=105°，則可求得ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案【解答】解：過點(diǎn)B作BDAC于D由題意可知，BAC=45°，ABC=90°+15°=105°，ACB=180°BACABC=30°，在RtABD中，BD=ABsinBAD=20×=10（海里），在RtBCD中，BC=20（海里）答：此時(shí)船C與船B的距離是20海里【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問題此題難度適中，注意能借助于方向角構(gòu)造直

20、角三角形，并利用解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵12（2013和平區(qū)二模）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（A=30°）繞其直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0°90°），得到RtABC，AC與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAB交CB于點(diǎn)E，連接BE易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，BDE為直角三角形設(shè)BC=1，AD=x，BDE的面積為S（1）當(dāng)=30°時(shí)，求x的值（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑作E，當(dāng)S=時(shí)，判斷E與AC的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tan值【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；勾股定理

21、；直線與圓的位置關(guān)系；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，A=30°，得出x=1；（2）由直角三角形的性質(zhì)，AB=2，AC=，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得ADCBCE，根據(jù)比例關(guān)系式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)S=時(shí)，求得x的值，判斷E和DE的長度大小，確定E與AC的位置關(guān)系，再求tan值【解答】解：（1）A=a=30°，又ACB=90°，ABC=BCD=60°AD=BD=BC=1x=1；（2）DBE=90°，ABC=60°，A=CBE=30°AC=BC

22、=，AB=2BC=2由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=AC，BC=BC，ACD=BCE，ADCBEC，=，BE=xBD=2x，s=×x（2x）=x2+x（0x2）（3）s=sABC+=，4x28x+3=0，當(dāng)x=時(shí)，BD=2=，BE=×=DE=DEAB，EDC=A=A=30°EC=DE=BE，此時(shí)E與AC相離過D作DFAC于F，則， （12分）當(dāng)時(shí)，此時(shí)E與A'C相交 同理可求出【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及直線與圓的位置關(guān)系的確定，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，難度大13（2013成都模擬）如圖是成都市某街道的一座人行天

23、橋的示意圖，天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°為了方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：，若新坡角下需留3米的人行道，問離原坡面點(diǎn)A處10米的建筑物EF是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732 ）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】由已知天橋的高是10米，坡面的傾斜角為45°，易求得AB的長；又由新坡面的坡度為1：，根據(jù)坡度的定義，可求得BD的長，從而求得AD的長，然后將AD+3與10進(jìn)行比較，若大于則需拆除，反之不用拆除【解答】解：根據(jù)題意得：CAB=45°，BC=10米AB=BC=10米i=1：，即：=，BD=10米，AD=10107.32（米），7.32+310答：離原坡角10米的建筑物需要拆除【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生坡度坡角問題此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是掌握坡度與坡角的定義，注意解直角三角形的應(yīng)用14（2012泉州校級(jí)自主招生）已知：如圖，在RtABC中，C=90°，ABC=45°，D是BC上的點(diǎn)，BD=10ADC=60°求AC（1.73，結(jié)果保留整數(shù)）【考點(diǎn)】解直角三角形