高三數(shù)學(xué)思想方法專題成都37中吳興國

1、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想教案知識梳理函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多.函數(shù)思想簡單，即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；它包括顯化、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、建立函數(shù)關(guān)系解題四個方面。 方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程、不等式或它們的混合組，通過解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問題獲解。包括待定系數(shù)法，換元法、轉(zhuǎn)換法和構(gòu)造方程法四個方面。函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切。解方程f(x)0

2、就是求函數(shù)yf(x)當(dāng)函數(shù)值為零時自變量x的值；求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點或交點個數(shù)；合參數(shù)的方程f(x, y, t)=0和參數(shù)方程更是具有函數(shù)因素，屬能隨參數(shù)的變化而變化的動態(tài)方程。它所研究的數(shù)學(xué)對象已經(jīng)不是一些孤立的點，而是具有某種共性的幾何曲線。正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫?；瘹w與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想 等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已

3、知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法。 轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與不等價轉(zhuǎn)化 等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的不等價轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實質(zhì)，需對所得結(jié)論進行必要的修正。應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是：化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉(zhuǎn)化，常見的轉(zhuǎn)化有 正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化。 1顯化函數(shù)關(guān)系 在方程、不等式、最值、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問題中，將原有隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來，從而使用函數(shù)知識或函數(shù)方法使問題獲解 【例1】在數(shù)列an中，a115，以后各項由

4、an+1an，求數(shù)列an的前n項和的最大值 分析：由題設(shè)易知數(shù)列an為等差數(shù)列，其通項的一個充要條件形式就是 n的一次函數(shù)，an= AnB，(A、BR）欲求前n項和Sn的最大值只需利用an的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為ano，an+10即可獲解解： an+1=an, d=an1an=, a1=15, an=15 (n1), ,解得（n N）,即n23故數(shù)列an的前23項的和最大點撥解疑：數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的特殊函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式都具有隱含的函數(shù)關(guān)系，都可以看成n的函數(shù)在解等差數(shù)列、等比數(shù)列問題中，有意識地凸現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系、從而用函數(shù)思想或函數(shù)方法研究、解決問題，不僅常能獲得簡便優(yōu)

5、秀的解法，且能促進科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維的水平【變式】設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為，已知。1、 求公差d的取值范圍； 2、指出S1、S2、S12中哪一個值最大，并說明理由?！痉治觥?問利用公式與建立不等式，容易求解d的范圍；問利用是n的二次函數(shù)，將中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時取最大值的函數(shù)最值問題?！窘狻?由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n1)d因為d<0，S是關(guān)于n的二次函數(shù)，對稱軸為。由<d<

6、3得6<<6.5，故正整數(shù)n6時S，所以S最大。注：本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大 2轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)系 在函數(shù)性態(tài)、曲線性質(zhì)或不等式的綜合問題、恒成立問題中逆求參數(shù)的取值范圍，按照原有的函數(shù)關(guān)系很難奏效時，靈活轉(zhuǎn)換思維角度，放棄題設(shè)的主參限制，挑選合適的主變元，揭示它與其它變元的函數(shù)關(guān)系，切人問題本質(zhì)，從而使原問題獲解【例2】(江西卷)若不等式x2ax10對于一切x(，成立，則a的最小值是(). . .

7、. 解析：與x2ax10在上恒成立相比，本題的難度有所增加.思路分析：. 分離變量，有a(x)，x(，恒成立.右端的最大值為，故選.2. 看成關(guān)于a的不等式，由f(0)0，且f()0可求得a的范圍.3. 設(shè)f(x)x2ax1，結(jié)合二次函數(shù)圖象，分對稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種情況進行討論.4. f(x)x21，g(x)ax，則結(jié)合圖形(象)知原問題等價于f()g()，即a.5. 利用選項，代入檢驗，不成立，而成立.故選.【變式】設(shè)不等式2x1>m(x1)對滿足|m|2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥?此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以

8、m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件?！窘狻繂栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1),則 解得x（,）3、構(gòu)造函數(shù)關(guān)系在數(shù)學(xué)各分支形形色色的數(shù)學(xué)問題或綜合題中，將非函數(shù)問題的條件或結(jié)論、通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造某些函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想和方法使原問題獲解，是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn)，構(gòu)造時，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類比、聯(lián)

9、想的因素，促進思維遷移【例3】如圖，已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC2，求點B到平面EFG的距離 分析：距離的概念常由最小值定義，故可設(shè)法將點B到平面的距離通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，建立一個二次函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值解決 解：連接EC、AC、BD、EF、FG，分別交AC于H、O，連CH因ABCD為正方形故BDAC，由已知易得BD與平面GEF內(nèi)的直線GH是異面直線，由此可將點B到平面GEF的距離轉(zhuǎn)化為兩異面直線BD、GH的距離，建立兩異面直線上任意兩點距離的一個二次函數(shù)關(guān)系式在GH上任取一點K，作KLAC，垂足為L，連結(jié)KO，設(shè)K

10、Lx，利用RtKLHRtGCH，可得LO2=, KO2=x2+=+,(其中0x2)，所以KO的最小值為，即點B到平面EFC的距離【變式】在中，O是中線AP上任意一點，若,則的最大值= 解：設(shè),則,當(dāng)時，取最大值為8，所以4 、構(gòu)造方程法分析題目中的未知量，根據(jù)條件布列關(guān)于未知數(shù)的方程（組），使原問題得到解決，叫構(gòu)造方程法，是應(yīng)用方程思想解決非方程問題的極富創(chuàng)造力的一個方面【例4】已知a,b,cR，a+b+c=0,a+bc-1=0，求a的取值范圍. 方法一 （方程思想）： 因為b+c=-a,bc=1-a，所以b,c是方程x2+ax+1-a=0的兩根，所以=a2- 4(1-a)0，即=a2+4a-

11、40, 解得或 法二：（函數(shù)思想）由已知 得b+c-bc+1=0,如果c=1，則b+1-b+1=0, 即2=0,不成立，因此c1,在，上遞減，在，上遞增。函數(shù)的圖象如圖所示. 所以， 或 所以a的范圍是 . 【變式】已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanA·tanC2，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角?！痉治觥恳阎艘粋€積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解?！窘狻?由A、B、C成等差數(shù)列，可得B60°；由ABC中tanAtanBtanCtanA·tanB·tanC，得tanAtanCtanB

12、(tanA·tanC1) (1)設(shè)tanA、tanC是方程x(3)x20的兩根，解得x1，x2設(shè)A<C，則tanA1，tanC2， A，C由此容易得到a8，b4，c44。點評：方法是運用方程的思想解題，這是解析幾何變幾何問題為代數(shù)問題的方法.方法運用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是相應(yīng)的變代數(shù)問題為幾何問題的方法.高考試題中設(shè)置一題多解的試題就是為了考查學(xué)生思維的深度和靈活運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力.評判出能力與素養(yǎng)上的差異. 5、函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用 在解綜合題中，解決一個問題常常不止需要一種數(shù)學(xué)思想，而是兩種數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)用例如函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)用它們間的相互

13、轉(zhuǎn)換一步步使問題獲得解決，轉(zhuǎn)換的途徑為函數(shù)十方程十函數(shù)，或方程十函數(shù)一方程 【例5】1、若拋物線 yx2十mx1和兩端點 A(0, 3)，B(3, 0)的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍 分析：先由方程思想將曲線的交點問題轉(zhuǎn)化的方程的解的問題再由方程有解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的實根分布問題，再通過解不等式（組）得到所求范圍解：線段AB的方程為=1 (0x3)代入yx2十mx1得x2(m+1)x+4=0, (0x3), 原命題等價于f(x)= x2(m+1)x+4在0, 3上有兩個不等的實數(shù)根，故應(yīng)有, 解得3<m, 故m的取值范圍是(3, .2、對任意實數(shù)k，直線：ykxb與橢圓： (0

14、2)恒有公共點，則b取值范圍是 .解析：方法，橢圓方程為，將直線方程ykxb代入橢圓方程并整理得 .由直線與橢圓恒有公共點得化簡得由題意知對任意實數(shù)k，該式恒成立，則12(b1)24(b1)20，即b.方法，已知橢圓與y軸交于兩點(，)，(，).對任意實數(shù)k，直線：ykxb與橢圓恒有公共點，則(，b)在橢圓內(nèi)(包括橢圓圓周)即有1，得1b3.【變式】(湖北卷)關(guān)于x的方程(x21)2|x21|k0，給出下列四個命題：存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根.其中假命題的個數(shù)是(

15、 ).A. 0B. C. D. 解析：本題是關(guān)于函數(shù)、方程解的選擇題，考查換元法及方程根的討論，屬一題多選型試題，要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力.思路分析：1. 根據(jù)題意可令x21t(t0)，則方程化為t2tk0，(*)作出函數(shù)tx21的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知當(dāng)t0或t1時，原方程有兩上不等的根，當(dāng)0t1時，原方程有4個根，當(dāng)t1時，原方程有3個根.(1)當(dāng)k2時，方程(*)有一個正根t2，相應(yīng)的原方程的解有2個；(2)當(dāng)k時，方程(*)有兩個相等正根t，相應(yīng)的原方程的解有4個；(3)當(dāng)k0時，此時方程(*)有兩個不等根t0或t1，故此時原方程有5個根；(4)當(dāng)0k時，方程(*)

16、有兩個不等正根，且此時方程(*)有兩正根且均小于1，故相應(yīng)的滿足方程|x21|t的解有8個，故選A.2. 由函數(shù)f(x)(x21)2|x21|的圖象(如下圖)及動直線g(x)k可得出答案為A.3. 設(shè)t|x21|(t0)，t2tk0，方程的判別式為14k，由k的取值依據(jù)0、0、0從而得出解的個數(shù).4. 設(shè)函數(shù)f(x)，利用數(shù)軸標(biāo)根法得出函數(shù)與x軸的交點個數(shù)為5個，以及函數(shù)的單調(diào)性大體上畫出函數(shù)的圖象，從而得出答案A. 答案：A6、常量與變量的轉(zhuǎn)化與化歸【例6】 設(shè)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若對任意a-1，1恒成立，求x的取值范圍解：因為f(x)是R上的增函數(shù)， 所以，a-1，1即轉(zhuǎn)化為：a(x

17、-1)+x2+10, 對a-1，1恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1.（轉(zhuǎn)化成a的函數(shù)） 則當(dāng)且僅當(dāng)時，原問題成立 解之，得x0或x-1. 即實數(shù)x的取值范圍是x-1或x0【變式】設(shè),若t在-2，2上變化時,恒取正值,求的取值范圍. 解 設(shè), 則f(t)是一次函數(shù)，當(dāng)t-2，2時，f(t)>0恒成立. 解得,即7、正難則反的轉(zhuǎn)化與化歸【例7】 已知三條拋物線：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸相交，求 實數(shù)a的取值范圍.解：先求反面：令y=0得滿足題意的a的取值范圍是【變式】某單位一輛交通車載有8個職工從單位出發(fā)送

18、他們下班回家，途中共有甲、乙、丙3個停車點，如果某停車點無人下車，那么該車在這個點就不停車，假設(shè)每個職工在每個停車點下車的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）該車在某停車點停車； （2）停車的次數(shù)不少于2次；解：將8個職工每一種下車的情況作為1個基本事件，那么共有38=6561（個）基本事件（1）記“該車在某停車點停車”為事件A，事件A發(fā)生說明在這個停車點有人下車，即至少有一人下車，這個事件包含的基本事件較復(fù)雜，于是我們考慮它的對立事件，即“8個人都不在這個停車點下車，而在另外2個點中的任一個下車”P（）=，P（A）=1P（）=1=答：該車在某停車點停車的概率（2）記“停車的次數(shù)不少于2

19、次”為事件B，則“停車次數(shù)恰好1次”為事件，則P（B）=1P（）=1=1=答：停車的次數(shù)不少于2次概率。8、以換元為手段的轉(zhuǎn)化與化歸【例8】 已知aR，求函數(shù)的最小值解 函數(shù)可化為 設(shè)原問題化歸為求二次函數(shù)在上的最值問題.（1）當(dāng)時， （2）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，（3）當(dāng) 時，在上單調(diào)遞增. 【變式】設(shè)x、yR且3x2y6x，求xy的范圍?！痉治觥?設(shè)kxy，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍?！窘夥ㄒ弧咳菗Q元法，對已知式和待求式都可以進行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x2y6x得(x1)1，設(shè)，則xy12coscossin12co

20、scoscos2cos0,4 ，所以xy的范圍是：0xy4?！痉ǘ坑?x3x2y0得0x2。設(shè)kxy，則ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其對稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是：0xy4?！痉ㄈ?數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標(biāo)原點。xy的范圍就是橢圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為xyk，代入橢圓中消y得x6x2k0。由判別式368k0得k4,所以xy的范圍是：0xy4。強化訓(xùn)練：1. 已知函數(shù)f(x)loga(2a

21、)x對任意x，都有意義，則實數(shù)a的取值范圍是(). (， . (，). ，) . (，)解：考查函數(shù)y1和y2(2a)x的圖象，顯然有02a1.由題意得a，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得答案.答案：B.2. 函數(shù)f(x)定義域為，且x1，已知f(x1)為奇函數(shù)，當(dāng)x1時，f(x)2x2x1，那么當(dāng)x1時，f(x)的遞減區(qū)間為(). ，) . (，. ，) . (，2. 解：由題意可得f(x1)f(x1).令tx1，則x1t，故f(t)f(2t)f(2x).當(dāng)x1，2x1，于是有f(x)f(2x)2(x)2 ，其遞減區(qū)間為，).答案：3. 已知f(x)asinxb(a，bR)，且f(lglog310)5，則f(lglg3)的值是(). . . . 3解：因為f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，即f(x)f(x)，而lglg3lglg310， f(lglg3)f(lglg310)(lglg310)8583.故選. 設(shè)(x，y)是橢圓x24y2上的一個動點，定點(，)，則|2的最大值是(). . . . . 解： .