大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案

1、大學(xué)生數(shù)學(xué)試題及答案考試形式：閉卷 考試時(shí)間：150分鐘滿分：100分、（本題?蔭分10分）求極限2 o2n 2n2 (n 1)2)【解】 Sn工(、n2 1 n,n2 (n 1)2)(、1 ()(n 1)2)n1(、1 (0)1 (1)2,1 (2)2n - n(n 1)2)n1 (i)2。limnnSnlimni 2 1,1 (n) 十因，1 x2在0,1上連續(xù)，故v1 - x2dx存在，且所以，limnSn-x2dx =lim n01 J-x2dxd)2.Ln n1 .1 - x20dx二、（本題?茜分10分）請(qǐng)問a,b,c為何值時(shí)下式成立limx 0 sin x ax_t2dt_1 t

2、2c.【解】注意到左邊得極限中，無論a為何值總有分母趨于零，因此要想極限存在，分子必須為無窮小量，于是可知必有b 0,當(dāng)b 0時(shí)使用洛必達(dá)法則得到limx 0 sin x axx t2dt。廠t2limx 02x(cosx a), 1 x2由上式可知：當(dāng)x0時(shí)，若a 1 ,則此極限存在，且其值為 0；若a 1,則22一 1 x t2dtx2lim ° lim x 0sinx ax b . 1 t2 x 0 (cosx 1). 1 x22,綜上所述，得到如下結(jié)論:a 1,b 0,c 0;或 a 1,b 0,c2。三、（本題滿分10分）計(jì)算定積分Idx22010tan x【解】作變換x

3、t ,則 20 dt ". 2010 .21cot t20102 tan tdt020100 1 tan t02(1,2010tan7dt5dt I02I :dt 02所以，I 。 41四、（本題滿分10分）求數(shù)列n n中的最小項(xiàng)。1【解】因?yàn)樗o數(shù)列是函數(shù) y x x當(dāng)x分別取1,2,3, n,時(shí)的數(shù)列。1 2又 y x x （ln x 1）且令 y 0 x e,容易看出：當(dāng)0 x e時(shí)，y 0；當(dāng)x e時(shí)，y 0。所以，y1x x有唯一極小值y(e)1市,因此數(shù)列3 31n彳的最小項(xiàng)五、(本題滿分10分)neo0 n 1,其收斂半徑為1,收斂區(qū)間為1,1),當(dāng)x 1時(shí),1)n-收

4、斂;1當(dāng)x 1時(shí),發(fā)散，因此其收斂域?yàn)?,1)。設(shè)其和函數(shù)為s(x),則1,1)x0 s(t)dttn dt 0 n 1nx t出o 0 n 1于是,s(x)2 .(1 x)故,s(e 1)(e六、(本題滿分10分)設(shè)f(x)sin xx0(xt)f (t)dt ,其中 f為連續(xù)函數(shù),【解】原方程可寫為f(x)sin xxx 0 f (t)dtxtf0(t)dt,上式兩端對(duì)x求導(dǎo)得f (x) cosxf (t)dtxf (x) xf (x)cosxx0 f(t)出(*)兩端再對(duì)x求導(dǎo)得(x)sin xf(x)即 f (x) f (x)sin這是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次方程，由原方程知f (0)

5、 0,(*)式知f (0)1 o特征方程為齊次通解為y C1sin x C2cosx設(shè)非齊次方程特解為y* x(asinx bcosx),代入f (x) f (x) sin x得c ,1a 0, b 一。2x 則非齊次方程通斛為y C1 sin x C2cosx cosx2由初始條件 y(0) 0和y(0)1可知，1 人C1-,C2 0。2七、(本題滿分10分)在過點(diǎn)0(0,0)和人(，0)的曲線族y asin x (a 0)中，求一條曲線L ,使沿該曲線從 0到A的積分 J1 y3)dx (2x y)dy的值最小?！窘狻縄 (a) l (1 y3)dx (2x y)dyo1 a3sin3x

6、(2x asin x)acosxdx4a令 I (a)4 4a2 0,得 a 1 (a1 舍去)；又 I (1) 8 0 ,則 I (a)在a 1處取極小值，且a =1是I (a)在(0,+°0)內(nèi)的唯一極值點(diǎn)，故 a =1時(shí)I (a)取最小值，則 所求曲線為y sin x (0 x )。,.,、. 一，. 1八、體題?黃分10分)設(shè)f (x)在-1,1上有二階導(dǎo)數(shù)，且 f(1) f (1) 1 , f ''(x)-2證明：11. f '(x) , xC -1,1。22. f (x) = x在-1,1上有且只有一個(gè)實(shí)根。【證明】f ( )2,、1.由泰勒公式

7、f ( 1) f(x) f (x)( 1 x) ( 1 x)2,( 1,x)2f"x) f(x)(1 x)x)2,(x,1)兩式相減并整理得2f (x)(1 x2)(1 x2)于是,由于因此，f (x)max1 x 1(1 x2)4(1 x2) (1 x2)| f'(x)| 1,x 1,1 o(1 x2)4(1x2) (18x2)2 .令 F(x) f (x)-x,x 1,1 o 則 F( 1)f(1) 13 .12F(1) f 1 已但F(x)在-1,1上連續(xù)，由介值定理知，F(xiàn)(x)在-1,1上至少有一個(gè)零點(diǎn)。又由1可知F'(x) f '(x)-1 0,故F

8、(x)在-1,1上嚴(yán)格單調(diào)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)。這樣F(x)在-1,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即 f (x) = x在-1,1上有且只有一個(gè)實(shí)根。九、(本題?茜分10分)設(shè)f (x)在(-,)為連續(xù)函數(shù)，則f(x2)dxa2xf (x)dx。x_【解】令(x)°t3f(t2)dt,則(x) x3f (x2),1 x12 _2 _3_2(x) - 0 tf(t)dt,則 (x) - x f(x ) 2x x f(x ),所以 (x)(x)即(x)(x) c c為常數(shù)。而(0)(0) 0,(x)(x)特別地 (a)(a)a 3 -2x f (x )dxxf (x )dx。十、(本題滿分10分)設(shè)f(x)是0,1上的連續(xù)函數(shù)，證明110e dx 0e dy 1【證法一】設(shè) D (x, y) | 0 x 1,0 y 1。由于 ef(x) f (y) 1 f (x) f ( y),所以11f (x).f (y),f(x) f (y)e dx 0 e dy e dxdyD110 dx0(1 f (x) f (y)dy1111° dx ° dy0 f(x)dx ° dy1 o110 dx