專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(講)(解析版)

1、專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性講考綱1 .了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;2 .能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。講基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f'x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f'x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f'x)=0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)講考點(diǎn)考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間間?！镜淅?】【2019年高考天津】設(shè)函數(shù) f(x) excosx,g(x)為 fx的導(dǎo)函數(shù)，求f x的單調(diào)區(qū)【解析】由已知，有 f'(x) ex(cosx sinx

2、).因此，當(dāng)x 2k,2k45- (k Z)時(shí)，有4sinx cosx,得 f'(x) 0,則 f x 單調(diào)遞減；當(dāng) x 2k34 ,2k4 (kZ)時(shí)，有 sinx cosx,得f'(x) 0,則f x單調(diào)遞增.一 . .3(k Z), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4所以，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為 2k ,2k452k-,2k(k Z).44【答案】f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為Z), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_ .3 TtTt2ku ,2k 冗一(k445冗4 (k Z).【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f'x)>0或f'

3、; x)<0求出單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)方程f'x) = 0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f' x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f'x)的結(jié)構(gòu)特征，利用其圖象與性質(zhì)確定 f' x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.3【變式1】【2019年高考浙江】已知實(shí)數(shù) a 0,設(shè)函數(shù)f(x)=alnx J,x 0.，當(dāng)a 時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥慨?dāng)a 3時(shí),44f (x) 31nx '1 x, x 0.4f(x)4b W(1 x 2)(2 1 x 1)4x71 x所以，函數(shù)f(x

4、)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3, + )?！敬鸢浮縡 x的單調(diào)遞增區(qū)間是 3,，單調(diào)遞減區(qū)間是 0,3 ；考點(diǎn)二判斷函數(shù)的單調(diào)性【典例2】【2019年高考全國(guó)出卷】已知函數(shù) f(x) 2x3 ax2 b ,討論f (x)的單調(diào)性；【解析】f (x) 6x2 2ax 2x(3x a).令 f ( x) 0 ,得 x=0 或 x若 a>0,則當(dāng)x (,0) U時(shí)，f (x) 0 ;當(dāng) x0,t時(shí)，f (x) 0 .故 f(x)在(,0), a,單調(diào)遞增，在 0,a單調(diào)遞減;33若a=0, f(x)在(，)單調(diào)遞增;若a<0,則當(dāng)xa U(0, 3)時(shí)，f (x) 0

5、；當(dāng) x*0時(shí)，f (x) 0 .故 f(x)在,a ,(0,)單調(diào)遞增，在 a,0 33【舉一反三】(2018全國(guó)卷I節(jié)選1)已知函數(shù)f(x) = x+aln x,討論f(x)的單倜性. x【解析】f(x)的定義域?yàn)?0, +8),1, ax2-ax+1f x)=-x2-1+x=x2當(dāng)aW2時(shí),則f' x) WQ當(dāng)且僅當(dāng)a=2, x=1時(shí)，f' x) = 0,所以f(x)在(0, + 8止單調(diào)遞減.當(dāng)a>2時(shí)，令f'x)= 0,得乂 =a 匕2 4或x=a+ a2 4當(dāng)xC 0o2 4a_4 Uf' x)V0；a+ a2 4時(shí)，f'x)>0

6、.所以 f(x)在 0, ” ：2-4，+3上單調(diào)遞減，在十綜合可知，當(dāng)aw2時(shí),f(x)在(0, +丐上單調(diào)遞減；當(dāng) a>2時(shí)，f(x)在0a + a2- 42a- a2- 42上單調(diào)遞增.a+ "a2 48上單調(diào)超c在 T三，符三上單調(diào)遞增【方法技巧】含參函數(shù)單調(diào)性的求法此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡(jiǎn)變形后，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的含參問題.對(duì)于二次三 項(xiàng)式含參問題，有如下處理思路:(1)首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，這里涉及對(duì)判別式 AWO和A> 0分類討論，即 有無實(shí)根判別式, 兩種情形需知曉(2)如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，邏輯分類有兩種情

7、況，需要考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有 參數(shù).如果首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；如果首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，只需討論 兩個(gè)根xi, x2的大小，即 首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負(fù)；首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負(fù)(3)注意：討論兩個(gè)根 xi, x2的大小時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行討論，考慮兩根是否在定義域中, 即 定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中【變式2】(2017全國(guó)I卷改編)已知函數(shù)f(x) = ex(ex- a) - a2x,其中參數(shù)a< 0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x) >0求a的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?00, +8),且a<

8、;0.f' x)= 2e aex- a2= (2ex+ a)(ex- a).若a=0,則f(x) = e2x,在(一8, +8止單調(diào)遞增.a右 a<0,則由 f x)=0,得 x= In -2 .當(dāng) xC 8, In -a 時(shí)，f'x)<0;a當(dāng) xC in -2 , + 8 時(shí)，f x)>0.a故f(x)在一8, In -2上單倜遞減)a在區(qū)間In -2 , + 00上單倜遞增.(2)當(dāng)a=0時(shí)，f(x) = e2x>0恒成立.若a<0,則由(1)得，當(dāng)x= In a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f In -| = a2 - In -| ,故當(dāng)

9、且僅當(dāng)a2 3-ln 43即 0>a A 2e4時(shí)，f(x) >0.3綜上，a的取值范圍是2e4, 0.考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例3】【2019年高考北京】設(shè)函數(shù)f x ex aex (a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=； 若f (x)是R上的增函數(shù)，則 a的取值范圍是 .【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于a的恒等式，據(jù)此可得 a的值，然后利用f (x) 0可得a的取xxx xxx值氾圍。右函數(shù) f x e ae為奇函數(shù)，則 f x f x ,即e ae e ae ,即a 1 ex e x0對(duì)任意的x恒成立，則a 1 0,得a 1.若函數(shù)f xex aex是r上的增函數(shù)

10、，則 f (x)ex ae x 0在R上恒成立，即a e2x在R上恒成立，又e2x 0，則 a 0,0即實(shí)數(shù)a的取值范圍是,0【方法技巧】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法f'x)>0 f'x) <魄成立，得到關(guān)于參數(shù)的不(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上 等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍.(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a, b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f'x)>0(或f'x)<0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍.(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.【變式3】(2016全國(guó)I卷改編)若函數(shù)f(x)=x-1sin 2x+asin x在(一4+ 8單調(diào)遞增，則a的取值范3圍是【解析】f x)=1cos 2x+ acos x= 1 32(2cos2x 1) + acos x= - 3cos2x+acosx+5, f(