三角形四心向量形式的充要條件應(yīng)用

1、三角形“五心”向量形式的充要條件應(yīng)用CGD1 .重心（中線交點(diǎn)）G是4 ABC的重心 GA GB GC 0證明作圖如右，圖中 GB GC GE連結(jié)BE和CE,則CE=GB , BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GB GC GE代入GA GB GC = 0 ,得GA EG = 0 GA GE 2GD ,故G是 ABC的重心.（反之亦然（證略） 1）PG 1（PA PB PC） G為4ABC的重心（P是平面上的點(diǎn)）. 3證明 PG' PA AG' PB' BG PC CG 3PG （AG BG CG） （PA PB PC）. G 是4AB

2、C 的重心GA GB GC = 0 aG bG CG = 0 ,即 3PG PA PB PC 由此可得 PG 1(PA ?B "PC)(反之亦然(證略) 3例 1 已知向量 OP -O2 一oP3 滿足條件 OP +OP2 + OP； = 0 一 |OP |=|op2|=|or|=i.求證 PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五 B組第6題）一 一 一 一一1證明由已知OP + OP2=-OE,兩邊平方得OPOP2=口 TE1_.一 . . Z 同理 OP2 OP3 = OP3 OP= 3 ,，| PP2 |=|P2 P31=| P3P |=。3 ,從而 P1P2P

3、3 是正二角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形 4PF2P3的中心，則顯然有 OP+OP2+屈 =0且|OP|=|OA|=|OR|.即。是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，O + OP2 + Op3=0且Op閆OP2月麗| 點(diǎn)。是正4P1P2P3的中心.定建1 （重心的向母表示）在A/WC中,國(guó)=a二T, G為亶心.那么CG=-y a + 人證明 如圖LC口是AB邊上的中線，那么有:0、APAB ACAB sinB AC sinC0,向量AP=X /sinB*向量AB/|向量 AB| +入/sinC恂量AC/|向量AC| ,向量AP=X /sinB*向量c0 +入/sinC恂量b0,向量c0=向量AB/|向量A

4、B|表示AB方向上的單位向量，向量b0=向量AC/|向量AC|表示AC方向上的單位向量，做BC邊上的高AD ,中線AE,延長(zhǎng)AE至F使得AE=EF ,則ABFC為平行四邊形。設(shè) AD=h ,當(dāng) 入=AD=h 時(shí)，入 /sinB=AB,入 /sinC=AC,于是向量 AP=AB*向量c0 + AC*向量b0,向量 AP=向量 AB+向量 AC=向量AF ,當(dāng)入wADf,設(shè)X=k*h（k為實(shí)數(shù)），很容易得到向量AP=k*向量AF。故P點(diǎn)總是在直線 AF上，即在中線 AE所在直線上，中線過重心，2 .垂心（高線交點(diǎn)），、H 曷八 ABC 的垂心 HA ?HB HB ? HC HC ? HA"

5、;HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC.同理HC AB - HA BC .故H是ABC的垂心.（反之亦然（訐略）、若HN ABC（非直角二角形）的垂心，則0、 APABAC0,AB cos B AC cosCABBC (AC) BC AB BC AC| AB | cosB | AC| cosC | AB| cosB | AC | cosC|BC|AB|cos( B)| AB | cosBABBC(| AB | cos B|BC| |AC|cosC |BC| |BC| 0| AC |cosCAC)| AC | cos C(=ABAC)| AB | cos

6、B | AC | cos C在ABC的邊BC的高AD上.結(jié)輪3 H是垂心QOH 二tanA * OA + tanB * OB + tantanA + tanB + tanC源（直角三角形除外），_ _ 一 一定理5 （重心的向他表示） 在ABC中G為外心i那2廣 I:CG =22 J b - 埠 +中a t b t & - & 工 + M a、6 V3 .外心（邊垂直平分線交點(diǎn)，外,圓圓心）、O杲4ABC的外心JOA,閆OB閆OC 睦 OA 2= OB 2= OC 2）（點(diǎn)O到二胡距離相等）（OA+OB ） AB=（OB + OC ） BC =（ OC ± OA ）

7、CA=0（O 為=初垂直平分線）、若。是ABC 的外心，則 S/xboc: S/xaoc: SAOB=sin/BOC: sinZAOC: sinZ AOB=sinZ 2A： sinZ2B：sin/2c、APABAC0,AB cosCAC cosB故 sin/2A OA +sin/2B OB +sin/ 2c OC = 0結(jié)論4sin2A*OA + sin2B*oJ+ sin2C*o5sln2A + sin2B + sin2C定理4 (外心的向信表示)在足比 中&二W通=g為外心,那么左=j r ' 小 kh.2 a A- - ( a 14.內(nèi)心(角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心 、O是

8、4ABC的內(nèi)心充要條件是一 AB AC 一 BAOA?(= =) OB?(|AB| |AC |BA|BC CA CB ) OC ?( ) 0|BC |CA| |CB|引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。 如果記 ABqBC且CA的單位向量為 e, e,e一貝U O 是 .ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成 OA _e +eJ=OB _( e + e2后 OC (e2 + e3 )= 0O杲 ABC內(nèi)心的充要條件也可以杲a OA+b_ OB±cOC = 0若O是AABC的內(nèi)心，貝J Sa boc : Szxaoc : S AOB=a： b: c 故 a OA+b OB +c OC = 0 或

9、sinA OA +sinB OB +sinC OC = 0; ;| AB| PC | BC | PA |CA| PB 0 P 為 BABC 的內(nèi)心 ;向量（幽 誓T（0）所在直線過4ABC的內(nèi)心（是/ BAC的角平分線所在直線）;| AB| |AC|aPA bPB cPC設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，I為A ABC內(nèi)心的充要條件是 PI a b cAB AC【例2】O是平面上的一定點(diǎn)， A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OP OA （1AB 器）,入C 0, +8則P點(diǎn)的軌跡一定1AB ，AC通過 ABC的（B）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心AB 一解析：因?yàn)?FB是

10、向量AB的單位向量設(shè)AB與AC萬(wàn)向上的單位向量分別為 e和9,又OP OA AP ,則原式可化為 AP （e e2）,由菱形1AB的基本性質(zhì)知AP平分 BAC ,那么在 ABC中，AP平分 BAC ,則知選B.若P是 ABC的內(nèi)心 aPA+b PB+c PC = 0（abc是三邊） 結(jié)論2 ”是內(nèi)心=而？=.QA+J * 0$+c03a + b + c一 _定理2 （內(nèi)心的向吊表示）在八區(qū)中，CA =九CB - T.G為內(nèi)心，那么比=一1二歲 遍I « - I5、旁心： 若。為二角形的旁心：則 aOA =bOB +cOC （abc是二1力） 結(jié)論S若記NA所對(duì)的旁疝為乩，一/B所對(duì)的

11、旁心為4,/C所對(duì)的旁心為”,則有：Ha是旁心次內(nèi)工一 立，池"b 6.外心與重心：O是4 ABC的外心，G是重心，則 OG7.外心與垂心：O是4ABC的外心：H星垂心：則OH OA OB OC 證明 若 ABC的垂心為 H,外心為 O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于 D,連結(jié)AD, CD. ADXAB, CDBC.又垂心為 H, AHXBC, CHXAB,. AH / CD, CH / AD,四邊形AHCD為平行四邊形， tlI AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC . 一.HA HB HC8.重心與垂心:G是 ABC的重心.H是垂心.則 HG 質(zhì) + &

12、#163; *一口+8+ c +加是旁心右。凡g .Gy - “*0 « c* Oba - b c ，Hc是旁心=試匚=m "0A 十力 + 5 i C定理3 （旁心的向ft表示）在AABC中.百=£,而=6 ,G為旁心,那么OA OB OC101+13|7口 bl19.外心、重心、垂心 ：O、G、H分別是銳角 4ABC的外心、重心、垂心，則 OG - OH 3證明按重心定理 G是4ABC的重心 OG -(OA OB OC)d- 、' r 一 一rztr 1 按垂心7E理 OH OA OB OC ,由此可得 OG -OH .3著名的 歐拉定理”講的是銳角三

13、角形的 主心”-外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線 一一歐拉線”；(2)三角形的重心在 歐拉線”上.且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn).即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例3 在 ABC中，已知 Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且 QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,0)、B(X1,0)、C(x2,y2), D、E、F分別為AB、BC、AC的 中點(diǎn)，則有：x x xD (字0)、E(、F由題設(shè)可設(shè)Q吟羋)、H(x2,y4),G(,拳AHAH x2(x2,y4

14、),QF (BC AH ?BCx y22 , 2x2 (x2y3), BC (X2x,y2)V4x2 (x2x )丫？X),'QFAC QF ?ACX2x2(一2V3)y3x2 (x2 Xi )y2QH2 y2, x(*2- , y42v32x223x2 (x22y2x)QG (% x x y2) 2 2x2 x y2 x2(x2 x) 當(dāng)(32 , 3 %)6,32y22 即 QH=3QG,故 Q、G、H 三點(diǎn)共線，且 QG: GH=1: 2(2x263x2 (x2 x)6 y21 ,2x2 x3 r3x2 (x2 x1)2y21 1QH3二.練習(xí)1 11 1.已知A、B、C是平面上

15、不共線的二點(diǎn)，O是二角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =32OA+wOB+2OC ）,則點(diǎn)P一定為二角形 ABC的（B）A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心DAB邊的中點(diǎn)分析：取 AB邊的中點(diǎn) M,則OA OB 2OM',11cA op =3(2 oa +3OM 2MC ,1 丁- OB+2OC)可得 3OP 2一 2 MP -MC ,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn) P不過重心。 32 .在同一個(gè)平面上有ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：OA 2+BC 2= oB2+CA2= OC 2+AB 2,則。為ABC的（D ）A.外心B.內(nèi)心 C.重心 D

16、.垂心3 .已知 4ABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn) P滿足：PA pB PC 0 ,則P為ABC的（C ）A.外心B.內(nèi)心 C.重心D.垂心4 已也O是比面上;定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足：OP OA （AB AC）,則P的軌跡一定通過 4ABC的（C ）A.外心B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心5 .已知 ABC, P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：PA ? PC PA?PB PB?PC 0,則P點(diǎn)為三角形的（D ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心6 .已知ABC, P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足：a PA b PB c?PC 0,則P點(diǎn)為三角形

17、的（B ）A.外心B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心22 7 .在三角形 ABC中，動(dòng)點(diǎn) P滿足：CA CB 2AB?CP,則P點(diǎn)一定通過 4ABC的（B ）A.外心B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心8 .非零向量 AB 與 AC 滿足(-AB-f-AJ) BC=0 且-AB- -A =,則 ABC 為(D) | AB | | AC | AB | | AC | 2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形AB AC -解析：非零向量與滿足（小區(qū) &L） BC =0,即角A的平分線垂直于 BC, |AB| | AC|AB=AC,又 cosA -AB- -A = - , / A=-,所以 4ABC 為等邊三角形 | AB | | AC | 23ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, OHm(OA OB OC),則實(shí)數(shù) m=JOC OA,則點(diǎn) O 是4ABC 的(B)10點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 OA OB OB OC(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平