SISIRSIS-模型復習進程

1、精品文檔數(shù)學模型實驗一實驗報告10學院： 專 業(yè)：姓 名：學號： 實驗時間： 實驗地點：一、實驗項目：傳染病模型求解二、實驗目的和要求a求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數(shù)值解三、實驗內(nèi)容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災難，長期以來，建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點，在此以一般的傳播機理建立幾種3模型。分別對3種建立成功的模型進行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一(SI模型)：(1)模型假設1 .在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總

2、人數(shù)N不變，人群分為健康人和病人，時刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s (t)和i (t)。2 .每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a, a成為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，可使其患病。(2)建立模型根據(jù)假設，每個病人每天可使 as (t)個健康人變成病人，t時刻病人數(shù)為Ni (t),所以每天共有aNs (t)i (t)個健康者被感染，即病人的增加率為：Ndi/dt=aNsi又因為 s (t) +i (t) =1再記時刻t=0時病人的比例為i0則建立好的模型為：diai (1 - i)dti(0)=i0(3)模型求解(代碼、計算結果或輸出結果)syms a i t i0% a：日接觸率

3、，i：病人比例，s：健康人比例，i0 ：病人比例在t=0時的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figure精品文檔精品文檔i=str2double(i); i=0:0,01:1;y=0.3*i.*(1-i); plot(i,y)SI模型的it曲線SI模型的di/dti曲線(4)結果分析由上圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i=0.5時，取到最大值，即在 t->inf時，所有人 都將患病。上述模型顯然不符

4、合實際，為修正上述結果，我們重新考慮模型假設，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)模型假設假設條件1.2與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率： Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s(t)=1 ;則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b,可知k是整個傳染傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。 則建立好的模型為：di=-aii -(1 -1/k) dti(0)=i0;(2)模型求解(代碼、計算結果或輸出結果)>> sy

5、ms a i u t i0 % a：日接觸率，i:病人比例，u:>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')>> syms k>> k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t')%給k、a、i0指定特殊值，作出相關圖像 精品文檔%求用%日治愈率，i0：病人比例在t=0時的值 u表示的it解析式k ：接觸數(shù)%求用k表本的i-t解析式精品文檔>

6、> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);>> ezplot(y,0,100)>>pause>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0.01:1;> > y=-0.3*i.*i-1/2;> > plot(i,y)> > gtext('1-1/k,在止匕圖中為 0.5')> > le

7、gend('k=2')外女"的情況，以k=2為例%作it圖，分析隨時間t的增加,i的變化%作di/dt-i的圖像>> y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);> > ezplot(y,0,100)> > legend('k<1 本例中 k=0.8')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0.01:1;> > y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);> > plot(i,y)為女力的情況，以k=0

8、.8為例%作i t圖，分析隨時間t增加，i的變化>> legend('k=0.8')> > gtext('k<=1 時的情況)SIS模型的di/dt-i曲線 (k>1)SIS模型的i-t曲線(k>1)精品文檔SIS模型的i-t曲線(k<1)2.病人的日接觸率為 入，日治愈率為(與SI模型相同)，傳染期接觸數(shù)為二一 1 / -精品文檔SIS模型的di/dt-i曲線 (k<1)(4)結果分析不難看出，接觸數(shù) k=1是一個閾值，當k>1時，i (t)的增減性取決于i0的大小，但其極限值 i(oo)=i-i/k隨k的增

9、加而增加；當 k<=1時，病人比例i (t)越來越小，最終趨于 0,這是由于傳染期 內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。模型三.SIR模型(1)模型假設1.總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱 SIR模型。時刻t三類人在總?cè)藬?shù)N中占得比例分別記作s(t)，i(t)和r(t)。(2)模型建立由假設1顯然有s(t) i(t) r(t) =1(1)對于病愈免疫的移出者而言應有NNi(2)再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是 模型的方程可以寫作s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨設移出者的初始值r0=0),則SIRd =，si -

10、 H,i(0) =t° dtds店-si,s(0) =s°(3)(3)模型求解我們無法求出解析解，先做數(shù)值計算:設兀=1, N =0.3，i(0) =0.02，s(0) =0.98,用 maTLAB 軟件編程:精品文檔精品文檔function y=ill (t, x) a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)

11、表1i（t）,s（t）的數(shù)值計算結果i(t),s的圖形is圖形（相軌線）i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398t 012345678i（t）,s（t

12、）的圖形見左圖，i s的圖形見右圖,（4）結果分析稱為相軌線，隨著t的增加，（s，i）沿軌線自右向左運動。由上圖結合表1可知，i（t）由初值增長至約t =7時達到最大值，然后減少，tT 8,tT 0;s（t）則單調(diào) 精品文檔精品文檔減少 tT qst 0.0398。進行相軌線分析，可得：s i平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(s,i) w D為D =(s,t) |s _0,i _0,s i < 1在方程(3)中消去dt ,并注意到仃的定義，可得di 177 = 一 一1i I二 Ldt g ,卜冬 0(4)容易求出它的解為1 . si =(% io) -s ln 一仃so(5)在

13、定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件So,io如何，病人終將消失，即1笛=。dsdr-00其證明如下，首先，由(3) , dt而S-0故S *存在；由(2) , dt ，而r(t) M 1 ,故r存在,dr i ；再由(1),對于充分大的t有dt 2 ,這將導致，與 區(qū)存在相矛盾。2.最終未被感染的健康者的比例是S 在(5)式中令i =0得到，9是方程1S-S0 i0 -s:： ln =0 °s0在(0,1/a)內(nèi)的根。在圖形上，S汜是相軌線與S軸在(0,1/。) 內(nèi)交點的橫坐標。3 .若S0 >1/C ,則i先增加，當S=1/Qr時，i達到最大值1i七，三生-

14、 i0 - (1 ln -S0) °(8)然后i(t)減小且趨近于0, S(t)則單調(diào)減小至 加。4 .若S。*"仃，則i(t)單調(diào)減少至0, S(t)單調(diào)減少至 。如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么1/仃是一個閾值，當生 >"仃(即仃>1/s。)時傳染病就會蔓延。而減小傳 精品文檔 精品文檔 染期接觸數(shù) 仃，即提高閾值1/仃，使得s0 -1/<J （即仃-1/s°），傳染病就不會蔓延（健康者比例的 初始值So是一定的，通?？烧J為 s0接近1）。并且，即使So >1/C，從（7）, （8）式可以看出，。減少時，s婦曾力口（通過作圖分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我們注意到，在 仃中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率 九越??；醫(yī)療水平 越高，日治愈率 卜越大，于是 仃越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延