隔板法、插入法、捆綁法解決組合問(wèn)題

1、文檔可能無(wú)法思考全面，請(qǐng)瀏覽后下載! 1 10.3 組合（六） 教學(xué)目標(biāo): 1掌握組合數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用組合數(shù)的性質(zhì)解題. 2培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用公式、性質(zhì)的能力. 教學(xué)重點(diǎn): 隔板法、插入法、捆綁法解決組合問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn): 隔板法、插入法、捆綁法. 教學(xué)過(guò)程: 講授新課 例1有10 個(gè)相同的小球，放入編號(hào)為1、2、3 的三個(gè)不同盒子， 76要求每個(gè)盒子非空，共有多少種放法？ 77要求每個(gè)盒子放入的小球數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，共有多少種放法？ 方法一:76設(shè)xyz10, xyz, 其正整數(shù)解為： x8，y1，z1；x7，y2，z1； x6，y3，z1；x6，y2，z2； x5，y4

2、，z1；x5，y3，z2； x4，y4，z2；x4，y3，z3 則放法有: . 36 4 4 3 3 1 3 A A 77先將1 個(gè)、2 個(gè)小球分別放入第2、3 個(gè)盒子，再按76放入每個(gè)盒子的小球數(shù) > 0， 設(shè)xyz7, xyz, 其正整數(shù)解為： x5，y1，z1；x4，y2，z1； x3，y3，z1；x3，y2，z2 則放法有: . 15 3 3 3 1 3 A A 方法二：隔板法.如: 對(duì)應(yīng): 76 36 2 9 C 77 15 2 6 C 答:67 練習(xí)1.某中學(xué)從高中7 個(gè)班中選出12 名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競(jìng)賽活 動(dòng)，使代表中每班至少有1 人參加的選法有多少

3、種？ 6 11 C 462 練習(xí)2. 6 人帶10 瓶汽水參加春游，每人至少帶1 瓶汽水，共有多少種不同的帶法？ 126 5 9 C 練習(xí)3.北京市某中學(xué)要把9 臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至 少得到2 臺(tái)，共有 種不同送法. 例2. 已知方程xyzw100，求這個(gè)方程的正整數(shù)解的組數(shù). 練習(xí)4. 已知方程x 1 x 2 x350，求這個(gè)方程有多少組非負(fù)整數(shù)解. 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 2 隔板法： 就是把“|”當(dāng)成隔板，把考察的對(duì)象分成若干份 例 3. 一座橋上有編號(hào)為 1，2，367，10 的十盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可

4、以把其 中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，問(wèn)不同的關(guān)燈方 法有多少種？ 練習(xí)5. 一條長(zhǎng)椅上有9 個(gè)座位，3 個(gè)人坐，若相鄰2 人之間至少有2 個(gè)空椅子，共有幾種 不同的坐法？ 例 4. 一條長(zhǎng)椅上有七個(gè)座位，四人坐，要求三個(gè)空位中有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與 這兩個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？ 課堂小結(jié) 1. 隔板法；2. 插入法；3. 捆綁法 . 捆綁法和插空法是解排列組合問(wèn)題的重要方法之一，主要用于解決"相鄰問(wèn)題" 及"不鄰問(wèn)題"?？偟慕忸}原則是"相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法"

5、;。在實(shí)際 公務(wù)員考試培訓(xùn)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)員經(jīng)常碰到這樣的困惑，就是一樣類(lèi)型的題 目，不過(guò)表達(dá)的形式有所變化，就很難用已解 過(guò)的題目的方法去解決它，從而 降低了學(xué)習(xí)效率。下面結(jié)合有關(guān)捆綁法和插空法的不同變化形式，以實(shí)際例題 詳細(xì)講解。 "相鄰問(wèn)題"捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮， 也就是將相鄰元素視作一個(gè)大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間 順序的解題策略就是捆綁法 注運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元 素內(nèi)部的順序問(wèn)題內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。 例1 若有A、B、C、D、E 五個(gè)人排隊(duì)，要求A 和B 兩個(gè)人

6、必須站在相鄰位置， 則有多少排隊(duì)方法？ 【解析】：題目要求A 和B 兩個(gè)人必須排在一起，首先將A 和B 兩個(gè)人"捆綁"， 視其為"一個(gè)人"，也即對(duì)"A，B"、C、D、E"四個(gè)人"進(jìn)行排列，有 種排法。又 因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B 兩人也要排序，有 種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的 排法有 種。 例2 有8 本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3 本，外語(yǔ)書(shū)2 本，其它學(xué)科書(shū)3 本若 將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的 3 排法共有多少種(結(jié)果用數(shù)值表示) 解：把3 本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)

7、，2 本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一 起看成一本大書(shū)，與其它3 本書(shū)一起看作5 個(gè)元素，共有A(5,5)種排法； 又3 本數(shù)學(xué)書(shū)有A(3,3)種排法，2 本外語(yǔ)書(shū)有A(2,2)種排法； 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(種). 【解析】：把3 本數(shù)學(xué)書(shū)"捆綁"在一起看成一本大書(shū)，2 本外語(yǔ)書(shū)也"捆綁"在 一起看成一本大書(shū)，與其它3 本書(shū)一起看作5 個(gè)元素，共有 種排法；又3 本數(shù) 學(xué)書(shū)有 種排法，2 本外語(yǔ)書(shū)有 種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法 種。 【王永恒提示】：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意"捆綁&

8、quot;起來(lái)的 大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。解題過(guò)程是"先捆綁，再排列"。 6 個(gè)球放進(jìn)5 個(gè)盒子，有多少種不同的方法？其實(shí)，由抽屜原理可知，必然有 兩個(gè)球在一起。 所以答案是 C（6, 2）X A(5,5) 其實(shí) 就是6 取2，與5 的階乘 的積 1、 有10 本不同的書(shū)：其中數(shù)學(xué)書(shū)4 本，外語(yǔ)書(shū)3 本，語(yǔ)文書(shū)3 本。若將這些 書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的 排法共有( )種。 2、5 個(gè)人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？ 4 3、6 個(gè)不同的球放到5 個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一 共有多少種方法？ 4、一臺(tái)晚會(huì)上

9、有6 個(gè)演唱節(jié)目和4 個(gè)舞蹈節(jié)目，4 個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起， 有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 1、有ABCDE 共5 個(gè)人并排站在一起,如果AB 必須相鄰,并B 在A 的右邊,那么不 同的排法有多少種 2、 將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球彼此相鄰，有（ ） 種方法 3、將袋子里面的所有球排成一排，要求紅色的球互不相鄰，有（ ）種 方法 部分題目答案： 2、【解】P(5,5)×P(5,5) 3、【解】P(4,4)×P(5,5) 1、將袋子里面的所有球分成三組，每組至少一個(gè)，有（ ）種方法 2、將袋子里面的所有球分成三組，每組恰好三個(gè)，有（ ）種方法 3、將袋子里面的所

10、有球分成至多三組，每組至少一個(gè)，有（ ）種方 法 5 4、 將袋子中的五個(gè)紅球排成一排，若要求1 號(hào)球不在第一個(gè)位置，3 號(hào) 球不在第二個(gè)位置，5 號(hào)球不在第三個(gè)位置，7 號(hào)球不在第四個(gè)位置，9 號(hào)球不 在第五個(gè)位置，有（ ）種方法 "不鄰問(wèn)題"插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其它 元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而 將問(wèn)題解決的策略。 例3 若有A、B、C、D、E 五個(gè)人排隊(duì)，要求A 和B 兩個(gè)人必須不站在一起， 則有多少排隊(duì)方法？ 【解析】：題目要求A 和B 兩個(gè)人必須隔開(kāi)。首先將C、D、E 三個(gè)人排列，有 種 排

11、法；若排成D C E，則D、C、E"中間"和"兩端"共有四個(gè)空位置，也即是： D C E ，此時(shí)可將A、B 兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有 種 插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法： 。 例4 在一張節(jié)目單中原有6 個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加 進(jìn)去3 個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？ 【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插 7 個(gè)空位（原來(lái)的6 個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7 個(gè)空位），有 種方法； 再用另一個(gè)節(jié)目去插8 個(gè)空位，有 種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插9 個(gè)空位，有 方法，由乘法原理得：所有

12、不同的添加方法為 =504 種。 例5 一條馬路上有編號(hào)為1、2、6767、9 的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可 以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈 方法有多少種？ 【解析】：若直接解答須分類(lèi)討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六 個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7 個(gè)空位，共有 種方法（請(qǐng)您想想為什么不 是 ），因此所有不同的關(guān)燈方法有 種。 【王永恒提示】：運(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意插空位置包括 先排好元素"中間空位"和"兩端空位"。解題過(guò)程是"先排列，再插空"。 例6 練習(xí)：一張節(jié)目

13、表上原有3 個(gè)節(jié)目，如果保持這3 個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不 變，再添加進(jìn)去2 個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57） A20 B12 C6 D4 6 7 8 解排列組合 應(yīng)用題的21 種策略 排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握， 實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途 徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略. 1.相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列. 例1. 五人并排站成一排，如果 必須相鄰且 在 的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（ ） 9 A、60 種 B、48

14、種 C、36 種 D、24 種 解析：把 視為一人，且 固定在 的右邊，則本題相當(dāng)于4 人的全排列， 種，選 . 2.相離問(wèn)題插空排:元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再 把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、1440 種 B、3600 種 C、4820 種 D、4800 種 解析：除甲乙外，其余5 個(gè)排列數(shù)為 種，再用甲乙去插6 個(gè)空位有 種，不同的排法種數(shù) 是 種，選 . 3.定序問(wèn)題縮倍法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方 法. 例3.

15、五人并排站成一排，如果 必須站在 的右邊（ 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是 （ ） A、24 種 B、60 種 C、90 種 D、120 種 解析： 在 的右邊與 在 的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5 個(gè)元素全排列數(shù)的一 半，即 種，選 . 4.標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排 另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. 例4.將數(shù)字1，2，3，4 填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4 的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方 格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6 種 B、9 種 C、11 種 D、23 種 解析：先把1 填入方格中，符合條件的有

16、3 種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入 其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有 3×3×1=9 種填法，選 . 5.有序分配問(wèn)題逐分法:有序分配問(wèn)題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法. 例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2 人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10 人中選出4 人承 擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260 種 B、2025 種 C、2520 種 D、5040 種 解析：先從10 人中選出2 人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌? 人中選1 人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三 步從另外的7 人中選1 人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有 種，選

17、 . （2）12 名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口 4 人，則不同的分配 方案有（ ） A、 種 B、 種 C、 種 D、 種 答案： . 6.全員分配問(wèn)題分組法: 例6.（1）4 名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3 所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案 有多少種？ 解析：把四名學(xué)生分成3 組有 種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 種，故共有 種方 法. 說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配. 10 （2）5 本不同的書(shū)，全部分給4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） A、480 種 B、240 種 C、120 種 D、96 種 答

18、案： . 7.名額分配問(wèn)題隔板法: 例7：10 個(gè)三好學(xué)生名額分到7 個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？ 解析：10 個(gè)名額分到7 個(gè)班級(jí)，就是把10 個(gè)名額看成10 個(gè)相同的小球分成7 堆，每堆至 少一個(gè)，可以在10 個(gè)小球的9 個(gè)空位中插入6 塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案， 故共有不同的分配方案為 種. 8.限制條件的分配問(wèn)題分類(lèi)法: 例 8.某高校從某系的 10 名優(yōu)秀畢業(yè)生中選 4 人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā) 建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ 解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類(lèi)，有以下四種情況： 若甲

19、乙都不參加，則有派遣方案 種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3 種方法， 然后安排其余學(xué)生有 方法，所以共有 ；若乙參加而甲不參加同理也有 種；若甲乙都 參加，則先安排甲乙，有7 種方法，然后再安排其余8 人到另外兩個(gè)城市有 種，共有 方 法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 種. 9.多元問(wèn)題分類(lèi)法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類(lèi)情況分 別計(jì)數(shù)，最后總計(jì). 例 9（1）由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位 數(shù)字的共有（ ） A、210 種 B、300 種 C、464 種 D、600 種 解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3

20、，4 共5 種情況，分別有 個(gè)， 個(gè)，合并總計(jì)300 個(gè),選 . （2）從1，2，3，100 這100 個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7 整除，這兩個(gè) 數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？ 解 析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被 7 整除時(shí)，他們的乘積就能被 7 整除，將這 100 個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7 整除的數(shù)的集合記做 共有14 個(gè)元素,不能被7 整除的數(shù) 組成的集合記做 共有86 個(gè)元素；由此可知，從 中任取2 個(gè)元素的取法有 ，從 中任取一 個(gè)，又從 中任取一個(gè)共有 ，兩種情形共符合要求的取法有 種. （3）從1，2，3，100 這100 個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4 整

21、除的取法（不計(jì)順 序）有多少種？ 解 析：將 分成四個(gè)不相交的子集，能被 4 整除的數(shù)集 ；能被4 除余1 的數(shù)集 ，能被 4 除余2 的數(shù)集 ，能被4 除余3 的數(shù)集 ，易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25 個(gè)元素；從 中任 取兩個(gè)數(shù)符合要；從 中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從 中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它 取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 種. 10.交叉問(wèn)題集合法：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式 . 例10.從6 名運(yùn)動(dòng)員中選出4 人參加4×100 米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒， 共有多少種不同的參賽方案？ 解析：設(shè)全集=6 人中任取 4

22、人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四 11 棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有： 種. 11.定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它 的元素。 例11.1 名老師和4 名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少 種？ 解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有 種，4 名同學(xué)在其余 4 個(gè)位置上有 種方法；所以 共有 種。. 12.多排問(wèn)題單排法:把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。 例12.（1）6 個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3 個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、36 種 B、120 種 C、

23、720 種 D、1440 種 解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6 個(gè)不同的元素排成一排，共 種，選 . （2）8 個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4 個(gè)元素，其中某2 個(gè)元素要排在前排，某1 個(gè) 元素排在后排，有多少種不同排法？ 解析：看成一排，某2 個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2 個(gè)，有 種，某1 個(gè)元素排在后半 段的四個(gè)位置中選一個(gè)有 種，其余5 個(gè)元素任排5 個(gè)位置上有 種，故共有 種排法. 13.“至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類(lèi)法: 例13.從4 臺(tái)甲型和5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3 臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)， 則不同的取法共有 （ ） A、140 種 B、

24、80 種 C、70 種 D、35 種 解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)， 故不同的取法共有 種,選. 解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1 臺(tái)乙型2 臺(tái)；甲型2 臺(tái)乙 型1 臺(tái)；故不同的取法有 臺(tái),選 . 14.選排問(wèn)題先取后排:從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上， 可用先取后排法. 例 14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為 1，2，3，4 的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多 少種？ 解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有 種，再排：在四個(gè)盒中每次排 3 個(gè)有 種，故共有 種. （2）9 名乒

25、乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5 名，女4 名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同 的分組方法？ 解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2 名，有 種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有 中排法，故共有 種. 15.部分合條件問(wèn)題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符 合條件數(shù)，即為所求. 例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（ ） A、70 種 B、64 種 C、58 種 D、52 種 解析：正方體8 個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成 四面體，但6 個(gè)表面和6 個(gè)對(duì)角面 的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有 個(gè). 12 （2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10 點(diǎn)，在其中取4 個(gè)不

26、共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ） A、150 種 B、147 種 C、144 種 D、141 種 解析：10 個(gè)點(diǎn)中任取 4 個(gè)點(diǎn)共有 種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個(gè)面 上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為 ，四個(gè)面共有 個(gè)；過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形 共3 個(gè)；過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6 個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是 種. 16.圓排問(wèn)題單排法:把 個(gè)不同元素放在圓周 個(gè)無(wú)編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí) 鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相 同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列 個(gè)普通排列： 在圓排列中只算

27、一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同， 個(gè)元素的圓排列數(shù)有 種.因此 可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的 元素全排列. 例16.5 對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？ 解析：首先可讓5 位姐姐站成一圈，屬圓排列有 種，然后在讓插入其間，每位均可插入其 姐姐的左邊和右邊，有2 種方式，故不同的安排方式 種不同站法. 說(shuō)明：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素作圓形排列共有 種不同排法. 17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的 約束，可逐一安排元素的位置，一般地 個(gè)不同元素排在 個(gè)不同位置的排列數(shù)有 種方法. 例17.把6 名實(shí)習(xí)生分配到7 個(gè)車(chē)

28、間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？ 解析：完成此事共分6 步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7 種不同方案，第二步： 將第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7 種不同方案，依次類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有 種不同 方案. 18.復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法: 例18.馬路上有編號(hào)為1，2，3，9 九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的 二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？ 解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在 6 盞亮燈的 5 個(gè)空隙中插入 3 盞不亮的燈 種方法, 所以滿足條件的關(guān)燈方案有10 種. 說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，

29、裝 盒模型可使問(wèn)題容易解決. 19.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法: 例 19.設(shè)有編號(hào)為 1，2，3，4，5 的五個(gè)球和編號(hào)為 1，2，3，4，5 的盒子現(xiàn)將這 5 個(gè)球 投入5 個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多 少種不同的方法？ 解 析：從5 個(gè)球中取出2 個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 種，還剩下3 個(gè)球與3 個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)， 利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5 號(hào)球與3，4，5 號(hào)盒子時(shí)，3 號(hào)球不能裝入3 號(hào)盒子， 當(dāng)3 號(hào)球裝入4 號(hào)盒子 時(shí)，4，5 號(hào)球只有1 種裝法，3 號(hào)球裝入5 號(hào)盒子時(shí)，4，5 號(hào)球 也只有1 種裝法，所以剩下三球只有

30、2 種裝法，因此總共裝法數(shù)為 種. 20.復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也可用分解與合成法: 例20.（1）30030 能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？ 解析：先把30030 分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2 必取，3， 5，7，11，13 這5 個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為 13 個(gè). （2）正方體8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？ 解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3 對(duì)異面直線，可將問(wèn)題分解成正方體的8 個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè) 不同的四面體，從正方體8 個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有 個(gè)，所以8 個(gè)頂點(diǎn)可連 成的異面

31、直線有3×58=174 對(duì). 21.利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理. 例21.（1）圓周上有10 點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 解析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì) 應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10 個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不 同的四邊形，顯然有 個(gè)，所以圓周上有10 點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有 個(gè). （2）某城市的街區(qū)有12 個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從 到 的最短路徑有多 少種？ 解析：可將圖中矩形的一邊

32、叫一小段，從 到 最短路線必須走7 小段，其中：向東4 段， 向北3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過(guò)4 段的走法，便能確定 路徑，因此不同走法有 種. 排列組合問(wèn)題的求解策略(本周回顧） 方肇飛 （歸納版） 1.計(jì)數(shù)原理：加法原理：N=n1+n2+n3+67+nM (分類(lèi)) 乘法原理：N=n1·n2·n3·67nM (分步)； 2. 排列（有序）與組合（無(wú)序）；排列一般為總元素中選部分，然后對(duì)選出元 素進(jìn)行安排，要各得其所。（一對(duì)一） 3.公式和性質(zhì)：（自己寫(xiě)） 4. 排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排。 5. 排列組合題的主要解題

33、方法： 解答排列組合問(wèn)題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題， 或者屬于排列與組合的混合問(wèn)題，其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本 原理和公式進(jìn)行分析解答。同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看 似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法。 14 一、合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步法 解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事情發(fā)生的連 續(xù)過(guò)程分步，作到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。 例1 、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（ ） A120 種 B96 種 C78 種 D72 種 分析：由題意可先安排甲，并按其分類(lèi)討論：1）若甲在末

34、尾，剩下四人可自由 排，有 種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有 種排法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理， 排法共有 種，選C。 二、正難反易轉(zhuǎn)化法 對(duì)于一些生疏問(wèn)題或直接求解較為復(fù)雜或較為困難問(wèn)題，從正面入手情況較 多，不易解決，這時(shí)可從反面入手，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)處理。 例2、 馬路上有8 只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只 燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足 條件的關(guān)燈方法共有多少種？ 分析： 關(guān)掉第1 只燈的方法有6 種，關(guān)第二只，第三只時(shí)需分類(lèi)討論，十分復(fù) 雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對(duì)應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與 關(guān)燈的排列，

35、于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在5 只亮燈的4 個(gè)空中插入3 只暗燈”的問(wèn)題。 故關(guān)燈方法種數(shù)為 。 三、混合問(wèn)題“先選后排” 對(duì)于排列組合混合問(wèn)題，可先選出元素，再排列。 例 3、 4 個(gè)不同小球放入編號(hào)為1，2，3，4 的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方 法有多少種？ 分析： 因有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個(gè)球中選2 個(gè)有 種， 從4 個(gè)盒中選3 個(gè)盒有 種；2）排：把選出的2 個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2 球 共3 個(gè)元素，對(duì)選出的3 盒作全排列有 種，故所求放法有 種。 四、“優(yōu)先安排法”：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元 素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位

36、置. 例 4、 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù) 共有（ ）。 A 24 個(gè) B。30 個(gè) C。40 個(gè) D。60 個(gè) 分析由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?0 不能排首位，故0 15 就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0 排在末尾和 0 不排在末尾分兩 類(lèi)：1）0 排末尾時(shí)，有 個(gè)，2）0 不排在末尾時(shí)，則有 個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理， 共有偶數(shù) =30 個(gè)，選B。 五、間接法（總體淘汰法） 對(duì)于含有否定字眼的問(wèn)題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)需注意不 能多減，也不能少減。 例如在例4 中，也可用此法解答：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有

37、個(gè)，排好后 發(fā)現(xiàn)0 不能排首位，而且數(shù)字3，5 也不能排末位，這兩種排法要除去，故有 個(gè) 偶數(shù)。 六、局部問(wèn)題“整體優(yōu)先法” 對(duì)于局部排列問(wèn)題，可先將局部看作一個(gè)元與其余元素一同排列，然后在進(jìn)行 局部排列。 例5、7 人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？ 分析： 甲、乙及間隔的3 人組成一個(gè)“小整體”，這3 人可從其余5 人中選， 有 種；這個(gè)“小整體”與其余2 人共3 個(gè)元素全排列有 種方法，它的內(nèi)部甲、 乙兩人有 種站法，中間選的3 人也有 種排法，故符合要求的站法共有 種。 七、相鄰問(wèn)題“捆綁法” 對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問(wèn)題，可將相鄰的元素看作一個(gè)“元”與其他

38、 元素排列，然后在對(duì)“元”內(nèi)部元素排列。 例6、 7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？ 分析： 把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“元”，與其余4 人共5 個(gè)元作全排列，有 種排法，而甲乙、丙、之間又有 種排法，故共有 種排法。 八、不相鄰問(wèn)題“插空法” 對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在 已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。 例7、在例6 中， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？ 分析： 先將其余四人排好有 種排法，再在這人之間及兩端的 5 個(gè)“空”中選 三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同排法。 九、順序固定問(wèn)題用

39、“除法” 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列， 然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。 例8、 6 個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？ 分析： 不考慮附加條件，排隊(duì)方法有 種，而其中甲、乙、丙的 種排法中只有 一種符合條件。故符合條件的排法有 種。 十、構(gòu)造模型 “隔板法” 對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。 例9、 方程a+b+c+d=12 有多少組正整數(shù)解？ 分析：建立隔板模型：將 12 個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的 11 16 個(gè)間隙中任意插入3 塊隔板，把球分成4 堆，而

40、每一種分法所得4 堆球的各堆 球的數(shù)目，即為a,b,c,d 的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 。 再如 方程a+b+c+d=12 非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；三項(xiàng)式 ,四項(xiàng)式 等展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)， 經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后都可用此法解。 十一、分排問(wèn)題“直排法” 把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問(wèn)題，若沒(méi)有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一 排成一排的方法來(lái)處理。 例10、7 個(gè)人坐兩排座位，第一排3 個(gè)人，第二排坐4 個(gè)人，則不同的坐法有 多少種？ 分析：7 個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無(wú)其它條件，故兩排可看作一排來(lái)處 理，不同的坐法共有 種。 十二、表格法 有些較復(fù)雜的問(wèn)題可以通過(guò)列表使其直觀化。 例11、9 人組成

41、籃球隊(duì)，其中7 人善打前鋒，3 人善打后衛(wèi)，現(xiàn)從中選5 人（兩 衛(wèi)三鋒，且鋒分左、中、右，衛(wèi)分左右）組隊(duì)出場(chǎng)，有多少種不同的組隊(duì)方法？ 分析：由題設(shè)知，其中有1 人既可打鋒，又可打衛(wèi)，則只會(huì)鋒的有6 人，只會(huì) 衛(wèi)的有2 人。列表如下： 人數(shù) 6 人只會(huì)鋒 2 人只會(huì)衛(wèi) 1 人即鋒又衛(wèi) 結(jié)果 不同 選法 3 2 3 1 1（衛(wèi)） 2 2 1（鋒） 由表知，共有 種方法。 除 了上述方法外，有時(shí)還可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，借助方程來(lái)解答，簡(jiǎn)單一些的 問(wèn)題可采用列舉法，還可以利用對(duì)稱性或整體思想來(lái)解題等等。排列組合是高 中數(shù)學(xué)的重點(diǎn) 和難點(diǎn)之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。事實(shí)上，許多概率問(wèn) 題也可歸結(jié)為排列

42、組合問(wèn)題。這一類(lèi)問(wèn)題不僅內(nèi)容抽象，解法靈活，而且解題 過(guò)程極易出現(xiàn)“重復(fù)” 和“遺漏”的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤甚至不容易檢查出來(lái)，所 以解題時(shí)要注意不斷積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧。 6. 在求解排列與組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意： (1)把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題； (2)通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理； (3)用何種方法？ (4)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏； (5)列出式子計(jì)算和作答. 三 經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是：分類(lèi)討論思想；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)稱思想. 7.解排列組合題的一般思路（步驟）及方法：（剛開(kāi)始學(xué)時(shí)的關(guān)鍵所在，即找 出框架） a、先分析事件是什么，并判斷完成

43、這件事情是分步還是分類(lèi)？ 17 如分步，則分幾步？每個(gè)步驟又分幾種情況？ 如分類(lèi)，如何分類(lèi)，在你選好某種個(gè)人分類(lèi)方法后則分幾類(lèi)？每類(lèi)又有幾種情 況？在某類(lèi)中是否依步進(jìn)行不了還需再分類(lèi)。 b、先考慮以上兩個(gè)原則，再考慮這件事情的發(fā)生有無(wú)順序，有序則排列，無(wú)序 則組合； 然后考慮題意，根據(jù)題意選擇用何種方法：插空法、優(yōu)先法、捆綁法、間接法、 去雜法、樹(shù)形法等等；一定要確保其中無(wú)重復(fù)，無(wú)遺漏！當(dāng)然只要找準(zhǔn)套路就 沒(méi)問(wèn)題。 題型可由你歸納為排隊(duì)問(wèn)題，數(shù)字問(wèn)題和幾何問(wèn)題（染色）等。要以典型例題 為本來(lái)模仿！不要以為是出現(xiàn)了新問(wèn)題而束手無(wú)策。 同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，若能把一個(gè)題的解答分析過(guò)程清楚地?cái)⑹龀鰜?lái)，那么

44、，就一 定對(duì)該題該類(lèi)都了如指掌了，這正如有的同學(xué)為什么幫別人解答了問(wèn)題提高了 自己。在此我希望高二（11），（12）班的同學(xué)們能夠齊心協(xié)力，按時(shí)按質(zhì)完 成每天的任務(wù)，不在中途落下。能把高考中的這 21 分拿到手。同時(shí)激發(fā)年輕人 的斗志，無(wú)往不勝！ 牛刀小試： 1、設(shè)集合M=a,b,c,d, N=a1,b1,c1, 則M到N 上的映射的個(gè)數(shù)為_(kāi)81_. 2、現(xiàn)有6 張同排連座號(hào)的電影票, 分給3 名老師與3 名學(xué)生, 要求師生相間而坐, 則不 同的分法數(shù)為_(kāi)72_. 3、一名數(shù)學(xué)教師和四名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一行留影, 若老師不排在兩端, 則共有多少種不同 的排法_72_. 4、從6 臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5

45、臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5 臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各 2 臺(tái), 則不同的選法有_350_. 5、集合11,7,0,1,2,3,5從中每次取出3 個(gè)不重復(fù)的元素作為直線 Ax+By+C=0 中的字母A、B、C, 則斜率小于零的直線共有_70_條. 6、有一個(gè)田字格，用四種不同的顏色去涂，相鄰的格子不能用同一種顏色，則 有_84_種填涂方法。 7、7 人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有_240_ 排法. 8、8 人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2 人相鄰,但這3 人不同時(shí)相鄰的排法有 _21600_種. 解答排列組合應(yīng)用題的策略（第二周回顧 ）方肇飛07

46、.03.25 解 決排列組合問(wèn)題要講究策略，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無(wú)序)， 還是排列與組合混合問(wèn)題。其次，要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利 用兩個(gè)基本原 則進(jìn)行“分類(lèi)與分步”。加法原理的特征是分類(lèi)解決問(wèn)題，分類(lèi)必須滿足兩個(gè)條件：類(lèi) 18 與類(lèi)必須互斥(不相容)，總類(lèi)必須完備(不遺漏)；乘法 原理的特征是分步解決問(wèn)題， 分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。分類(lèi)與分步是解決排列組合問(wèn)題 的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“ 步”與“類(lèi)”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類(lèi) 中有步，也可以是步中有類(lèi)。 以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類(lèi)，用 準(zhǔn)加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解， 檢驗(yàn)真?zhèn)巍?下面對(duì)幾種典型的排列組合問(wèn)題進(jìn)行策略分析，擬找到解決相應(yīng)問(wèn)題的有效方法。具 體題目在審題時(shí)一定要明白題意，理解對(duì)了才能做對(duì)。每個(gè)字眼都要看清。如種，個(gè)，相 同不相同，不重復(fù)或沒(méi)提到，否則千錯(cuò)萬(wàn)錯(cuò)。有的題目從不角度做有難易之分，比如從元 素或位置做。一定打好基礎(chǔ)