初一奧數(shù)-絕對(duì)值

1、絕對(duì)值絕對(duì)值主講：劉文峰主講：劉文峰專題簡(jiǎn)析專題簡(jiǎn)析 絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的定義來解決這些問題 下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對(duì)值的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析分析 一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零即,00,0,0aaaaaa=-當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí) 絕對(duì)值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識(shí)，它與距離的概念密切相關(guān)在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值 結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反

2、數(shù)反之，相反數(shù)的絕對(duì)值相等也成立由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)例例 1 、a，b 為實(shí)數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件？ (1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a|b|； (3)|a-b|=|b-a|； (4)若|a|=b，則 a=b； (5)若|a|b|，則 ab； (6)若 ab，則|a|b|解：解：(1)不對(duì)當(dāng) a，b 同號(hào)或其中一個(gè)為 0 時(shí)成立 (2)對(duì) (3)對(duì) (4)不對(duì)當(dāng) a0 時(shí)成立 (5)不對(duì)當(dāng) b0 時(shí)成立 (6)不對(duì)當(dāng) ab0 時(shí)成立 例例 2、 設(shè)有理數(shù) a，b，c 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖 1-1 所示，化簡(jiǎn)|b-a|+|

3、a+c|+|c-b| 解：解：由圖1-1可知，a0，b0，c0， 且有|c|a|b|0根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(hào)法則，有b-a0，ac0，c-b0 再根據(jù)絕對(duì)值的概念，得 |b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2cc b 0 a x 圖11例 3 、已知x-3，化簡(jiǎn)： |3+|2-|1+x| 分析：分析： 這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問題，可從里往外從里往外一層一層地去絕對(duì)值符號(hào) 解：解：原式=|3+|2+(1+x)|(因?yàn)橐驗(yàn)?1+x0) =|3+|3+x| =|3-(3+x)|(因?yàn)橐驗(yàn)?3

4、+x0) =|-x| =-x例例 4 、 若若 的所有可的所有可能值是什么？能值是什么？ 解：解： 因?yàn)?abc0，所以 a0，b0，c0 (1)當(dāng) a，b，c 均大于零時(shí)，原式=3； (2)當(dāng) a，b，c 均小于零時(shí)，原式=-3； (3)當(dāng) a，b，c 中有兩個(gè)大于零，一個(gè)小于零時(shí)， 原式=1； (4)當(dāng) a，b，c 中有兩個(gè)小于零，一個(gè)大于零時(shí)， 原式=-1 所以 的所有可能值是3, 1 說明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對(duì)值問題時(shí)很常用0,|abcabcabc+則|abcabc+例例 5 、若|x|=3，|y|=

5、2，且|x-y|=y-x， 求 x+y 的值 解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)閨x-y|0， 所以所以 y-x0，yx 由由|x|=3，|y|=2 可知，可知，x0， 即即 x=-3 (1)當(dāng)當(dāng) y=2 時(shí)，時(shí)，x+y=-1； (2)當(dāng)當(dāng) y=-2 時(shí)，時(shí)，x+y=-5 所以所以 x+y 的值為的值為-1 或或-5 例例 6、 若 a，b，c 為整數(shù)， 且|a-b|19+|c-a|99=1， 試計(jì)算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值 解解 ：a，b，c 均為整數(shù)， 則 a-b，c-a 也應(yīng)為整數(shù)， 且|a-b|19，|c-a|99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為 1，所以只能是 |a-b|19=0 且|c-a|99

6、=1， 或 |a-b|19=1 且|c-a|99=0 由有 a=b 且 c=a1，于是|b-c |=|c-a|=1； 由有 c=a 且 a=b1，于是|b-c|=|a-b|=1 無論或都有|b-c|=1 ，且|a-b|+|c-a|=1， 所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2例例 7 、若|x-y+3|與|x+y-1999|互為相反數(shù)，求 的值。 解：解： 依相反數(shù)的意義有|x-y+3|=-|x+y-1999| 因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，所以必有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0即2xyxy+-例例 8 、化簡(jiǎn)：|3x+1|+|2x-1| 分析：分析： 本題是兩個(gè)絕對(duì)

7、值和的問題解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，則是很容易的事 例如，化簡(jiǎn)|3x+1|，只要考慮 3x+1 的正負(fù)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)這里我們是分 兩種情況加以討論的，此時(shí) 是一個(gè)分界點(diǎn)，類似地，對(duì)于|2x-1|而言， 是一個(gè)分界點(diǎn)，為同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，我們把兩個(gè)分界點(diǎn) 標(biāo)在數(shù)軸上，把數(shù)軸分為三部份(如圖如圖12所示所示)即 ，這樣我們就可以分類討論化簡(jiǎn)了。1133xx -與13x = -12x =1132-和1111,3322xxx- 說明說明 ：解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個(gè)分界點(diǎn)，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)軸

8、分成幾個(gè)部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡(jiǎn)，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”例例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|， 求 y 的最大值 分析：分析：首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者 解：解： 有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1 (1)當(dāng) x-3 時(shí)，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于 x-3，所以 y=x-1-4，y 的最大值是-4 (2)當(dāng)-3x-1 時(shí)，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3x-1，所以-45x+116，y 的最大值是 6 (3)當(dāng)-1x

9、1 時(shí)，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1x1，所以 0-3x+36，y 的最大值是 6 (4)當(dāng) x1 時(shí)，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于 x1，所以 1-x0，y 的最大值是 0 綜上可知，當(dāng)綜上可知，當(dāng) x=-1 時(shí)，時(shí)，y 取得最大值為取得最大值為 6例例 10、 設(shè) abcd， 求|x-a|+|x-b|+|x-c |+|x-d|的最小值 分析：分析：本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算，但比較麻煩若能利用|x-a|，|x-b|，|x-c |，|x-d|的幾何意義來解題，將顯得更加簡(jiǎn)捷便利 解：解：設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的

10、對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，D，X，則|x-a|表示線段AX 之長， 同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分別表示線段BX，CX，DX之長現(xiàn)要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn) X，使該點(diǎn)到 A，B，C，D 四點(diǎn)距離之和最小 因?yàn)?abcd，所以 A，B，C，D 的排列應(yīng)如圖 13 所示： 所以當(dāng) X 在 B，C 之間時(shí)，距離和最小， 這個(gè)最小值為 AD+BC，即(d-a)+(c-b)例例 11、 若 2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒為常數(shù)，求 x 該滿足的條件及此常數(shù)的值 分析與解分析與解 要使原式對(duì)任何數(shù) x 恒為常數(shù)，則去掉絕對(duì)

11、值符號(hào)，化簡(jiǎn)合并時(shí)，必須使含 x 的項(xiàng)相加為零，即 x 的系數(shù)之和為零故本題只有 2x-5x+3x=0 一種情況因此必須有 |4-5x|=4-5x 且且|1-3x|=3x-1 故 x 應(yīng)滿足的條件是 解之得： 此時(shí)，原式原式=2x+4-5x-(1-3x)+4=7450310 xx- 1435x 1x 是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列等式成立： (1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|； (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5) 2化簡(jiǎn)下列各式： (1) (2)|x+5|+|x-7|+|x+10| 3若 ab0，化簡(jiǎn)|a+b-1|-|3-a-b| 4已知 y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|，求 y 的最大值|xxx- 5設(shè) T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|， 其