內(nèi)積空間與傅立葉級數(shù)

1、2.5 傅立葉級數(shù)與可分的Hilbert空間在數(shù)學分析中，一個以為周期的函數(shù)可以展開為Fourier級數(shù)：其中的傅里葉系數(shù)為 而且由收斂定理知：若函數(shù)在一個周期內(nèi)(1)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(可取或跳躍間斷點)；(2)至多有有限個極值點，那么對于連續(xù)點Fourier級數(shù)收到；對于間斷點級數(shù)收斂到左右極限的算術(shù)平均值可驗證是的一個標準正交系內(nèi)積定義為，所以的展開式中的系數(shù)可改寫為 的展開式即為：這種函數(shù)的展開式表示是研究很多實際問題的重要工具下面將這種展開推廣到一般的Hilbert空間2.5.1 傅立葉級數(shù)及其收斂性定義2.5.1 Fourier級數(shù)設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系，稱級數(shù)為關(guān)于的

2、傅立葉級數(shù)，其中()為關(guān)于的傅立葉系數(shù)傅立葉級數(shù)在什么條件下收斂？與系數(shù)的關(guān)系如何？定理1.1 設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系，記，那么，是在上的正交投影注意：上述定理中，也是在上的最佳逼近定理2.5.1 最佳逼近定理設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系，()，則對任何數(shù)組有證明設(shè)以及，則由上述定理1.1知是在上的正交投影，即，又因，可見，于是因此根據(jù)勾股定理(第三個等號)有定理2.5.2 貝塞爾(Bessel)不等式設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系，則，()有證明設(shè)，下面分別證明以及顯然是在上的正交投影，即，顯然有，那么得又因為因此，當時有注1：對于任意向量有，即上述定理中；收斂，即Bessel不等式的幾何意義為：向

3、量在每一個單位向量上的投影的“長度”的平方和，不超過“長度”的平方定理2.5.3 傅立葉級數(shù)收斂的充要條件設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系， ，則關(guān)于的傅立葉級數(shù)收斂于(即)的充要條件為，其中()，稱為巴塞弗(Parseval)公式證明設(shè)，則，于是 (勾股定理) (定理2.5.2)因此級數(shù)收斂的等價條件為(依范數(shù))，即注2：由上述定理知，在內(nèi)積空間的標準正交系下，當Bessel不等式中的等號成立時(即Parseval公式成立)，關(guān)于的傅立葉級數(shù)就收斂于那么在什么條件下Bessel不等式成為等式？這與中的標準正交系有沒有選取得足夠多有關(guān)例如在中，對于任意向量，若選取與空間維數(shù)相同數(shù)目的標準正交系有，因為

4、也是的標準正交系，而選取這個標準正交系其結(jié)果是顯然原因在于標準正交系沒有取“全”圖2.5.1 向量在上的正交投影示意圖定義2.5.2 完全標準正交系(基)設(shè)為內(nèi)積空間的標準正交系，如果，則，那么稱為內(nèi)積空間的完全標準正交系(或完全標準正交基)引理2.5.1 設(shè)是Hilbert空間的一個完全標準正交系，則證明 假設(shè)存在向量，根據(jù)投影定理得，顯然，于是，這與是的一個完全標準正交系相矛盾，故定理2.5.4 設(shè)是Hilbert空間，則以下命題等價:(1) 是的完全標準正交系；(2) ，關(guān)于的傅立葉級數(shù)收斂，；(3) ，證明 (1)(2) 根據(jù)上述引理知，其中，于是，存在，使得由最佳逼近定理知當時，由勾

5、股定理知令，有，于是根據(jù)的任意性可得(2)(3) 由傅立葉級數(shù)收斂的充要條件可得(3)(1) 設(shè)，由可得，故，即是的完全標準正交系注3：通過上述定理把數(shù)學分析中的Fourier展開式推廣到抽象的Hilbert空間中，并揭示了完全標準正交系、Parseval公式及Fourier展開式之間的本質(zhì)聯(lián)系可以證明，在空間中，三角函數(shù)系是它的完全標準正交系2.5.2 可分Hilbert空間的模型定義2.5.3 線性等距同構(gòu)設(shè)為同一數(shù)域上的內(nèi)積空間，如果存在從到上的一一映射：保持線性運算和內(nèi)積，即，有；，則稱與線性等距同構(gòu)事實上，可將線性等距同構(gòu)的兩個內(nèi)積空間看作“同一”個空間下面分別刻畫有限維和無限維的H

6、ilbert空間定理2.5.5 有限維Hilbert空間模型設(shè)是維Hilbert空間，則與復(fù)內(nèi)積空間線性等距同構(gòu)證明 在上取一組基，應(yīng)用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法將其正交化，可得的標準正交系，作到上的映射：容易驗證是從到上的線性等距同構(gòu)映射定理2.5.6 Hilbert空間可分充要條件無限維Hilbert空間可分當且僅當有完全標準正交系證明 由可分知，存在可列的稠密子集下面首先(1)由構(gòu)造線性獨立系，其次(2)將正交化得到標準正交系，最后(3)再證明是的完全標準正交系(1) 設(shè)是中的第一個不為非零元素，記為；是之后中的第一個與線性無關(guān)的元素，記為；同樣地，記之后中的第一個與

7、，線性無關(guān)的元素為以此類推可知是的線性獨立系(2) 使用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法將正交化可得標準正交系，且有表達式，(3) 假設(shè)不是的完全標準正交系，則存在，使得因為在中稠密，即存在的一個子列收斂到，于是存在，使得可設(shè)，所以有產(chǎn)生矛盾，故是的完全標準正交系設(shè)有完全標準正交系，由正交系完全的充要條件知，有下面尋找一個可列集，使得是它們的極限，使得根據(jù)有理數(shù)的稠密性知，存在實部、虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)滿足于是因為可列集在中稠密，故可分定理2.5.7 如果無限維Hilbert空間可分，則與同構(gòu)證明 由上述定理知，可分的無限維Hilbert空間存在完全標準正交系由正交系完全的充要條

8、件知，有及，可見，令：易驗證是一一映射，下面證明保線性和內(nèi)積設(shè)，及，那么有(1)保線性；(2)保內(nèi)積故與線性等距同構(gòu)注：根據(jù)上述定理可知，復(fù)內(nèi)積空間是有限維Hilbert空間的模型；復(fù)內(nèi)積空間是無限維Hilbert空間的模型貝塞爾(Bessel)不等式Bessel inequalityBessel，F(xiàn)riedrich Wilhelm(17841846）貝塞耳，弗雷德里希威廉德國天文學家，數(shù)學家，天體測量學的奠基人之一。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學到不來梅一家出口公司當學徒，在學習航海術(shù)的同時學習天文、地理和數(shù)學。20歲時發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測

9、量的論文。1806年成為天文學家施特勒爾的助手。1810年，奉普魯士國王之命，任新建的柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。1812年當選為柏林科學院院士。貝塞爾在天文學上有較多貢獻，在天體測量方面，他重新訂正巴拉德雷星表，加上歲差和章動以及光行差的改正，并把位置歸算到1760年的春分點。經(jīng)過修訂的星表于1818年發(fā)表，其中還列有他求得的較精確的歲差常數(shù)、章動常數(shù)和光行差常數(shù)等數(shù)值。在此期間，他還編制出一份相當精確的大氣折射表，建立了計算大氣折射的對數(shù)公式，以修正其對天文觀測的影響，在十九世紀得到廣泛引用。在1821-1833年間，白賽爾測定了赤緯-5度到+45度之間的亮于九等75000多顆恒星的基本

10、星表，后來由他的助手和繼承人阿格蘭德擴充成著名的波恩巡天星表。以天文學基礎(chǔ)（1818）為標志發(fā)展了實驗天文學，貝塞爾編制基本星表，測定恒星視差，預(yù)言伴星的存在，導出用于天文計算的貝塞爾公式，1837年，貝塞爾測量天鵝座視差，發(fā)現(xiàn)天鵝座61正在非常緩慢地改變位置，第二年，他宣布這顆星的視差是0.31弧秒，這是世界上最早測定的恒星視差之一。1844年，貝塞爾根據(jù)天狼星和南河三自行的波浪式起伏，預(yù)言它們都有暗的伴星存在，后來分別在1862年和1896年為觀測所證實。他在數(shù)學研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學和天文學的有關(guān)問題提供了重要工具。此外，他在大地測量學

11、方面也做出一定貢獻，提出貝塞爾地球橢球體等觀點。在數(shù)學里的泛函分析中，貝塞爾不等式是類似于勾股定理的一種不等式。貝塞爾不等式揭示了希爾伯特空間中的一個元素和它在一個正交序列上的投影之間的關(guān)系。舉例來說，平面上的一個向量的長度的平方等于它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和，而對于一個三維空間上的向量，它在兩個相互垂直的坐標軸上的投影的平方和一般會小于它自身的長度的平方，除非它就在這兩個坐標軸構(gòu)成的平面上。對于一個希爾伯特空間中的向量來說，它在任意一個正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的長度的平方。這就是貝塞爾不等式。貝塞爾不等式的等號成立當且僅當正交序列是完全序列。這時貝塞爾不等式轉(zhuǎn)

12、化為帕塞瓦爾定理。巴塞弗(Parseval)公式傅里葉(Fourier)級數(shù)讓巴普蒂斯約瑟夫傅立葉（法文：Jean Baptiste Joseph Fourier,1768年3月21日1830年5月16日），也譯作傅里葉，法國數(shù)學家、物理學家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡， 被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學，1794到巴 黎，成為高等師范學校的首批學員，次年到巴黎綜合工科學校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當選為科學院院士，1

13、822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務(wù)委員會主席。主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交熱的傳播論文，推導出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方程符號法則的證法和實根個數(shù)的判別法等。傅立葉變換的基本思想首先由傅立葉提出，所以以其名字來命名以示紀念。從現(xiàn)代數(shù)學的眼光來看，傅立葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性

14、組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。傅立葉變換屬于調(diào)和分析的內(nèi)容?！胺治觥?，就是條分縷析。通過對函數(shù)的條分縷析來達到對復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。從哲學上看，分析主義和還原主義，就是通過對事物內(nèi)部適當?shù)姆治鲞_到增進對其本質(zhì)理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子，而原子不過數(shù)百種而已，相對物質(zhì)世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認識事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。在數(shù)學領(lǐng)域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數(shù)通過一定的分解，都

15、能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì),使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：1. 傅立葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù),它還是酉算子；2. 傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲??；4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以

16、化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT).正是由于上述的良好性質(zhì),傅立葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。物理方面他是傅立葉定律的創(chuàng)始人，1822 年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19 世紀的理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830） 法國數(shù)學家及物理學家。 最早使

17、用定積分符號，改進符號法則及根數(shù)判別方法。 傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）創(chuàng)始人。 法國數(shù)學家、物理學家。1768年3月21日生于歐塞爾， 1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡， 被當?shù)亟烫檬震B(yǎng) 。12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學，1794到巴 黎，成為高等師范學校的首批學員， 次年到巴黎綜合工科學校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及 時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾 省地方長官。1817年當選為科學院院 士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務(wù)委 員會主席。 主要 貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。180

18、7年向巴黎科學院呈交熱的傳播論文， 推導 出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示 ，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。 1822 年在代表作熱的分析理論中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19 世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響 。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論 均由此創(chuàng)始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方 程符號法則的證法和實根個數(shù) 的判別法等。 還有一個網(wǎng)址是傅立葉是一個法國數(shù)學家，他的論文“傳熱理論的分析與研究”對數(shù)學物理學產(chǎn)生的了很大影響。依據(jù)他的研究，固體中的導熱現(xiàn)象能通過無窮數(shù)學級數(shù)來表示，即以他的名字命名的傅立葉級數(shù)。他通過對典型導熱現(xiàn)象的分析研究，打打促進了數(shù)學物理學的發(fā)展。這些研究也就是圍繞許多自然現(xiàn)象，比如太陽黑子、潮汐、大氣氣候等，一直以來我們說的邊界問題的求解。他的研究對這個理論的實際應(yīng)用產(chǎn)生很大的影響，其中，現(xiàn)代數(shù)學就是其中的一個分支。 傅立葉是一個裁縫的兒子，早在他小學時就