傅里葉變換算法詳細(xì)介紹

1、從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、上前言第一部分、 DFT第一章、傅立葉變換的由來(lái)第二章、實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換（Real DFT）從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、下第三章、復(fù)數(shù)第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換/*/這一片的傅里葉變換算法，講解透徹，希望對(duì)大家會(huì)有所幫助。感謝原作者們（July、dznlong）的精心編寫(xiě)。/*/前言：“關(guān)于傅立葉變換，無(wú)論是書(shū)本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過(guò)抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解”-dznlong，那么，到底什么是傅里葉變換算法列?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復(fù)

2、雜列?傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來(lái)命名以示紀(jì)念。哦，傅里葉變換原來(lái)就是一種變換而已，只是這種變換是從時(shí)間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。這下，你就知道了，傅里葉就是一種變換，一種什么變換列?就是一種從時(shí)間到頻率的變化或其相互轉(zhuǎn)化。ok，咱們?cè)賮?lái)總體了解下傅里葉變換，讓各位對(duì)其有個(gè)總體大概的印象，也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式，究竟有多復(fù)雜：以下就是傅里葉變換的4種變體（摘自，維基百科）連續(xù)傅里葉變換一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語(yǔ)，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f

3、（t）表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)F()表示為時(shí)間域的函數(shù)f（t）的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為：即將時(shí)間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F()的積分。一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱函數(shù)F()為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transform pair）。除此之外，還有其它型式的變換對(duì)，以下兩種型式亦常被使用。在通信或是信號(hào)處理方面，常以來(lái)代換，而形成新的變換對(duì):或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對(duì)：一種對(duì)連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分?jǐn)?shù)傅里葉變換（Fractional Fourie

4、r Transform）。分?jǐn)?shù)傅里葉變換(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里葉變換(Fourier transform,FT)的廣義化。分?jǐn)?shù)傅里葉變換的物理意義即做傅里葉變換 a 次，其中 a 不一定要為整數(shù)；而做了分?jǐn)?shù)傅里葉變換之后，信號(hào)或輸入函數(shù)便會(huì)出現(xiàn)在介于時(shí)域(time domain)與頻域(frequency domain)之間的分?jǐn)?shù)域(fractional domain)。當(dāng)f（t）為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）時(shí)，其正弦（或余弦）分量將消亡，而可以稱這時(shí)的變換為余弦變換（cosine transform）或正弦變換（sine transform

5、）.另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是，當(dāng)f（t）為純實(shí)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)() = F*()成立.傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù) (Fourier series)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對(duì)于周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是存在的：其中Fn為復(fù)幅度。對(duì)于實(shí)值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫(xiě)成：其中an和bn是實(shí)頻率分量的幅度。離散時(shí)域傅里葉變換離散傅里葉變換是離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時(shí)作為后者的近似）。DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆變換。離散傅里葉變換 離散傅里葉變換（DFT），是連續(xù)傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都離散的形式，將

6、時(shí)域信號(hào)的采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時(shí)域和頻域上）的序列是有限長(zhǎng)的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對(duì)有限長(zhǎng)的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作經(jīng)過(guò)周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算DFT。 為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換（DFT），將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：其中Xk是傅里葉幅度。直接使用這個(gè)公式計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為O（n*n），而快速傅里葉變換（FF

7、T）可以將復(fù)雜度改進(jìn)為O（n*lgn）。（后面會(huì)具體闡述FFT是如何將復(fù)雜度降為O（n*lgn）的。）計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。 下面，比較下上述傅立葉變換的4種變體，如上，容易發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在時(shí)（頻）域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時(shí)）域的周期性。反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性。也就是說(shuō)，時(shí)間上的離散性對(duì)應(yīng)著頻率上的周期性。同時(shí)，注意，離散時(shí)間傅里葉變換，時(shí)間離散，頻率不離散，它在頻域依然是連續(xù)的。 如果，讀到此，你不甚明白，大沒(méi)關(guān)系，不必糾結(jié)于以上4種變體，繼續(xù)往下看，你自會(huì)豁然開(kāi)朗。（有什么問(wèn)題，也懇請(qǐng)?zhí)岢?，或者批評(píng)指正

8、）ok， 本文，接下來(lái)，由傅里葉變換入手，后重點(diǎn)闡述離散傅里葉變換、快速傅里葉算法，到最后徹底實(shí)現(xiàn)FFT算法，全篇力求通俗易懂、閱讀順暢，教你從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法。由于傅里葉變換，也稱傅立葉變換，下文所稱為傅立葉變換，同一個(gè)變換，不同叫法，讀者不必感到奇怪。第一部分、DFT第一章、傅立葉變換的由來(lái) 要理解傅立葉變換，先得知道傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。一、傅立葉變換的提出傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fo

9、urier于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，論文里描述運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。 當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)此論文的發(fā)表，而后在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。 誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。 為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如我們也還可

10、以用方波或三角波來(lái)代替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮多的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。 用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正余弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正余弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正余弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。二、傅立葉變換分類 根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：1、非周期性連續(xù)信號(hào) 傅立葉變換（Fourier Transform）2、周期性連續(xù)信號(hào) 傅立葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)3、非周期性離散信號(hào) 離散時(shí)

11、域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）4、周期性離散信號(hào) 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform) 下圖是四種原信號(hào)圖例（從上到下，依次是FT，F(xiàn)S，DTFT，DFT）： 這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒(méi)有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。 面對(duì)這種困難，方法是：把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)。如，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部

12、分用零來(lái)表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離散信號(hào)，我們可以用到離散時(shí)域傅立葉變換（DTFT）的方法。也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離散信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法（DFT）進(jìn)行變換。本章我們要講的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。 但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演

13、算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。 這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。 每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉變換就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉變換放到一邊去，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。 還有，這里我們所

14、要說(shuō)的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。三、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子 先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例，下圖是一個(gè)原始信號(hào)圖像： 這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波（一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)

15、處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖： 9個(gè)余弦信號(hào)：9個(gè)正弦信號(hào)： 把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的，我們先不急，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個(gè)示例圖： 上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右，-，表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左，頻率X）,因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1， X數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率

16、幅度值：Im X， Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N，而不是N/2+1）。如此，再回過(guò)頭去，看上面的正余弦各9種頻率的變化，相信，問(wèn)題不大了。第二章、實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換（Real DFT） 上一章，我們看到了一個(gè)實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的例子，通過(guò)這個(gè)例子能夠讓我們先對(duì)傅立葉變換有一個(gè)較為形象的感性認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在就讓我們來(lái)看看實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的正向和逆向是怎么進(jìn)行變換的。在此，我們先來(lái)看一

17、下頻率的多種表示方法。一、 頻域中關(guān)于頻率的四種表示方法1、序號(hào)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)取0 N/2，用這種方法在程序中使用起來(lái)可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因?yàn)轭l率值跟數(shù)組的序號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的: Xk，取值范圍是0 N/2；2、分?jǐn)?shù)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)的比例值取0 0.5: X， = k/N，取值范圍是0 1/2；3、用弧度值來(lái)表示，把乘以一個(gè)2得到一個(gè)弧度值，這種表示方法叫做自然頻率(natural frequency)：X， = 2 = 2k/N，取值范圍是0 ；4、以赫茲(Hz)為單位來(lái)表示，這個(gè)一般是應(yīng)用于一些特殊應(yīng)用，如取樣率為10 kHz表示每秒有10,00

18、0個(gè)樣本數(shù)：取值范圍是0到取樣率的一半。二、 DFT基本函數(shù)cki = cos(2ki/N)ski = sin(2ki/N) 其中k表示每個(gè)正余弦波的頻率，如為2表示在0到N長(zhǎng)度中存在兩個(gè)完整的周期，10即有10個(gè)周期，如下圖： 上圖中至于每個(gè)波的振幅(amplitude)值(Re Xk,Im Xk)是怎么算出來(lái)的,這個(gè)是DFT的核心，也是最難理解的部分，我們先來(lái)看看如何把分解出來(lái)的正余弦波合成原始信號(hào)(Inverse DFT)。三、 合成運(yùn)算方法(Real Inverse DFT)DFT合成等式（合成原始時(shí)間信號(hào)，頻率-時(shí)間，逆向變換）：如果有學(xué)過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)，對(duì)這個(gè)等式就會(huì)有似曾相識(shí)的感覺(jué)，

19、不錯(cuò)！這個(gè)等式跟傅立葉級(jí)數(shù)是非常相似的： 當(dāng)然，差別是肯定是存在的，因?yàn)檫@兩個(gè)等式是在兩個(gè)不同條件下運(yùn)用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個(gè)我想需要非常強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)了，這是研究數(shù)學(xué)的人的工作，對(duì)于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級(jí)數(shù)是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級(jí)數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。 _ _ DFT合成等式中的ImXk和Re Xk跟之前提到的Im Xk和Re Xk是不一樣的，下面是轉(zhuǎn)換方法（關(guān)于此公式的解釋，見(jiàn)下文）: 但k等于0和N/2時(shí),實(shí)數(shù)部分的計(jì)算要用下面的等式: 上面四個(gè)式中的N是時(shí)域中點(diǎn)的總數(shù)，k是從0到N/2的序號(hào)。 為什么要這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢

20、？這個(gè)可以從頻譜密度(spectral density)得到理解，如下圖就是個(gè)頻譜圖： 這是一個(gè)頻譜圖，橫坐標(biāo)表示頻率大小，縱坐標(biāo)表示振幅大小，原始信號(hào)長(zhǎng)度為N（這里是32），經(jīng)DFT轉(zhuǎn)換后得到的17個(gè)頻率的頻譜，頻譜密度表示每單位帶寬中為多大的振幅，那么帶寬是怎么計(jì)算出來(lái)的呢？看上圖，除了頭尾兩個(gè)，其余點(diǎn)的所占的寬度是2/N，這個(gè)寬度便是每個(gè)點(diǎn)的帶寬，頭尾兩個(gè)點(diǎn)的帶寬是1/N,而Im Xk和Re Xk表示的是頻譜密度，即每一個(gè)單位帶寬的振幅大小，但表示2/N（或1/N）帶寬的振幅大小，所以分別應(yīng)當(dāng)是Im Xk和Re Xk的2/N（或1/N）。頻譜密度就象物理中物質(zhì)密度，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)就

21、象是一個(gè)混合物，這個(gè)混合物是由不同密度的物質(zhì)組成的，混合物中含有的每種物質(zhì)的質(zhì)量是一樣的，除了最大和最小兩個(gè)密度的物質(zhì)外，這樣我們只要把每種物質(zhì)的密度加起來(lái)就可以得到該混合物的密度了，又該混合物的質(zhì)量是單位質(zhì)量，所以得到的密度值跟該混合物的質(zhì)量值是一樣的。 至于為什么虛數(shù)部分是負(fù)數(shù)，這是為了跟復(fù)數(shù)DFT保持一致，這個(gè)我們將在后面會(huì)知道這是數(shù)學(xué)計(jì)算上的需要（Im Xk在計(jì)算時(shí)就已經(jīng)加上了一個(gè)負(fù)號(hào)（稍后，由下文，便可知），再加上負(fù)號(hào)，結(jié)果便是正的，等于沒(méi)有變化）。 如果已經(jīng)得到了DFT結(jié)果，這時(shí)要進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換，即合成原始信號(hào)，則可按如下步驟進(jìn)行轉(zhuǎn)換：1、先根據(jù)上面四個(gè)式子計(jì)算得出的值；2、再根據(jù)DF

22、T合成等式得到原始信號(hào)數(shù)據(jù)。下面是用BASIC語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)換源代碼：100 DFT逆轉(zhuǎn)換方法110 /XX數(shù)組存儲(chǔ)計(jì)算結(jié)果（時(shí)域中的原始信號(hào)）120 /REX數(shù)組存儲(chǔ)頻域中的實(shí)數(shù)分量，IMX為虛分量130 140 DIM XX511150 DIM REX256160 DIM IMX256170 180 PI = 3N% = 512200 210 GOSUB XXXX 轉(zhuǎn)到子函數(shù)去獲取REX和IMX數(shù)據(jù)220 230 240 250 FOR K% = 0 TO 256260 REXK% = REXK% / (N%/2)270 IMXK% = -IMXK% / (N%/

23、2)280 NEXT k%290 300 REX0 = REX0 / N310 REX256 = REX256 / N320 330 初始化XX數(shù)組340 FOR I% = 0 TO 511350 XXI% = 0360 NEXT I%370 380 390 400 410 420 FOR K% =0 TO 256430 FOR I%=0 TO 511440 450 XXI% = XXI% + REXK% * COS(2 * PI * K% * I% / N%)460 XXI% = XXI% + IMXK% * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)470 480 NEXT I%

24、490 NEXT K%500 510 END上面代碼中420至490換成如下形式也許更好理解，但結(jié)果都是一樣的：420 FOR I% =0 TO 511430 FOR K%=0 TO 256440 450 XXI% = XXI% + REXK% * COS(2 * PI * K% * I% / N%)460 XXI% = XXI% + IMXK% * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)470 480 NEXT I%490 NEXT K%四、 分解運(yùn)算方法（DFT） 有三種完全不同的方法進(jìn)行DFT：一種方法是通過(guò)聯(lián)立方程進(jìn)行求解, 從代數(shù)的角度看，要從N個(gè)已知值求N個(gè)未知值，需

25、要N個(gè)聯(lián)立方程，且N個(gè)聯(lián)立方程必須是線性獨(dú)立的，但這是這種方法計(jì)算量非常的大且極其復(fù)雜，所以很少被采用；第二種方法是利用信號(hào)的相關(guān)性（correlation）進(jìn)行計(jì)算，這個(gè)是我們后面將要介紹的方法；第三種方法是快速傅立葉變換（FFT），這是一個(gè)非常具有創(chuàng)造性和革命性的的方法，因?yàn)樗蟠筇岣吡诉\(yùn)算速度，使得傅立葉變換能夠在計(jì)算機(jī)中被廣泛應(yīng)用，但這種算法是根據(jù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)的，它把N個(gè)點(diǎn)的信號(hào)分解成長(zhǎng)度為N的頻域，這個(gè)跟我們現(xiàn)在所進(jìn)行的實(shí)域DFT變換不一樣，而且這種方法也較難理解，這里我們先不去理解，等先理解了復(fù)數(shù)DFT后，再來(lái)看一下FFT。有一點(diǎn)很重要，那就是這三種方法所得的變換結(jié)果

26、是一樣的，經(jīng)過(guò)實(shí)踐證明，當(dāng)頻域長(zhǎng)度為32時(shí)，利用相關(guān)性方法進(jìn)行計(jì)算效率最好，否則FFT算法效率較高?，F(xiàn)在就讓我們來(lái)看一下相關(guān)性算法。利用第一種方法、信號(hào)的相關(guān)性(correlation)可以從噪聲背景中檢測(cè)出已知的信號(hào)，我們也可以利用這個(gè)方法檢測(cè)信號(hào)波中是否含有某個(gè)頻率的信號(hào)波：把一個(gè)待檢測(cè)信號(hào)波乘以另一個(gè)信號(hào)波，得到一個(gè)新的信號(hào)波，再把這個(gè)新的信號(hào)波所有的點(diǎn)進(jìn)行相加，從相加的結(jié)果就可以判斷出這兩個(gè)信號(hào)的相似程度。如下圖： 上面a和 b兩個(gè)圖是待檢測(cè)信號(hào)波，圖a很明顯可以看出是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖b的信號(hào)波則看不出是否含有正弦或余弦信號(hào)，圖c和d都是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波，圖e和f分別是

27、a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結(jié)果，圖e所有點(diǎn)的平均值是0.5，說(shuō)明信號(hào)a含有振幅為1的正弦信號(hào)c，但圖f所有點(diǎn)的平均值是0，則說(shuō)明信號(hào)b不含有信號(hào)d。這個(gè)就是通過(guò)信號(hào)相關(guān)性來(lái)檢測(cè)是否含有某個(gè)信號(hào)的方法。第二種方法：相應(yīng)地，我也可以通過(guò)把輸入信號(hào)和每一種頻率的正余弦信號(hào)進(jìn)行相乘（關(guān)聯(lián)操作），從而得到原始信號(hào)與每種頻率的關(guān)聯(lián)程度（即總和大小），這個(gè)結(jié)果便是我們所要的傅立葉變換結(jié)果，下面兩個(gè)等式便是我們所要的計(jì)算方法： 第二個(gè)式子中加了個(gè)負(fù)號(hào)，是為了保持復(fù)數(shù)形式的一致，前面我們知道在計(jì)算時(shí)又加了個(gè)負(fù)號(hào)，所以這只是個(gè)形式的問(wèn)題，并沒(méi)有實(shí)際意義，你也可以把負(fù)號(hào)去掉，并在計(jì)算時(shí)也不加負(fù)號(hào)。 這里有一點(diǎn)必

28、須明白一個(gè)正交的概念：兩個(gè)函數(shù)相乘，如果結(jié)果中的每個(gè)點(diǎn)的總和為0，則可認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)為正交函數(shù)。要確保關(guān)聯(lián)性算法是正確的，則必須使得跟原始信號(hào)相乘的信號(hào)的函數(shù)形式是正交的，我們知道所有的正弦或余弦函數(shù)是正交的，這一點(diǎn)我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單的高數(shù)知識(shí)就可以證明它，所以我們可以通過(guò)關(guān)聯(lián)的方法把原始信號(hào)分離出正余弦信號(hào)。當(dāng)然，其它的正交函數(shù)也是存在的，如：方波、三角波等形式的脈沖信號(hào)，所以原始信號(hào)也可被分解成這些信號(hào)，但這只是說(shuō)可以這樣做，卻是沒(méi)有用的。 下面是實(shí)域傅立葉變換的BASIC語(yǔ)言代碼： 到此為止，我們對(duì)傅立葉變換便有了感性的認(rèn)識(shí)了吧。但要記住，這只是在實(shí)域上的離散傅立葉變換，其中雖然也用到了復(fù)

29、數(shù)的形式，但那只是個(gè)替代的形式，并無(wú)實(shí)際意義，現(xiàn)實(shí)中一般使用的是復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換，且快速傅立葉變換是根據(jù)復(fù)數(shù)離散傅立葉變換來(lái)設(shè)計(jì)算法的，在后面我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容，然后再在理解實(shí)域離散傅立葉變換的基礎(chǔ)上來(lái)理解復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換。第三章、復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)擴(kuò)展了我們一般所能理解的數(shù)的概念，復(fù)數(shù)包含了實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，利用復(fù)數(shù)的形式可以把由兩個(gè)變量表示的表達(dá)式變成由一個(gè)變量(復(fù)變量)來(lái)表達(dá)，使得處理起來(lái)更加自然和方便。 我們知道傅立葉變換的結(jié)果是由兩部分組成的，使用復(fù)數(shù)形式可以縮短變換表達(dá)式，使得我們可以單獨(dú)處理一個(gè)變量（這個(gè)在后面的描述中我們就可以更加確切地知道），而且快速傅立葉

30、變換正是基于復(fù)數(shù)形式的，所以幾乎所有描述的傅立葉變換形式都是復(fù)數(shù)的形式。 但是復(fù)數(shù)的概念超過(guò)了我們?nèi)粘Ｉ钪兴芾斫獾母拍?，要理解?fù)數(shù)是較難的，所以我們?cè)诶斫鈴?fù)數(shù)傅立葉變換之前，先來(lái)專門(mén)復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)，這對(duì)后面的理解非常重要。一、復(fù)數(shù)的提出 在此，先讓我們看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)球從某點(diǎn)向上拋出，然后根據(jù)初速度和時(shí)間來(lái)計(jì)算球所在高度，這個(gè)方法可以根據(jù)下面的式子計(jì)算得出：其中h表示高度，g表示重力加速度(9.8m/s2)，v表示初速度，t表示時(shí)間?，F(xiàn)在反過(guò)來(lái)，假如知道了高度，要求計(jì)算到這個(gè)高度所需要的時(shí)間，這時(shí)我們又可以通過(guò)下式來(lái)計(jì)算：（多謝JERRY_PRI提出： 1、根據(jù)公式h=-(g

31、t2/2)+Vt（gt后面的2表示t的平方），我們可以討論最終情況，也就是說(shuō)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，v=gt，所以，可以得到t=sqt(2h/g)且在您給的公式中，根號(hào)下為1-(2h)/g，化成分?jǐn)?shù)形式為(g-2h)/g，g和h不能直接做加減運(yùn)算。 2、g是重力加速度，單位是m/s2，h的單位是m，他們兩個(gè)相減的話在物理上沒(méi)有意義，而且使用您給的那個(gè)公式反向回去的話推出的是h=-(gt2/2)+gt?。╣t后面的2表示t的平方）。 3、直接推到可以得出t=v/gsqt(v2-2hg)/g2)（v和g后面的2都表示平方），那么也就是說(shuō)當(dāng)v22hg時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)數(shù)，但是如果從實(shí)際的v2是不可能小于2hg的

32、，所以我感覺(jué)復(fù)數(shù)不能從實(shí)際出發(fā)去推到，只能從抽象的角度說(shuō)明一下。）經(jīng)過(guò)計(jì)算我們可以知道，當(dāng)高度是3米時(shí)，有兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)到達(dá)該高度：球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是0.38秒，球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是1.62秒。但是如果高度等于10時(shí)，結(jié)果又是什么呢？根據(jù)上面的式子可以發(fā)現(xiàn)存在對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，我們知道這肯定是不現(xiàn)實(shí)的。 第一次使用這個(gè)不一般的式子的人是意大利數(shù)學(xué)家Girolamo Cardano（1501-1576），兩個(gè)世紀(jì)后，德國(guó)偉大數(shù)學(xué)家Carl Friedrich Gause（1777-1855）提出了復(fù)數(shù)的概念，為后來(lái)的應(yīng)用鋪平了道路，他對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行這樣表示：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)（real）和虛數(shù)(imagi

33、nary)兩部分組成，虛數(shù)中的根號(hào)負(fù)1用i來(lái)表示（在這里我們用j來(lái)表示，因?yàn)閕在電力學(xué)中表示電流的意思）。 我們可以把橫坐標(biāo)表示成實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)表示成虛數(shù)，則坐標(biāo)中的每個(gè)點(diǎn)的向量就可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，如下圖： 上圖中的ABC三個(gè)向量可以表示成如下的式子： A = 2 + 6j B = -4 1.5j C = 3 7j 這樣子來(lái)表達(dá)方便之處在于運(yùn)用一個(gè)符號(hào)就能把兩個(gè)原來(lái)難以聯(lián)系起來(lái)的數(shù)組合起來(lái)了，不方便的是我們要分辨哪個(gè)是實(shí)數(shù)和哪個(gè)是虛數(shù)，我們一般是用Re( )和Im( )來(lái)表示實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，如： Re A = 2 Im A = 6 Re B = -4 Im B = -1.5 Re C = 3

34、Im C = -7 復(fù)數(shù)之間也可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算： 這里有個(gè)特殊的地方是j2等于-1，上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分母同時(shí)乘以c dj，這樣就可消去分母中的j了。 復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律： A B = B A (A + B) + C = A + (B + C) A(B + C) = AB + AC二、復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式 前面提到的是運(yùn)用直角坐標(biāo)來(lái)表示復(fù)數(shù)，其實(shí)更為普遍應(yīng)用的是極坐標(biāo)的表示方法，如下圖： 上圖中的M即是數(shù)量積(magnitude)，表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離，是相位角(phase angle)，表示從X軸正方向到某個(gè)向量的夾角，下面四個(gè)式子是計(jì)算方法

35、： 我們還可以通過(guò)下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：a + jb = M (cos + j sin)上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式，右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。還有一個(gè)更為重要的等式歐拉等式（歐拉，瑞士的著名數(shù)學(xué)家，Leonhard Euler，1707-1783）：ejx = cos x + j sin x 這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中得到證明：上面中右邊的兩個(gè)式子分別是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)。這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了： a + jb = M ej （這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式）指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱，也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形式進(jìn)

36、行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極為簡(jiǎn)單的緣故吧：三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具 為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已，就如釘子和錘子的關(guān)系，復(fù)數(shù)就象那錘子，作為一種使用的工具。我們把要解決的問(wèn)題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式（因?yàn)橛行﹩?wèn)題用復(fù)數(shù)的形式進(jìn)行運(yùn)算更加方便），然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)得到我們所需要的結(jié)果。 有兩種方法使用復(fù)數(shù)，一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換，如前面所說(shuō)的向量表達(dá)式方法和前一節(jié)中我們所討論的實(shí)域DFT，另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià)(mathematical equivalence)，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法，但在這里我們先不討論這種方法，這里我們先來(lái)看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行替

37、換中的問(wèn)題。 用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是：把所要分析的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式，其中只是簡(jiǎn)單地添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào)j，當(dāng)返回到原來(lái)的物理問(wèn)題時(shí)，則只是把符號(hào)j去掉就可以了。 有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問(wèn)題都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用，有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來(lái)替換原來(lái)問(wèn)題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋(píng)果是5美元，一箱的桔子是10美元，于是我們把它表示成 5 + 10j，有一個(gè)星期你買了6箱蘋(píng)果和2箱桔子，我們又把它表示成6 + 2j，最后計(jì)算總共花的錢是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j，結(jié)果是買蘋(píng)果花了10美元的，買桔子花了70美元，這樣的結(jié)果明顯

38、是錯(cuò)了，所以復(fù)數(shù)的形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問(wèn)題的解決。四、用復(fù)數(shù)來(lái)表示正余弦函數(shù)表達(dá)式 對(duì)于象M cos (t + )和A cos(t ) + B sin(t )表達(dá)式，用復(fù)數(shù)來(lái)表示，可以變得非常簡(jiǎn)潔，對(duì)于直角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： 上式中余弦幅值A(chǔ)經(jīng)變換生成a，正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成b：A a，B -b，但要注意的是，這不是個(gè)等式，只是個(gè)替換形式而已。 對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： 上式中，M M，。 這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致，對(duì)于這種替換的方法來(lái)表示正余弦，符號(hào)的變換沒(méi)有什么好處，但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更高級(jí)的等價(jià)變換

39、保持形式上的一致。 在離散信號(hào)處理中，運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù)，這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來(lái)的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的，但是，我們要小心使用復(fù)數(shù)操作，如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個(gè)正弦信號(hào)相加，采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相加，得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的，但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則采用復(fù)數(shù)形式來(lái)相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是，我們已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作條件：1、參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的；2、運(yùn)算操作必須是線性的，如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減，但不能進(jìn)行乘除，象信號(hào)的放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、

40、取限等則不是線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。下圖是一個(gè)相量變換(我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱為相量變換，Phasor transform)的例子，一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過(guò)一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波，從計(jì)算過(guò)程我們可以看出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔： 在第二章中我們描述的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換也是一種替換形式的復(fù)數(shù)變換，但要注意的是那還不是復(fù)數(shù)傅立葉變換，只是一種代替方式而已。下一章、即，第四章，我們就會(huì)知道復(fù)數(shù)傅立葉變換是一種更高級(jí)的變換，而不是這種簡(jiǎn)單的替換形式。第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法，使得傅

41、立葉變換變換更加自然和簡(jiǎn)潔，它并不是只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用替換的方法來(lái)運(yùn)用復(fù)數(shù)，而是完全從復(fù)數(shù)的角度來(lái)分析問(wèn)題，這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。一、 把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式 通過(guò)歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式： cos( x ) = 1/2 e j(-x) + 1/2 ejxsin( x ) = j (1/2 e j(-x) - 1/2 ejx) 從這個(gè)等式可以看出，如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后，它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余弦波，相反地，一個(gè)由正負(fù)頻率組成的正余弦波，可以通過(guò)復(fù)數(shù)的形式來(lái)表示。 我們知道，在實(shí)數(shù)傅立葉變換中，它的頻譜是0 (0 N/2),但無(wú)法表示- 0的頻譜，可以

42、預(yù)見(jiàn)，如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式，則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來(lái)。二、 把變換前后的變量都看成復(fù)數(shù)的形式 復(fù)數(shù)形式傅立葉變換把原始信號(hào)xn當(dāng)成是一個(gè)用復(fù)數(shù)來(lái)表示的信號(hào)，其中實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)值，虛數(shù)部分為0，變換結(jié)果Xk也是個(gè)復(fù)數(shù)的形式，但這里的虛數(shù)部分是有值的。 在這里要用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看原始信號(hào)，是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵（如果有學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)則可能更好理解，即把xn看成是一個(gè)復(fù)數(shù)變量，然后象對(duì)待實(shí)數(shù)那樣對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)變量進(jìn)行相同的變換）。三、 對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法（正向傅立葉變換） 從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道，我們可以通過(guò)原始信號(hào)乘以一個(gè)正交函數(shù)形式的信號(hào)，然后進(jìn)行求總和，最后就能得到這個(gè)原始信號(hào)

43、所包含的正交函數(shù)信號(hào)的分量。 現(xiàn)在我們的原始信號(hào)變成了復(fù)數(shù)，我們要得到的當(dāng)然是復(fù)數(shù)的信號(hào)分量，我們是不是可以把它乘以一個(gè)復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的，正余弦函數(shù)都是正交函數(shù)，變成如下形式的復(fù)數(shù)后，仍舊還是正交函數(shù)（這個(gè)從正交函數(shù)的定義可以很容易得到證明）： cos x + j sin x, cos x j sin x， 這里我們采用上面的第二個(gè)式子進(jìn)行相關(guān)性求和，為什么用第二個(gè)式子呢?，我們?cè)诤竺鏁?huì)知道，正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù)，這里我們?cè)偌由弦粋€(gè)負(fù)號(hào)，使得最后的得到的是正的正弦波，根據(jù)這個(gè)于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的DFT正向變換等式： 這個(gè)式子很容易可以得到

44、歐拉變換式子： 其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式，在解決問(wèn)題時(shí)我們還是較多地用到正余弦表達(dá)式。 對(duì)于上面的等式，我們要清楚如下幾個(gè)方面（也是區(qū)別于實(shí)數(shù)DFT的地方）：1、Xk、xn都是復(fù)數(shù)，但xn的虛數(shù)部分都是由0組成的，實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)；2、k的取值范圍是0 N-1 (也可以表達(dá)成0 2)，其中0 N/2（或0 ）是正頻部分，N/2 N-1（ 2）是負(fù)頻部分，由于正余弦函數(shù)的對(duì)稱性，所以我們把 0表示成 2，這是出于計(jì)算上方便的考慮。3、其中的j是一個(gè)不可分離的組成部分，就象一個(gè)等式中的變量一樣，不能隨便去掉，去掉之后意義就完全不一樣了，但我們知道在實(shí)數(shù)DFT中，j只是個(gè)符號(hào)而

45、已，把j去掉，整個(gè)等式的意義不變；4、下圖是個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻譜，但離散頻譜也是與此類似的，所以不影響我們對(duì)問(wèn)題的分析： 上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。 從上圖可以看出，時(shí)域中的正余弦波（用來(lái)組成原始信號(hào)的正余弦波）在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分，基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N（或1/2），而不是2/N，這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了2,但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。 由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組合而成的，所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的，都是1/N，相對(duì)實(shí)數(shù)DFT，兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半；復(fù)數(shù)DFT的頻