向量的幾何意義

1、向量的幾何意義 向量的概念始終貫穿當(dāng)代科學(xué)的主要內(nèi)容中，也始終貫穿線性代數(shù)的主要內(nèi)容中，所以我們不妨回顧回顧這個概念的幾何意義，以期更清晰地理解線性代數(shù)的幾何本質(zhì)。 2.1 向量概念的幾何意義 自由向量的概念向量（Vector）和標(biāo)量的概念是發(fā)明四元數(shù)的愛爾蘭數(shù)學(xué)家W。R。哈密爾頓給出的。向量是一個既有大小又有方向的量，這個量本身就是個幾何的概念。我們常常把它與標(biāo)量（只有大小的量）相區(qū)別。抓住向量的大小和方向這兩個特征，一般用一個有向線段來表示一個向量(顯然，向量本身就是一個幾何圖形)，記為ABuuur或者。如下圖： 在物理學(xué)中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一樣有頭部和尾部，箭在空間

2、自由的飛行中箭桿的長度不會變，這一點與向量相同；但箭在重力的作用下會改變方向，但一個確定的向量不允許改變方向，一個向量改變了方向就變成了另外一個向量了。所以向量的“飛行”稱為平移，這種在一條直線上平移的向量稱為自由向量（物理學(xué)中常稱為滑動向量）。 0 沿著直線飛行的箭簇在每一時刻所表示的無數(shù)向量歸屬于同一個向量，這些無數(shù)的向量實際上是平行的向量。另外還有不在一條直線上的平行而相等的向量，如下的例子： 考察一個剛體的平行移動。當(dāng)剛體從一個位置平行移動到另一個位置時（比如說這個剛體是麥吉小姐過河坐的小船，小船從河流的一邊駛向?qū)Π叮瑒傮w上各質(zhì)點在同一時間段內(nèi)有相同的位移，各點所畫出的位移向量a有相

3、同的大小和方向，他們每一個都反映了剛體位移的情況，因此剛體的平移運動可以用這些向量中的任一個來表示?；谶@樣的原因，凡是兩個向量大小相等、方向相同的，我們就說這兩個向量是相等的。因此，一個向量在保持長度和方向不變的條件下可以自由平移。如有必要，也可以將幾個向量平移到同一個出發(fā)點或者坐標(biāo)原點。 a水流速度向量船速向量aaa 從上面的例子，我們感悟到自由向量為何可以是自由的。實際上，就是因為向量沒有確定的位置，它們不依賴于任何坐標(biāo)系而存在。因此從邏輯上看，無數(shù)的向量可能有相同的表述，所有的這些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。 向量的數(shù)學(xué)表示向量的數(shù)學(xué)表示一般是用小寫的黑體字母a、b、

4、c等表示。當(dāng)手寫時因為黑體的粗筆畫書寫不方便，因此常在字母上面加上箭頭來與其它字母區(qū)別，如ar、cr。 以上的表示不便計算，如何對向量象數(shù)字一樣進行運算呢？ 因為在數(shù)學(xué)學(xué)科中，向量被處理為自由向量，為了與解析技術(shù)所用的坐標(biāo)聯(lián)系起來，我們把空間中所有的向量的尾部都拉到坐標(biāo)原點，這樣N維點空間可以與N維向量空間建立一一對應(yīng)關(guān)系：N維點空間中點(0，0，00)取作原點，那么每一個點都可以讓一個向量和它對應(yīng)，這個向量就是從坐標(biāo)原點出發(fā)到這個點為止的向量。 注： 向量被看作線性空間或向量空間中的一個元素。但向量與點不同，向量表示的是兩點之間的位移而不是空間中的物理位置；向量還可以確定方向，而一個點就不能

5、。 其實，一旦我們確定好一個坐標(biāo)系，一個向量就與一個點相對應(yīng)，而點用所謂坐標(biāo)的有序數(shù)組表示的，因此我們就也可以把向量用有序數(shù)組表示。有了有序數(shù)組就可以運算了。使用有序數(shù)組或者解析式表述的向量是把以原點為起點的向量末端的坐標(biāo)值表示，并把坐標(biāo)值用圓括號括起來，如(,)xyz=v。在這里這個有序數(shù)組(,)xyz稱之為向量。 在二維平面上，由原點引出的向量用兩個有序?qū)崝?shù)表示；在三維空間中，由三個有序數(shù)表示三維向量。那么n維向量就可以由以上二維和三維向量的定義推廣得到。雖然n維向量的幾何意義難以想象，但其現(xiàn)實意義我們還是可以把握的。比如，在三維空間中，我們只要知道一個球的球心位置和半徑的大小就可以確定這

6、個球面。把球心坐標(biāo)和半徑值寫成有序數(shù)組，我們就得到了一個四維向量。 321-1-2 一個向量可以被分解為三個單位坐標(biāo)向量的線性表示（實際上這個概念很重要，在今后的向量的運算和矩陣運算理解中起著關(guān)鍵作用）。例如向量(分解如下： 1,1,1) (1,1,1)(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)=+=+ijk 如下圖，把單位坐標(biāo)向量,ijk分別首尾連接相加，就得到了的圖像。 (1,1,1) 那么，任意一個向量(,)xyz=v就可以表示為(,)xyzxyz=+vijk，即單位坐標(biāo)向量的線性表示。顯然，分別對單位坐標(biāo)向量進行縮放,xyz倍然后相加，就得到了這個向量(,)xyz的圖像。和上圖相似，我

7、們就可以得到了如下的任意一個向量的分解圖像。 向量的運算有加法、減法和乘法，乘法有三種，但沒有除法。下面我們分別介紹這些運算的細節(jié)。 2.2 向量的加法的幾何及物理意義設(shè)兩個向量a和b，它們的二維分量解析式為(,)xyaaa=，(,)xybbb=；三維分量的解析表達式為(,)xyzaaaa=，(,)xyzbbbb=。則我們定義這兩個向量的加法為(, xxyyabab+ab=，或者(, xxyyzzababab+ab=。向量加法的定義看起來很簡單，就是兩個向量的各分量分別對應(yīng)相加形成了和向量的分量。 那么的幾何意義是什么呢？請看下面二維向量的圖解。 =+cab 這個圖形可以這樣解讀，表示向量b的

8、分量的矩形被放到表示向量a的分量的矩形上面，a向量矩形的尾端A連接上b向量分量矩形的頭端A。疊加后矩形的頂端C就是和向量的尾端。 連接BC，AC后，就是平行四邊形的法則的幾何解釋。 當(dāng)然，如果把向量b平移（平行移動）到AC的位置，與向量a的尾部相接，就是三角形的法則。 線性代數(shù)的幾何意義 abcb'yxCBAobybxaxay 向量的所謂三角形或平行四邊形法則不是人們憑空想當(dāng)然的數(shù)學(xué)規(guī)定，而是從物理世界中抽象出來的向量運算法則。比如我們前面提到的船只過河的例子，船頭指向的方向是船的馬力驅(qū)動得到的位移為MotorS（不考慮水流影響），水流的方向是水的沖擊力對船造成的位移（不考慮船的馬力影

9、響），那么，實際情況是船的真正位移是一條斜線，這條斜線就是WaterSBoatSMotorS和的合成。它們的合成關(guān)系就是平行四邊形的關(guān)系。 WaterS如果水的流速和船的馬力不變，其中三個時刻（任意）的位移的合成圖圖下： 8642510VMotorVWater0S3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1waterS2boatS1boat 如如果水的流速不變，但在第二時刻和第三時刻船的馬力逐步變大，那么三個時刻（任意）的位移的合成圖圖下： = 第 6 頁， 共 38 頁 6425100S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1

10、motorS3waterS3motorS1water 兩個向量的加法叫做三角形法或者平行四邊形法，那么多個向量的加法同樣也滿足這些法則，并可以由三角形法則得到多個向量的多邊形法則。下邊我們畫出多個向量的加法和減法的圖例。 abcda+b+c+da+ba+b+co 上圖左是把a，b，c，d四個向量按照三角形法則相加的圖例，在圖中，我們把a，b，c，d四個向量依次首尾相接，直到畫完所有向量，最后只是把第一個向量的尾部o指向最后一個向量的首部P畫出的向量就是4個向量的和。這個畫法可以稱作多向量的多邊形加法法則。 多邊形法則很容易從三角形法則推導(dǎo)出來，上圖右中虛線向量即是應(yīng)用三角形的向量法則畫出線性代

11、數(shù)的幾何意義 了中間向量逐次相加的結(jié)果，最后推出了左圖的多邊形法則。 多變形法則體現(xiàn)在船只過河的例子就是把船的每時刻的位移進行合成，就得到如下圖所示： 8642510Sboat0S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water 多向量加法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實際上是這些向量在坐標(biāo)軸上（以0點為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系）的投影（或坐標(biāo)分量）的合成（相加或相減）后的結(jié)果。向量的更高一級的運算如點積、叉積的定義也是這個數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)。 關(guān)于減法，實際上是加法的特殊形式，是加法的逆運算。向量減法，我們可以用定義加法的方式定義減法，例如定義，只要把

12、被減向量b反向后再與向量a相加即可。實際上在平行四邊形法則中，和向量和差向量構(gòu)成平行四邊形的兩個對角線。 (=+cabab abcc'CBAo aa+b+c+dbcda-b-c-do 三維向量的加法。 = 第 8 頁， 共 38 頁 線性代數(shù)的幾何意義 2.3 向量的內(nèi)積的幾何和物理意義向量的內(nèi)積的幾何解釋 向量的內(nèi)積也叫數(shù)量積、標(biāo)積、點積（點積的名稱來自于內(nèi)積的計算符號）等，都是一個意思，就是內(nèi)積的結(jié)果是個數(shù)量或者標(biāo)量。內(nèi)積的定義有兩個，下面我們把它們列舉出來并探討一下它們的關(guān)系。 bacosab=ab。1 xxyyzababab=+ab 。2 公式1是說，向量a和b的長度之積再乘以

13、它們之間的夾角的余弦； 公式2的意思是向量a和b的坐標(biāo)分量分別對應(yīng)乘積的和。 定義內(nèi)積有很多好處，除了物理上的直接應(yīng)用外，至少我們可以應(yīng)用這個定義（公式2）去計算一個向量的長度（在已知它的坐標(biāo)時）。比如我們求向量a的長度： 22 xxyyzzxyaaaaaaaaaa=+=+aa 。 這兩個公式有關(guān)系嗎？當(dāng)然有： 假設(shè)我們選一個這樣的坐標(biāo)系，x軸沿向量a的方向，那么xa=，則公式a0yzaa=xxyyzz =， xab就是a的長度乘以b在a方向上的分量，這個分量就是b在a上的投影，因此公式cosab=ab得證（如果它對一個坐標(biāo)系成立，則對所有的坐標(biāo)系都成立）。 abDCOAB 因此，向量內(nèi)積的幾

14、何解釋就是一個向量在另一個向量上的投影的積，也就是同方向的積。 特別的，如果一個向量如a是某個坐標(biāo)軸的單位坐標(biāo)向量，那么，兩個向量的內(nèi)積就是向量b在此坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值。這個結(jié)論非常重要，這是傅立葉分析的理論基礎(chǔ)。 ba另外，對兩個向量內(nèi)積的投影的幾何意義可以得到其他的幾何解釋，這些解釋在應(yīng)用上就顯得比較直觀。比如，從內(nèi)積數(shù)值上我們可以看出兩個向量的在方向上的接近程度。當(dāng)內(nèi)積值為正值時，兩個向量大致指向相同的方向（方向夾角小于90度）；當(dāng)內(nèi)積值為負值時，兩個向量大致指向相反 = 第 9 頁， 共 38 頁 的方向（方向角大于90度）；當(dāng)內(nèi)積值為0時，兩個向量互相垂直（這個性質(zhì)經(jīng)常在向量幾何中作為

15、判斷直線與直線是否垂直）?；\統(tǒng)說來，內(nèi)積值越大，兩個向量的在方向上的就越接近，內(nèi)積值越小，兩個向量的在方向上的就越相反。 上圖中，向量a與向量b1方向相近，內(nèi)積為正；a與b2方向垂直，內(nèi)積為0；a與b3方向大致相反，內(nèi)積為負。 向量的內(nèi)積的物理解釋向量內(nèi)積的物理應(yīng)用或者說物理意義很多，生活中我們也需要內(nèi)積計算。比如我上周購買的食物的價格向量是P=（蔬菜2元/斤，大米1。5元/斤，豬肉5元/斤，啤酒3元/瓶），消耗的數(shù)量向量為d=（3。5斤，5斤，2斤，3瓶）；那么我上周的飲食消費就是向量P和d的內(nèi)積： (2,1.5,5,3)(3.5,5,2,3)77.510933.5=+=pd元。 另外內(nèi)積的

16、一個經(jīng)典例子就是當(dāng)一個物體從某處被拉到另一處的所做的功，下面我們把這個做功的圖畫出來來印證以上內(nèi)積兩大公式的一致性。 我們假設(shè)是在一個斜坡上用力F斜上拉一個物體，位移為S（沒有重力的情況下）。那么這個力F所作的功為（分量的分解見圖左）： yyxxWSFSF+= 另外，我們也可以把力F沿著S的方向和垂直S的方向（按照圖右所示）進行分解，那么這個力F所作的功又可表示為 cosFSSF=sW FFxFySSxSyYXFSYXFsOO 由此，我們從物理原理上印證了內(nèi)積兩大公式的一致性。 向量的內(nèi)積兩個定義的關(guān)系的數(shù)學(xué)推導(dǎo)下面我們對內(nèi)積的定義進行推導(dǎo)來幫助大家確信這種關(guān)系： 設(shè)O，P，Q為空間的三點，令

17、，夾角為，如圖。 xyz0PQ 內(nèi)積概念直觀圖 由余弦定理知，2222cos=+ （1） 再設(shè) ()()()111222121212=x,y,zx,y,zx-x,y-y,z-z= 代入上（1）式得： 線性代數(shù)的幾何意義 ()()()222222222121212111222xxyyzzxy+z+xy+z2cos+=+ 即121212xxyyzzcos+= （2） 這樣，對向量，就有唯一確定的實數(shù)cos 與之對應(yīng)。即得到以，為自變量的二元函數(shù)，記作（，），稱作，的內(nèi)積。 向量的內(nèi)積與正交變換定理1設(shè)是V (歐式空間)的一個變換。若對任意向量Va,b，都有 ()()+=+aba 則是V的一個正交變

18、換。 這個定理我們不證明，其幾何意義如何理解呢？幾何意義是“保持以V中任意兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線之長不變”。圖示如下： 定理2設(shè)是V的一個變換。如果既是保長度變換又是保夾角變換，那么必為正交變換。證明如下： 設(shè) , ，當(dāng)0 時，由 (),() =， (),(),()()=， 得 (),(),= 即保持了變換的內(nèi)積不變，因而是線性的，或正交變換。 如果V的一個變換既是保長度變換又是保夾角變換(即保持V中任二非零向量間的夾角不變)，那么就應(yīng)該保對角線長，從而是一個正交變換，以上證明事實正是這樣。 = 第 12 頁， 共 38 頁 正交（orthogonal）是直觀概念中垂直的推廣。作為

19、一個形容詞，只有在一個確定的內(nèi)積空間中才有意義。若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。 2.4 向量的外積的幾何和物理意義叉積的定義及其幾何解釋 向量的外積（Cross product）也譯作叉積（同點積類似，此名稱也來自于外積的計算符號a x b），因為叉積會產(chǎn)生。新的一維，兩個向量確定了一個二維的平面，叉積又會產(chǎn)生垂直于這個平面的向量，因此外積的概念只能應(yīng)用于3維和三維以上的向量空間。叉積的定義也有兩個，下面我們把它們列舉出來并探討一下它們的關(guān)系。 設(shè)三維空間中的兩個向量為(,)xyz

20、aaa=a，(,)xyzbbb=b，則 ×ab= 1 ×ab sinabN=（其中N是垂直于a 和 b展成的平面的單位向量）2 公式1是用向量的三維坐標(biāo)值表述的解析式。這個公式表面含義是叉積c的x軸的分量是yzzabab ，y軸的分量是，z軸的分量是zxxzababxyyabab 。顯然，叉積c的x方向的分量是向量a 和 b在yoz平面上的分量計算出來；類似的，c的y方向的分量是向量a 和 b在xoz平面上的分量計算出來，c的z方向的分量是向量a 和 b在xoy平面上的分量計算出來的。實際上，叉積的這三個分向量分別又是三個叉積向量。為什么是這樣的呢？后面的物理意義解析會告訴

21、你原因。 公式2是叉積幾何意義的定義式。×ab為一個新生成的向量，這個向量垂直于a 和 b展成的平面（圖中的虛線平行四邊形，由線段和所確定的平面）；同樣向量也垂直這個平面，但方向與所指的方向相反，即0a0b×ba×ab×=×baab。 abaxb-axb(bxa)0 我們可以用右手法則來幫助記憶這個定義，右手的大拇指指向向量a x b的方向，則彎曲的四指則指向向量a 和 b叉乘的順序：從向量a沿著a 和 b間較小夾角轉(zhuǎn)向向量b。反過來，如果已知兩個向量進行叉乘，那么用右手法則則可以知道這兩個向量叉乘出來的向量的方向。 線性代數(shù)的幾何意義 叉積的

22、物理意義叉乘的定義看起來有點怪，大家可能感覺到，叉積向量好像不是太真實似的，特別是方向定義的顯然是人為的。實際上叉積這種向量與前面介紹的向量確實不同，所以在物理學(xué)中又被稱為贗向量或軸向量。 但這個定義也是從物理應(yīng)用方面得來的。舉一個例子：知道陀螺的原理嗎？高速旋轉(zhuǎn)的陀螺會定向。陀螺所定義的方向就是矢徑向量rr和線速度vr叉乘結(jié)果角速度ur方向。類似的一個例子是螺釘，螺釘只要左右向旋轉(zhuǎn)即可在螺孔中前進或者后退。用螺絲刀把這棵螺釘按照F+的方向右旋，那么旋轉(zhuǎn)時的扭力向量Fur和矢徑向量rr這兩個叉乘的結(jié)果即是力矩Muur的方向，這棵螺釘就會沿著力矩Muur在螺母孔內(nèi)前進，反方向就會改變叉積的方向進

23、而退出螺孔（右螺旋螺釘）。也就是力矩或叉乘向量的方向就是螺釘?shù)穆菪斑M的方向，這個方向垂直于螺絲刀口和扭力的方向，也就是垂直于被叉積的兩個向量的方向。 力矩就是向量的叉積。還有點疑懼？好，弄個夸張一點的。我們把螺釘?shù)脑砩晕⒏淖円幌拢杭偃缬幸粋€100米長的細鋼棒（好長），鋼棒架在幾個支架上，鋼棒一端裝有搖臂，當(dāng)有人用搖臂扭轉(zhuǎn)鋼棒時，這個扭轉(zhuǎn)的力（就是力矩）會沿著這個長長的鋼棒一直延伸到鋼棒的尾端，并且整個鋼棒上都有扭轉(zhuǎn)的力存在，無論我們碰觸鋼棒的任何部位都會感知到這個力矩的存在。這個扭轉(zhuǎn)的力是多大呢？如果搖動的人用力越大，搖臂越長，這個力矩就會越大，我們就越難用手抓停它。 呵呵，力矩沿著100

24、米長的、與搖臂和搖動的力垂直的方向，無處不在！ FrM 力矩的方向 v+v-o F+F-o = 第 14 頁， 共 38 頁 另外一個例子就是我們經(jīng)常騎的自行車，車子靜止的時候我們在車上會摔下來，一旦騎行起來車子就會平穩(wěn)而不會左右傾倒，這也是叉積的功勞（與陀螺的原理相同）。 下面我們看一看叉積解析式的物理意義的分解。同樣，我們也舉扭矩的例子。這里我們再次把叉積解析公式重新列在這里： c=ax b=(,yzzyzxxzxyyxabababababab 前邊講過， 一個向量可以分解為沿著x、y、z軸的分向量，或者講一個三維向量可以看作是三個分別與坐標(biāo)軸同向向量之和。即： (,)xyzxyz=+vi

25、jk 在這里我們同樣可以認為（yzzabab ）i 是x方向的向量，（zxxzabab）j 是y方向的向量，（xyyabab ）k 是z方向的向量。 前面講叉積的這三個分向量分別又是三個叉積，從何講起？下面我們以叉積的z軸分量的（xyyabab ）k來比對物理上力矩的概念。假設(shè)，我們的書面為x0y平面，z軸垂直書面并指向我們，以這個三維坐標(biāo)系的原點0為轉(zhuǎn)軸，在力F的作用下逆時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸向量為r。×rF的方向指向我們。下面來看看這個圖解： =圖中在x0y坐標(biāo)系的四個象限都畫出了力矩的例子，并且把叉乘的兩個向量r和F都進行了分解。F分解為和xFyF，r也分解和xryr。分解后我們同樣對

26、分解的分向量、xryr、和xFyF進行求力矩的叉積xyy=×+×MrFrF（其它的分向量因為方向相同或者相反：，因此忽略不寫了）。在初中我們就知道力矩等于力乘以力臂，力臂與扭力垂直。因此，我們分別得出第一象限的力矩是。這里，k是指向z坐標(biāo)方向的單位向量。 0xxyy×=×=rFrF()()xyyxyxyxxFyFxFyF=×+×=+=1MrFrFkkk類似地，其它三個象限的力矩分別是： 234()()()()()()()()()()xyyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyxxFyFxFyFxFyFxFyFxFyFxFyF=

27、15;+×=+=×+×=+=×+×=+=MrFrFkkMrFrFkkkMrFrFkkk 我們看，四個象限的力矩表達式相同，都是 ！ 在這個向量()yxxFyFk中，(,)xy是矢徑向量r的坐標(biāo)，(,)xyFF是扭力向量F的坐標(biāo)；在xoy的平面上，向量和向量的叉積的大小等于rFyxxFyF，方向k指向z軸方向。 顯然，我們把向量r和向量改寫成通用向量a和b，這個結(jié)果就變成了（Fxyyabab ）k。當(dāng)然，我們同樣可以推論出x軸、y軸方向的叉積表達式如前所述。 實際上，我們把坐標(biāo)系重新選擇或者把坐標(biāo)系右旋一個角度，可以得到叉積定義的另一個公式a x

28、 b sinabN=。 x' 軸y' 軸y 軸x 軸rFFxryrxFyFrFy'000 線性代數(shù)的幾何意義 如圖所示，兩個向量r和F在xoy坐標(biāo)系中F分解為和xFyF，r也分解和xryr，如果把xoy坐標(biāo)軸右旋一個角，變?yōu)閤0y坐標(biāo)系，剛好使x軸與向量r重合。 顯然，在新的坐標(biāo)系下，r不必分解分量了；F只需在為分解為'xF和'yF，則新坐標(biāo)系下的叉積（z方向的力矩M） ''''' 又因為x 軸與r重合，且F與r的夾角為，因此上式繼續(xù)等于： 'cos()sin()zxrrFrF=×=×=

29、MrFrFk 如果我們把向量r和F改寫成通用向量a和，且不是強調(diào)在xyz三維坐標(biāo)下，那么z向的單位向量K可以寫成與叉乘的兩個向量垂直且滿足右手系的N。至此得到叉乘的第二個公式：a x b bsinabN=。 2.5 向量混合運算的幾何意義我們所討論的向量的混合運算包括向量加法和乘法的混合運算，仔細的研究一些混合運算的幾何意義有助于理解向量的幾何本質(zhì)。 向量加法的結(jié)合律的幾何解釋三個向量加法的結(jié)合律為 (a+b)+c=a+(b+c) 其圖解是顯然的，第一幅圖給出了(a的加法圖解，第二幅圖給出了的圖解，第三幅圖把兩者疊放在一起，顯示了兩個加法有相同的結(jié)果。圖形如下： +b)+ca+(b+c)abc

30、(a+b)+ca+babca+(b+c)b+cabc(a+b)+c=a+(b+c) = 第 17 頁， 共 38 頁 向量數(shù)乘的分配律的幾何解釋數(shù)乘兩個向量和的分配率為 kk(a+b)=b+c 其圖解是顯然的，圖中設(shè)數(shù)量k大于1，a+的加法三角形和k的加法三角形是兩個相似三角形，因而得到圖形如下： bka+b 向量點積的分配律的幾何解釋向量點積的分配律為 ()ab+c=ab+ac 如下圖，0'B為向量b在向量a上的投影，' BC為向量c在向量a上的投影，0'為向量在向量上的投影。 Cb+cabcb+caC'B'B0CA 由圖有： 00',0

31、9;'ABA=abac 于是得： 00'0''0(0''')00'ABABCABBCAC=+=+=ab+ac 而又有()00 AC=ab+c，因此有分配律成立。 向量叉積的分配律的幾何解釋1 向量的分配律表述如下的等式： ×××(a+b)c=ac+bc 對于理解這個分配律的幾何解釋，我們可以有兩個圖解的解釋。 先說一個較熟悉的幾何解釋。 在詳述幾何解釋之前，我們先介紹一個引理的幾何意義。就是對于單位向量，其與另一個向量的叉積的幾何圖形如何作圖求出。 0ca0×ac 如上圖所示，先過向量單位向

32、量的起始0點構(gòu)造一個垂直于它的平面，然后把向量投影到這個平面上得到向量，接著把這個向量在平面上繞0點順時針旋轉(zhuǎn)0ca'a'a/2角度。容易知道，旋轉(zhuǎn)后的向量同時垂直于a和。下面我們將說明恰好等于''a0c''a0×ac。 因為a和的叉積向量的長度有 0c00sinsin'×=acacaa 也就是說，任意一個向量和單位向量叉積的長度a0c0×ac等于向量向平面（垂直于）a0c的投影向量長度'a。而''a又是'a旋轉(zhuǎn)得到的。因此。 另外，前面我們說了同時垂直于a和，綜合得知'

33、;'a0c0 ''=×aac。 引理說完了。下面開始說正體了。 這里有三個向量、b和a+，那么這三個向量分別與單位向量叉積的向量圖形可以模仿上述的過程得到。如下圖所示我們得到了三個叉積向量ab0c0 ''=×aac、和。 0''=×bbc0''(=×(a+b)a+b)c另外，請注意，三個向量因為有相加的關(guān)系，構(gòu)成了一個平行四邊形。這個平行四邊形在投影下不會改變其邊的平行或連接的關(guān)系。因此投影后的三個向量、'b和在平面上仍然構(gòu)成一個新的平行四邊形。因此符合平行四邊形法則的加法規(guī)

34、律，故有'a'(a+b)''=a+ 。 接著來，呵呵。投影平行四邊形整體順時針旋轉(zhuǎn)后仍然是個平行四邊形，因此三個向量、和仍然符合平行四邊形法則，因此有090''a''b''(a+b)''''''=a+b(a+b)。 把， 0 ''=×aac0''=×bbc0''(=×(a+b)a+b)c代到上述等式，得： 00( ×+×=×acbca+b)c 好，到此問題基本解

35、決。追后臨門一腳是，把單位向量伸縮為一般的向量0c0=ccc。即對等式兩邊同乘以一個常數(shù)c，得 00(×+×=×accbcca+b)cc 即 ×××ac+bc=(a+b)c 倒換等式兩邊的項即結(jié)論： ×××(a+b)c=ac+bc pc0cbaa+ba'+b'b'a'bxc0axc0bxc(a+b)xcaxc(a+b)xc0 總結(jié)一下： 上述過程表述為向量的“一投一轉(zhuǎn)，再加一伸”。 向量叉積的分配律的幾何解釋2 “一投一轉(zhuǎn)，再加一伸”，叉積分配率整得忒麻煩？再來一個簡單點的

36、幾何解釋。 這個簡潔的叉積分配圖解需要有方向的面積的概念。我們首先介紹一下有向面積。 有方向線段被用來作為向量的圖形。那么面積也是有方向的。在微積分對x-y平面上的曲線與x座標(biāo)軸圍成的面積積分中，X座標(biāo)軸上方的面積積分值為正，軸下方的面積積分值為負。這實際上也是面積有方向的表現(xiàn)。 42-25yx+-0 線性代數(shù)的幾何意義 一個有邊界的平面（如圖左），它的大小有它的面積決定，它的方向由它在空間的法線的方向來確定，因此有向面積也可以用向量的辦法來完全刻畫：向量的方向就是法線的方向，向量的長度正比于它的面積。按照右手規(guī)則，如果面積周線的回轉(zhuǎn)方向是ABCDE，那么法線的正向，也就是代表這面積的方向就是

37、向上的。根據(jù)這種說法，我們可以這樣說，向量不但可以表示一個有方向的線段，而且也可以表示一個有方向的面積。反過來講，一個有向線段（一定長度的箭頭）被用來作為向量的幾何圖形（這是幾乎所有數(shù)學(xué)書的做法），而一個有方向的面積也可以表示一個向量。為了方便，我們可以稱前者為線向量，稱后者為面向量。 nabaxbEABCD 向量a和b的叉積就是一個有向面積的例子（如圖右），以向量和為邊的平行四邊形的有向面積是用來表示的，因為所有向量都被處理成線向量，因此ab×ab×ab也被刻畫成有向線段的圖形，這個有向線段垂直于被代表的面，線段長度等于和構(gòu)成的平行四邊形的面積。在這里，線向量和面向量混疊

38、在一起。下面的敘述中，我們割掉了線向量這條小尾巴，只留下了面向量-一個具有旋轉(zhuǎn)方向的平行四邊形面。 ab前面講過，兩個線向量a和相加得到一個線向量a+，這個過程滿足平行四邊形法則和三角形法則。那么，線向量a和b分別和第三個線向量叉積依次得到了兩個面向量和bbc×ac×bc。實際上，面向量的加法運算同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量叉積的分配律的圖示如下圖所示。 ××× abca+bbcaa+b00 面向量的加法法則的證明可以從封閉面的和向量為零著手。我們這里不再證明了。實際上，我們有更形象的圖證來理解這個法則。比如對于三角形法則（右圖），

39、我們可以想象有向量c的長度那么多的線向量a+的三角形疊加在一起形成面向量，疊加的方向沿著向量c的方向進行，如下圖。 b = 第 22 頁， 共 38 頁 bcaa+b0 向量的混合積的幾何解釋三個向量，如果先作兩向量的點積,abc,abab，因為它是數(shù)量，所以再與第三個向量相乘的結(jié)果表述一個新向量，它是向量c的伸縮，與向量c平行。 c(ab)c如果先作兩向量的叉積，這個所得的向量與第三個向量c再作點積或者叉積，前者表示數(shù)量叫做三向量的混合積或三重數(shù)積；后者表示向量，叫做三重矢積。下面我們僅對向量的混合積的幾何意義進行討論。 ,ab×ab×(ab)c××(

40、ab)c三向量的混合積有關(guān)系(a，且其中cos×=×(ab)cabc，cos×=×(bc)abca，cos×=×(ca)bcab?；旌戏e是這樣的一個數(shù)，他的絕對值表示以向量為棱的平行六面體的體積。如果向量以順序組成右手系，那么積的符號是正的；如果組成左手系，積就是負的。 ,abc,abc我們知道，向量積是一個向量，它的模在數(shù)值上等于以向量為邊的平行四邊形×ab,ab0ADB的平面，它的方向垂直于這個平行四邊形的平面，且當(dāng)向量以順序組成右手系時，即向量與向量是朝著此平面的同一側(cè)（如圖）；且當(dāng)向量以順序組成左手系時，即向量,ab

41、c×abc,abc×ab與向量是朝著此平面的另一側(cè)。所以若向量c×ab與向量之間的夾角為c，則當(dāng)向量以順序組成右手系時，夾角,abc為銳角；當(dāng)向量以順序組成左手系時，夾角,abc為鈍角。 線性代數(shù)的幾何意義 SbaaxbchD0BA 又因為cos×=×(ab)cabc，則有當(dāng)向量組成右手系時，為正值；當(dāng)向量組成左手系時，為正值。 ,abc×(ab)c,abc×(ab)c因此，以向量為棱的平行六面體的底（平行四邊形,abc0ADB）的面積在數(shù)值上等于S×ab，它的高h等于向量在向量c×ab上的投影，即cos

42、h=c，所以平行六面體的體積等于 cosVSh=×abc。 2.6 向量的積和張量之間的關(guān)系從前面的看來，向量的內(nèi)積定義和外積定義確有意義，但對于我們玩慣實數(shù)乘法且還沒有得到高等數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人來說，還是有點拿捏不住。為什么不能像兩個多項式的乘法一樣定義兩個向量的乘法呢？ 完全可以這樣相乘。 二維向量的內(nèi)積、外積和張量 先看二維空間中的兩個向量(,)xyaa=a，(,)xybb=b把它們改寫成帶有,xy坐標(biāo)軸的單位向量的形式，就是,xyxaabb=+=+aijbi ，我們對向量a和b就象普通的多項式乘法分配律一樣展開運算，得到如下： ()()(xyxyxxyyxyyxaabbababab

43、ab=+=+abijijiijjijji 這里有個關(guān)鍵的問題，就是如何定義坐標(biāo)軸的單位向量,ij之間的運算？我們發(fā)現(xiàn)，不同的規(guī) = 第 24 頁， 共 38 頁 線性代數(shù)的幾何意義 定，就會得到不同的結(jié)論： 􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運算為內(nèi)積運算時，即1,0=iijjijji時上式化簡為： xxyyabab=+=abab 這正是向量和作內(nèi)積運算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運算為外積運算時，即0,=iijjijjik時上式化簡為： ()xyyxxyyxabababab=+=abijjikab 這正是向量和作外積運算的定義式，在 二維向量空間外又生成了一

44、個第三維向量。 ab􀁺 當(dāng)定義,ij之間的運算只是作為一個順序的記號時，即1,0,1=ijiijjji時上式化簡為： xyxyyxxyyxxyaaababababbb=+=aabijjib 這正是向量和作行向量構(gòu)成的方陣的行列式的運算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義1,1=ij，與復(fù)數(shù)進行對應(yīng)時，上式化簡為： ()xxyyxyyxabababab=+abj 這正是復(fù)數(shù)和作乘法運算的定義式。 ab 總結(jié)一下： 本等式()()(xyxyxxyyxyyxaabbabababab=+=+abijijiijjijji 的第一部分包含了向量和b內(nèi)積的結(jié)果，第二部分包含了向量a

45、和b外積的結(jié)果或者是行列式的結(jié)果，即： a()(=+×ababab 從這個結(jié)論看來，向量的內(nèi)積運算、外積運算覆蓋了二維向量及其復(fù)數(shù)的所有乘積模式的結(jié)果。 實際上， 象上述的多項式一樣的向量乘法叫做向量的直積，向量的直積是向量之間最簡單的一種乘法運算，其結(jié)果是張量（向量是一階張量的一種），所以也叫做向量（矢量）的張量積，俗稱并矢。因此，采用較高等一點的說法就是，向量的張量積包含了向量的內(nèi)積和外積的結(jié)果。 = 第 25 頁， 共 38 頁 三維向量的內(nèi)積、外積和張量 再看看三維空間中的兩個向量為,xyzxyzaaabbb=+=+aijkbijk， 同樣，我們對向量和b同樣展開直積運算，得

46、到如下的張量： a()()()()(xyzxyzxxyyzzxyyxxzzxyzzyaaabbbababababababababab=+=+abijkijkii jjkkijjiikkijkkj 有點復(fù)雜，有沒有看出點規(guī)律？ 與二維向量處理的方式類似，我們定義坐標(biāo)軸的單位向量,ijk之間的不同運算，得到了以下不同的結(jié)論： 􀁺 當(dāng)定義,ijk之間的運算為內(nèi)積運算時，即1,0=iijjkkijjiikkijkkj時上式化簡為： xxyyzzababab=+=abab 這正是向量和作內(nèi)積運算的定義式。 ab􀁺 當(dāng)定義,ijk之間的運算為外積運算時，即ii，=ijj

47、ik，=jkkji，=kiikj時上式化簡為： ()()()()()xyyxxzzxyzzyxyyxzxxzyzzyabababababababababababab=+=+=×abijjiikkijkkjkjiab 這正是向量和作外積運算的定義式，在三維向量空間內(nèi)又生成了第三個同維向量。 ab總結(jié)一下： 本等式， ()()()()(xyzxyzxxyyzzxyyxxzzxyzzyaaabbbababababababababab=+=+abijkijkii jjkkijjiikkijkkj 其第一部分包含了向量a和b內(nèi)積的結(jié)果，第二部分包含了向量a和b外積的結(jié)果或者是行列式的結(jié)果，即：

48、 ()( =+×ababab 從這個結(jié)論看來，向量的內(nèi)積運算、外積運算覆蓋了兩個三維向量的所有乘積模式的結(jié)果，或者說，向量的張量積包含了向量的內(nèi)積和外積的結(jié)果。 2.7 向量有沒有除法？ 向量的乘法有兩種：點積和叉積。一般講除法是乘法的逆運算。那么向量的除法是點積的除法呢還是叉積的除法？看來比較麻煩，所以大家較少談?wù)撓蛄康某?。這里我們看看如何麻煩的？先約定一下符號：兩個向量和，分別有abc=ab和×=abc；已知和乘積，如何求。 ab能不能得到向量，請看下圖。 b 左圖中，我們根據(jù)點積的公式cosab=ab，立刻得到： '''''&

49、#39;.c=abababab 無數(shù)個向量、皆能得到同樣的點積值。這個意思是說，點積沒有除法。 b'b''b'''b再看右圖，我們根據(jù)叉積的公式a x b sinabN=，立刻得到： ''''''.×=×=×=×=ababababc 無數(shù)個向量、同樣皆能得到同樣的叉積值。這個意思是說，叉積也沒有除法。 b'b''b'''b結(jié)果真讓人失望！ 莫急，如果我們把點積和叉積聯(lián)立解方程組，倒可以解出除法的表達式出來。解方程

50、： c=×=ababc 線性代數(shù)的幾何意義 對于，兩邊左叉乘a，并用二重向量叉積公式×=abc()()(××=abcbaccab得 ()()××=aabaabb(aa 把方程組的兩個等式帶入，即得c×=acab(aa)，整理得到 c×=aacbaa 這就是向量的除法。 2.8 向量的投影和的幾何解釋多個向量在任意軸上的投影和 向量的加法的推廣之一就是： 多個或有限個向量的和在任意軸上投影等于各個向量在同一軸上投影的和。 下面我們給出其幾何圖形的圖解。 a+b+cabcADBCA'C'B'D&

51、#39; 圖中，向量及其和向量的圖形分別是： abc+abc = ， ，c ， ，各向量的端點A、B、C、D在軸上的投影分別是'A、'、''BCD。 圖示是顯然的，'''''''ABBCCDAD+=，命題得解。 多個向量在任意平面上的投影和 向量的加法的推廣之二就是： 多個或有限個向量的和在任意平面上投影等于各個向量在同一平面上投影的和。 下面我們給出其幾何圖形的圖解。 與向量在軸上的投影類似。結(jié)論在圖解中一目了然。這個結(jié)論是由投影變換的性質(zhì)所決定。 2.9 變向量的幾何意義 對于用數(shù)組表示的向量a，如果數(shù)

52、組中的元素部分或者全部是變量，那么這個變向量在n維坐標(biāo)系下表示的幾何圖形是什么呢？ 12(,.)naaa二維變向量的幾何圖形 在二維平面上，二維向量的兩個分量全部為可變的未知量，記為12(,)xx，那么變向量12(,)xx可以表示平面上任意一個向量（無數(shù)個）。如果12,xx取遍整個實數(shù)范圍，則可以涵蓋了整個向量平面，因此12(,)xx的幾何圖形表示為一個平面。 如果我們固定12(,)xx一個分量，如，其中表示某一確定的實數(shù)，12(,)ax1a2x表示為確定的變元。那么變向量表示的是無數(shù)個向量，這些向量的末端全部在直線12(,)ax1xa=上（如圖2。X）。 類似的，變向量12(,)xa表示的是

53、直線2xa=，無數(shù)個向量的末端全部在直線2xa=上。 x1x2x1=a1x2x2=a2x10000 進一步，如果向量的分量之間有線性關(guān)系的話，比如，向量可以表示為11(,)xaxb+的形式。那么變向量11(,)xaxb+就可以表示一個直線，所有向量的末端在直線21xaxb=+上。 當(dāng)然，如果，即0b=11(,)xax就表示為一條過原點的直線，這時候所有的向量的始端和末端都處于直線上。 x1x2x2=ax1+bx2x2=ax1x1000 方程21xaxb=+和21xaxb=+是平行線，b是2x軸上的截距。我們用變向量來表示這對平行線的關(guān)系就是1111(,)(,)(0,)xaxbxaxb+=+。用

54、向量的觀點解釋就是，變向量11(,)xaxb+是變向量11(,)xax及常向量的和。從圖形上解釋就是直線(0,)b11(,)xaxb+是由過原點的直線11(,)xax沿向量(0平移b得到的。其幾何圖性給出如下： ,)bx1x2x2=ax1+bx2=ax100 三維變向量的幾何圖形 與二維變向量相類似，(, 有三個不定變元，表示三維向量空間中的任意一個向量，代表了整個三維空間。 變向量、123(,)axx123(,)xax和123(,)xxa各有兩個不定變元，分別表示了平面11xa=，22xa=和3xa=。每個變向量中任意一個向量的末端都在這個變向量所表示的平面上。這些平面分別垂直于一個坐標(biāo)軸。

55、 變向量、和123(,)aax123(,)axa123(,)xaa各有一個不定變元，分別表示了三根直線1122xaxa=，1133xaxa=和233 xaxa=，每個變向量中任意一個向量的末端都在這個變向量所表示的直線上。這些直線分別平行于一個坐標(biāo)軸。 變向量1212(,)xxaxbx+有兩個獨立變元12,xx，第三個變元3x與12,xx有線性關(guān)系：31 xaxbx=+。為了方面看到這個變向量的幾何圖形，我們對它進行向量分解： 1212112212(,)(,0,)(0,)(1,0,)(0,1,)xxaxbxxaxxbxxaxb+=+=+ x2x1x1(1,0,a)x2(0,1,b)x30(0,

56、1,b）(1,0,a) 在12,xx獨立地取遍所有不同的實數(shù)時，12(1,0,)(0,1,)xaxb+所形成的無數(shù)個向量覆蓋了一個平面。實際上，在后面的章節(jié)中，這個平面是一個向量空間，一個被常向量和所張成的向量平面空間，記為。因此，我們可以有這樣的一個等價式： (1,0,)a(0,1,)b(1,0,),(0,1,)Spanab1212(,)(1,0,),(0,1,)xxaxbxSpanab+ 類似的，變向量1212(,)xxaxbxc+也有兩個獨立變元12,xx，第三個變元3x與12,xx有線性關(guān)系：312xaxbxc=+。同樣，我們也對它進行向量分解： 1212112212(,)(,0,)(0,)(0,0,)(1,0,)(0,1,)(0,0,)xxaxbxcxaxxbxcxaxbc+=+=+ 同變向量1212(,)xxaxbx+比較起來，變向量1212(,)xxaxbxc+與它的關(guān)系可以表示為：12121212(,)(,)(0,0,)xxaxbxcxxax