第3講平面向量的數(shù)量積及應用舉例

1、第3講平面向量的數(shù)量積及應用舉例I識*務回顧g走逬教材另、知識梳理1. 向量的夾角定義：已知兩個非零向量 a和b，作0A = a, 0B= b,貝AOB = B叫做向量a與b 的夾角.范圍：向量夾角B的范圍是0°w 其180°.注意當a與b同向時，0= 0° a與b反向時，0= 180° a與b垂直時，0= 90°2.平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量 a, b的夾角為0,則數(shù)量|a|b|cos_0叫做a與b的數(shù)量 積，記作a b投影|a|cos 0叫做向量a在b方向上的投影，Iblcos 0叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a b等于a

2、的長度|a|與 b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘積注意投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量 ，不是向量.3. 向量數(shù)量積的運算律a b= ba.(2) (七)b= Xa b)= a (Q.(3) (a+ b) c= a c+ b c.4. 平面向量數(shù)量積的坐標運算及有關結論已知非零向量 a= (xi, yi), b = (x2, y2), a 與 b 的夾角為 0, a b= xix2 + yiy2.結論幾何表示坐標表小模|a|=VOa|a|=p x2 十 y2夾角 a b cos 0= jajbjX1X2 十 V1V2 cos = X2十 y/x2 十 v2a丄b的充要條件a b = 0X1

3、X2+ y= 0常用結論(1) 兩向量a與b為銳角？ a b > 0且a與b不共線.兩向量a與b為鈍角？ a b v 0且a與b不共線.(a±)2 = a2±2a b + b2.(4) (a+ b) (a b)= a2-b2.(5) a 與 b 同向時,a b= |a|b|.(6)a與b反向時，ab= |a|b|.二、教材衍化已知 a b = 12 -'2,|a|= 4, a 和b的夾角為135°，則|b為()解析：選 B . a b = |a| | b|cos 135°= 12寸2,所以 |b|= - 12魯=6."2"

4、;、思考辨析判斷正誤(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.(2) 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量.()(3) 由 a b = 0 可得 a = 0 或 b = 0.()(4) (a b)c= a(b c).()n兩個向量的夾角的范圍是o, 2 .()若a b>0，則a和b的夾角為銳角；若 a b<0,則a和b的夾角為鈍角.()答案：(1)2(2) V (3) X (4) X (5) X (6) X二、易錯糾偏常見誤區(qū)| (1)沒有找準向量的夾角致誤；(2) 不理解向量的數(shù)量積的幾何意義致誤；(3

5、) 向量的數(shù)量積的有關性質應用不熟練致誤.1. 在 ABC 中，AB = 3, AC= 2,，貝U BA AC的值為.解析：在厶ABC中，由余弦定理得cos A=AC2 + AB2 BC22X ACXAB22 + 32(i 10) 22 X 2 X 314.-> ->-> ->-> ->13所以 BA AC= |BA|AC|cos( A) = |BA|RC| cos A= 3X 2X 4=答案：32. 已知|a|= 5, |b| = 4, a與b的夾角 0= 120°,則向量 b在向量a方向上的投影為解析：由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b

6、|cos 0= 4x cos 120°=2.答案：23已知向量a與b的夾角為扌，|a|=|b|= 1，且a丄（aD）,則實數(shù) 入=.n 1解析：由題意，得 a b= |a|b|cos 3= 2，因為 a丄（a ?b）,所以 a （a D） = |a|2 d b = 1 2= 0,所以 D= 2.答案：2考點一平面向量數(shù)量積的運算（基礎型）復習指導| 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3. 掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、數(shù)學抽象創(chuàng)1 （一題多解）（2019高考天津卷）在四邊形 ABCD中，AD

7、/ BC, AB= 2, AD = 5,/ A = 30°,點E在線段 CB的延長線上，且 AE= BE,貝U BD Ae =【解析】 法一：在等腰 ABE中，易得/BAE = Z ABE= 30°,故BE = 2,則BD aE =(AD AB) (AB+ BE)= AD AB + AD BE AB2 AB BE = 5X 2 .'3X cos 30° 舟x 2x cos 180° 12 2百x 2X cos 150°=15 10 12+ 6 = 1.法二：在厶ABD中，由余弦定理可得BD = .25 + 12 2 x 5X 2 . 3

8、X cos 30°= 7,0 則 cos所以cosZABD = 12 +廠 罕=密，貝V sin /ABD = 普.設BD與AE的夾角為2X 滋3xp714140= cos(180° Z ABD + 30°) = cos(/ ABD 30°= cos/ABD cos 30°-sinZABD sin 30° =17,在厶 ABE 中，易得 AE= BE = 2,故 BD AE = .'7x 2x 記=1.【答案】1求向量a, b的數(shù)量積a b的兩種方法當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a b= |a|b|cos a,

9、b>.當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(xi,yi), b=(X2,y2),貝y a b =X1X2+ yiy2.,運用當已知向量是非坐標形式時，若圖形適合建立平面直角坐標系時，可建立坐標系坐標法求解.1. (2020 河南新鄉(xiāng)二模)已知 a = (1, 2), b = (m,m+ 3), c= (m 2, 1)，若a II b,則 b c=()C. 3解析：選 B .因為 a= (1, 2), b= (m, m+ 3), a Ib,所以 1 x (m+ 3) 2m= 0,所以m=3,所以 b c= m(m 2) (m+ 3) = 3,故選 B .2. (2019 高考全國

10、卷 II)已知 AB= (2, 3), AC= (3, t), |BC|= 1，則 AB BC=(C. 2解析：選 C 因為 BC = AC AB = (3 , t) (2 , 3) = (1 , t 3),因為 |BC|= 1 ,所以" .1+( t 3) 2= 1 ,所以 t = 3,所以 BC = (1 , 0),所以 AB BC= 2 x 1 + 3X 0= 2,故選 C.n3. (一題多解)(2020湖南省五市十校聯(lián)考)在直角三角形 ABC中，/ C = , AB= 4, AC =2，若 AD = |ab，則 CD CB =()A . 18B . 63C. 18D. 63解

11、析：選 C.通解：由/ C = n AB = 4, AC= 2,得 CB = 2/3, CA CB= 0.CD CB = (CA+ AD) CB= CA CB + ?AB CB = ?(CB CA) CB= CB2= 18,故選 C.優(yōu)解一:如圖，以C為坐標原點，CA, CB所在的直線分別為x, y軸，建立平面直角坐標系，則C（0，0），A（2，0），B（0，況3）.由題意得/ CBA =扌，又品=|aB，所以D =（ 1, 3 ,'3）,則 CD Cb= （ 1, 3 3） （0, 2 ,'3）= 18,故選 C.優(yōu)解二：因為/ C=扌，AB= 4, AC = 2,所以CB

12、= 2、/3,所以AB在CB上的投影為 衛(wèi), 又AD = |AB,所以AD在CB上的投影為3 X 2,；3 = 3 .；3,則CD在CB上的投影為 3,3,所以-> ->-> ->->-> CD CB = |CB| |CD|cosCD, CB>= 2 .3X 3 3 = 18,故選 C.考點二平面向量數(shù)量積的應用（基礎型）復習+匕巳|能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.指導核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理角度一求兩平面向量的夾角1；| - （1）（一題多解）（2019高考全國卷I ）已知非零向量a, b滿足|a|= 2|b

13、|,且（a b）丄b, 則a與b的夾角為（）冗B .32 nC.亍已知向量 AB = (x, 1)(x>0), AC = (1 , 2), |BC|= ,；5,則 AB, AC的夾角為()冗C. n【解析】 法一：由題意得，(a b) = 0? a b= |b|2,所以 |a|b| cos a, b = |b|,因為 |a|= 2|b|,所以 2|b|2cosa, b = |b|2? cos a, b=2,所以 a, b = n,故選B .23法二：如圖，設OA= a, OB = b,則 EBA= a b,所以 B= n，|O）A|= 2|0B|,所以/AOB=3,即 a，bn3.（2）

14、因為 Be = AcAb =（1 x, 1）,所以 |BC|2= （1 x）2+ 1= 5,即 x2 2x 3 = 0,解得 x= 3 或 x= 1（舍）.設 AB, AC的夾角為 9,貝y cos 9= AB AC=_22,所以 b=nAB|AC|【答案】(1)B(2)C(1)當a, b是非坐標形式時求向量夾角問題的方法，求a與b的夾角9,需求出a b及|a|, |b|或得出它們之間的X1X2+ y1y2.x2 + y2 - x2+ y2關系.若已知 a=（X1, y1）與 b=（X2, y2）,貝U cosa, b>角度二求平面向量的模鈕I：； (1)(一題多解)(2020唐山市摸底

15、考試)已知&,e2是兩個單位向量，且Q + e2|= . 3, 貝 H |e1 e2|=.(2)設 x R,向量 a = (x, 1), b = (1, 2)，且 a丄b，則 |a|=，則當 t 近,2時，|a tb|的取值范圍是 .【解析】(1)法一：心+ e2|= . 3,兩邊平方，得e2 + 2e1 + e2= 3,又e1, e2是單位向量，所以 2e1 e2 = 1,所以 |e1 e2|2= e1 2e1 e2 + e2= 1,所以 |e1 e2|= 1.法二：如圖，設AB = e1, AD = e2,所以 |AB|= |AD|= 1,以 AB,AD為鄰邊作平行四邊形 ABCD

16、 ,連接AC, BD,所以AC= e1+ e2, DB = e1 e2,因為e2|=3 即 |AC|=a/3 ,所以/ ABC= 120° 則/ DAB = 60° 所以 |DB|= 1,即 |ei - e2|= 1.(2)向量 a= (x, 1), b= (1, 2),且 a丄 b,所以 x-2= 0,解得 x= 2,所以 22+ 12 =V5.|a- tb|2= a2+ t2b2-2ta b = 5t2 + 5,所以當t= 0時，取得最小值為5 ;當t = 2時，最大 值為25即|a- tb的取值范圍是.;5, 5.【答案】(1)1 (2) ；5 5, 5求向量的?；蚱?/p>

17、范圍的方法(1) 定義法：舊匸箱二苗后,舊±)|=寸(a±) =7a2±2a + b2坐標法：設 a = (x, y),則 |a= ' y'x2 + y2.(3)幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關知識求解.提醒(1)求形如ma+ nb的向量的模，可通過平方，轉化為數(shù)量的運算.(2) 用定義法和坐標法求模的范圍時，一般把它表示成某個變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的有關知識求解；用幾何法求模的范圍時，注意數(shù)形結合的思想，常用三角不等式進行最值的 求解.角度三 兩平面向量垂直問題創(chuàng) 訂 已知向量AB與Ac的夾角為12

18、0°,且|AB|= 3 , |Ac|= 2.若Ap=瓜B + AC,且Ap 丄Be，則實數(shù) 入的值為.【解析】因為Ap丄Be,所以Ap bC= 0.又AP= ?Ab+ ac , bc= Ac-Ab , 所以(鬲+ aC) (aCab)= 0, 即(入-1)AC ab- ?ab2 + ac2= 0, 所以(入1)|AC|Ab|cos 120° -9X+ 4= 0.17所以(入1) X 3 X 2X - 2 - 9 H 4= 0.解得 A 12.【答案】712兩向量垂直的應用兩非零向量垂直的充要條件是：a丄b? a b= 0? |a b|= |a+ b|.注意若a= 0,雖然有

19、a b = 0,但不能說a丄b.1.已知向量 a, b 滿足 |a|= 1, |b|= 2, a b= (.3,2)，則 |a+ 2b|=()A. 2 ,2B . 2 .5解析：選 C.因為 a b= ( 3,2),所以 |a b|= 5,所以 |a b|2=|a|2 2a b+ |b|2= 52a b = 5,貝U a b= 0,所以 |a+ 2b|2= |a|2 + 4a b+ 4|b|2= 17,所以 |a + 2b|= . 17.故選 C.2 .已知在四邊形 ABCD中，AB + CD = 0, (AB AD) AC = 0,則四邊形ABCD是()A .矩形B .正方形C.菱形D .梯

20、形解析：選c.因為AB+ CD = 0,所以Ab = Cd = DC,所以四邊形 abcd是平行四邊形.又(AB AD) AC= DB AC= 0,所以四邊形的對角線互相垂直 ，所以四邊形 ABCD是菱形.3.(一題多解)已知正方形ABCD，點E在邊BC上，且滿足2BE = BC,設向量AE, BD 的夾角為 0,貝y cos 0=.解析：法一：因為2BE = BC,所以E為BC的中點.設正方形的邊長為 2,則|AE= .5,|BD|= 2 .2, AE bd = Ab+ 1/D (AD AB)= 1|AD|2 |AB|2 + 珈 Ab =22 22= 2,所以 cos 0=AE BD _ 2

21、_. 10IaE|BdI= 5X 2 2=市法二：因為2BE = BC,所以E為BC的中點.設正方形的邊長為 2,建立如圖所示的平面直角坐標系xAy,則點A(0, 0), B(2, 0),D(0, 2), E(2 , 1),所以 AE= (2, 1), BD = ( 2, 2),所以 AE BD = 2x ( 2) + 1 x 2 = 2,故 cos 0=AE BD 2|aE|BD| . % 2 2，進一步轉化為所以 sin A = , 1 cos2A=35(2)由正弦定理asin Absin B得 sin B =4bsin A 5X 52丁 = 4*2 =乙因為a>b,所以A>B

22、,則B2=:,由余弦定理得 (4 2) =5? + c? 2 X 5 c X35,解得c=1.故向量ba在bc方向上的投影為|BA|cos B = ccos B = 1 X答案：-嚅考點三向量數(shù)量積的綜合應用(綜合型)復習七匕巳I解決此類問題的關鍵是把向量關系轉化為向量數(shù)量積的有關運算 指導實數(shù)運算，進而利用相關知識求解.STH (2020廣州海珠區(qū)摸底)在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,向量m 口3=(cos(A B), sin(A B), n = (cos B, sin B),且 m-n = _：5(1)求sin A的值；若a = 4 .2, b = 5,求角B的大

23、小及向量BA在BC方向上的投影.3【解】由mn =：,53 得 cos(A B)cos B sin(A B)sin B=;,53所以 cos A= 5.因為 0<A< n,平面向量與三角函數(shù)的綜合問題(1)題目條件給出的向量坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立 等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標 ，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內的有界性，求得值域等.(2020石家莊模擬)已知A, B, C分別為 ABC的三邊a, b, c所對的角，向量 m= (sinA, sin B),

24、 n = (cos B, cos A)，且 mn = sin 2C.(1) 求角C的大??；(2) 若sin A, sin C, sin B成等差數(shù)列，且 CA (AB AC) = 18,求邊c的長.解：(1)由已知得 m n = sin Acos B+ cos Asin B = sin(A + B),因為 A+ B + C = n所以 sin(A + B) = sin( C) = sin C,所以 m n = sin C,又 m n = sin 2C,1所以 sin 2C= sin C,所以 cos C =n又0v C v n所以C= 3.(2)由已知及正弦定理得2c = a+ b.因為 CA

25、 (AB AC) = CA CB= 18,所以 abcos C = 18,所以 ab= 36.由余弦定理得 c?= a?+ b?2abcos C= (a+ b)? 3ab,所以 c2= 4c2 3X 36,所以c2= 36,所以c= 6.基礎題組練1. 設 a= (1, 2), b= (1, 1), c= a + kb若 b± c,則實數(shù) k 的值等于()C.解析：選 A . c= a + kb= (1, 2) + k(1, 1) = (1 + k, 2+ k),因為 b丄c,所以 b = 0, b c3=(1 , 1)(1 + k, 2+ k)= 1 + k+ 2+ k= 3 +

26、2k= 0,所以 k=-.2. (2020湖南省五市十校聯(lián)考 )已知向量 a, b滿足|a|= 1, |b|= 2, a (a-2b) = 0，則|a+ b|=()A.,6B.,5C. 2解析：選 A.由題意知，a (a 2b) = a2-2a b= 1 - 2a = 0,所以 2a b = 1,所以 |a + b|=''a2+ 2ab + b2= 1 + 1 + 4=6.故選 A .3. (2020 廣州市綜合檢測(一)a, b為平面向量，已知 a = (2, 4), a-2b = (0, 8)，則a,b夾角的余弦值等于()解析：選B.設b= (x, y),則有 a - 2b

27、= (2, 4) - (2x, 2y) = (2 - 2x, 4-2y)= (0, 8),2 - 2x= 0所以，解得4 2y= 8x = 1_ by =-故 b=(1，-2)，b|=5 侗=2 5C0麗=5 X 2,4.已知向量 |OA|= 3, |OB|= 2, OC= mOA + nOB,若OA與OB的夾角為 60° 且OC丄AB,則實數(shù)n的值為()C. 6解析：選A .因為向量|OA|= 3, |OB|= 2, OC = mOA + nOB, OA與OB夾角為60°所以OA OB = 3 X 2 X cos 60° = 3,所以 Ab OC = (OB O

28、A) (mOA + nOB)=(m- n)OA OB - m|OA|2 + n|OBF=3(m-n)-9m+ 4n=-6m + n = 0，所以 n = 6，故選 A .5.侈選)已知 abc的外接圓的圓心為 o,半徑為2, OA+ Ab + AC= 0,且|OA|=|AB|, F列結論正確的是()A . CA在CB方向上的投影長為一'3b . Oa Ab = OA AcC. CA在CB方向上的投影長為.；3D . OB AB = OC AC解析：選BCD .由0A+ AB+ AC = 0得0B= AC= CA，所以四邊形 OBAC為平行四邊形.又0 ABC外接圓的圓心，所以|OB|=

29、|OA|,又|OA|=|AB|,所以 OAB為正三角形.因ABC的外接圓半徑為2，所以四邊形0BAC是邊長為2的菱形，所以/ACB=n所以CA在CB上的投影為 |CA|cosg= 2X-23 = ,3 故 C 正確.因為 OA AB = OA AC= 2, Ob Ab =OC AC = 2,故 B , D 正確.6. 設向量a = ( 1, 2), b= (m, 1)，如果向量 a + 2b與2a b平行，那么 a與b的數(shù) 量積等于.解析：a+ 2b = ( 1 + 2m, 4), 2a b = ( 2 m, 3),由題意得 3( 1 + 2m) 4( 2 m)=0,則 m= 1,所以 a b

30、 = 1X 寸 + 2X 1= |.5答案：5>>>>J-7. 已知點 M , N滿足|MC|=|NC|= 3，且|CM + CN|= 2,5，貝U M , N兩點間的距離為解析：依題意，得 |CM + CN|2= |Cm |2+ |CN|2 + 2Cm Cn = 18+ 2Cm CN = 20,則 Cm Cn =1,故M , N兩點間的距離為|MN|=|CN CM|=：|cN|2+ |cm |2 2Cn Cm=9+ 9 2= 4.答案：48. (2020山東師大附中二模改編 )已知向量a, b，其中|a|= .3, |b|= 2,且(a b)丄a, 則向量a和b的夾角

31、是, a (a+ b) =.解析：由題意，設向量a, b的夾角為0,因為|a| = 3, |b|= 2,且(a b)丄a,所以(a b) a= |a|2 a b= |a|2 |a|b|cos 0= 3 2頁 cos 0= 0,解得 cos 皓烏3.又因為 0< 0< n 所以 0 =n則 a (a + b) = |a|2+ |a| |b| cos 0= 3+ 2 3x23= 6.答案：n 669. 已知向量 a= (2 , 1), b = (1, x).(1) 若a丄(a + b),求|b|的值；若a + 2b= (4, 7)，求向量a與b夾角的大小.解：由題意得a + b= (3

32、, 1 + x).由 a丄(a + b),可得 6+ 1 x= 0,解得 x= 7,即 b= (1, 7),所以 |b|= 50= 5 . 2.(2) 由題意得,a+ 2b = (4, 2x 1) = (4, 7),故 x = 3,所以 b = (1, 3),因為a , b> 0 , n所以a與b夾角是n10. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 A( 1 , 2) , B(2 , 3) , C( 2, 1).(1)求以線段AB , AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；設實數(shù)t滿足(AB tOC) OC = 0,求t的值.解：(1)由題設知 AB= (3 , 5) , AC= ( 1 ,

33、 1),則 AB+ AC = (2 , 6) , AB AC= (4 , 4).所以 |AB + AC|= 2 .10 , |AB AC|= 4 2故所求的兩條對角線的長分別為4.2 , 2 . 10.法一：由題設知：OC = ( 2, 1)tOC = (3 + 2t , 5 + t).由（AB tOC） OC = 0，得：（3 + 2t, 5+ t） （- 2, 1） = 0,從而 5t= 11 ,11所以t= M5法二：Ab oc= tOC2, Ab=（3, 5）,AB OC11"|OC|2 = 5.綜合題組練1. (2020安徽五校聯(lián)盟第二次質檢)已知0是厶ABC內部一點，且滿

34、足OA+ OB + OC =0,又 AB AC = 2 .3,/ BAC = 60°,則厶 OBC 的面積為（）A .于B . 3C. 1D . 2解析：選 C由AB AC= 2 3, /BAC = 60°,可得 AB AC = |AB| |AC|cos /BAC = 2 |AB|AC |= 2 3,所以 |Ab|AC|= 4 .3,所以 Szabc = 2|AB|AC|sin/BAC = 3,又OA+ OB + OC = 0,所以1O ABC 的重心，所以 Szobc = §Saabc= 1 ,故選 C.2. （2020鄭州市第二次質量預測 ）在Rt ABC中，

35、/ C= 90°, CB= 2, CA = 4, P在邊 AC的中線BD上，則CP BP的最小值為（）A. 1B . 0C. 4D . 1解析：選A .依題意，以C為坐標原點，分別以AC, BC所在的直線為x, y軸，建立 如圖所示的平面直角坐標系 ，貝U B(0 , 2), D(2, 0),所以直線BD的方程為y= x+ 2,因 為點 P 在邊 AC 的中線 BD 上,所以可設 P(t, 2 1)(0 < t< 2),所以 CP= (t, 2 t), BP = (t,2TT111TT1t),所以 CP BP = t2 t(2 t) = 2t2 2t= 2 t- 2，當

36、t = 2時，CP BP取得最小值？，故3.設 x R，向量 a= (x, 1), b = (1, - 2)，且 a丄b，則 |a|=，則當 t - ； 3,2時，|a- tb|的取值范圍是 .解析：向量 a = (x, 1), b= (1, 2),且 a丄 b,所以 x 2= 0，解得 x= 2,所以 ai=： 22 + 12=.'5.|a tb|2= a2+ t2b2 2ta b = 5t2 + 5,所以當t= 0時，取得最小值為5 ;當t = 2時，取得 最大值為25即|a tb|的取值范圍是.'5, 5.答案：5 5, 54.在邊長為2的菱形ABCD中，已知/ BAD = 60°, E為線段CD上的任意一點，則AE BD 的最大值為;向量AE的模的取值范圍是.解析：以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系 由/BAD = 60°, |AB|= 2,可知 ABD 為正三角形，|AO|=J3, |DO|= 1 ,所以點 A( Q3,0), C( 3, 0), D(0, 1), B(0, 1), AC= (2 3, 0), AD = ( .3, 1).因為 D, E , C 三點共線，所以 AE= xAC+ (1 x)AD , 0w xw 1,即 AE = x(2 . 3