第二章平面向量復習

1、第二章平面向量復習選題人：劉瑞紅審題人：蘇傳忠一、向量的概念：¥/b Ci. 向量定義：既有大小又有方向的量叫做向量。|r線段AB的長度叫向量 AB的長度，記作|扁|。A (起點)2.向量的表示方法：(1 )用有向線段表示 AB ；(2)用字母表示：a,i, j .3. 單位向量、零向量、平行向量、相等向量、共線向量的定義：(1) 單位向量：長度為 1的向量叫單位向量，即.I AB| = 1 ;(2) 零向量：長度為零的向量叫零向量，記作0 ;彳彳*(3) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作：a/b/c ；(4) 共線向量：平行向量都可移到同一直線上。平行向量也叫共線

2、向量。彳(5) 相等向量：長度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：a = b ；說明：(1)規(guī)定：零向量與任一向量平行，記作0/a ；(2) 零向量與零向量相等，記作 0=0 ;(3) 任意二個非零相等向量可用同一條有向線段表示，與有向線段的起點無關(guān)。二、向量的線性運算：T T T1. 向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示：AB BC =AC .規(guī)定：零向量與任一向量 a，都有a 0 = 0 a = a .2. 向量加法的法則：(1) 三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法 則。 表示：AB BC AC .(共線向量的加法也符合)(2) 平行四邊

3、形法則：以同一點 小為起點的兩個已知向量 a , b為鄰邊作ABCD , 則以a為起點的對角線ac就是a與b的和，此法稱為向量加法的平行四邊形法則。3向量的運算律：.彳交換律：a b a .結(jié)合律:(a b) c = a (b c)說明：多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行。44. 相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a。 說明：(1)規(guī)定：零向量的相反向量是零(2)性質(zhì)：(a)=a ； a (a) =(a) a =0 . 科 斗 斗 片5. 向量的減法：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。表示a. - b = a (-b)6. 向量減法的法則：斗彳已

4、知如圖有a , b，求作a -b . 三角形法則：在平面內(nèi)任取一點O，作fA彳二a , OB = b，貝U BA二ab .Bj a-bbOA說明：a -b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a , b有共同起點）.7. 向量的數(shù)乘的定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）1 a |=| | a| ；（2）當 >0時， a的方向與a的方向 ；當 <0時，a的方向與a的方向；當 =0時， a = 0，方向是任意的.8向量數(shù)乘的運算律 設(shè)、為實數(shù)，那么：（1） （a ）=（ J）a ；（ 2）（ +）a a+a ；（ 3） （ a + b ）= a+

5、' b9兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的等價條件是有且只有一個實數(shù)，使得b=，a.特別的：如果OA = xOB yOC且x y =1,則A、B、C三點共線10.平面向量基本定理.如果e1， e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，4有且只有一對實數(shù) '1， -2，使a = '10 '2倉其中我們把不共線的向量 e1 , e2叫做表 示這一平面所有向量的一組基底。,注：8 , e2均非零向量；8 , e2不唯一（事先給定）； j N隹一;，2=0時，a與e1共線；= 0時，a與e2共線；' 1 = = 0時，a=0 .特別

6、的：如果OA = xOB yOC zOD且x y z = 1,則A、B、C、D四點共面.相關(guān)練習：1. 判斷下列各命題是否正確（1） 若A、B C D是不共線的四點，貝U AB = DC是四邊形ABCD為平行四邊形的等價條件；（）(2)若：/ b , b/ c，則 a/ c； ( )(3) a = b 的等價條件是a t|bl().a / b2.已知任意兩個非零向量a與b，試作OA=a +b , OB =a + 2b ,OC=a + 3b，則卜列各式成立的是（)(A) AC = AB(B) AC =2AB(C) BC =2AB(D) AC =3BC3.設(shè)O是也ABC內(nèi)一點，OA +OB +OC

7、 =0，則O是山ABC的（)（A）內(nèi)心（B）外心（C）垂心（D）重心4.已知下列各式：(1) AB BC CA ( 2) (AB MB) BC OM5.已知正方形ABCD的邊長為1, AB = a , BC = b, AC = c，貝U a+b+c =(A) 0(B) 3(C) .2(D) 2 26已知 AB =3, AC =5,貝V AB +AC的取值范圍是8已知O是厶ABC所在平面內(nèi)一點，(A) AO =OD( B) AO =2OD7.在,ABCD中，AB鳥,AD JAN =3從，M為BC的中點，貝U MN - (用a、b表示)D為BC邊中點，且20A OB 0 0，那么(D) 2A0=0

8、D(C)3ODa-b|，則a與a + b的夾角為9設(shè)a、b為非零向量，且| a|=| b |=|與a - b的夾角為.10.在厶ABC中，點O是BC的中點，過點 O的直線分別交直線 AB , AC于不同的兩點M , N，若 AB =mAM , AC = nAN，貝m n 的值為三、向量的數(shù)量積及坐標運算：1. 平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i、j為基底，對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) x、y，使得a=,則實數(shù)對(x, y )叫做向量a的直角坐標，記作 ，其中x、y分別叫做a在x、y軸上的坐標，a= ( x, y )叫做a的坐標表示.

9、(1) 相等的向量其坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置 有關(guān)。(3) i =(1,0) , j =(0,1) , 0 =(0,0);(4) 從原點引出的向量 oa的坐標(x, y)就是點A的坐標。2. 平面向量的坐標運算：(1) 若 a = x, y , b = x2, y2 ，貝V a _ b =。(2) 若 A(x1, yj, B(x2, y2)，貝U AB 二。i(3) 若 a =( x, y)，貝廿 1 a =。3 平面向量共線的坐標表示：* * * *若 a= x1,y1 , b= x2, y2 ,

10、b= 0，當且僅當 時，a /b，記作。VO a與b垂直：如果II a與b的數(shù)量積：設(shè)A x1, y1 , B x2, y2 , C x3, y3 ,要證明三點 A、B、C共線，只要證明4.平面向量的數(shù)量積的定義：才彳T H T 耳向量a, b的夾角：已知兩個非零向量a,b，過0點作OA二a, OB二b,貝y4 !二叫做向量a,b的夾角。其取值范圍是：" 片彳當且僅當 兩個非零向量a, b同方向時，r，當且僅 當a, b反方向時a,b的夾角為， ，則稱a與b垂直，記作。兩個非零向量a,b,它們的夾角為.則叫做稱a與b，記作，即*O_，對于非零向量a與b，當且僅當a _ b時，即v -

11、時,b在a方向上的投影 0P，它是一個數(shù)，不是向量。且0P二當" 時，它是正數(shù)；當廠 時，它是負數(shù)；當 二=時，它等于零.所以，a b的幾何意義：a b等于的長度與 在_方向上的投影的乘積。e是單位向量，于是有: a _ b ：=5平面咄數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b是兩個非零向量,a = a e = a cos 日當a與b同向時，a b2地,a a 二 a2-a 或 a=；當a與b反向時,，特別6平面向量數(shù)量積的運算律： 交換律成立：a b =b a ,片*. 對實數(shù)的結(jié)合律成立：ab =ar、4444 4 呻 分配律成立：a二bc=ac二bc=ca二b特別注意：(1)結(jié)合律不成立：a

12、F c = a b c ； (2)消去律不成立a a c不能得到b=c (3) a b=0不能得到a = 0或b =0但乘法運算公式成立:-2 -2a b a-b 二a -b2 一-2a±2a b +bo- -2 ，2 ， 2a-b a 上2a b b =7.平面向量數(shù)量積的坐標表示： 若 a =(N,yJ , b 二區(qū)專)，貝y a b= 若 a = (x, y),則 | a | 2 = aLa =, a =T 若 A(“ yj , B(x2, y2),貝U AB =。 若 a =(N，yJ , b= (x2, y2)，則 a _b：= 若 a =(N,yJ , b =(x2,y2

13、)，貝U cos 二8.長度、夾角、垂直的坐標表示：(a lib 二|a|x2 y2 ;兩點間的距離公式：若 A(xyj, B(x2, y2)，則AB長度：a=(x, y)=|a|2 = x2 y2-二,(x2 -)2 (y2 - yi)2 ；夾角：COST = -4垂直的充要條件：X1X2 +%y2；|a| |b|. xf y； a. xf y；a_b：=ab=0,即卩 x1x2 yy=0相關(guān)練習：1.設(shè)向量是任意的非零向量,(1)(a|_b)c _(a_c)b =0且互不共線。下列命題中正確的是(2) (aLb)c _(a_c)b 0(4)a -b444(3) |a| |b|：|a b|

14、(5) (b|_c)a _(cja)b與C不可能垂直(3a 2b')L(3a -2b) =9|a|2 -4|b|2a b = c b , b = 0，貝U a = c(8)若 a b = 0，貝U a 與 b 必有一個為 0(6)(7)2. 若a= (-3 , 4), b= (5, 12),則a與b的夾角的余弦值為_3. 設(shè)向量 OA= ( k, 12) , OB =( 4 , 5), OC=(10, k),當 k =C二點共線。'4. 已知向量 a = (1,2),b = (x,1),u = a 2b , v = 2a -b，且 uv，求實數(shù) x 的值。5已知 A(1,2)、

15、B(4,0)、C(8,6)、D(5,8)四點，則四邊形 ABCD 是( ) A.梯形 B .矩形.C 菱形4.時，A、B、D.正方形7.設(shè) a b = c b , b = 0，則()C . a、c在b方向上的投影相等* TAB上，且A . a = c b . a=c8.若 OA =1,OB、3,OA_oB =0,點 CD . | a |=| A O C 3 0 ,C|設(shè)6.已知兩個非零向量 a、b滿足(a-2b) _ a,(b-23) _ b，求a與b的夾角。n O, B m,)則 mF等于(nA. 139.在ABC中，若C3CA CB CA - CB 1= 0，則 l ABC 為B .直角三角形 C .等腰三角形 DD.( ).無法確定A.等邊三角形10.已知a =(九，2), b =( -3 , 5)且a與b的夾角是鈍角，則乙的取值范圍是(A B C33衛(wèi)D 33C(cos ： ,sin :),且 0 ：二。(1)若1二 已知 0(0, 0)、平0)、B(0,2)、|OA OC|7,求 OB 與 OC 的夾角；(2 )若 AC_BC，求 tan 的值。1 312 已知平面向量 a = (-3, -1), b = (,).(1)證明：a _ b ；(2)若存在不同2 2時為零的實數(shù)k和t，使x = a (t2 -3)b, y = -ka tb，且x _ y