第五講三者辨證關(guān)系

1、第五講三者辨證關(guān)系(2)二、函數(shù)與方程(一)、理論提示1、函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)思想方法的主線，函數(shù)思想是指在解 決某些問題時，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象出變量間的函數(shù)系，再利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得以解決。2、程思想是指將研究的變量設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)題意布列方程，通過對方程 的研究，使問題得以解決。方程與函數(shù)是兩個不同的概念，但它們有著密切 的聯(lián)系。對于同一個問題，可以用不同的觀點去分析，從而引出不同的方法。3、下列三個關(guān)系對于處理函數(shù)、方程、不等式有關(guān)問題至關(guān)重要：a、方程f(x) =g(x)的解是兩函數(shù)y = f(x)和y=g(x)圖象交點的橫坐標(biāo)；b、不等式f(x)

2、(：)g(x)的解集是函數(shù)y = f(x)的圖象在函數(shù)y=g(x)的圖象上方(下方) 的取值集合；c、不等式 f (x) )g (x )的解集的區(qū)間端點值要么是函數(shù) y=f(x)和y=g(x)的公共定義域的區(qū)間端點值，要么公共定義域的區(qū)間端點要 么是相應(yīng)方程f(x)=g(x)的解。4. 函數(shù)的定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的前提，如具有奇偶性的函數(shù)的定義域表 示在數(shù)軸上時必須關(guān)于原點對稱，解對數(shù)不等式，無理不等式時要考慮定義域。5. 數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法，借助函數(shù)的圖象，再結(jié)合分析、推理 來解決與函數(shù)有關(guān)的問題。6. 函數(shù)的思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用的各個側(cè)面，解題時，一般 據(jù)題意先建立目

3、標(biāo)函數(shù)，而后通過對函數(shù)性質(zhì)的研究加以解決。7. 解復(fù)雜的方程或不等式時，注意換元化歸，分類討論。(二)、精典例題1、函數(shù)問題方程化例1、設(shè) a>b>c 且a + b + c= 0，拋物線y = ax + 2bx + c 被x軸 截得的弦長為1,求證：<1< 2"；.講解：如果能夠建立l = f(a,b,c )的表示式，那么問題歸結(jié)于 求函數(shù)1的值域.T a>b>c，且 a + b + c= 0,二 a> O,cV 0.由題意知= 4 b彳一 4 ac> 0,從而方程ax 2 + 2bx + c= 0必有兩 個不同的實根x i、X2，則1

4、 2 =(xiX2)2=(x i+x2)彳 一 4 x i x 2=( 4b'/a2) ( 4c/a)= 4(b2/a2) (c/a) 二4 (a + c) 2/a 2) (c/a) = 4 (c/a) + ( 1/2) 2 + 3.這說明1 2是(c/a )的二次函數(shù)，由a>b>c以及a + b + c= 0可得一2v(c/a)V( 1/2).由二次函數(shù)的單調(diào)性可知， 當(dāng)(c/a)V( 1/2)時，1 2是單調(diào)遞減的，于是4 ( 1/2) + (1/2) 2 + 3V1 2 V4 ( 2+( 1/2) 2+ 3,即 3<1 2< 12.又1>0,故心 &

5、lt;1< 2 -.例2 .已知函數(shù)f(x)=也叫2 2 8X n的定義域為R,值域為0, 2，求實數(shù) x +1m、n.。解：2mx 8x n ,222設(shè)t,貝M _ t - 9,又由t(x2 亠 1) = mx2 亠8x 亠n得(t -m)x2 -8x 亠t- n = 0x2 +1x 三 R, ： = 64 -4(t -m)(t -n)丄0即t2 -(m n)t mn -16 _ 0, 1 _ t _ 9 .m n =10且 mn -16 =9.解得 m =n =52、方程問題函數(shù)化例3、方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為.A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D

6、. (3, +)分析在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2).它們的交點橫坐標(biāo)x0，顯然在區(qū)間(1, 3)內(nèi)，由此可排除A, D至于 選B還是選C,由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了 實際上這 是要比較x0與2的大小.當(dāng)x=2時，Igx=lg2， 3-x=1 .由于Ig2v 1，因此x0 >2,從而判定x0 (2，3)，故本題應(yīng)選C.評述 本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程 lgx+x=3解所在的區(qū) 間.數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計 算x0的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷.例4 .已知過點A (0，1

7、)，B (4, a)且與x軸相切的圓只有一個，求a，的 值及其所對應(yīng)的圓方程解：設(shè)所求的圓的方程為(x_x。)2，(yy。)2二yf.； A、B均在圓上，將A、B的坐標(biāo)代入消去yo得(1 -a)x2 -8x0 aa 16 =06分，要使只有一個圓，關(guān)于xo的方程只有一解，當(dāng)a=1時，得xo=2, y0 =5;當(dāng)a =1時令厶=0得a =0,則x0 =4, y0二17故適合題意的a值為a=12 2或a=0.相應(yīng)的圓方程分別是(x-2)2 (y-5)2二乎和(x-4)2 (y-號)2二竽例5 .若關(guān)于x的方程lg (x2 + 20x) -lg (8x-6a-3 ) =0有惟一的實根， 求實數(shù)a的取

8、值范圍.講解：原方程等價于Ix + 20x > 0,x + 20x=8x-6a-3,Jxv-20或 x>0,1x2 + 12x+6a+3=0.令 f (x) =x2 +12x+6a+3.1)若拋物線y=f (x)與x軸相切，有 =144-4 (6a+3) =0, 即卩 a= (11/2).將a=( 11/2)代入，得x=-6，不滿足.a( 11/2).(2)若拋物線y=f (x)與x軸相交(如圖2-12 )，注意到其對稱軸為 x=-6，故交點的橫坐標(biāo)有且僅有一個滿足的充要條件為f (-20) >0f (0)v 0,解得-(163/6) <a- (1/2).當(dāng)-(163/

9、6)< av - (1/2)時，原方程有惟一解.說明：(i )在上面的解題過程中，我們利用對稱軸x=-6與端點(-20,0) 和(0, 0)的遠(yuǎn)近程度，迅速將問題轉(zhuǎn)化為解不等式組匚 f (-20) >01 f (0)v 0.(ii )本題的另一種思路是利用數(shù)形結(jié)合的思想.原方程等價于x2 + 20x=8x-6a-3 (x v -20 或 x > 0).、 " 2 問題轉(zhuǎn)化為：求實數(shù)a的取值范圍，使直線y=8x-6a-3與拋物線y=x + 20x (x v-20或x> 0)有且僅有一個公共點.雖然這兩個函數(shù)的圖象都很明確，但在什么情況下它們有且僅有一個公共 點，

10、卻并不明顯.如果把方程稍作變形，如x2 + 12x+3=-6a (x v -20 或 x > 0).再在同一直角坐標(biāo)系中分別作出拋物線 y=x'+12x+3 (xv -20或x>0)和 直線y=-6a，如圖2-13所示.當(dāng)且僅當(dāng)3v-6aw 163,即-(163/6)< av - (1/2)時，直線與拋物線僅 有一個公共點.圖 2-13的實根.當(dāng)-(163/6)< av - (1/2)時，原方程有惟二、反饋練習(xí)函數(shù)八綁 Q 一心-藝-衛(wèi)，集合，集合朋卜対且A=BO，求叮勺取值范圍.« 2a 1解：由AMO,得 -,A=B等價于曲線一I與y二X的交點就是

11、曲線廠亦-1與“妙2-的交點，又等價于曲線=曲2-1上不存在兩個不同 點關(guān)于直線y=X對稱假設(shè)曲線：I上存在兩個不同點P、Q關(guān)于直線y= x對稱，則PQ直線方程可設(shè)為，1 ' L，與方程” 一 1聯(lián)立，消， 整理得泊壯站 .此方程應(yīng)有兩個不等實根，即為P、Q的橫坐標(biāo)設(shè)PQ中點為M二.匚- ?,即；”麗 . I .l + 2oi2a P、Q關(guān)于直線一'對稱，：M11十龐 31x 3占在上八 、II_-，= b = 一a > - L ，即 -,代入，得 -，二曲線»y-l上不存在兩個不同點關(guān)于直線V 7對稱時，.習(xí)"盲.2 如果關(guān)于；的方程'1：' '"有一個根小于1 ,另一個根大于1,求實數(shù)的取值范圍解 方程八m ”:的實根即是函數(shù)''''.的圖象與與由交點的橫坐標(biāo).如圖1-2,原方程有一個根小于一1,另一個根大于1的充要條件是函數(shù)y=f（x）的圖象與丿軸有兩個交二點分別在區(qū)間（一X， 1）及（1，+x）上.由于y=f（x）的圖象是開口向上的拋物線,因此以上條件等價于f/(-l) < 0J1-(幽1) +禰2 _ 2 < Q(了(1)<即 丫 + (戰(zhàn)+3 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓 2x2，（y-a）2 =2上恰有兩點到x軸及