第四章向量代數(shù)與空間解析幾何

1、第四章向量代數(shù)與空間解析幾何【數(shù)學(xué) 1, A】2008考試內(nèi)容（本大綱為數(shù)學(xué)1,數(shù)學(xué)2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪）向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積和向量積向量的混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面柱面旋轉(zhuǎn)曲面常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程2008年考試要求1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合

2、積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4.掌握平面方程和直線方程及其求法。5.會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。J6.會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程。一、三基及其延拓1.向量代數(shù)研究的對(duì)象為自由向量，研究的空間限于實(shí)物空間，即不超過(guò)三維

3、的空間 向量的一般表示a, b,等幾何表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的有向線段坐標(biāo)表示：a =(%,%,乙)，b = (X2,y2,Z2)投影表示：斗耳呻*44a = a i a j za ； b =bxi by j bzk坐標(biāo)系：任何極大完備無(wú)關(guān)向量組ai,a2,a3,IHanf,其中:ai：ii：i2：i3可以構(gòu)成坐標(biāo)系，如果將該向量組施密特正交化和單位化，則構(gòu)成正交直角坐標(biāo)系，很顯然，如果、ai,a2,a3, a"中的每一向量是3維（s=3，有三個(gè)坐標(biāo)分量），則不可能由二維坐標(biāo)系（n=2 ,有二個(gè)獨(dú)立分量）表示，這個(gè) 思想應(yīng)特別注意。 向量的方向角和方向余弦II a與x軸、y軸和z軸的正向

4、且非負(fù)的夾角：-,-,稱為a的方向角。 cosa,cos B,cos Y稱為a的方向余弦，且cosa =獰COS0 =a*, cosY= a任意向量r （ er為r的單位向量，并規(guī)定er離開(kāi)原點(diǎn)為正方向。）r =xi yj zk hx, y, z j ircos , rcos :, rcos* i=r cos： ,cos :,cos住斗 r x 7 ycos : , cos :, cosi ： 一r rer稱為r的單位向量，并且2cos :-COS2 " 1 cos2=1 o任意向量線元（e為I的單位向量，并規(guī)定ei離開(kāi)原點(diǎn)為正方向。）H4dx時(shí) dv dz-dHidEdy+kdW

5、訂咕桿滬 icos+j c%k cos任意向量面元（q為面元法線的單位向量，并規(guī)定en與Z軸夾角為銳角時(shí)為正方向。）d量dS眾idydz + jhdx + kdxdy二二濁字 + j些+ 2哋cos+1 訪寸；c|o s dS dS dS 夾角專題兩向量的夾角規(guī)定：為兩向量不大于:的夾角，即0豈- o-:=0= aLb=魅二電二魚(yú)=兩向量平行，:兩向量反平行; bx by bz兩向量平行或反平行的充要條件為：a _b= axb< ayby azbz =0=兩向量垂直。2直線與平面的夾角二規(guī)定：直線與該直線在平面上的投影直線之間的夾角,平面與平面的夾角-：規(guī)定：兩平面的公垂面與他們的截痕直

6、線之間的夾角,0乞20叮2又等于他們的法線之間不超過(guò)-的夾角定比分點(diǎn)公式：P, F2, P為同一直線上的三點(diǎn),旦PF2Z>0,：-i,i £ 丸 <0,P在R和P2中,P 在 P2外=RP VPP2 二 OP 2i -P在P外yi y2i - ZiZ2數(shù)量積又稱標(biāo)積或點(diǎn)積，表示為40'a2 yi2 z i2 xXi X2yi y2Z Z2# y #z或: a b=aPr jabrtua bPrjbaHtaxbxayby玄乙匕乙稱為a在b上的投影注意：數(shù)量積本質(zhì)上就是一個(gè)實(shí)數(shù)。在三維以上空間的數(shù)量積稱為內(nèi)積，且可表示為a b = a, b； = (xi, yi,zi

7、, tj(X2,g,z2,t?)= X1X2y°2乙Z2tt向量積 又稱叉積或外積，表示為a bxijyiX2 y2dk丄網(wǎng)w =(%勺 rz > -(xiz -X2Zi )j +以$2-2%)kZ2胡詁右Jb島畀從);殘X3方向規(guī)定：轉(zhuǎn)向角不超過(guò)二的右手螺旋定則。 2叫=*”n毋，II幾何意義：axb=平行四邊形的面積；農(nóng)石=0，且共起點(diǎn)弋a(chǎn), t共線混和積表示為abc Iv =0三點(diǎn)共面y3Z3abc代表平行六面體的體積;4 4=0 ：= a, b, c 共面。求導(dǎo)法則二旦噸j毎kdt dt dt dtda空a fdtdadt幾何意義:ddadb(a b) d "

8、 a dtdtdtd a =lbJdb dtdtdt2、場(chǎng)論考點(diǎn)場(chǎng)的概念：在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的確定值，叫做該 空間的物理量的場(chǎng)，分為數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)兩類。數(shù)量場(chǎng)用梯度描述，向量場(chǎng)用散 度與旋度描述。場(chǎng)論的數(shù)學(xué)核心：梯度算符，用表示，定義為 b =肚昇空眾£。ex cycz梯度'定義: U二excycz，就好比樓梯的陡度。散度一 A定義:=，其中A = Pi Qj Pk，表示分散的程度。 :x : y :z如果沒(méi)有分散，則散度為零，如靜磁場(chǎng)的散度' B=0。旋度l A定義:如沒(méi)有閉合,.XAx即不存在蝸旋,，表示蝸旋的程度。-yAyczAz

9、則旋度為零，如靜電場(chǎng)的旋度I E=0。 運(yùn)算關(guān)系（本知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求，高數(shù)甲乙或高數(shù) AB需掌握）(A B) =(A l)B (B l )A A (I B) B C 2 -4： (r)r = er.:u；：u；：u -.:uCOSG + COSP + cos_T:x1 pf(r)=r (rr crC A)=y2 ：:f (r).:z.:r-'、2A CC A) A 二A 'A-'、A22'、(A B)二 C A)B-C B)A'、(A B) B)A (' )A-0 A)B-(A 'JB咼斯公式的場(chǎng)論表示A dS ： ill A

10、dV斯托克斯公式場(chǎng)論表示平面格林公式:Q ；:Pg|A d 電 Pdx+Qdy 二“三-ex&ydxdy評(píng) 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各符號(hào)的具體意義如下:A =iP jQ kR; dS idydz jdzdx kdxdy; dl 二 idx jdy kdz dv 二 dxdydz評(píng) 注|讀者最難理解是關(guān)系：dS = dS： = idydz+jdzdx+kdxdy。其實(shí)就是n的方向余弦=dSi cos ，如,co廠,cos元投影面元的關(guān)系，讀者可在三維空間作一個(gè)平面m=1。然后并有：Z du = dxdy, Z dS =dS= dxdy = dScosf，同理可得其他兩個(gè)坐標(biāo)平面

11、的面兀投影關(guān)系：dydz =dScos； dzdy=dScos-。上述關(guān)系是讀者能否學(xué)好空間積分的關(guān)鍵，務(wù)必掌在該平面內(nèi)過(guò)Z=c點(diǎn)畫無(wú)數(shù)線元dSi，每一線元在xoy平面的投影為dui，顯然dui握3、萬(wàn)能坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系（本小節(jié)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求，高數(shù)甲乙或高數(shù)AB需掌握）即：V =1 1 1 ; hif色 e?-h?/u2hs - 口3對(duì)直角坐標(biāo)d | =d xd 2 -d y d 3 = d zhi 二 h：二 hs 1 ; u二 x, u：二 y,出二 z對(duì)柱坐標(biāo)系(r門h 二1 ,h = r 3,h 二；ui 1 r,氏-),出=z對(duì)球坐標(biāo)系(r門,Th =1 h = r h

12、=r r; su r, u2 - v, u3 =在該系中任一曲線元 dh二hjdUjdu為球面系、柱面系等坐標(biāo)曲線元。IL、 IL、 I貝 uee2e3 二：112'l3'u1.:U|u2u31el2e2-es1'U2 '2_u3 ,'3aaaI而？阪嚴(yán)叭）+嘉（hiW 覽加A八無(wú)須掌握證明過(guò)程）Vxhie；:u1Ahide2.:u2AA（無(wú)須掌握證明過(guò)程）1 : ；：h2h3 況2 J' 一 漏山2).丿f1 hK (hi)瓦3)二丄U3+汨代h1hcuicu2記住'、，'、'八 A的結(jié)論形式即可。拉普拉斯算子二在球坐標(biāo)

13、系的形式dh =drrd d3 = (r sin )d :hi=1=“，ur；詐1上臼丄上亂“近聖 1 冗r r -r sin ：h 2-：u 2 h ：3u丨鳥(niǎo)訕3hh 3hiho ' Ie2 3一)一( L)宀) h1h2h3 : ui h1 ui u2 h> u2 ； u3 h3 比 d (2.Y c- (rsi.r sin):丁r1r2si n： r1：2 f1'=-r 2 一 sin =r : r : r r sin ：；sin J f Lr sin : '21 f.+胡丿r2sin2日點(diǎn)®2拉普拉斯算子厶在柱坐標(biāo)系的形式（r,二,z） = h

14、| = 1, h? = r, h3 = 1 ;5 = r, u2 - ', u3 = zifAf1' （-h2hh|h2h3 cu1h1 cu1）.丄（hl埜）.丄（hh2工）cU2cU2 cU3cU11 f :1 :f:f=丄（r丄）（1丄） J（rr I r : r 一 r 一 z2 21f 1=f =fIG- z Wx . IVI, G-I（r ）r ；r ；:r r2 .匕；z24.直線方程方向向量s : 一簇與該直線平行的方向數(shù)l,m,n ; 一般用1= l,m, n表示直線的方向向量 一般式方程Ax By Gz D1 =0m = A, B1Qr，nA2X B2y C

15、2z D2 =0 n2 A2,B2,C2'II則直線的方向向量 s= l, m, n =n n2 點(diǎn)向式（標(biāo)準(zhǔn)式）Shl,m, n般表示平面的法線向量x -X。 y - y° z -勺lmnx = x0 lt 參數(shù)式$y=yo+mt M （ x , y> , z為直線上已知點(diǎn)，方向數(shù)：s = （l,m,n）z 二 Zo nt 兩點(diǎn)式x -捲 y - y1 z - 乙X2 -為 y2 - y1 Z2 - 乙 方向角式： xcos-：ycos ： zcos x2 y2 z2 ,，：，為已知 直線間關(guān)系lJ_11 m1n112 m2門2J _ L2 = hl2 m1m2n2

16、= 0cos V點(diǎn)R （Xi, yiZ）到直線土也=士泄=三2的距離dI m n底長(zhǎng)為s的平行四邊形面積HL1'j卜2-xy2-y1 乙2_乙| 1mnsJ12 + m2 + n2直線到直線的距離da兩平行直線的距離d同上H4.iJkX2 - xy2 - y1Z2lmnI2m2n2Zib兩異面直線的距離d （畫出平行六面體圖推導(dǎo)出下式）其中：只（為,乙）和B（X2,y2,Z2 ）分別為兩直線上的任意兩點(diǎn)，不管這兩點(diǎn)位置如何, Pp2的投影的模都等于d 。5. 平面方程 一般式Ax By Cz D0法線方向向量n 二 A,B,C形象記憶掌握法：“影評(píng)”（隱蔽平行坐標(biāo)量），如y不出現(xiàn)，則/

17、 y軸；依此類推。 點(diǎn)法式A（x-x。） B（y-y。）C（ - 0）=0 三點(diǎn)式X_ Xiy-YiZ z.XX2y -y2z _ z2=0X一 X3y -Y3ZZ3截距式：即平面經(jīng)過(guò)下列三點(diǎn)：(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)xyzAi abc平面束方程Ax B y C z D2A x 2 B y 2 C z 0 D不包含A2x - B2y C2z D2 =0 ;如果所求平面通過(guò)已知直線(一般式)，則用平面束方程會(huì)比較簡(jiǎn)便，但必須驗(yàn)證 A2X B2y C2Z D2 =0是否滿足所求結(jié)論，以免遺漏平面間的關(guān)系 :：d L '2 AlABiB2CiC2 _ =

18、 AiA2 B-|B2 CiC2 =0AA2 + BiBCiC2 A2 Bi2 G21, A22 B22 C22點(diǎn)R X0,y°,Z0到平面Ax By Cz0的距離，對(duì)直線到平面的距離只要在已知直線上任取一點(diǎn)即可類似處理|AX+_By+ _ C0才、.A2b2 c2證明：在平面上任取一點(diǎn)R(Xi, %, zi )，作平面的法線向量n，則d= P門仰0P門nRP°=PPn=(x -0X, y y , Ziz。)A, B, C= .A2 B 2 CA_x。二Xi_B_y 0y_i_C_z二°z_ 丄 Ax By Cz - Ax B% CZiJa2+b2+c 2Ja 牟

19、B *C 2AX0By° Cz 0；：i -D_ _ AX0 By 0 Cz °_DJa2 +b2+c 2Ja 2b 卡c 2|Ax° 十 By 0十 Cz 曲 DJa2 +B2 +c2兩平行平面之間的距離dD<| D2/a2 +B2 +c26. 平面與直線之關(guān)系L 口 二一Al Bm Cn = 0夾角si nr n s7. 曲面及其方程7.1準(zhǔn)線與母線的界定準(zhǔn)線一般指基準(zhǔn)曲線，如旋轉(zhuǎn)軸，圓或圓錐曲線；母線顧名思義是由該曲線旋轉(zhuǎn)或平移（可以是空間平移）后可以生成所要求的曲面的曲線（就像母親生孩子）；其中的旋轉(zhuǎn)軸和平移基準(zhǔn)也就是準(zhǔn)線。如一條直線沿某一圓周平移一

20、周形成圓柱面。7.2二次曲面二次曲面的二次型表示2 2 2ax by cz2 d X2yegz fzug'a d ff 、 xx y zdbJ e c.>2df、A =dbe的特征值就確定了三類曲面:ec丿A正定或負(fù)定=橢球面« A無(wú)0特征值且特征值異號(hào)二雙曲面A有 0特征值n拋物面大綱中只要求掌握一部分二次曲面，包括：九種常用二次曲面，圓柱面和一般錐面。如 何掌握？下列技巧提供了全面解決方略。陳氏第7技 從準(zhǔn)線與母線的三種關(guān)系和陳式 4法來(lái)系統(tǒng)掌握考點(diǎn)，并理解曲面圖形準(zhǔn)線和母線都是直線=旋轉(zhuǎn)形成錐面（如橢圓錐面等）。準(zhǔn)線是直線而母為曲線 =旋轉(zhuǎn)形成 旋轉(zhuǎn)曲面（如單雙葉

21、雙曲面等）；空間平移形成柱面（如橢圓柱面等）。準(zhǔn)線和母線都是曲線 =相互正交的兩拋物線平移形成馬鞍面；橢圓沿拋物線伸縮平移形成橢圓拋物面。豎零點(diǎn)法：用于分析二次曲面的準(zhǔn)線和母線，以便確定曲面的輪廓。3截痕法：用于分析二次曲面的細(xì)節(jié)，以便畫出曲面圖形。豎伸縮法：用于分析曲面之間的轉(zhuǎn)換，如圓錐面轉(zhuǎn)化為橢圓錐面等。豎動(dòng)靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法：是確定旋轉(zhuǎn)曲面方程和伸縮變形方程的定勢(shì)手段。7.3投影方程的確定任一空間曲線：!Fi（x,y,z） =0在平面冗上的投影構(gòu)成一條平面曲線投影曲線；以 E（x,y,z）=0投影曲線為母線沿垂直于平面n的任意準(zhǔn)線移動(dòng)構(gòu)成投影柱面，如直線的投影柱面就是一個(gè) 垂直于n的平面。如求曲

22、線-在xoy平面上的投影方程由丨中消去z=得到一個(gè)母線/ z軸的柱面方程 “x,y） = 0。pp （x y） = 0則投影于XOY平面上的投影方程為（，y）Z =0評(píng) 注I空間幾何解題一般切入點(diǎn)：首先盡可能畫出草圖，思考所求結(jié)論必須知道幾個(gè)可能的條件，這些條件在題目中一般又是隱含出現(xiàn)的，我們的目標(biāo)就是從隱含條件推出需要的條件，然后套用直線或平面的方程類型。其中，重點(diǎn)注意已知直線的方向向量和已知平面的 法向向量與待求直線或平面的關(guān)系。x =3-1【例1】 求直線L-1 2t在平面二：x - y 3z 8=0上和三個(gè)坐標(biāo)平面上的的投影方z =5 8t程。、 * * 解：第一步求投影柱面（對(duì)直線投

23、影而言投影柱面就是投影平面）方程二的n， 該平面顯然與二垂直，又豈一1,2,8 n1,-1,3T " j則易知 n =sx n = 128=14,11,11-1 3又二也通過(guò)L ,可以利用L上的已知點(diǎn)3,-1,5，貝U二為14*- 3) 1y1(-1Y 1( =5L在平面n投影正好為二與二*的交線，其方程為14(x -3) 11(y 1)-(z-5) =014x 11y-z-26 = 0£ =x-y 3z8=0x-y 3z8=0直線在三個(gè)平面上的投影方程為：x =3-tx = 3 -1x = 0XOY 二 y=12t;XOZ 二 y=0;YOZ 二 y - -1 2tz =

24、0z = 5 8tz =5 8t8. 二次曲面方程和圖形的研究8.1準(zhǔn)線和母線是研究曲面的核心技術(shù)。已知曲面方程，用 零點(diǎn)法可確定準(zhǔn)線和母線，從 而確定曲面的生成方式；用截痕法可以確定曲面的具體形狀；用伸縮法可以研究曲面之間的 轉(zhuǎn)換，建立新曲面方程和后面的將要建立的旋轉(zhuǎn)曲面方程要使用 動(dòng)靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法。研考數(shù)學(xué)中 的曲面都是由母線沿準(zhǔn)線空間平移或旋轉(zhuǎn)及坐標(biāo)伸縮變形而形成 。零點(diǎn)法2 2 2例如：分析曲面方程為令 氣=z的圖形，令x=0 ：占 =z= y拋物線；令y =0=篤=z =a - -b2z為一開(kāi)口向下的a bby2二a2z為一開(kāi)口向上的拋物線;這兩個(gè)拋物線就構(gòu)成了該二次曲面的準(zhǔn)線和母線，可

25、以想象，該二次曲面是有其中一個(gè)拋物線沿另一個(gè)拋物線平移生成截痕法平面z=t與曲面F x,y,zi=0的交線稱為截痕，通過(guò)綜合截痕的變化來(lái)了解曲面的形狀2 2 2 2的方法，稱為截痕法。例如：在篤 ¥=Z中，令Z=t -一= 1，這是一條雙a b(aVt) (bVt)曲線，也就是用水平平面截該曲面時(shí)，其截痕是雙曲線。綜合零點(diǎn)法的分析，我們就能夠確2 2定：孑十汐正是雙曲拋物面'即馬鞍面。伸縮法如在曲面F x, y =0上取一靜點(diǎn)M,現(xiàn)把M變形為動(dòng)點(diǎn)M 他、 ,然后想辦法消去靜點(diǎn)坐標(biāo)（即動(dòng)靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法）。又，給定兩了點(diǎn)坐標(biāo)的伸縮變換關(guān)系，如令X2 =Xi； y2 ='紬1，

26、貝U: F Xi、yi =0= F1X2,y2F x,- y =0稱為原曲面經(jīng)伸縮變形后的新曲面方程。例如圓柱面變成橢圓柱面:2 2 2 2 2 2x y = x1y1aXay2 22 bY22 2U1=2 . 2a b2n2 a2b廠1又如圓錐面變成橢圓錐面:2 2 2 2x y 2 冷 y2 Z = 2 -aa二 zib2 X2 -X1；y2 =ayi ,z2 角X22 -1 - y,r 2a2 z n + 互 _ Z2_2 . 2a b2X22 2_ 2_ xy _ 2_ Z2 =2 口 _ Zab8.2常用曲面之一：柱面評(píng) 注|柱面是由母線沿準(zhǔn)線空間平移形成，柱面的準(zhǔn)線和母線必有一個(gè)是

27、直線。 其中, 直線為準(zhǔn)線，曲線為母線。如果是圓柱面，則準(zhǔn)線和母線可以互換；如果為非圓柱面， 如棱柱面，則必須取直線為準(zhǔn)線，曲線為母線。x2 yR2圓柱面雙曲柱面X2 = 2 py 拋物柱面特點(diǎn)：柱面方程中，柱面軸平行于隱含的坐標(biāo)軸，如x2 =2py的軸平行于z軸注意：在三維情況下圓的方程的一種形式為X2y2 z R2x y z = R形象記憶掌握法：影（隱）評(píng)（平）柱面方程的一般求法：給定準(zhǔn)線L : f X，y - 0和母線的方向s = lmj nk，求柱面方法如下:Z = h設(shè)P x,y,z為柱面上的任意點(diǎn)，根據(jù)柱面形成的過(guò)程，必在準(zhǔn)線L上有相應(yīng)的點(diǎn)Q X,Y,Z，使得PQl；，由此可以利

28、用直線PQ的方程將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系找出來(lái), 即：X =x ItY = y mt（ 1）|z = z nt又由于Q X,Y,Z在L上，故f X,Y =0Z =h用（1）式代入（2）式，由z nt得t二口；x=x l M;Y = y m 口nnn所求的柱面方程為例如：已知母線方向s =i + j +k及準(zhǔn)線L則柱面方程為如二維曲線y繞Z旋轉(zhuǎn)后的曲面方程為 Z廠寸二4 x2y2jx =0特別地：當(dāng)母線為直線并與準(zhǔn)線相交時(shí)，旋轉(zhuǎn)或平移則形成圓錐面。例如：直線（母線）z = ycot（：為兩直線小于90度交角的一半）沿z軸（準(zhǔn)線）旋轉(zhuǎn)后，變?yōu)閦 = ±Jy2 +x2 cota 丄竺 z2

29、=a2（x2+y2 ）即為錐面方程，也可以由直線（母線）z = ycot 沿某一園空間平移一周而形成錐面。錐面方程的一般求法：給定準(zhǔn)線L: f x，y =0和原點(diǎn)P0 0,0,0，求錐面方程如下： Z = hL上有相應(yīng)的點(diǎn)設(shè)P x,y,z為錐面上的任意點(diǎn)，根據(jù)錐面形成的過(guò)程，必在準(zhǔn)線Q X,Y,Z，使得Q X,Y,Z在直線RP的延長(zhǎng)線上，直線P°P的方向數(shù)顯然為x, y,z 即:X =xtIY = yt（ 1）z = zt又由于Q X,Y,Z在L上，故f X,Y =0Z = h用（1）式代入（2）式，得所求的錐面方程為j f（xt,yt）=。_立 Jhx hx=0zt 二 h. z

30、' z可見(jiàn)以圓點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程是齊次方程。例如：已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)及準(zhǔn)線2 2L: a2 b2則錐面方程為z 二 2這是一個(gè)橢圓錐面。【例2】求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且與三坐標(biāo)的截距相等的圓錐（正圓錐）方程。解：設(shè)錐面與三坐標(biāo)的交點(diǎn)為 A a,0,0 ,B 0,a,0 ,C 0,0,a，得該三點(diǎn)確定的平面方程2 2 2_ 2 截距式為：x y a，該平面與正圓錐的的交線是一個(gè)圓2z2 =3 y z =a，這就是準(zhǔn)線。x + y + z = a又設(shè)M X,Y,Z為錐面上任意點(diǎn)，0 0,0,0為原點(diǎn)，x, y,z為母線OM與準(zhǔn)線的交點(diǎn),則母線方程點(diǎn)法式為XY-z2x _ y x2 y2 z2x2y2

31、z2令 一=-=x =Xt,y = Yt,z = Zt代入準(zhǔn)線方程得 x y z to ooooXY XZ YZ =0即為所求的錐面方程。t X Y Z =aX Y Z =a空間曲線旋轉(zhuǎn)形成的曲面（可以沿任意軸旋轉(zhuǎn)）空間曲線丨的參數(shù)方程:x"（t）«y（t ），空間曲面0的參數(shù)方程:z =cc （t Jx= x(s,t)* y = y(s,t)Z=z( s,t):沿z軸旋轉(zhuǎn)后形成的曲面方程為:x = J®2 (t )+屮 2(t )COS日 yr ：2 t ' 2 t sin， z =國(guó)(t )y = 1、,【例3】求曲線 %2 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面

32、方程。x +z =3解：先將曲線寫成參數(shù)式X = V3 costy =iZ = V3s int繞z軸旋轉(zhuǎn)一周后xy 二-2c ots +-2c ots +1；2 2x y -3 1- 二 2z = .3 si In2 2 2 _1 x y 4 - z =廠z<yj39種必須掌握的曲面1)橢球錐面2 2x_. y_ _z22 2 一 z a b2)橢球面3)單葉雙曲面4)雙葉雙曲面H222abc222x+y.z2.22abc222xyzI12 z2 2x y2 以 2 1 a b c5)橢圓拋物面2 2 x_. y_2 abz6)雙曲的拋物面2 x 2 a2y_2又稱馬鞍面（準(zhǔn)線與母線是相

33、互正交的拋物線，母線co s2 2 2x y 3 c o s 1 si-n_z =、. 3 s i tn拋物線沿準(zhǔn)線拋物線平移形成馬鞍面，這是我們需要掌握的唯個(gè)準(zhǔn)線與母線都是非直線的曲面。）7)橢圓柱面2x_2a2 2冬a2 b2)母線平行z軸z = h8)雙曲柱面2 x2 a母線平行z軸9)拋物柱面x2 = a y母線平行z軸五星級(jí)提示：對(duì)于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一個(gè)變量為零，如能得出 母線或準(zhǔn)線，我們就能確定該曲面的形狀。精品文檔典型題型ab +申肖a+bF【例4】證明向量c表示向量a與b的角平行線方向。證明：因?yàn)閱挝幌蛄浚?讀 由ea與為邊構(gòu)成的平行四邊形為棱形，其對(duì)

34、角線平分頂角，則與a與b夾角平分線平行的向量d-故原命題成立?！纠?】一向量與x, y軸夾角相等為，與z軸夾角為2：，試確定該向量的方向。解：由于 cos2 驀"cos2 ： cos2 =1，所以：cos2。+cos2a +cos 知=1n 2cos & +(2cos -1 =1 2 2 .= 2cos : 2cos :- -1 1=0= 3；=：一 二二；-方向角定義要求 0故該向量的方向?yàn)?cosa,cos P,cos 了)= (0,0, T )或,0 。I22丿【例6】 過(guò)點(diǎn)(-1, 0, 4),平行于平面3x-4y+z=10且與直線x +仁y-3 = 相交的直線2方程

35、。解：一般切入點(diǎn)：如果所求的直線方向向量不能明顯求出，就設(shè)直線方程的參數(shù)形式。x = -1 It設(shè)所求直線方程為：y = mt= 4 + nt44直線與已知平面平行，則n _ s= 3I -4m n = 0(1)X = -1 It兩直線相交，則將 y=mt 代入x y -3 =-消去x, y,z得2z = 4 nt4 +nt fm_¥=3It =3 mt4m 3 - 1 00(2 )2 (2I - n )t =4聯(lián)立(1) (2得| =4n, m19 n f l=16,m = 19，所求的直線方程為728x = -116tI« y =19t、z=4 + 28t例 7】判斷

36、L1 : ；和 L2 : X =rj =-2112134是否共面，若在同一平面求交點(diǎn)，若異面求距離？解：? = 1, 1, 2 ; 12= 1, 3, 4 ;P_1,0, 1 , Q 0, -1,2 = PQ = ：X2-X1,y2-y1, z2 - z1 j 1 - 1,11 1 2134=2式0為異面直線。1 -1 1設(shè)兩直線距離為d，罟十即=t.d s -t 1 | 亠1 3s -1 | 亠1 4s - 2t h2 2 2h = s -t 1 亠1 3s -t 亠1 4s - 2tPs"2S24t*° 二 t=7,s=1- -24s 12t -4 =03hss =52

37、 = A hn=12=C二hst = hts 一24 二 BA =52 0B2 -4AC 二 -49 ：0由二元函數(shù)極值的充分條件知：t諄s=1是最小值點(diǎn)，所以也可直接套用公式計(jì)算距離d :卜 x2 'Xi,2 yi, Z2 'Z1'1,d =mi,nJ ： “2, m2,|仆 g, nJ匯l2,m)2,匕|0 1 , 1 0 , -2 1 ； “1,21,3 1,1,2竹,3,4|2 _J2、3 一 3例 8】判斷L1 : 口二；和L2:X-y-3 = 0的關(guān)系。2343x-y-z-4 = 0解：兩直線的有四種關(guān)系：異面；相交；平行但不重合；重合。5 = 2, 3,

38、4 ; S2 二 1, -1, 0 3,-1,-1 二 1,1,2 故不平行，也不重合;看兩直線有無(wú)交點(diǎn)，將L1寫成參數(shù)式，代入L2的兩平面，看看能否得到同一個(gè) tx = 2t, y - -3 3t, z = 4t2t - -3 3t -3=0 > t =02 2t - -3 3t -4t -4 = 0t 二-1故兩直線不相交，所以兩直線異面【例9】求過(guò)M 2,3, 1點(diǎn)，且與直線L2 x =13y都相交的直線方程L z = 2_y解：由于所求直線L過(guò)M 2,3,1與L1相交，則L必在過(guò)M 2,3,1與J的平面二1 上,同理它 也必須過(guò)M 2,3 1與L2的平面二2上,二1和二2聯(lián)立的交

39、面式直線方程即為所求的 L方程。又，過(guò)L1的平面束方程為：'x，y亠x-yz，4 =04將M 2,3 1帶入上式得 ：1:9y 5z 205過(guò)L2的平面束方程為：=x 3y -1 亠y z-4 =01將 M 2, 3 1 帶入上式得"二：2： x-2y-5z 9=05故所求直線L方程為x -9y 5z * 20 = 0、x_2y _5z + 9 =0【例10】求滿足下面條件的直線方程a 過(guò)點(diǎn) A 1, 0, 2 ;b 與平面二：3x y，2z，3=0平行;x1y -3 zC與直線L1 :亍相交。解：已知直線Li的方向S 一4, -2, 1，其上由一點(diǎn)A 1, 3, 0 ，根據(jù)

40、已知條件b，過(guò)A 1, 0, -2作平行于平面二的平面,:3 x -1 -y 2 z 2 =0再根據(jù)已知條件c，作平面二2通過(guò)點(diǎn)A 1, 0, -2和直線L1，顯然n 廠 S AA1 =j k 片-2 1 =7i _8j +12k =(7, -8, 12 ) =L1:7 x -1 8y -12 z 2 =0所求直線方程為3x-1-y 2z 2=0 3x - y 2z 1 =0$ 二 «7 x -1 8y -12 z 2 =0 7x 8y -12z-31 =0【例11】設(shè)有直線L:x 1 =1=2 1-2a求與L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線L1的方程；b求與L關(guān)于xoy平面對(duì)稱的直線L2的方程；

41、c求與L關(guān)于平面二：x y 0對(duì)稱的直線L3的方程；。解：a對(duì)于任何在直線L1上的靜點(diǎn)P x, y, z，由于與L關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而與P x, y, z點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的動(dòng)點(diǎn)Q：i.x, - y, -z必在L上，故L1的方程為：x-1_y _-z_3 x1 y z 32 _ 1 _ _2 _ 2 _ 1 _ -2b對(duì)于任何在直線L2上的靜點(diǎn)P x, y, z，由于L2與L關(guān)于xoy平面對(duì)稱，從而與P x, y, z點(diǎn)關(guān)于xoy平面對(duì)稱的動(dòng)點(diǎn)Q x, y, -z必在L上，故L2的方程為:x -1 y_z_3x1y z 31 =2工x -1y z - 3cL與平面二的交點(diǎn)o也在所求的直線L3上，且該

42、點(diǎn)坐標(biāo)滿足21-2(X + y + z = 0由上面的方程組得到：xy 二 X" y z-3 = x y z 一442 1-22 1 -2從而解的交點(diǎn)o點(diǎn)坐標(biāo)為-7, -4, 11L3的方向數(shù)可根據(jù)向量代數(shù)的基礎(chǔ)求得:2 j -蔭（帶+2）=?_£3333故所求直線L3的方程為:z-11-8【例12】證明L1半汽.xyJ Z- 2是異面直線，并求公垂線方程即公垂線的長(zhǎng)。解：L1的方向向量S =(1,2,3 ),經(jīng)過(guò)點(diǎn)R(0,0,0 ); L2的方向向量S2 =(1,1,1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 1, -1,2，由于（R P2 S,盼5,所以L1,L2是異面直線。公垂線L的方向向量SN

43、T, 2, -1那么，經(jīng)過(guò)L1并且與S平行的平面的方程為1 x-0 , y- 0 ,z- 0 iS ' S =0y -0z-= x -0, y 0 , z 01S S3=0-1二 4x y- 2 z 0經(jīng)過(guò)L2并且與S平行的平面二2的方程為x1 , y 1 z2 S2 S 二 0=x -1 , y 1 , z -2 ?S2 S =x -11-1z 21-1=0二 x - z 1 =0而平面二i,二2的交線即是公垂線L的方程L ： 4x y 一 玄=x -z 1=0公垂線的長(zhǎng)d為dS1 S25【例13】求過(guò)點(diǎn)P -1,1,2及直線L：X 2二口 二互上的平面3-20解：將L寫成一般式-2

44、x- 3y 7 0z 2 = 0經(jīng)過(guò)L的平面束方程為2x 3y - 7、 z 2 =03以P -1,1,2代入得，=-，得平面方程為4x 6y 3z8 = 0又，采用這個(gè)平面束方程時(shí)沒(méi)有包括 z 2=0這個(gè)平面，但z - 2=0不經(jīng)過(guò)P -1,1,2點(diǎn)，故不是所求【例14】求經(jīng)過(guò)直線L： x_；y 4爲(wèi)0，并且與平面交成二面角為-的平面方程。解：平面束方程為x5y z x-z4 01 x5y 1 -z40二卜：1 ，5, 1 -，",-4,一81又有兀COS = J2241 亠；i 亠 52 亠 i 1 -1 16 64、29-33=> =.=二丸=29 22274得平面方程為

45、x 2 0y 7z-12二 0由于平面束方程沒(méi)有包括x - z 4 = 0，故需要驗(yàn)證如下x - z 4 =0=1,01x -4y -8z 12 二 0= S2 二 1, -4, -8| 1,0, -1 j, 一4, 一8 J、1011 16 64cost 二二 cos -92 二9 >1224所以，所求的平面方程為x 2 0y 7z12二或xz 4 = 0【例15】設(shè)直線L: x y b - 0在平面二上，而平面二與曲面z = x2 y2相切于點(diǎn)K +ay _z_3 = 0P 1, -2, 5，求 a, b 之值。解：平面束方程為x y b x ay址 0= T亠x a y 3z &#

46、39;J 川0b =又 z = x2 y2 二 F x, y,z 二 zx2y2 = 04切平面法向向量為n 二 Fx,Fy,Fz = -2x, -2y, 1=：-2,4,1則平面束方程中只有過(guò)的P 1.-2,5，且其法線平行n的平面才能滿足要求，即1 亠；.I亠 I a 亠；.i 2 ： 5 3 - ,，b = 01 ：; .；, a -1二1, a - -5, b - -2。I1 =1 =-241【例16】M1M2垂直通過(guò)平面7： : Ax By Cz 0 , M1 x1,y1，z 坐標(biāo)已知，M2 x2, y2, z>1離平面的距離為線段M1M2的-，求M2 X2,y2,Z2的坐標(biāo)。

47、3解：由定比分點(diǎn)公式得M1M2與平面二的交點(diǎn)坐標(biāo)為PP 人:>0,P在R和P2中Z/.Z2 z =1 + Z"也t人<一1,P在P2夕卜二=心=心PP2-1Cv0, P在R外“一1 + AXi 2x23y1 +2y2.3；z1 - 2z23該點(diǎn)滿足平面方程，則A 兇 2X2 B Vi 鋰 c 經(jīng) ”03 33(1)=A x 2x2 i 亠 B % 2y2 i 亠 C z 2z2 i亠3D = 0x2 =捲 At二=口=1=匚 4 = y1 + Bt(2)ABC21jZ2 = z1 +Ct(2)代入(1)可解得t3(Ax+ By+ G)z+2 A2 B2 C2所以M2 X2

48、,y2,Z2的坐標(biāo)為3A By 1 Cz 1 D2(A2 +B2+C2 )3BBy1 Cz r D2 A2 B2 C23C Ax1 By1 Cz1D2(A2 +B2 +C2 )【例17】求直線l:亍十號(hào)在平面二：X - 0上的投影直線>0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面方程。精品文檔解：再次提示：如果所求的平面通過(guò)一已知直線，則使用平面束方程簡(jiǎn)便。X-1 y z-1 x-y-1=0l :-11-1 y + z-1=0經(jīng)過(guò)I的平面束方程為x y 4 皿? y z 101 一 y ；， ：z1 - 0 = 11-，-12 =0 -2-=x-3y2z 1=0x -3y -2z 1=0 所求 |0 為

49、 x-yy2z-1=0將l0寫成參數(shù)式x： 2：二0x = 2ty =t1z t -12繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后形成的曲面方程x2z2x = Jx2 (t )+ y2 (t )cos日y = y t =ty = x2 ty2 t si nr 22 2 2 21=x2z= x2t y2t =4t2t -149 2 2.21 2x z4yy T4222=4x-17y4z2y_1 =0陳氏第8技 動(dòng)靜轉(zhuǎn)換法求旋轉(zhuǎn)曲面方程?！纠?8】求曲線l z" y繞(X = 0z軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面S的方程。解:建立旋轉(zhuǎn)面、錐面與柱面的方程的一般方法是等效變換靜點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的所滿足的幾何關(guān)系。設(shè)曲線I Z = f y&

50、lt;'存在一靜點(diǎn)P(0,yo,z° )，對(duì)任意在旋轉(zhuǎn)面上的動(dòng)點(diǎn) Qx, y, z)，其坐標(biāo)x =0關(guān)系為Z 二 Zo2 . 2x yi Zo = Z=> 彳I二 y2 y0 _ x2 y2代入L的方程，得曲面S的方程為Zq = f y° = z = f 、x2y2【例19】求直線L, : 口二口=三繞直線L, : * = 2旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程。231y=3解:設(shè)直線Li上的一靜點(diǎn)P Xq, yo, Zq ,對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面上任意動(dòng)點(diǎn) Q x, y, z 0 O 2, 3, Zq為旋轉(zhuǎn)中心，顯然z二zo，則2 2 2 2O P=OQ= x-2 y -3x。-2y。-3又P Xq, y。，Zq在Li上，故有:xo =3 2t xo = 2z 50 0 2 2 2 2Ao =i+3t = Zq =3z+4 代入(x_2) +(y_3) =(Xq_2) +(y。3)得所求的