安徽省宿州市十三所省重點中學2020-2021學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學(理科)試題(含答案與解析)

1、十三所省重點中學2020-2021學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1 .點（4,1）到直線4a-3v + 2 = O的距離等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根扌居點到直線距離公式，直接計算，即可得出結果.【詳解】點（4,1）到直線4a-3v + 2 = O的距離為EKL耳=3.故選：C【點睛】本題主要考查求點到直線的距離，熟記公式即可，屬于基礎題型.2. 下列說法正確的是（）A. 三點確定一個平面B. 四邊形一定是平面圖形C. 梯形一定是平面圖形D. 平面和平面B有不同在一條直線上的三個交點【答案】C【解析】A錯誤。不共線的三個點才可以確定一個平面；B錯誤

2、。四邊形不一定是平面圖形。如：三棱錐的四個頂點構成的四邊形：C正確。梯形有一組對邊平行，兩條平行線確定一平面；D錯誤。兩個平面有公共點，這些點共線，是兩個平面的交線；故選C3. “k=3”是“兩直線kx-3y-1 = O和2b+6y-7 = O互相垂直”的（）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先由k=3,求兩直線的斜率，再由兩直線垂直求R的取值，根據(jù)充分條件與 必要條件的槪念，即可得出結果.【詳解】 當k=3時，兩直線總一3y-2 = O和2d + 6y-7 = O的斜率分別為：* = 1和3k=-1,所以兩直線垂直；3若兩直線也3y 2

3、= O和2kx + 6y 7 = O互相垂直，則k 2k + (3) 6 = O ,解得：R =±3 ；因此"&=3”是“兩直線kx-3y-2 = O和2kx + y-l = O互相垂直”的充分不必 要條件故選：A【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定方法即可，屬于基礎題型.4. 已知K(X-I)2+(>'+2)2 =2與圓O'關于X軸對稱，則圓O'的方程是()A. (X-+(y + l)i =1B. (-1) +(>,-2)2 = 2C. (-2)2+(>-1)2=2D

4、. (x+2)2+(y-l)2 =2【答案】B【解析】先由已知圓的方程，得到已知圓的圓心坐標與半徑，再由已知圓與所求圓的對稱關系，得到所求圓的圓心與半徑，即可得出結果.【詳解】因為圓(xl +(y+2)2 = 2的圓心坐標為(1,-2),半徑為JT ,又圓(-1)2 ÷(y÷2)2 = 2與圓O'關于X軸對稱，所以圓O'的圓心坐標為(1,2),半徑為r = 2 ：因此圓O'的方程為：(x-l)'+(y-2)2 =2.故選：B【點睛】本題主要考查求圓的方程，熟記即圓與圓位置關系即可，屬于基礎題型.5. 若直線/平面直線du,則/與的位置關系是(

5、)A. laB. /與 異面C. /與d相交D. /與沒有公共點【答案】D【解析】根據(jù)直線與平面平行的性質.得到平面內的直線與/平行或異面，進而可得 出結果.【詳解】因為直線/平面則平面Q內的直線與/平行或異面，又直線"UQ,所以/與d平行或異面，即沒有公共點故選：D【點睛】本題主要考查線線位置關系的判定，熟記線線、線面位置關系即可，屬于基礎題型.6. 圓 + -2x + 2y-7 = 01直線x-y = 0所得的孫長等于()A. 6B. 2TC. 7D. 27【答案】D【解析】先將圓的方程化為標準方程，得到圓心坐標，與半徑廠，根據(jù)點到直線距離公 式，求出圓心到直線的距離，再由弦長等

6、于2rr-62 ,即可得出結果.【詳解】因為 + -2x + 2y-7 = 0 可化為(-l)2+(y + l)2 =9,所以圓(x-l)2+(y + l)2 =9的圓心為(1,-1),半徑為r = 3,因為點(1,-1)到直線X-y = 0的距離為 = 2 ,1 + 1所以，圓x2÷-2x + 2y-7 = 0直線x-y = 0所得的弦長=2yr-d2 = 292 = 27故選：D【點睛】本題主要考查求圓的弦長，熟記幾何法求解即可，屬于?？碱}型7. 一個平面圖形用軒二測畫法作的直觀圖是一個邊長為血的正方形，則原圖形的周 長是()11【答案】DD. 82【解析】根據(jù)斜二測畫法的性質求

7、解即可.【詳解】由斜二測畫法性質得，原圖OA = OA, = 2, OB = 2OB' = 4.故原圖形的周長為2(OA + AB) = 2(2 + 2 + 16) = 82故選：D【點睛】本題主要考查了斜二測畫法的性質，屬于基礎題型.8.若過點(1,一3)有兩條直線與圓 + y2-x÷2y + H + l= O相切，則實數(shù)川的取值 范圍是()A. (-°o,-l)B. (7+)C. I 4,十D.(71)【答案】C【解析】先由方程表示圓，得到(-1)2+22-4(h + 1)>0:再由過點(1,-3)有兩條直線與圓x2 + y2-x + 2y + /

8、7; + 1 = 0相切，得到點(1,-3)在圓x2 + y2-x + 2y + m + l= O外，列出不等式求解，即可得出結果【詳解】因為x' +y2 -x + 2y + m + = O表示圓的方程，所以點(1,3)在圓 X2 + y2 一x + 2y +加+ 1 =O外,因此l2+(-3y-l + 2×(-3) + >7 + l>O,即 m > -4:綜上，-4<,h<-.故選：C【點睛】本題主要考查由直線與圓位置關系求參數(shù)，熟記過圓外一點的圓的切線條數(shù)的判定方 法，以及圓的一般方程即可，屬于常考題型9.已知二面角-AB-的平面角是銳角8,

9、 內一點C到B的距離為3, AC到棱AB的距 離為4,那么tang的值等于33A. 4 B. 5 C. T D.【答案】D【解析】解：如圖，作CE丄AB, CDdB,連接ED,由條件可知，ZCED= , CD=3, CE=4 ED = 7. tan = 37 = 377.故選D10.直線x-y-l = O分別與X軸，)'軸交于A, 兩點，點P在圓(x+2 + y2=2上，AABP面積的取值范圍是()【答案】AB. 2,6C.根據(jù)點到直線距離公式，求出圓心到【解析】先由圓(X + 2)2 + r=2得到圓心坐標,直線X-V-1 = 0的距離，確定直線與圓位置關系，求出圓上的點到直線的距離

10、的范圍, 再由直線方程求出A , B兩點坐標，根據(jù)三角形面積公式，即可得出結果.【詳解】因為圓(x+2)2+=2的圓心為(-2,0),半徑為r = 2.由點到直線距離公式可得：點(-2,0)到直線x-y-l = 0的距離為所以直線與圓相離:2 52又點 P 在圓(x + 2)2 + y2 =2±,所以點P到直線x-y-1 = 0距離范圍是：d-r.d + r9即 又直線x-y- = 0分別與X軸，$軸交于人，B兩點，所以 A 1,0 , 8(0,-1),因此 I AB = 2,所以 Z X × T - -Zx y ×' 即 FSSWp 亍故選：A【點睛】本

11、題主要考查三角形面積的取值范國，熟記直線與圓位置關系，會求圓上的點到直線距 離的范國即可，屬于?？碱}型.11. 如圖，直三棱柱ABC-ABC的體積為y ,點P0分別在側AA和CC上，AP = C Q9則四棱錐B-APQC的體積為()VVVVA. 一BC. 一D.-2345【答案】Bh =×1×234認為P,0分別為側棱AA和CC JL的中點，則【解析】試題分析：不妨設三棱柱是正三棱柱，設底面邊長d和側棱長/7均為1,則H =LSXPoC =-×-×- = -×-(其中為 MBC邊 AC上的高)，所 'Pa 3 APm 23 22342以

12、故選 B【考點】柱、錐、臺體的體積.【思路點睛】把問題給理想化，認為三棱柱是正三棱柱，設底面邊長d和側棱長力均為1 , P0分別為側棱AA和CC上的中點，求出底面面積和高，即可求出四棱錐B-APQC的體積本題考查柱、錐、臺體的體積，考查計算能力，特殊化法，在解 題中有獨到效果，本題還可以讓P或0在特殊點，四棱錐變?yōu)槿忮F解答更好.12. 若圓M： x2 + y2+4x + 2y + = 0上的任意一點PUn,町關于直線/：2ax + 3by + 9 = O對稱的點仍在圓M上，則(加一+("-“)，的最小值為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】先由題意，得到圓M關于直

13、線/對稱，即直線/過圓M的圓心；根據(jù)圓的方 程，得到圓心坐標(-2,-1)與半徑廠=2,得到4z+3b-9 = 0,從而推出 (-6)2+(7-Z?)2表示圓M上的點P到直線4x + 3y-9 = 0距離的平方；求出圓心到 直線4 + 3y-9 = 0的距離，進而可求出結果.【詳解】因為圓M上的任意一點P(Hb n)關于直線/： 2ax + 3by + 9 = 0對稱的點仍在圓M上,所以圓M關于直線/對稱，即直線/過圓M的圓心：2 + y2+4x + 2y + = O 可化為(x + 2)2+(y+ I)2 =4 ,其圓心為(-2,-1),半徑 為 r = 2:所以有 2 (2)+3b(-1)

14、+9 = 0,即4d+3/?9 = 0, 因此(d,b)可表示直線4x + 3y-9 = 0上的點， 5lP(,町是圓 M : X2 + y2 +4x+2y+l = 0 上的點， 所以(In-U)2 +(n-b)2表示圓M上的點P到直線4x+3y-9 = 0距離的平方； 由點到直線的距離公式可得：點(-2,-1)到直線4x + 3y-9 = 0的距離為16 + 9因此直線4x + 3y-9 = 0與圓M相離，所以圓M上的點P到直線4x+3y-9 = 0距離的就小值為d_r = 2, 所以(?一0)，+(舁一)的置小值為4故選：D【點睛】本題主要考查直線與圓位置關系的綜合，熟記直線與圓位置關系，

15、會求圓上的點到直線 的距離即可，屬于?？碱}型.二、填空題13. 以點P(-2,-3)為圓心，并且與 >'軸相切的圓的方程是.【答案】(x+2)2+(y÷3)2=4【解析】先由題意，得到所求圓的半徑，再由圓的標準方程，即可得出結果.【詳解】因為所求圓以點P(-2,-3)為圓心，并且與)'軸相切，所以所求圜的半徑為r = 2,因此，所求圓的方程為：(x+2+(y + 3)2= 4. 故答案為：(x+2)'+(y + 3)'=4【點睛】 本題主要考查求圓的方程，熟記圓的標準方程即可，屬于基礎題型.14如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表

16、面積是.正住mot聞(左【答案】48;F【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱ABC-AtBfC9 ¼圖所示:其中，三角形ABC是腰長為4的直角三角形，側面ACCA是邊長為4的正方形，則 該幾何體的外接球的半徑為J!+4-+4 = 2館2該幾何體的外接球的表面積為4龍X (23)2 = 48故答案為48龍.點睛：本題主要考查三棱柱外接球表面積的求法，屬于中檔題.要求外接球的表面積和 體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩垂直則用4R2=a2+b2+c2 Sb,c為三棱的長)；若SA丄面ABC (S4 = ),則4R2=4r2+a2 (廠為AABC外接圓

17、半徑)：可以轉化為長方體的外接球；特殊幾 何體可以直接找出球心和半徑.15已知命題“ 3?使得2cosx0-d0 ”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是【答案】>2【解析】先由題意，得到命題的否定為真命題，即>2cosx對任意XWR恒成立，進而可求出結果.【詳解】 因為命題“日觀丘7?使得2cosx0-fOw是假命題，所以其否定"VxwR使得2cosx-v0"是真命題，即a > 2cost對任意XeR恒成立，所以只需a>2.故答案為：a >2【點睛】本題主要考查由命題的真假求參數(shù)熟記含有一個量詞的命題的否定即可，屬于基礎題 型.16.已知kR, P (

18、a, b)是直線x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公共點，則ab的 最大值為.【答案】9【解析】先根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離小于等于半徑，以及圓半徑為正數(shù)， 求出k的范圍，再根據(jù)P (a, b)是直線x+y=2k與圓x2÷y2=k2- 2k+3的公共點，滿足直 線與圓方程，代入直線與圓方程，化簡，求出用k表示的ab的式子，根據(jù)k的范國求 ab的最大值.【詳解】由題意,圓心(0.0)到直線的距離解得-3k1,又Vk2-2k+3>0恒成立k的取值范圍為-3k1,由點P (a, b)是直線x+y=2k與圓2+y2=k2 - 2k+3的公共點,k=-3時，ab的最大值

19、為9.故答案為:9【點睛】本題主要考查了直線與圓相交位置關系的判斷，做題時考慮要全面，不要去情況.三、解答題17. 一塊邊長為IOcm的正方形鐵片按如圖所示的陰彩部分裁下，然后用余下的四個全 等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與X的函數(shù)關系式, 并求出函數(shù)的定義域10【答案】，刊00_乂2,定義域為(UO)【解析】設出所截等腰三角形的底邊邊長為xcm,在直角三角形中根據(jù)兩條邊長利用勾 股定理做出四棱錐的高，表示出四棱錐的體積，根據(jù)實際意狡寫出定艾域【詳解】如圖.設所裁等腰三角形的底邊邊長為XCm,在正四梭錐E - ABCD中，底面ABCD是邊長為X的正方形，F(xiàn)是BC的中

20、點，EF丄BC, EF=5,則四棱錐的離Eo = JEFLOF- 卜-電F =少罕匚 其中0<x<10,.四棱錐的體積 V= X 271OO-2 = loO-X2» 定義域為(0, 10) 【點睛】本題考查了函數(shù)模型的應用，根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，注意題目中自變量的 取值范國，屬于中檔題.18.已知直線/經過點P(l,3).(1) 0(-L-3)到直線/的距離為2,求直線/的方程.(2) 直線/在坐標軸上截距相等，求直線/的方程.【答案(1) x = l, 4x-3y + 5 = O. (2) 3x-y = 0或x+y-4 = 0.【解析】(1)先討論直線/斜率不

21、存在的情況，直接得出直線方程；再討論直線/斜率 存在的情況，設出直線方程，根據(jù)點到直線距離公式，即可求出結果；(2)先由題意，得到直線/斜率一定存在且0,分別求出直線在兩坐標軸的截距，建立等量關系求出斜率，進而即可求出結果.【詳解】(1)當直線/斜率不存在時，即X = I符合要求，當直線/斜率存在時，設直線/的方程為v-3 = (-1),整理得匕一一鳥+3 = 0,點0(1,一3)到/的距離,得 4x-3y + 5 = 0,-£ + 3-£ + 3|_|-2比 + 6|4解得"亍即直線/的方程為 = l, 4x-3y + 5 = O.(2)由題知，直線/斜率一定存

22、在且k0,直線A-y-k+3 = O,k 3 當 X = O吋，y = -R + 3,當 y = 0時，X = , kk_3' k + 3 =,解得 k = 3 或 R=-I k即直線/的方程為3x-y = 0或x+y-4 = 0.【點晴】本題主要考查求直線的方程，熟記直線的點斜式方程，以及點到直線距離公式即可，屬 于?？碱}型.19.如圖，在多面體ABCDE中，為等邊三角形，ADlIBCt BC丄ABtBC = IAD9 F為邊的中點(1) 求證：AF/平飯DEC.(2) 在BCJL找一點G使得平面AFG平面DCEf并證明.【答案】(1)證明見解析(2)點G為3C的中點.證明見解析【解

23、析】(1)取EC中點M.連接FM 9 DM .根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結論成立：(2)先由題意，確定點G為BC的中點；再給出證明：連接FG , AG9根扌居面面平 行的判定定理即可證明結論成立.【詳解】(1)取EC中點M,連接FM, DM ,V ADlIBClIFMJ AD = -BC = MF 9 ：.ADMF是平行四邊形， AFllDM ,V AF平面 DEC, QMU平面 DEC9 ：. AF/平面 DEC.16(2)點G為3C的中點證：連接FG, AG,因為G、F分別是BC, BE的中點，所以GF/CE,又GF(Z平面DCE CEU平面DCE9所以GF/平面DCE9 又因為 A

24、Dl/BC , AD = BC ,所以 AD/GC 且 AD = GC , 即四邊形ADCG是平行四邊形，所以DCllAG, 因為AG(Z平面DCE,所以AG/平面DCE.又因為AGGF = G,所以平面AFG平面DCE【點晴】本題主要考查證明線面平行，以及補全面面平行的條件，熟記線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可，屬于常考題型20.已知圓 C: (x-1)2+=9.(1) 設直線ax-y + 3 = O與圓C相交于E、F兩點，求實數(shù)。的取值范囤.(2) 在(1)的條件下，是否存在實數(shù) ,使得過點P(7,-4)的直線/垂直平分戲EF ? 若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

25、【答案】(D (Y,0)UGT (2)存在，« = -|-【解析】(1)由題圓心到直線的距離小于半徑，列式解不等式即可.設/的方程，再根據(jù)直線I垂直平分弦EF得圓心(1,0)必在上,代入方程求解參數(shù) 即可.【詳解】(1)因為直線ax-y + 3 = 0與圓相交于E、F兩點，所以圓心到直線的距離小于半徑，(2)設符合條件的實數(shù)存在，由(1)得0,則直線/的斜率為一丄, I垂苴平分弦EF ,故圓心(1,0)必在/上,'l+4+4 = 0,解得：G =【點晴】本題主要考查了直線與圓相交的問題，主要根據(jù)圓心到直線的距離求解，同時也考査了圓的對稱性，屬于中等題型.21.如圖，在以P為頂

26、點，母線長為血的圓錐中，底面圓O的直徑長為2點C在圓O所 在平面內，且Ae是圓O的切線，BC交圓O于點D,連接PD. OD(1) 求證：PB丄平面PAC;(2) 若AC =竽，求點O到平面PBD的距離.【答案】(1)詳見解析：(2)豐.【解析】由題意可知AC丄AB,又PO丄AC,從而可得AC丄平面PAB,從而AC丄PB. 由勾股定理得PA丄PB,由線面垂直的判定定理可得到證明；(2)由條件計算SAoBD和 Spbd,然后利用Vp_OBD = VO_PBD即可得到結果.【詳解】解：(1)因為AB是圓O的直徑 AC與圓O切于點A,所以AC丄AB又在圓錐中，Po垂直底面圓6 所以PO丄AC,而PO

27、AB=O,所以AC丄平面PAB,從而AC丄PB在三角形PAB中,PA2 ÷ PB2 = AB所以PA丄PB,又PAnAC=A所以PB丄平面PAC(2)因為AB = 2, AC=半，AC丄AB,所以在直角AABC中，厶XBC=W又OD = OB= 1 =PO,則0BD是等腰三角形，所以BD = $，S A OBD = × 1 × 1 × Siny = y又PB = PD = 2> 所以S PBD = g % 訴 * £ =乎設點O到平面PBD的距離為d,由VP_OBD = VO_PBD,即亍S OBD PO =亍SA PBD d,所以d = y【點睛】本題考査線面垂直的判定定理的應用，考查利用等體積法求點到面的距離，考查空間想 象能力和計算能力，屬于中檔題.22.已知 ： (x-4)2+(y-5)2=4,圓 N 與圖 M 關于直線/： x+y-2 = 0 對稱.(1) 求圓N的方程；(2) 過直線/上的點P分別作斜率為-丄，4的兩條直線仁I29使得厶被圓M截得4的弦長與厶被囲N截得的弦長相等.(i) 求點P的坐標；(ii) 過點P任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交，判斷所得弦長是否恒相等， 并說明理由.【答案】(1) (x + 3)2+(y + 2)2=4 (2)(i) (-