彈塑性力學(xué)論文

1、彈塑性力學(xué) 彈塑性力學(xué)緒論：彈性力學(xué)也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學(xué)同材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)之間有一定的分工。材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學(xué)主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學(xué)研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。 彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支，是研究彈性和塑形物體變形規(guī)律的一門學(xué)科。它推理嚴(yán)謹(jǐn)，計算結(jié)果準(zhǔn)確，是分析和解決許多工程技術(shù)問題的基礎(chǔ)和依據(jù)。在彈塑性力學(xué)中，我們可以看到很多學(xué)習(xí)材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科

2、所熟知的參數(shù)和變量，一些解題的思路也很類似，但是我們不能等同的將彈塑性力學(xué)看成材料力學(xué)或者是結(jié)構(gòu)力學(xué)來學(xué)習(xí)。材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象及問題，往往也是彈塑性力學(xué)所研究的對象及問題。但是，在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)中主要采用簡化的初等理論可以描述的數(shù)學(xué)模型；在彈塑性力學(xué)中，則將采用較精確的數(shù)學(xué)模型。有些工程問題（例如非圓形斷面柱體的扭轉(zhuǎn)、孔邊應(yīng)力集中、深梁應(yīng)力分析等問題）用材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法求解，而在彈塑性力學(xué)中是可以解決的；有些問題雖然用材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法可以求解，但無法給出精確可靠的理論，而彈塑性力學(xué)則可以給出用初等理論所得結(jié)果可靠性與精確度的評價。在彈塑性力學(xué)分析中，常采用如下簡化

3、假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)、均勻各向同性、小變形假設(shè)、無初應(yīng)力假設(shè)等假設(shè)。彈塑性力學(xué)基本方程的建立需要從幾何學(xué)、運動學(xué)和物理學(xué)三方面來研究。在運動學(xué)方面，主要是建立物體的平衡條件，不僅物體整體要保持平衡，而且物體內(nèi)的任何局部都要處于平衡狀態(tài)。反映這一規(guī)律的數(shù)學(xué)方程有兩類，即運動微分方程和載荷的邊界條件。以上兩類方程都與材料的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)，屬于普適方程。在物理學(xué)方面，則要建立應(yīng)力與應(yīng)變或應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系，這種關(guān)系常稱為本構(gòu)關(guān)系，它描述材料在不同環(huán)境下的力學(xué)性質(zhì)。在彈塑性力學(xué)中，本構(gòu)關(guān)系的研究是非常重要的。由于自然界中物質(zhì)的性質(zhì)是各種各樣的，而且它們所處的工作環(huán)境又是不同的，因而研究物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系是

4、一件復(fù)雜但卻具有根本意義的工作。由于物體是連續(xù)的，因而在變形時各相鄰小單元都是相互聯(lián)系的，通過研究位移與應(yīng)變之間的關(guān)系，可以得到變形的協(xié)調(diào)條件。反映變形連續(xù)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)方式有兩類，即幾何方程和位移邊界條件。在求解一個彈塑性力學(xué)問題時，需要給出物體的形狀和物體各部分材料的本構(gòu)關(guān)系和物理常數(shù)，說明物體所受的荷載以及和其他物體的連接情況，即邊界條件。對于動力學(xué)問題，還要給出初始條件。求解彈塑性力學(xué)問題的數(shù)學(xué)方法，就是根據(jù)幾何方程、物理方程和運動方程以及力和位移的邊界條件和初始條件，解除位移、應(yīng)變和應(yīng)力等函數(shù)。用這種方法求解一些較為簡單的問題是十分有效的。在這一領(lǐng)域中，有兩類方法：精確解法（能滿足彈

5、塑性力學(xué)中全部方程的解）和近似解法（根據(jù)問題的性質(zhì)，采用合理的簡化假設(shè)從而獲得近似結(jié)果）。隨著計算機的發(fā)展而不斷開拓的有限元數(shù)值分析方法對彈塑性力學(xué)的發(fā)展提供了極為有利的條件。它一般不受物體或構(gòu)件幾何形狀的限制，對于各種復(fù)雜物理關(guān)系都能算出正確的結(jié)果。塑性力學(xué)是一門很廣泛的學(xué)科，理論研究很有必要，與我們現(xiàn)實生活息息相關(guān)。不管你走在城市中還是鄉(xiāng)村街道，不管你走路還是開車，不管你使用電腦還是手機等等，幾乎各個方面都要涉及到材料的強度、剛度和穩(wěn)定性，而研究這些問題就需要使用力學(xué)知識來解決，我們就需要用到彈塑性力學(xué)的知識。它不但涉及面很廣，而且內(nèi)容也很豐富。你要描述一片森林，你不可能把每棵樹木都涉及到

6、，你寫一條河流，不可能把每一滴水都寫上，你描述一座山，不可能把每一個石頭都畫上，你只能挑一個方面，一個角度來描述。彈塑性力學(xué)也是這樣，它是一片森林，一條河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一個角度來描寫。利用塑性力學(xué)的基本理論，可以求解塑性力學(xué)問題。由于塑性力學(xué)基本方程的復(fù)雜性，一般的彈塑性力學(xué)邊值問題的求解是相當(dāng)困難的，但對于某些簡單彈塑性問題，即未知量較少和邊界條件較簡單的彈塑性問題，有可能克服數(shù)學(xué)上的困難而獲得解析解。下面我們只是通過一個矩形梁的例子來說明塑性力學(xué)所涉及到的一個方面。§101 梁的彈塑性彎曲1.假設(shè)和屈服條件這里研究的梁其

7、橫截面具有兩個對稱軸，載荷作用于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。仍采用材料力學(xué)中梁彎曲理論的一般假設(shè)：變形前垂直于梁軸的平面，在變形后仍保持為垂直于彎曲梁軸的平面，即平截面假設(shè)；不計各層間的相互擠壓；小變形，即撓度比橫截面的尺寸小得多。梁長比橫向尺寸大得多。根據(jù)上述假設(shè)，只考慮梁橫截面上正應(yīng)力x對材料屈服的影響。因此，Tresca和Mises屈服條件均為x=s（10-1）2梁的純彎曲如圖101 所示，研究橫截面具有兩個對稱軸的等截面梁，設(shè)y、z為橫截面的對稱軸，x為梁的縱軸，xoy為彎曲平面。圖10-1 梁的純彎曲（1）理想彈塑性材料純彎曲時，隨著彎矩M的增加，塑性變形由梁截面邊緣對稱地向內(nèi)部發(fā)展，在梁的任一

8、橫截面上彈性區(qū)和塑性區(qū)是共存的。在彈性區(qū)應(yīng)力按線性分布，在塑性區(qū)按x=()分布，而在兩者的交界處，正應(yīng)力應(yīng)等于屈服應(yīng)力s。對于理想彈塑性材料，在塑性區(qū)=()= s，則沿梁橫截面高度，應(yīng)力分布為（10-2）式中ys為橫截面的中性層到彈、塑性分界面的距離。應(yīng)力分布情況如圖102所示。圖10-2 理想彈彈性彎曲應(yīng)力分布純彎曲時橫截面上正應(yīng)力應(yīng)滿足軸力為零的條件，即（10-3）由于z軸為橫截面的一對稱軸，則式（103）自動滿足。否則，將由這個條件確定中性軸的位置。橫截面上正應(yīng)力還應(yīng)滿足條件：（10-4）即可以簡寫成（10-5）式中為彈性區(qū)對中性軸的慣性矩，為塑性區(qū)對中性軸的靜矩。因此，式（105）確定

9、了彎矩M和彈性區(qū)高度ys的關(guān)系M=M(ys)或者ys=ys(M)。關(guān)于梁的撓度，對彈性區(qū)而言，有在彈性區(qū)的邊界上y=ys處，=s，代入上式得梁軸曲率半徑為（10-6a）考慮到梁的曲率與梁撓度v的關(guān)系，有則得梁軸的撓曲線方程為（10-6b）現(xiàn)取梁的橫截面是高為h,寬為b的矩形，則有，將它們代入（105）式，則得出（a）在上式中令，即得梁剛開始產(chǎn)生塑性變形時的彈性極限彎矩為（b）如果令,即表示梁截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，此時的彎矩稱為塑性極限彎矩：（c）而有（d）說明梁截面由開始屈服到全部屈服，還可以繼續(xù)增加50%的承載能力，由此也可以看出按塑性設(shè)計可以充分發(fā)揮材料的作用。利用式（b），可以將式（a）

10、改寫為（e）設(shè)與Me相應(yīng)的梁的曲率半徑為e，此時ys=，由式（106a）得（f）將式（f）代入式（e）即得（g）這就是純彎梁屈服以后曲率半徑與彎矩M之間的關(guān)系。而在屈服前，它們服從線性的彈性關(guān)系，即（h）由式（h）和（g）可以繪出彎矩與曲率的變化曲線，如圖103 所示。如果梁在達(dá)到塑性極限彎矩以后全部卸載，則在梁內(nèi)存在殘余應(yīng)力。應(yīng)用卸載圖10-3 曲率與彎矩的關(guān)系定律，可以計算此殘余應(yīng)力。卸載過程中彎矩改變值為，利用此值按彈性計算即得應(yīng)力改變量為卸載前的應(yīng)力=±s則殘余應(yīng)力為*=-=±s-3sy/hs前正負(fù)號：y>0時取正，y<0時取負(fù)。殘余應(yīng)力沿截面高度分布情

11、況如圖10-4所示。圖10-4 殘余應(yīng)力分布（2）線性強化彈塑性材料圖10-5 線性強化彈塑性材料若梁為圖10-5（a）所示的線性強化彈塑性材料，強化階段則有（|s）根據(jù)平截面假設(shè)應(yīng)有將此式代入前式,則梁內(nèi)應(yīng)力分布為（10-7）如圖10-5（b）所示。將（10-7）式代入（10-4）式，則得ys與M的關(guān)系式（10-8）式中：彈性區(qū)對中性軸慣矩； 整個塑性區(qū)對中性軸靜矩； 整個塑性區(qū)對中性軸慣矩。如果梁橫截面為b×h的矩形，則有將它們代入（10-8）式，則有(10-9)即為矩形截面線性強化彈塑性梁M與ys的關(guān)系式。3. 梁的橫力彎曲梁在橫向載荷作用下的彎曲較純彎曲復(fù)雜。采用上述的假設(shè)和

12、屈服條件，針對純彎曲導(dǎo)出的有關(guān)結(jié)果基本上仍然可用。但應(yīng)注意的是橫力彎曲情況下，彎矩M不是常量，而是沿梁軸向變化的，即M=M（x）。這樣，應(yīng)力不僅沿截面高度變化，還沿梁軸變化，即=（y,x）。彈性區(qū)高度ys，也沿梁軸變化，即ys=ys(x)。純彎曲中的公式（10-3）、（10-4）應(yīng)改寫為（10-10）圖10-6 橫力彎曲（10-11） 下面以受均布載荷作用理想彈塑性材料的矩形截面為例，進(jìn)行具體討論。如圖10-6所示，由于材料是理想彈塑性的，截面上的應(yīng)力在彈性區(qū)成線性分布，在塑性區(qū)均等于s，即（i）它使式（10-10）恒得到滿足。將上式代入式（10-11）左側(cè)，則有（j）式（10-11）的右側(cè)即

13、為均布載荷q在x截面所產(chǎn)生的彎矩M（x）=（k）式（j）應(yīng)與式（k）相等，即（l）經(jīng)過整理，上式可以寫成（10-12）式中：而其中的qe為梁跨中截面開始屈服時的載荷，即梁的彈性極限載荷，可令（l）式中的x=0和ys=而得到，即（m）式（10-12）表明梁中的彈、塑性區(qū)交界線是一雙曲線，如圖10-6（a）所示。在梁跨中截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)時，如圖10-6（b）所示，產(chǎn)生無限制的塑性流動，相當(dāng)于在跨中安置了一個鉸，稱為塑性鉸。塑性鉸的出現(xiàn)，梁成為幾何可變的，使梁喪失了繼續(xù)承載的能力。此時對應(yīng)的載荷稱為塑性極限載荷。在式（l）中令x=0及ys=0，即得簡支梁受均布載荷時的塑性極限載荷為（n）與（m）

14、式比較，顯然有塑性鉸與結(jié)構(gòu)鉸還存在一定的區(qū)別：塑性鉸的出現(xiàn)是因截面上的彎矩達(dá)到了塑性極限彎矩Ms，并由此而產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，即塑性鉸與彎矩大小有關(guān)，而在結(jié)構(gòu)鉸處總有M=0，不能傳遞彎矩；結(jié)構(gòu)鉸為雙向鉸，即可以在兩個方向上產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，而塑性鉸處的轉(zhuǎn)動方向必須與塑性極限彎矩的方向一致，所以塑性鉸為單向鉸；卸載后塑性鉸消失，由于存在殘余變形，結(jié)構(gòu)不能恢復(fù)原狀。圖10-7 梁的彈塑性撓度4. 梁的彈塑性撓度由前面的分析可知，按塑性極限狀態(tài)設(shè)計梁可以充分發(fā)揮材料的潛力。但梁是否會因變形過大而不能使用，這就需要研究梁在彈塑性階段的變形。這時整個梁的變形受到彈性區(qū)的限制，因此塑性區(qū)的變形是處于約束變形階段。以理想

15、彈塑性材料矩形截面（b×h）梁為例，橫力彎曲時仍僅考慮彎矩引起的變形。將純彎曲時的式（e）和（10-6b）用于橫力彎曲，則有將后式代入前式，可以得出（10-13）現(xiàn)在以圖10-7所示懸臂梁為例，設(shè)梁處于塑性極限狀態(tài)，固定端彎矩為Ms；x=a截面彎矩為Me。從而有 （1）彈塑性段撓度在彈塑性段（axl）撓曲線方程為（10-13）式，將代入，則有（o）將上式積分。在梁剛開始進(jìn)入塑性極限狀態(tài)瞬時，仍采用固定端處撓度和轉(zhuǎn)角為零的邊界條件，得（p）（2）彈性段撓度在彈性段（0xa），撓曲線方程為將上式積分，利用梁撓曲線的連續(xù)性條件，即當(dāng)x=a=時的撓度和轉(zhuǎn)角分別與彈塑性段x=處的撓度和轉(zhuǎn)角相等

16、。再考慮到和I=可以得出將x=0代入上式，即得梁處于塑性極限狀態(tài)時自由端的撓度（r）當(dāng)梁處于彈性極限狀態(tài)，即固定端彎矩為Mmax=Pl=Me=時，其自由端處的撓度為（s）將式（r）與（s）比較，可得（t）從這個例題可以看出，按塑性力學(xué)得到的極限撓度為彈性極限撓度的2.22倍。彈性力學(xué)的柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問題屬于僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學(xué)方法得到嚴(yán)格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認(rèn)為離端面足夠遠(yuǎn)處的應(yīng)力僅與端面上外力的合力及合力矩有關(guān)。這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。根據(jù)實驗，圣維南假設(shè)，柱體縱向纖維之間的作用力為零。圣維南問題的解是唯一的

17、，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應(yīng)力分量或位移分量中假設(shè)一部分未知函數(shù)的形式，然后將所假設(shè)的未知函數(shù)代入基本方程，由此求得另外一部分未知函數(shù)，并使全部的未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉(zhuǎn)和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉(zhuǎn)和彎曲問題中的未知量。用彈性力學(xué)方法得到的結(jié)果，其精度高于材料力學(xué)中以平截面假設(shè)為基礎(chǔ)的結(jié)果。等價命題就是兩個命題的條件本質(zhì)上是相同的，結(jié)論在本質(zhì)上也是相同的，等價的命題只有形式上的不同。等價命題就是說兩個命題可以相互證明。即如果A，B兩個命題等價那么，把A命題作為條件，可以證明B命題;同時，把B命題作為條件，也可以證得A命題。變分法概念與尋常分析中的微分概念很為類似，但所聯(lián)系的不是x的變化，而是函數(shù)y（x）的變化。如果函數(shù)y（x）使U（y）達(dá)其極值，則U的變分U變?yōu)?。幾乎所有的物理和力學(xué)的基本規(guī)律都陳述為規(guī)定某一泛函的變分應(yīng)該是0的“變分法原理”，由于這個原故