應(yīng)變梯度理論

1、 應(yīng)變梯度理論 應(yīng)變梯度理論是近解釋材料在微米尺度下的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象而發(fā)展起來的一種新理論。Fleek等6于1994年在細(xì)銅絲的扭轉(zhuǎn)實驗中觀測到微尺度下應(yīng)變梯度的硬化，其中直徑12的無量綱扭轉(zhuǎn)硬化約為直徑170的三倍。通過對12.5、25和50三種厚度純鎳薄片的彎曲測試，Stolken和Evanslv7于 1998年發(fā)現(xiàn)鎳的無量綱彎曲硬化隨著薄片厚度的減小而明顯增大，然而在拉伸試驗中并未發(fā)現(xiàn)這種微尺度現(xiàn)象。Chong和Lam8于 1999年通過壓痕實驗觀察到熱固性環(huán)氧樹脂和熱塑性聚碳酸酷的無量綱硬化與應(yīng)變梯度有關(guān)，材料的塑性具有微尺度效應(yīng)。McFarland和Colton9J于2005年通過對不

2、同厚度聚丙烯懸臂微梁的彎曲測試，同樣觀測到無量綱彎曲剛度隨梁厚減小而增大。與宏觀尺度相比，微尺度下結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性及行為研究主要考慮到以下兩個方面(1)尺度效應(yīng)。材料不是無限可分。因此材料顆粒的固有屬性將影響到微結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。(2)表面和界面效應(yīng)。一些在宏觀尺度下常被忽略的力和現(xiàn)象，在微尺度下起著重要的作用;而一些在宏觀領(lǐng)域作用顯著的力和現(xiàn)象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，與特征尺寸L的高次方成比例的慣性力、電磁力(L3)等的作用相對減小，而與尺寸的低次方成比例的粘性力、彈性力(L2)、表面張力(Ll)、靜電力(L0)等的作用相對增大。隨著尺寸的減小，表面積(L2)與體積(

3、L3)之比相對增大，表面力學(xué)和物理效應(yīng)將起主導(dǎo)作用。理論模型建立(1)偶應(yīng)力理論早在一個多世紀(jì)前，voigt12便提出了體力偶和面力偶的概念，并建議構(gòu)建考慮作用在材料微粒表面或邊界上的力偶的連續(xù)模型。隨后Cosserat兄弟14根據(jù)的假設(shè)建立了相關(guān)的Cosserat理論，對應(yīng)的運動方程中出現(xiàn)了偶應(yīng)力。直到20世紀(jì)60年代左右，一些學(xué)者才開始嘗試Cosserat理論的改進擴展工作，他們對Cosserat連續(xù)體物質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)施加一定約束，并逐漸發(fā)展了一種更為普遍的理論偶應(yīng)力理論。相比其它非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論，偶應(yīng)力理論是一種相對簡單的理論。如應(yīng)變梯度理論考慮旋轉(zhuǎn)梯度、拉伸和膨脹梯度的影響，而偶應(yīng)力理論

4、僅考慮了旋轉(zhuǎn)梯度(與偶應(yīng)力共軛)。Ashby22指出幾何必需位錯和統(tǒng)計儲存位錯是材料的塑性硬化來源，而幾何必需位錯產(chǎn)生于塑性剪切應(yīng)變梯度。據(jù)此，F(xiàn)leek和Hutchinson23及Fleek等6在偶應(yīng)力理論框架上發(fā)展了一種應(yīng)變梯度塑性理論(通常稱為CS應(yīng)變梯度塑性理論)，它是經(jīng)典的形變或流動理論的推廣。在理論中為了考慮旋轉(zhuǎn)梯度的影響，引入了偶應(yīng)力，并且服從二階變形梯度本構(gòu)率的Clausius-Duhem熱力學(xué)限制條件24 。這種理論不僅在模擬裂紋擴展時能消除裂紋尖端的應(yīng)力奇異性25,還能成功預(yù)測微結(jié)構(gòu)力學(xué)行為中的微尺度效應(yīng)。例如，F(xiàn)leck等6銅絲的扭轉(zhuǎn)實驗中證實了應(yīng)變梯度硬化的存在，并應(yīng)用

5、提出的CS應(yīng)變梯度塑性理論成功解釋了這種微尺度現(xiàn)象。經(jīng)典牛頓力學(xué)框架下，連續(xù)變形體的材料顆粒僅在力的作用下作平動;在TouPin和Mindiin等學(xué)者18-21建立的傳統(tǒng)偶應(yīng)力彈性理論中，材料顆粒不僅在力的作用下作平動，還在力偶的作用下作轉(zhuǎn)動。因此，偶應(yīng)力理論中的系統(tǒng)能量包括應(yīng)力對應(yīng)變和偶應(yīng)力對旋轉(zhuǎn)形變做的功，其中旋轉(zhuǎn)形變是二階變形梯度的反對稱部分，含有8個獨立分量。對于各向同性線彈性材料而言，系統(tǒng)本構(gòu)方程中除了兩個經(jīng)典的拉梅系數(shù)外，還包含兩個與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加常數(shù)。在上述偶應(yīng)力理論構(gòu)建中，僅用到傳統(tǒng)的力和力矩的平衡關(guān)系，對力偶并沒有施加約束。Yang等28從引入高階平衡關(guān)系角度出發(fā)，提出

6、一種修正偶應(yīng)力理論。在添加力偶矩平衡關(guān)系后，偶應(yīng)力張量被約束成對稱量，它對與之共軛張量的曲率張量的對稱部分做功，并與應(yīng)力對應(yīng)變做的功一起轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)能量。這種理論下的本構(gòu)方程僅包含一個附加常數(shù)，從而大大降低了非經(jīng)典常數(shù)的確定難度。Park和Gao29曾使用這種新理論計算Bemoulli-Euler微梁的彎曲，發(fā)現(xiàn)微梁厚度與材料內(nèi)察長度相當(dāng)時，呈現(xiàn)出明顯的尺度效應(yīng)，所求得的無量綱彎曲剛度與彎曲實驗測量值28吻合得較好。(2)應(yīng)變梯度理論應(yīng)變梯度理論的基本思想是通過將高階應(yīng)變梯度和/或位錯密度納入支配材料行為的本構(gòu)或演化方程，來引入尺度對結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的彈、塑性變形和位錯運動等力學(xué)行為的影響。這種理論最

7、早由Mindlin30提出，他將彈性體的應(yīng)變能密度視為應(yīng)變和它的第一、二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。同時，他也給出了一種更常用的僅包含應(yīng)變和其一階導(dǎo)數(shù)的簡化理論，簡化后的附加變形包含了二階變形梯度的所有18個獨立分量。比較而言，偶應(yīng)力理論僅包含了二階變形梯度中的8個獨立分量，而應(yīng)變梯度理論是一個完整的二階梯度理論。Mindlin為非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究提供了一種新的思路，后人針對各種應(yīng)用對其理論進行了改進和擴充。除了彈性材料外，不少學(xué)者致力建立了塑性31-33、彈塑性34、熱彈性135等材料的應(yīng)變梯度模型。例如，通過使用等效應(yīng)變的一次和二次拉普拉斯算子表示附加的應(yīng)變梯度，Aifantis等32建立了應(yīng)變梯度

8、塑性理論。Fleek等31和Gao等33l則發(fā)展了另一種基于幾何必需位錯的應(yīng)變梯度塑性理論。Aifantis為應(yīng)變梯度理論的發(fā)展和應(yīng)用做出了卓越的貢獻。他和他的合作者們建立并逐步發(fā)展了模擬物體彈性、塑性和位錯動力行為的各種應(yīng)變梯度理論，并就相關(guān)理論的發(fā)展、應(yīng)用及數(shù)學(xué)表述給出了綜述36。另外，黃克智等37也在他們的綜述性文章中綜合介紹了偶應(yīng)力和應(yīng)變梯度塑性理論。除了用于描述位錯組態(tài)、材料軟化和裂紋尖端附近的變形場等問題外36，應(yīng)變梯度理論也廣泛應(yīng)用在微尺度效應(yīng)研究中。例如，Aifantis38討論了應(yīng)變梯度彈性、塑性理論在解釋不常見微結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸試件或普通微結(jié)構(gòu)的小尺寸試件的扭轉(zhuǎn)和彎曲中的微尺

9、度現(xiàn)象上的能力。在Mindlin30建立的傳統(tǒng)應(yīng)變梯度彈性理論中，附加變形即引入的二階變形梯度，它包括了8個獨立分量的反對稱部分和10個獨立分量的對稱部分在內(nèi)的所有18個獨立分量。對于各向同性材料而言，二階變形梯度對應(yīng)有七個線性彈性常數(shù)，即兩個拉梅系數(shù)和五個與材料微結(jié)構(gòu)有關(guān)的非經(jīng)典常數(shù)。應(yīng)用虛功原理得到的控制方程和邊界條件也包含五個附加常數(shù)，從而能捕捉到微結(jié)構(gòu)中的尺度效應(yīng)。后來，F(xiàn)leck和Hutchinson31，39重新表述了Mindlin的應(yīng)變梯度理論，他們將二階變形梯度張量分解成兩個獨立部分，即拉伸梯度張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量。與Mindiin的工作類似，F(xiàn)leck和Hutchinson僅使

10、用了傳統(tǒng)平衡關(guān)系力和力矩平衡來支配高階應(yīng)力行為。受Yang等28的工作啟發(fā)，Lam等40嘗試將新的高階平衡關(guān)系應(yīng)用在本構(gòu)關(guān)系及控制方程的推導(dǎo)中。在施加附加的力偶矩平衡關(guān)系后，Lam等重新定義了高階應(yīng)變張量及與之共扼的高階應(yīng)力張量，并推導(dǎo)了相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變能表述。由于高階平衡關(guān)系的引入，旋轉(zhuǎn)梯度的反對稱部分不出現(xiàn)在變形能中，與微結(jié)構(gòu)有關(guān)的附加材料常數(shù)的個數(shù)由五個減少到三個?；谒岢龅男吕碚?，Lam等40研究了微懸臂梁的彎曲問題，發(fā)現(xiàn)微梁的無量綱剛度與梁厚呈二次方反比關(guān)系，這與微梁的彎曲實驗觀測結(jié)果相吻合。(3)微態(tài)理論微態(tài)理論是由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)大師Eringen建立。在 1964年，Erin

11、gen41、Eringen和Suhubi42分別提出了簡單微流體和簡單微彈性體理論，他們的模型中分別考慮了微流體的局部微運動和微固體的微變形和微旋轉(zhuǎn)，并推導(dǎo)了對應(yīng)的基本場方程、邊界條件和本構(gòu)方程。到1966年，Eringen43綜合闡述了這類理論，并將之正式命名為微態(tài)連續(xù)統(tǒng)力學(xué)。這種理論把材料體看作無數(shù)變形物質(zhì)點的連續(xù)集合，每個物質(zhì)點都具有有限的尺寸和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。除了經(jīng)典的三個平動自由度外，每個材料物質(zhì)點還具有獨立的拉伸和旋轉(zhuǎn)自由度，即允許物質(zhì)點作剛體運動和發(fā)生變形。因此，微態(tài)連續(xù)體的變形會同時產(chǎn)生宏觀應(yīng)變和微觀內(nèi)部應(yīng)變。后來的學(xué)者發(fā)展和拓寬了該理論，建立了彈粘塑性材料44、考慮熱存儲效應(yīng)45、

12、熱磁禍合彈性體46等一系列理論模型。Chen和Lee47建立了基于微態(tài)理論的所有瞬時力學(xué)變量和原子坐標(biāo)及速度的聯(lián)系，并通過統(tǒng)計系綜平均后得到連續(xù)場量，從而將微態(tài)理論和分子動力學(xué)結(jié)合起來。微態(tài)理論已經(jīng)應(yīng)用于微尺度結(jié)構(gòu)與材料的模擬中。例如，Dinard48使用基于微態(tài)理論的各向異性可壓縮塑性模型，探討了含孔洞泡沫鎳板的尺度效應(yīng)，成功預(yù)測了孔洞周圍的應(yīng)變集中隨孔洞尺寸減小而減弱的變化趨勢。微極理論微極理論實質(zhì)是微態(tài)理論的一種特例。微極理論中，每個材料物質(zhì)點除了經(jīng)典的三個平動自由度外，僅添加了獨立的旋轉(zhuǎn)自由度，即意味著物質(zhì)點可以作剛體運動，但不允許變形。Eringen49l于 1965年首次提出微極連

13、續(xù)統(tǒng)理論，并在同年50和1967年51分別構(gòu)建了基于微極理論的流體和彈性體模型。相一比經(jīng)典力學(xué)理論，由于附加獨立自由度的引入，微極材料會有旋轉(zhuǎn)慣性矩、體力偶和表面力偶的作用產(chǎn)生。微極理論的后續(xù)研究重心在于該理論的擴展和推廣。Eringen、 de Borst、Tauchert等學(xué)者在該領(lǐng)域作了大量的工作，提出了用于粘彈性52、塑性53、熱彈性54等材料的微極理論。微極理論同樣可以描述微結(jié)構(gòu)中的尺度效應(yīng)。例如，McFarland和Colton9使用微極彈性連續(xù)理論探討了微結(jié)構(gòu)對懸臂微梁的彎曲剛度的影響，計算結(jié)果預(yù)測到梁的彎曲剛度隨梁厚減小而增大，這與文中實驗所觀測到的微尺度現(xiàn)象是吻合的。上述理論

14、對每個物質(zhì)點均引入了附加自由度或高階變形，與之不同的另一種理論則考慮了表面效應(yīng)的影響。由于微尺度結(jié)構(gòu)具有急劇增大的表面/體積比，表面效應(yīng)的重要性顯著提高。為了引入表面效應(yīng)，Gurtin和Murdoch55提出了一種表面彈性理論，將表面看作和體不同性質(zhì)、無滑移地勃附在體上的二維彈性膜，表面應(yīng)力的出現(xiàn)導(dǎo)致了非經(jīng)典的邊界條件，它和表面經(jīng)典的彈性方程共同組成場方程。對于特征尺寸大于100nm的結(jié)構(gòu)，表面/體積比可以忽略，因此表面彈性理論目前僅運用在納米結(jié)構(gòu)中。Wang 和Feng56-58基于Bemoulli-Euler梁和Timoshenko梁理論，建立了一種考慮表面效應(yīng)的理論模型，有力預(yù)測了納米梁

15、在振動和屈曲行為中的微尺度效應(yīng)。實驗研究方法微尺度材料的力學(xué)性能測試主要包括彈性模量、泊松比、殘余應(yīng)力屈服強度、疲勞強度和斷裂強度等參數(shù)，常用的測量方法有拉伸測試法、彎曲測試法、納米壓入法、鼓膜法和共振頻率測試法等59拉伸試驗法(l)拉伸測試法拉伸測試是測量彈性模量、泊松比、屈服強度和斷裂強度等參數(shù)的最直接的方法。一般的拉伸測試裝備主要包括加載裝置、力傳感器、位移傳感器、機械框架和夾具五部分。載荷和位移是拉伸法測量的主要內(nèi)容，所需材料參數(shù)通過繪出的包括塑性變形在內(nèi)的拉伸應(yīng)力一應(yīng)變曲線得到。 早在1955年，Eisner60就對直徑1進行了拉伸試驗。最近，Chasiotis和Knauss61設(shè)計

16、了一種新的拉伸實驗裝備測得表面微加工多晶硅的彈性模量和拉伸強度，他們使用原子力顯微鏡獲得變形試樣的表面形貌后，再通過數(shù)字圖像相關(guān)法(DIC)來確定應(yīng)變。在測量FCc薄膜力學(xué)特性的純拉伸實驗中，Espinosa等62發(fā)現(xiàn)金、銅和鋁試樣的屈服應(yīng)力比試樣厚度減小得快，顯示出明顯的尺度效應(yīng)。(2)彎曲測試法彎曲測試法是微尺度材料測試領(lǐng)域比較常用的方法之一。與拉伸法相比，彎曲法可以很容易地使用光學(xué)顯微鏡測量，如原子力顯微鏡(AFM)、掃描隧道顯微鏡(STM)和力調(diào)制顯微鏡(FMM)等Pearson等63l于 1957年通過彎曲實驗研究了硅絲(直徑為20)的屈服應(yīng)力和斷裂強度。在新的測量儀器出現(xiàn)后，Esp

17、inosa等64使用原子力顯微鏡、納米硬度計和Mirau型干涉顯微鏡對金薄膜進行了三點彎曲實驗，測得了楊氏模量、屈服應(yīng)力和殘余應(yīng)力。前文中已提到，已有學(xué)者在金屬和聚合物材料的彎曲實驗中觀測到尺度效應(yīng)(如無量綱彎曲剛度隨特征尺寸的減小而增大)7-9。(3)納米壓入法納米壓入法具有極高的位移分辨率和加載精度，通過分析所記錄的加載與卸載過程中的載荷一位移曲線來確定材料參數(shù)，主要是材料硬度。這種方法分為納米壓痕和劃痕技術(shù)，其中納米硬度計是常見的實驗裝備。Oliver和Pharr6s使用Berkovich壓頭進行壓痕實驗并測得熔融石英、鈉鈣玻璃和單晶鋁等六種材料的彈性模量和硬度。Jardret等66項使

18、用Berkovich壓頭對一些金屬和高分子材料展開了劃痕實驗，指出其中的技術(shù)要點。采用掃描隧道顯微鏡(STM)，Stemashenk。等67對單晶鎢薄膜所做的壓痕實驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)壓痕深度由10到1時，材料硬度值急劇增大，表現(xiàn)出強烈的尺度效應(yīng)。(4)鼓膜法鼓膜法通常被稱之為兩軸拉伸試驗，是最早用于研究薄膜力學(xué)性能的技術(shù)之一。薄膜凸起高度是主要測量物理量之一，最早是采用指針儀等機械法進行測量，隨后發(fā)展為超聲厚度測量，目前則使用精度更高的激光干涉測量68。由于金屬具有良好的延展性，早期的鼓膜實驗主要集中在對金屬薄膜的研究上。Beam69最早于 1959年使用鼓膜技術(shù)對金、銀薄膜的力學(xué)性能進行測量。后來的

19、學(xué)者們也逐漸對非金屬材料產(chǎn)生興趣，以矩形薄膜為對象,Tabataa等70測得了LPCVD多晶硅和PECVD氮化硅組成的復(fù)合薄膜的內(nèi)應(yīng)力和彈性模量。(5)共振頻率法微結(jié)構(gòu)的諧振頻率與材料的彈性模量、剪切模量和泊松比等材料特性參數(shù)密切相關(guān)，通過檢測諧振頻率來計算材料參數(shù)是一種較早采用的動態(tài)測試方法。該方法采用非接觸光學(xué)測量技術(shù)，使用激光多普勒干涉儀、邁克爾遜干涉儀等儀器測量振動位移，再進一步確定微結(jié)構(gòu)的振動頻率。早在1979年，Petersen等71通過測量懸臂微梁的橫向共振頻率得到氧化硅薄膜的彈性模量。在壓電陶瓷或電磁驅(qū)動器激振下，Mazza等72使用激光多普勒干涉儀對鎳和鐵鎳合金微梁進行了振動實驗，測得材料的彈性模量、彈性極限和失效應(yīng)力。Chen等73使用電場驅(qū)動的諧振實驗裝置，在Zno納米絲的彈性模量測量中觀察到尺度效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)試樣直徑小于120nm時，彈性模量隨直徑的減小而顯著增大。6 Fleck N A, Muller G M，Ashby M F, etal. Strain gradient Plasticity: theory and experiment. Acta Metall. Mater.，1994，42:475一4877S