FIR低通濾波器加窗效應(yīng)分析

1、目錄一.摘要 2二.引言 3三.FIR濾波器設(shè)計 4 3.1 線性相位FIR濾波器的條件與特點 3.2 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的基本原理 3.3 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的一般步驟 3.4 FIR濾波器加窗效應(yīng)分析 3.5 幾種常用窗函數(shù)簡介 四 MATLAB仿真濾波實現(xiàn) 14 4.1 MATLAB軟件簡介 4.2 設(shè)計中主要用到的MATLAB函數(shù) 4.3 實驗程序及結(jié)果分析五 心得體會與總結(jié) 21六 參考文獻 22一.摘要 數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計算機技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實時實現(xiàn)。數(shù)字濾波器是一個離散時

2、間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時間信號(對應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號（對應(yīng)模擬頻率）時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號的數(shù)字頻率（2*f/fs,f為模擬信號的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率（ws/2=)，其頻率響應(yīng)具有以2為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即=點對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語言信號處

3、理、圖像信號處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。22二.引言 隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字信號處理已成為一個極其重要的學科和技術(shù)領(lǐng)域。在通信、語音、圖像、自動控制和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理的重要環(huán)節(jié)，它在數(shù)字信號處理中占有著重要的地位,它具有可靠性好、精度高、靈活性大、體積小、重量輕等優(yōu)點。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器越來越受到人們的重視，廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域。數(shù)字濾波器的

4、輸入輸出信號都是數(shù)字信號，它是通過一定的運算過程改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分來實現(xiàn)濾波的，這種運算過程是由乘法器、加法器和單位延遲器組成的。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理技術(shù)的重要內(nèi)容，其對數(shù)字信號進行的最常見處理是保留數(shù)字信號中的有用頻率成分和去除信號中的無用頻率成分。按照時間域的特性，數(shù)字濾波器可以分為無限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR濾波器）和有限沖激脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR濾波器）。 三 FIR濾波器設(shè)計3.1 線性相位FIR濾波器的條件與特點 FIR DF的系統(tǒng)函數(shù)無分母，為，系統(tǒng)頻率響應(yīng)可寫成：，令，H(w)稱為幅度函數(shù)，稱為相位函數(shù)。這與模和幅角的

5、表示法有所不同，H(w)為可正可負的實數(shù)，這是為了表達上的方便。 線性相位的FIR濾波器是指其相位函數(shù)滿足線性方程： （是常數(shù)）根據(jù)群時延的定義，式中表示系統(tǒng)群時延，表示附加相移。線性相位的FIR系統(tǒng)都具有恒群時延特性，因為為常數(shù)，但只有0的FIR系統(tǒng)采具有恒相時延特性。第一類FIR DF的特點：恒相時延，相位曲線是過原點的曲線；可通過h(n)靈活設(shè)計幅度函數(shù)的零點位置；幅度函數(shù)對頻率軸零點偶對稱，對點偶對稱。第二類FIR DF的特點：恒相時延，相位曲線是過原點的直線；幅度函數(shù)對頻率軸零點偶對稱；幅度函數(shù)對頻率軸點奇對稱。由的連續(xù)性，點一定是幅度函數(shù)的零點。即時，在z=-1處有零點；因此這類濾

6、波器不適合高通或帶阻濾波器。第三類FIR DF的特點：恒群時延，有附加相移，相位曲線是截距為、斜率為的直線；幅度函數(shù)對零頻點奇對稱，零頻是的零點；對奇對稱，也是的零點。第四類FIR DF的特點：恒群時延，有附加相移，相位曲線是截距為、斜率為的直線；幅度函數(shù)對零頻點奇對稱，零頻是的零點；對偶對稱。3.2 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的基本原理 設(shè)所希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為。那么FIR濾波器的設(shè)計就在于尋找一個傳遞函數(shù)去逼近。在這種逼近中最直接的一種方法是從單位取樣響應(yīng)序列著手，使逼近理想的單位取樣響應(yīng)。我們知道可以從理想頻率響應(yīng)通過傅里葉反變換來得到，即： 但是一般來說，這樣得到的單位取樣

7、響應(yīng)往往都是無限長序列；而且是非因果的。我們以一個截止頻率為的線性相應(yīng)位理想低通為例來說明。設(shè)低通濾波器的時延為，即： 則這是一個以為中心的偶對稱的無限長非因果序列。這樣一個無限長的序列怎樣用一個有限長序列去近似呢？最簡單的辦法就是直接截取它的一段來代替它。例如把到的一段截取來作為，但是為要保證所得到的是線性相位濾波器。必須滿足的對稱性，所以時延應(yīng)該取長度的一半，即這種直接截取的辦法可以形象地想象為：好比是通過一個“窗口”所看到的一段。中表達為和一個“窗口函數(shù)”的乘積。在這里，窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)，即 但是一般來說，窗口函數(shù)并不一定是矩形函數(shù)，可以在矩形以內(nèi)還對作一定的加權(quán)處理，因此，一般

8、可以表示為 這里就是窗口函數(shù)。按照復(fù)卷積公式，在時域中的乘積關(guān)系可表示成在頻域中的周期性卷積關(guān)系，即可得所設(shè)計的FIR濾波器的頻率響應(yīng):其中，為截斷窗函數(shù)的頻率特性。由此可見，實際的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)逼近理想濾波器頻率響應(yīng)的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。如果w(n)具有下列形式：w(n)相當于一個矩形，我們稱之為矩形窗。即我們可采用矩形窗函數(shù)w(n)將無限脈沖響應(yīng)截取一段來近似為。3.3用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的一般步驟（1）確定逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）求出理想的單位抽樣響應(yīng)；（3）根據(jù)過渡帶寬和阻帶最小衰件等要求，選擇窗函數(shù)，并確定窗口長度；（4）求所設(shè)計的FIR濾

9、波器的單位抽樣響應(yīng)；（5）計算頻率響應(yīng)，驗算指標是否滿足要求，若不滿足，則要重新設(shè)計3.4 FIR濾波器加窗效應(yīng)分析經(jīng)過加矩形窗后所得的濾波器實際頻率響應(yīng)能否很好地逼近理想頻率響應(yīng)呢？下圖給出了理想濾波器加矩形窗后的情況。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)如圖中左上角圖，矩形窗的頻率響應(yīng)為左下角圖。根據(jù)卷積定理，即得實際濾波器的頻率響應(yīng)圖形為圖中右圖。 圖（1）由圖可看出，加矩形窗后使實際頻率響應(yīng)偏離理想頻率響應(yīng)，主要影響有兩個方面：（1）在理想幅頻特性陡直邊緣處形成過渡帶，過渡帶寬取決于矩形窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。（2）過渡帶兩側(cè)形成肩峰和波紋，這是矩形窗函數(shù)頻率響應(yīng)的旁瓣引起的，旁瓣相對值越大，旁

10、瓣越多，波紋越多。3.5 幾種常用窗函數(shù)簡介1.矩形窗矩形窗函數(shù)的時域形式可以表示為：它的頻域特性為：2.漢寧窗函數(shù)漢寧窗函數(shù)的時域形式可以表示為： 它的頻域特性為：其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍，為8/N。3.海明窗函數(shù)海明窗函數(shù)的時域形式可以表示為: 它的頻域特性為:其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。海明窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度是一樣大的。4.布萊克曼窗 增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)

11、為： +0.045.三角窗函數(shù)三角窗是最簡單的頻譜函數(shù)為非負的一種窗函數(shù)。三角窗函數(shù)的時域形式可以表示為：當n為奇數(shù)時：當n為偶數(shù)時：它的頻域特性為：三角窗函數(shù)的主瓣寬度為8/N，比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，但是它的旁瓣寬度卻小得多。6.凱澤窗 以上幾種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱澤窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減,如圖（2）。 圖（2）式中I0(x)是零階貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。四 MATLAB仿真濾波實現(xiàn)4.1 MATLAB軟件簡介MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科

12、學計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。4.2設(shè)計中主要用到的MATLAB 函數(shù)4.2.1 fir1 函數(shù) fir1 函數(shù)實現(xiàn)線性相位FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計. 利用這一函數(shù)可以設(shè)計出標準的低通、高通、帶通和帶阻線性相位FIR濾波器。調(diào)用格式：(1) b=fir1(

13、n,wn) 用海明窗設(shè)計低通或帶通的 FIR 濾波器. wn 是截止頻率，以“ð 弧度”為單位。 fir1函數(shù)返回FIR濾波器的系數(shù)向量b。如果wn 是一個標量，則返回的是一個n 階的低通FIR 數(shù)字濾波器。 (2) b=fir1(n,wn, 'type', 'window') type為濾波器的類型，當type=high 時，設(shè)計高通FIR濾波器；當type=stop 時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。向量window 用來指定窗函數(shù)類型，其長度為n+1，缺省時為海明窗。4.2.2 freqz 函數(shù) 為了檢驗所設(shè)計的數(shù)字濾波器是否正確，可以畫出其幅頻特性.

14、MATLAB 提供了求解數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的函數(shù)freqz ，其調(diào)用格式如下：h,w=freqz(b,a,n)返回數(shù)字濾波器的n點頻率響應(yīng)h和頻率向量w。若n缺省，則自動取n為默認值512。4.2.3 plot函數(shù)plot(Y)如果Y是m×n的數(shù)組，以1:m為X橫坐標，Y中的每一列元素為Y坐標，繪制n條曲線；如果Y是n×1或者1×n的向量，則以1:n為橫坐標，Y為坐標表繪制1條曲線；如果Y是復(fù)數(shù)，則plot(Y)等效于plot(real(Y),imag(Y)；其它使用情況下，忽略坐標數(shù)據(jù)中的虛部。4.2.4 title函數(shù) title就是給已經(jīng)畫出的圖加一個標題.

15、title ('')里面的內(nèi)容就是圖片標題的名稱。4.2.5 legend函數(shù) legend(string1,string2,string3, .)分別將字符串1、字符串2、字符串3標注到圖中，每個字符串對應(yīng)的圖標為畫圖時的圖標。4.2.6 xlabel（） ylabel（）函數(shù)Xlabel（）函數(shù)給x坐標軸添加標注，ylabel（）函數(shù)給y坐標軸添加標注。4.2.7 hold on Hold on命令可以保護當前的坐標系，使以后再使用plot（）函數(shù)時將新的曲線疊印在原來的圖上，用hold off則可以取消保護狀態(tài)。4.2.8 axisaxis（【xmin xmax ymin

16、 ymax】）設(shè)置坐標軸的極限范圍。4.3實驗程序及結(jié)果分析（1）相同的窗口加不同的窗長(M=10,20,40)程序一、漢寧窗不同窗長wc=0.25;N=11 21 41;M=N-1;hl1=fir1(M(1),wc,hanning(N(1);hl2=fir1(M(2),wc,hanning(N(2);hl3=fir1(M(3),wc,hanning(N(3);h1,w11=freqz(hl1,1,512);h2,w12=freqz(hl2,1,512);h3,w13=freqz(hl3,1,512);plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1);hold on

17、plot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2),':');hold onplot(w13/pi,20*log(abs(h3)/max(abs(h3),'-');grid on;axis(0 1 -350 10);title('漢寧窗不同窗長');xlabel('/'); ylabel('|H(ej)|');legend('M=10','M=20','M=40'); 圖（3） 圖（3）分別給出了M=10，M=20及M=40時的的幅頻特性曲線

18、。由圖可知當M的值逐漸增大，即窗口的長度逐漸變長時，過渡帶的寬度逐漸變窄，但阻帶內(nèi)的波動幅度沒有多大改善。說明調(diào)整窗口長度可以有效的控制過度帶的寬度，但不改變旁瓣的相對寬度，不能加大阻帶的衰減。 （2）不同窗口加相同的窗長程序二、同窗長的漢寧窗與矩形窗比較wc=0.25;N=21;M=N-1;hl1=fir1(M,wc,hanning(N);hl2=fir1(M,wc,boxcar(N);h1,w11=freqz(hl1,1,512);h2,w12=freqz(hl2,1,512);plot(w11/pi,20*log(abs(h1)/max(abs(h1);hold onplot(w12/pi,20*log(abs(h2)/max(abs(h2),':');grid on;axis(0 1 -350 10);title('同窗長的漢寧窗與矩形窗比較