Brouwer不動點定理的幾種證明

1、 Brouwer不動點定理的幾種證明學(xué) 院 名 稱：專 業(yè) 名 稱：學(xué) 生 姓 名：指 導(dǎo) 教 師： 二一一年五月摘 要 Brouwer不動點定理是很著名的定理.其中，關(guān)于它的證明很多有：代數(shù)拓?fù)涞淖C明、組合拓?fù)涞淖C明、微分拓?fù)涞淖C明等.都涉及拓?fù)鋵W(xué)上許多復(fù)雜的概念和結(jié)果.關(guān)于該定理，也可以用圖論的方法證明，用離散離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題.本文試圖在總結(jié)其他證明方法的基礎(chǔ)上，對圖論的方法證明Brouwer不動點定理進(jìn)行詳細(xì)的介紹來體現(xiàn)這一思想.關(guān)鍵詞：Brouwer；不動點.ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem

2、 . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving co

3、ntinuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point. 目 錄第一章 引言11.1 研究背景11.2 本課題的研究內(nèi)容1第二章 Brouwer不動點定理的證明22.1 Brouwer不動點定理的圖論證明2引

4、理2.1.1（sperner，1982）3定理2.1.2 (Brouwer)32.2 Brouwer不動點定理的初等證明52.2.1 基本概念與引理5定理(Banach不動點定理)5定理(KKM定理)52.2.3 Brouwer不動點定理的證明7定理 (FKKM定理)7定理(Brouwer不動點定理)82.3 Brouwer不動點定理的J.Milnor分析證明92.3.6 Brouwer不動點定理18參考文獻(xiàn)19致 謝20第一章 引言1.1 研究背景Brouwer不動點定理是非線性分析和拓?fù)鋵W(xué)中的重要基本定理，它的敘述簡潔，應(yīng)用廣泛，但證

5、明卻很不簡單.不論是代數(shù)拓?fù)涞淖C明1，還是組合拓?fù)涞淖C明2，以及微分拓?fù)涞淖C明3，都涉及拓?fù)鋵W(xué)上許多復(fù)雜的概念和結(jié)果.1978年著名的微分拓?fù)鋵W(xué)家J.Milnor給出了一中新證明4，只用到多變量微分學(xué)的知識和某些基本分析定理.關(guān)于該定理，也可以用圖論的方法證明，這種離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題的思想，對我們也給了很大的啟示.本文試圖在總結(jié)其他證明方法的基礎(chǔ)上，對圖論的方法證明Brouwer不動點定理進(jìn)行詳細(xì)的介紹.1.2 本課題的研究內(nèi)容整理Brouwer不動點定理的初等、圖論方面的證明和J.Milnor給出的用多變量微分學(xué)和某些基本分析定理的新證明.詳細(xì)介紹Brouwer不動點定理的圖論方法證

6、明，體現(xiàn)離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題的思想.第二章 Brouwer不動點定理的證明2.1 Brouwer不動點定理的圖論證明Brouwer不動點定理：若表示平面上一個三角形區(qū)域圍成的閉區(qū)域，是到自身的連續(xù)映射，則至少有一個不動點，即存在一點，使得.首先把剖分成若干小三角形區(qū)域，即，的面積為零.把的三個頂點分別標(biāo)志位0,1,2.每個的頂也用0,1,2中的數(shù)標(biāo)志.若的頂在上的邊上，且的這條邊端點之標(biāo)號為與，的頂也標(biāo)成與，稱這些標(biāo)志位正常標(biāo)志，在正常標(biāo)志中小三角形的三頂分別標(biāo)志0,1,2時，稱為正常三角形，見圖a.的這種標(biāo)志的剖分稱為三角剖分.圖 2.1圖 2.2引理2.1.1（sperner，198

7、2）在的三角剖分中，正常三角形為奇數(shù)個. 證：記為的外部區(qū)域，是進(jìn)行三角剖分得到三角形子區(qū)域.以為頂集造一個圖G，對于與接非零的情形，僅當(dāng)與有公共邊具此邊端點標(biāo)志為0與1時，才在此二頂間連一邊，對與的情形，僅當(dāng)?shù)?-1標(biāo)志的邊落在的0-1標(biāo)志的邊上時，在頂與間連一邊，見圖b.由于上述圖G中奇次項的個數(shù)是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，則中奇數(shù)個奇次項，又.故中的奇次項是一次項.而僅當(dāng)是正常三角形時，所以正常三角形有奇數(shù)個.下證是奇數(shù).事實上，是上0-1邊上以0與1為端點的小區(qū)間的個數(shù).當(dāng)?shù)倪@條0-1邊之內(nèi)點為任何小三角形之頂時，是奇數(shù).當(dāng)?shù)倪@條邊內(nèi)有小三角形之頂時，由于標(biāo)志是正常的，的則這種小三角形在的這條

8、0-1邊上之端點標(biāo)志位0或1.這時又有兩種情況，（i）在這條0-1邊上的小三角形頂皆標(biāo)志0或皆標(biāo)志1，則，（ii）在這條0-1邊上的小三角形之頂點標(biāo)0與標(biāo)1都有時，我們把端點標(biāo)號一樣的小區(qū)間收縮成一點，標(biāo)號不變，則的這條0-1邊上的標(biāo)號序列為0-1交錯列01010101，這里出現(xiàn)奇數(shù)個以0，1為端點的小區(qū)間，故為奇數(shù).證畢.定理2.1.2 (Brouwer) 是到自己的連續(xù)映射，則存在，使. 證：是的三個頂點，則對任意，可以寫成，則，其中的是二維向量，且，.令.如果能證出 ，則存在，且；又，故必有，即有不動點.下證.事實上，考慮的正常標(biāo)志的三角形剖分，使得標(biāo)志的每個頂點屬于.上任意一點時，存在

9、一個，使，且；否則當(dāng)每個時，.于是，矛盾.若一個三角形頂點且時，標(biāo)志以，這種標(biāo)志是正常標(biāo)志，例如的頂點有，故，標(biāo)成；在的邊上各點的，我們只能把這邊上的點標(biāo)以0或1；邊上的點同理只能標(biāo)志0或2；上的點只能標(biāo)志1或2，故正常標(biāo)志.由引理知，至少有一個正常三角形，其中頂點分別屬于.我們是剖分無限變密，且小三角形中的最大直徑足夠小，則有分別在中的三個點，兩兩相距可以任意小，又是連續(xù)的，故是閉集.于是，.證畢.2.2 Brouwer不動點定理的初等證明2.2.1 基本概念與引理定義 設(shè)是一線性空間，其一切子集構(gòu)成的集族記為.子集稱為有限閉的，若它與每一有限維平面的交按上的拓?fù)涫情]的；一個集

10、族稱為有限交性質(zhì)，如果它的每一有限子集的交不空.定義 設(shè)是一線性空間，是上的任意子集，稱是一個KKM映像，如果對任何有限子集，有：引理 設(shè)集合非空，則距離函數(shù)是Lipschitz的，即有： 2.2.2 利用Banach不動點定理證明KKM定理定理(Banach不動點定理) 有限維空間中有界閉凸集上的連續(xù)自映射必有不動點定理(KKM定理) 設(shè)是一線性空間，是的子集，是一KKM映像.如果對于任何，是有限閉的，則集族具有有限交性質(zhì).證: 反證法.假設(shè)存在使得.設(shè)是由張成的有限維平面，是上的Eucild的度量.令，則.由假定每個在中閉，故的充分必

11、要條件是.定義函數(shù)： 由于，故對于每一，.由引理1知： 不妨設(shè)包含原點，否則用代替即可.令： 式中，是待定參數(shù).則連續(xù)，且對任意，有： 下面對式(3)右端兩項分別進(jìn)行估計.首先由引理1對任意，有：其次根據(jù)式(2)，對任意，有：綜合式(3)、(4)、(5)知：式中，.在有界閉集上連續(xù)，因此有最大值.取足夠大的，則，構(gòu)成上的一個壓縮映射.由Banach不動點定理知道，有一不動點.令 則.另外: 導(dǎo)致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer不動點定理的證明 引理 設(shè)集族是中的非空閉集合，其中一個有界，具有有限交性質(zhì)，則該集族看非空交.證明:反證法.假設(shè)，則它的余集為全空間，即即

12、開集.的并覆蓋全空間，當(dāng)然也覆蓋集族中的有界閉集.由有限覆蓋定理知，存在有限個開集.覆蓋住，即：從而：，即： 這與假設(shè)相矛盾，從而引理2成立.定理 (FKKM定理)設(shè)是中的非空緊凸集，是閉值的KKM映射，且存在一點使有界，則集族有非空交.證明 ：根據(jù)定理2知集族具有有限交性質(zhì)，于是根據(jù)引理2知定理3成立. 引理. 設(shè)是中的非空緊凸集，映射連續(xù)，則至少存在一點使得：引理. 設(shè)是中的非空緊凸集，映射連續(xù).若對于中每一滿足的點，連結(jié)和的線段至少包含中2點.則在中有不動點.定理(Brouwer不動點定理) 設(shè)是閉集上的壓縮映像，則對任意，迭代序列

13、： 存在唯一的極限點. 證明:由引理，可知Brouwer不動點定理成立.2.3 Brouwer不動點定理的J.Milnor分析證明2.3.1 考慮所有實數(shù)元組的集合，在上引進(jìn)三種線性運算之后,就稱為n維歐式空間，其中稱為的點或向量，諸稱為點的坐標(biāo)或向量的分量；向量和相加，結(jié)果是一個向量，定義為 實數(shù)和向量相乘，結(jié)果是一個向量，定義為向量和的內(nèi)積是一個實數(shù)，定義為 于是，向量的長度定義為 向量和的之間的距離就是 由于對任何有 所以判別式 即是對任何和有不等式 等式成立的充要條件是：相差一個常數(shù)因子.因此我們可以定義的夾角的余弦為 顯然，；和相差正數(shù)因子時

14、，；相差負(fù)數(shù)因子時，；此外由于 與通常的余弦定律一致，所以的定義是合理的.從而，向量和正交定義為， .向量可以用從原點到點的有向線段來表示，也可以平行移動到任何位置，只依賴于方向和長度.因此，在圖示中，兩個向量相加可以用平行四邊形法則，也可以用三角形法則. 圖 2.3(a) 圖 2.3(b) 2.3.2 命是中的一個區(qū)域.如果對任何向量，都相應(yīng)的地有一個向量，就說是把映入的一個映像（變換）.如果的諸分量是的連續(xù)函數(shù)，就說是連續(xù)向量場.注意，在說到連續(xù)可微時，總是指函數(shù)對各個變元的一階偏導(dǎo)數(shù)在包含的一個維開領(lǐng)域中處處存在且連續(xù).引理 命是有界閉域，是上的連續(xù)可微向量場.于是存在Li

15、pchitz常數(shù)，使得 證明，由于是上的連續(xù)，所以對任何，存在，使得在方體 處處連續(xù)可微，命 于是，根據(jù)微分中值定理，對任何有 今證存在，不依賴于，使得對任何，上述吧不等式成立.否則，對任何正整數(shù)，存在以及，使得 由于是有界閉集，根據(jù)Bolzano-Weierstrass定理，可設(shè)，從而，.于是，當(dāng)充分大時，所以， 矛盾.這樣一來，如果命 則對任何有引理 命是有界閉域，是上的連續(xù)可微向量場.命：是一個變換，定義為 于是，當(dāng)充分小時，是把變成區(qū)域的一一變換，區(qū)域的體積可以表示為的多項式.證明：據(jù)引理1，設(shè)是的Lipschitz常數(shù).于是，當(dāng)時，變換是一一的.因為，若而，則由推出，矛

16、盾.其次，由于所以的Jacobi行列式是因而可以表為的多項式：其中諸顯然是的連續(xù)函數(shù).注意，當(dāng)時，這個行列式之值為1，所以只要充分小，則恒為正.于是，則反函數(shù)定理，當(dāng)充分小時，是把區(qū)域變成區(qū)域的一一連續(xù)可微變換，它的逆變換也是連續(xù)可微的.因此，按照體積的積分定義以及重積分的換元法則，區(qū)域的體積可以表示為 其中 中的維單位球面定義為 命是上的向量場.如果對任何都有，就說是上的向量場.今設(shè)是上的連續(xù)可微的單位切向量場，即是對任何有.考慮區(qū)域圖 2.4命 于是，被擴(kuò)充為上的連續(xù)可微的切向量.再考慮變換 由于 可見變換把半徑為的球面變到半徑為的球面上.引理 當(dāng)充分小時，變換把變成證明：設(shè)

17、，其中是在上的Lipschitz常數(shù).對于任何固定的命 由于，所以 此外， 而，可見是把歐氏空間的閉集映入自身的壓縮映像，據(jù)壓縮映像原理，有唯一的原動點，即 ，所以，因此，其中.這就證明了對任何，存在唯一的，使得圖 現(xiàn)在讓我們對半徑為的維球體的體積給出一個計算公式 其中 事實上，例如，按歸納法有 算出上述積分，就得到所要的結(jié)果.圖 現(xiàn)在我們問：球面上是否存在連續(xù)可微的單位切向量？這個問題的回答有些古怪.如果是奇數(shù)，回答是肯定的，事實上我們可以給出所要的向量，例如 但是，如果是偶數(shù)，回答則是否定的定理1.偶數(shù)維球面上不存在連續(xù)可微的單位切向量場.證明：假若不然

18、，當(dāng)是奇數(shù)時，若上存在連續(xù)可微的單位切向量場，則據(jù)引理3，變換當(dāng)充分小時把區(qū)域變成區(qū)域，所以的體積是 由于是奇數(shù)，這個體積不可能是的多項式，因而和引理2的結(jié)果矛盾.定理1還可以稍加推廣如下.定理2.偶數(shù)維球面上不存在處處不為零的連續(xù)向量場.證明：假若不然，命是上處處不為零的連續(xù)向量場， .于是.據(jù)Weierstrass逼近定理8，中有界閉集上的連續(xù)函數(shù)可以用多項式函數(shù)均勻逼近，所以存在一個多項式映像，即諸都是的多項式，圖 2.7使得 ， 命 即 顯然，上的聯(lián)訊可微向量場，此外，所以是上的切向量場，最后，蘊涵，所以,矛盾，從而在上處處不為零.因此就是上連續(xù)可微的單位切向量場.但是，如果是偶數(shù)，定

19、理1說，這是不可能的.例.地球表面的風(fēng)的分布可以視為向量場，向量的長度和方向分別表示在該點的風(fēng)力和風(fēng)向.風(fēng)力的分布當(dāng)然是連續(xù)的，所以這個定理說，地球表面上總有一處是完全無風(fēng)的.2.3.5 現(xiàn)在介紹一種方法，怎么樣從維球體傻瓜的向量場構(gòu)造出維球面上的切向量場.考慮，設(shè)圖 2.8的邊界球面是的赤道.假設(shè)給了上一個處處不為零的連續(xù)向量場，使得時，.首先，利用北極投影把映成南半球，奇數(shù)對任何，從北極到的連線與的交點就是所要的對應(yīng)點.容易驗證，北極投影的確定義是他的遞變是顯然，這兩個變換都是連續(xù)可微的.對于任何固定的，中的直線 經(jīng)過北極投影變成上的球面曲線（注意，北極投影顯然對整個上的點都有定義，不過中

20、不屬于的點背變到北半球上罷了）.我們來證明：這條曲線在時速度向量是在處的切向量.事實上，按定義有 由于連續(xù)依賴于，而連續(xù)依賴于，可見連續(xù)依賴于.此外， 可見，是上的連續(xù)切向量場.最后，還應(yīng)指出在上處處不為零，因為蘊涵，從而有推出所有的，與假設(shè)矛盾.只要當(dāng)時，所以指向正北.同樣，如果我們利用南極投影和向量場我們將得到北半球上的處處不為零的連續(xù)向量場，但是在赤道上這個向量場指向正南.為了得到整個球面上的連續(xù)向量場，我們利用向量場，這樣相應(yīng)的向量場在赤道上也指向正北.與南半球上的向量場一致.這樣一來，我們從所給的向量場構(gòu)造出在整個上處處不為零的連續(xù)向量場.2.3.6 Brouwer不動點定理定理3.

21、把球體映入自身的任何連續(xù)映象至少有一個不動點，即存在，使證明：假若不然，對任何，.命其中顯然，當(dāng)時，；連續(xù)依賴于，因為.此外，在上處處不為零，因為蘊涵或 所以 即 由此再據(jù)即得 于是，是上處處不為零的連續(xù)向量場.使得時，.據(jù)F，可以由此構(gòu)造上處處不為零的連續(xù)切向量場.據(jù)定理2，當(dāng)是偶數(shù)時是不可能的.因此，我們證明了當(dāng)是偶數(shù)時的Brouwer定理.奇數(shù)的情形則由偶數(shù)的情形立即推出.事實上，如果沒有不動點，那么也沒有不動點，這里.參考文獻(xiàn) 1 江澤涵，拓?fù)鋵W(xué)引論（第二分冊）M.1965年，上?？萍汲霭嫔?，126.2 中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，對策論（博弈論）M.1965年，人民教育出版社，1960.3 V.Guillemin，A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.4 J.Milnor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point TheoremM. 1978年，521524.5 王樹禾，圖論（第二版）M