線性代數(shù)練習(xí)題集--線性方程組

1、線性代數(shù)練習(xí)題集 - 線性方程組線性代數(shù)練習(xí)題第四章 線性方程組系 姓名 第一節(jié)解線性方程組的消元法一選擇題：設(shè) A 是 m ? n 矩陣， Ax =b 有解，那么 C A 當(dāng) Ax =b 有唯一解時(shí)， m =n當(dāng) Ax =b 有無(wú)窮多解時(shí)， R A 設(shè) A 是 m ? n 矩陣，齊次線性方程組 Ax =0 僅有零解的充要條件是 R A D 小于 m B 小于 n C 等于 m D 等于 n 二填空題：? ? 12? 1? ? x 1? ?設(shè)A = 23a +2? , b = 3? , x = x 2 ?1a -2? 0? x ? ? ? ? ? ? 3?1齊次線性方程組 Ax =0只有零解，

2、那么 a工3或a工-1 2非齊次線性方程組 Ax =b 無(wú)解，那么 a 三計(jì)算題：? 2x +y -z +w =1求解非齊次線性方程組 ? 4x +2y -z +w =2? 2x +y -z -w =1? 21-111? r 2-2r 1? 21-111? ? 21001? r 3-r 1? r +r 2? 42-112-f001-10-f 001-10 ? 21-1-11? 000-20 ?000-20 ? 1-y? x =2=1 ? 2x +y ? y =1-2xz - w =0二 z =0 或.？ ？ ？ z =0? ? w =0-2w =0? w =0? ? ?入 x 1+x 2+x

3、3=13 .入取何值時(shí)，非齊次線性方程組 ？ x 1+入x 2+x 3=入 有唯一解 無(wú)解 有無(wú)窮多解? x +x + 入 x =入 223？ 1入111入1入+2)11=入 3-3 入 +2=(入-1) 2(入11 ? ? 111?II ? f 00000011 ? ? ?III ? ? 2?-21-2? f 101-24 ? ? ?1?0 ? ，有無(wú)窮多解； 0?-21-2 ? ，方程組無(wú)解。 003? ?當(dāng)入工1,-2時(shí)，方程有唯一解？ 11當(dāng)入=1時(shí)1111 ？ ？ -2當(dāng)入=-2時(shí)11 ？線性代數(shù)練習(xí)題 第四章 向量組的線性相關(guān)性系 姓名 第四節(jié) 線 性 方 程 組 的 解一選擇題：

4、T T1 .設(shè) A 是 5? 4 矩陣，A =( a 1, a 2, a 3, a 4)， n 1=(0, 2, 0, 4),n 2=(3, 2, 5, 4) 是 Ax =0 的根底解系，那么 D (A )a1, a 3線性無(wú)關(guān) (B )a2, a 4線性無(wú)關(guān) (C )a 1 不能被 a 3, a 4 線性表示 (D )a 4 能被 a 2, a 3 線性表示n 1, n 2 是其兩個(gè)特解， 2.設(shè) A 是 5？ 4矩陣，假設(shè) Ax =b 有解，導(dǎo)出組 Ax =0 的基 礎(chǔ)解系是 a 1, a 2，那么不正確的結(jié)論是 B (A )Ax =b 的通解是 k 1 a 1+k 2a 2+n 1 (B

5、 )Ax =b的通解是 k 1 a1+k 2a 2+(n 1+n 2) (C )Ax =b 的通解是 k 1( a1+a2) +k2 a 2+( n 1+n 2) /2(D )Ax =b 的通解是 k 1( a 1+a2) +k 2( a 2-a 1) +2 n 1-n 23 .設(shè) a 1, a 2, a3 是四元非齊次線性方程組 Ax =b 的三個(gè)解向量，且 R (A ) =3 a1=(1, 2, 3, 4) T ，a 2+a 3=(0, 1, 2, 3) T ， C 表示任意常數(shù)，那么線性方程組 Ax =b 的解是 C (A )(1, 2, 3, 4) T +C (1, 1, 1, 1)

6、T(B )(1, 2, 3, 4) T +C (0, 1, 2, 3)T (C )(1, 2, 3, 4) T +C (2, 3, 4, 5) T(D )(1, 2, 3, 4) T +C (3, 4, 5, 6)T?入 x 1+x 2+ 入 2x 3=0 ?4 齊次線性方程組？ x 1+入x 2+x 3=0的系數(shù)矩陣記為A，假設(shè)存在三階矩陣B工0 使得? x +x + 入 x =023 ? 1AB =0，那么 C (A )入=-2 且 B =0 ,(B )入=-2 且 B 工 0( C )入=1 且 B =0( D )入=1 且 B二. 填空題：? ? 12? 1? ? x 1?設(shè) A =

7、23a +2?, b = 2?, x = x 2?1a -2? 3? x ? ? ? ? ? ? 3?1齊次線性方程組 Ax =0 只有零解，那么 a 2非齊次線性齊次組 Ax =b 無(wú)解， 那么a =三.計(jì)算題：1 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 3， n 1, n 2, n 3是它的三個(gè)解 向量，且n 1=(2, 3, 4, 5) T， n 2+n 3=1,2,3,4T ，求該方程的通解解：設(shè)方程為 Ax =b , 那么 A n 1=A n 2=A n 3=b那么 A (2 n 1-n 2-n 3) =2b -b -b =0 故 2n 1-n 2-n 3是 Ax =0 的解.又 n

8、 -R (A ) =4-3=1, 故 Ax =0 的根底解系只有一個(gè)向量 ? 3? ? 2? ? 4? 3 ?所以 Ax =b 的通解為 k (2 n 1-n 2-n 3) + n 1=k +. 5 ? 4? ? 6? ? 5? x 1-5x 2+2x 3-3x 4=112 求非齊次線性方程組 ? 5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1 的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)齊次方程組的根底 解系。? 2x +4x +2x +x =-6234 ? 1? 1-52-311 ? ? 1-52-311 ? ? 1-52-311 ? ?解：536-1-1? f 028-41456? f 014-27-28 ?2421-6

9、? 014-27-28 ? 0000? 0? ? ? ? ? ?1? ? -2? ? x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11原方程組化為 ? , 求出一個(gè)解為0 ? 24x -2x +7x =-28234? ? 0? x 1-5x 2+2x 3-3x 4=0另外?24x -2x +7x =0234? 9? ? 1?-7 ? 2? 1? ? 0?1 ? 1 ?設(shè)(x 3, x 4)分別為? , ? . ) 解 , - ? ? 0? ? 1?7 ? 2 ?1 ? 0 ? 0 ?1?9? ? 1?- 7 ? 2? ?1? ? ? 1 ?-1 ? -2 ?所以通解為k 1 +k +.7 ? 2 2

10、 ? 0? ? ?01 ? ? ? 0? 1? 0線性代數(shù)練習(xí)題 第四章 線性方程組系 姓名第四節(jié) 克拉默法那么一、選擇題：? 3x +ky -z =0?4y +z =0 有非零解，那么 k 1 假設(shè)方程組 ?kx -5y +z =0A 0 B 1 C -1 D k =33 .設(shè)E 1, E 2為齊次線性方程組 Ax =0的解，n 1, n 2為非齊次線性方程組 Ax =b 的解，貝V C (A ) 2 E 1 + n 1 為 Ax =0 的解 (B ) n 1(C ) E 1+E 2 為 Ax =0 的解( D )n 1 二、填空題：+ n 2 為 Ax =b 的解 - n 2為 Ax =b

11、 的解+z =0? kx?2. 假設(shè)方程組 ? 2x +ky +z =0 僅有零解，貝 k =2? kx -2y +z =0?三、計(jì)算題1 計(jì)算A是秩為3的5X4矩陣，a 1, a 2, a 3是非齊次線性方程組 Ax =b的三個(gè) 不同的解，假設(shè)a1+a2+2a3=(2,0,0,0)T， 3a 1+a 2=(2, 4, 6, 8) T ，求方程組 Ax =b 的通解。解：因A是秩為3的5X4矩陣，n -r =4-3=1,故對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax =0的根底解系為 E .A ( a 1+a 2+2a 3) -(3 a 1+a 2)=A a 1+A a 2+2A a 3-3A a 1-A a 2

12、=b +b +2b - 3b -b =0E =( a1+a2+2a 3) -(3 a 1+a 2)=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8)T =(0,-4, -6, -8) T 是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax =0 的根底解系 . 又 A ( a 1+a 2+2a 3) -3(3 a 1+a 2)=4b -3b =0， 434341229n =( a1+a2+2a 3) -(3 a 1+a 2)=(2,0,0,0)T -(2,4,6,8) T =(, -3, -, -6) T是非齊次線性方程組 Ax =b 的特解方程組 Ax =b 的通解為 x =C E +n =C (0,-4, -6, -8) +(, -3,-122, -6) T . 9? 2x 1+x 2-5x 3+x 4? x 1-3x 2-6x 4?四、用克拉默法那么解方程組 ?2x 2-x 3+2x 4? ? ? x 1+4x 2-7x 3+6x 4=8=9=-5=021-511-30-6解：D =21工0,方程組有唯一解