10靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題解答

1、第十章 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)選擇題1.半徑為R的導(dǎo)體球原不帶電，今在距球心為設(shè)無限遠處的電勢為零，則導(dǎo)體球的電勢為A .34兀0 aB.g4 0 0aC.a處放一點電荷q ( a> R)。)4 兀 0(a R)4 兀 o(aR)2解：導(dǎo)體球處于靜電平衡，球心處的電勢即為導(dǎo)體球電勢，感應(yīng)電荷布在導(dǎo)體球表面上，且q ( dqq 4兀 0Rq ) 0,它們在球心處的電勢1點電荷q在球心處的電勢為 dq4兀 0R qV為4 0 0a據(jù)電勢疊加原理，球心處的電勢V0 V V所以選(A)兩表面上電荷均勻分布,電荷面2 .已知厚度為d的無限大帶電導(dǎo)體平板,密度均為，如圖所示，則板外兩側(cè)的電場強度的大

2、小為(2dA . E B. E C. E= D. E= 2 0002 0解：在導(dǎo)體平板兩表面外側(cè)取兩對稱平面，做側(cè)面垂直平板的高斯面，根據(jù)高斯定理，考慮到兩對稱平面電場強度相等，且選擇題2圖R,在腔內(nèi)離球心的距離高斯面內(nèi)電荷為2 S,可得E所以選(C)3 .如圖，一個未帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為為d處(d<R),固定一電量為+q的點電荷。用導(dǎo)線把球殼接地后， 再把地線撤去, 荷為零，所以有V0 q q）。選無窮遠處為電勢零點，則球心。處的電勢為 (A. 0c.q 4兀0Rb. q4 710dq 1D. (-4兀° d解：球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷為1R)-q,球殼外表面上的電+

3、q選擇題3圖精選4兀od 4兀o R所以選（D ）4 .半徑分別為 R和r的兩個金屬球，相距很遠，用一根細長導(dǎo)線將兩球連 接在一起并使它們帶電，在忽略導(dǎo)線的影響下，兩球表面的電荷面密度之比 /為（）A. R/rB. R2/ r2C. r2/ R2D. r / R解：兩球相連，當(dāng)靜電平衡時，兩球帶電量分別為Q、q,因兩球相距很遠,所以電荷在兩球上均勻分布，且兩球電勢相等，取無窮遠為電勢零點，則JJ 即Q工4tt0R 4 710rq r_2r Q/4 R 工r q/4 r2 R所以選（D）5. 一導(dǎo)體球外充滿相對介質(zhì)電常數(shù)為£r的均勻電介質(zhì)，若測得導(dǎo)體表面附近場強為E,則導(dǎo)體球面上的自由

4、電荷面密度為（）A. £ 0EB. £ o£ rEC. £ rED. （ £ 0 £ r £ 0）E解：根據(jù)有介質(zhì)情況下的高斯定理o d dS q ,取導(dǎo)體球面為高斯面，則有D S S,即 D ° rE。所以選（B）6. 一空氣平行板電容器，充電后測得板間電場強度為E。，現(xiàn)斷開電源，注滿相對介質(zhì)常數(shù)為£ r的煤油，待穩(wěn)定后，煤油中的極化強度的大小應(yīng)是（）電虱 0 1 ）（ 01）A .二 E。 B.以一 E0C. U一ZE。D.幻（0 1）E088rQ-解：斷開電源后，不管是否注入電介質(zhì)，極板間的自由電荷

5、q不變，D0=D即0 E00 rE得到E E0 / r又D0E PP D0E 0E0 0（ r 1）E0rr所以選（B）7 .兩個半徑相同的金屬球，一為空心，一為實心，兩者的電容值相比較 （）精選A. 實心球電容值大B. 實心球電容值小C.兩球電容量值相等D.大小關(guān)系無法確定解：孤立導(dǎo)體球電容 C 4兀0R,與導(dǎo)體球是否為空心或者實心無關(guān)。 所以選（C）8 .金屬球A與同心球殼B組成電容器，球A上帶電荷q,殼B上帶電荷Q, 測得球和殼間的電勢差為Uab,則該電容器的電容值為（）A. q/UABB. Q/Uab C. (q+Q)/ Uab D. (q+Q)/(2 Uab)解：根據(jù)電容的定義，應(yīng)選

6、( A)。9. 一空氣平行板電容器，極板間距為d ,電容為c。若在兩板中間平行地插入一塊厚度為d / 3的金屬板，則其電容值變?yōu)锳. CB. 2C/3C. 3 C/2D. 2 c解：平行板電容器插入的金屬板中的場強為零, 極板上電荷量不變，此時兩極板間的電勢差變?yōu)椋篣 Ed其電容值變?yōu)椋?C Q 一S -0-S -CU 2 d 2 d 23 0所以選（C）10. 一平板電容器充電后保持與電源連接，若改變兩極板間的距離，則下述物理量中哪個保持不變？（）A.電容器的電容量B.兩極板間的場強C.電容器儲存的能量D.兩極板間的電勢差解：平板電容器充電后保持與電源連接，則兩極板間的電勢差不變；平行板S電

7、谷器的電谷 C ，改變兩極板間的距離 d,則電容C發(fā)生變化；兩極板間 dU1 9的場強E U,U不變，d變化，則場強發(fā)生變化；電容器儲存的能量 We - CU2 ,d2U不變，d變化，導(dǎo)致電容 C發(fā)生變化，則電容器儲存的能量也要發(fā)生變化。所以選（D）填空題1 . 一任意形狀的帶電導(dǎo)體，其電荷面密度分布為 （x、v、z）,則在導(dǎo)體表面精選外附近任意點處的電場強度的大小E（x、v、z） =,其方 向。（>0）或與導(dǎo)體解：E（x、v、z）= （x、v、z）/ £ o,其方向與導(dǎo)體表面垂直朝外 表面垂直朝里（T <0）。2 .如圖所示，一無限大均勻帶電平面附近設(shè)置一與之平行的無限

8、大平面導(dǎo) 體板。已知帶電面的電荷面密度為，則導(dǎo)體板兩側(cè)面的感應(yīng)電荷密度分別為1和2 14.平行板電容器的兩極板 兩半分別插入相對介電常數(shù)為解：該電容器相當(dāng)于是兩個面積為Cio ri；SdS/2的電容器的并聯(lián)，電容值分別為:2So r2 ° SC 2_C2.，dCCi C2 g ri2dr2)=。5 .半徑為R的金屬球A,接電源充電后斷開電源，這時它儲存的電場能量為5X io 5J,今將該球與遠處一個半徑是 存的電場能量變?yōu)?。解：金屬球A原先儲存的能量W連接，則金屬球 A上的電荷變?yōu)樵瓉淼腞的導(dǎo)體球B用細導(dǎo)線連接，則 A球儲i Q* 2- 5 .2 5 io 5J,當(dāng)它與同樣的金屬球

9、 B2 C2i/2,則能量 W i(Q/2)i.25 io 5J2 C6 .三個完全相同的金屬球A、B、C ,其中A球帶電量為 Q,而B、C球均精選不帶電，先使 A球同B球接觸，分開后 A球再和C球接觸，最后三個球分別孤 立地放置，則A、B兩球所儲存的電場能量 WeA、WeB ,與A球原先所儲存的電場能量We0比較，WeA是W的 倍，WeB是We0的倍。解:初始A球的電場能量We01 Q1 2-,先使A球同B球接觸，則2 C分開后,-11 一Qa Qb q ,2A球再和C球接觸，則WeB一 _ 21 (Q/2)2QaQc1Q 4WeA21 (Q/4)22 C1 We0167. 一空氣平行板電容

10、器，其電容值為00,充電后將電源斷開，其儲存的電場能量為 W0,今在兩極板間充滿相對介電常數(shù)為£ r的各向同性均勻電介質(zhì)， 則此時電容值0=,儲存的電場能量We =Q 解：初始時電容00 ,充電后將電源斷開,U0Qo不變，由當(dāng)兩極板間充滿電介質(zhì)時，兩極板電勢差UEd d0 rQ°d Uo vrs二，Q Q0 c U8.一rC0W平行板電容器,1 Qo_ 21重也2 rC r極板面積為S,間距為d,接在電源上并保持電壓恒定為U。若將極板距離拉開一倍， 那么電容器中靜電能的增量為場做功為,外力對極板做功為1 cS C 1u2,將極板距離拉開2 d倍，電容值變?yōu)閏 -0s2d11

11、00,極板間電壓不變,此時電容器的靜電能We21 QU021 We0210S 2-0-U電容器中靜電能的增量WeWeWeoCU01 _1 _O0U 0Q0 ,22電源對電場做功W U1 U(aQ0 Q0)d1 0S4 d1R22 dU2所以外力做的功由能量守恒，電源和外力做功的和等于電容器中靜電能的改變，W M W U 12 喑精選9.平板電容器兩板間的空間（體積為V）被相對介電常數(shù)為 er的絕緣體充填，極板上電荷的面密度為，則將絕緣體從電容器中取出過程中外力所做的功為。（摩擦不計）解：當(dāng)平板電容器充滿相對介電常數(shù)為r電介質(zhì)時，場強E1抽出后場強e2此時具有的靜電能wedVrE，dV當(dāng)電介質(zhì)取

12、出后靜電能We2wedV_ 2 0E2dVV0 r2-V0由能量守恒，在此過程中若不計摩擦,外力做功的等于靜電能的增量22V1V （1）0 r 2 0 r三計算題1 .如圖所示，一內(nèi)半徑為 a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電量 Q,在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點電荷q,設(shè)無限遠處為電勢零點，試求：（1）球殼內(nèi)外表面上的電荷；（2）球心處由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢；（3）球心處的總電勢。計算題1圖解：（1）由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感應(yīng)電 荷q,外表面上帶電荷 q+Q。（2）不論球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷是如何分布的， 為任一電荷元離 O點的距離都是 a,所以由這些電荷在 點產(chǎn)生的電勢為V q

13、dqq4 兀e0a4 兀e0a（3）球心O點處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和電荷q在O點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和V0VqV qVq q4 冗e0r 4 冗e0a 4 冗e0bq ,111、 Q()4 冗£0 r a b 4 冗£0b2 . 一導(dǎo)體球半徑為 Ri,其外部是一個同心的厚導(dǎo)體球殼，球殼內(nèi)、外半徑 分別為R2和R3。此系統(tǒng)帶電后內(nèi)球電勢為 U,外球殼所帶總電量為 Q。求此系精選統(tǒng)各處的電勢和電場分布。解：設(shè)內(nèi)球帶電qi,則U由此得q1r Ri ：UR1r R2 ： UR2 r R3:Ur R3 ：U1 （Q qi qi 當(dāng) 41 R3瓦 R?4 0R1R2R3U

14、RR2QR2R3 R1R3 R1R2U , E 01 Q q q1 q1（ 一）4 0R3R2r1 Q Qi_Q_q1 ,e 040 R3Q q1 E Q q1 E940r4 0rq14 °r23 .在一半徑為 R1=6.0cm的金屬球A外面套有一個同心的金屬球殼Bo已知球殼B的內(nèi)、外半徑分別為 R2=8.0cm , R3=10.0cm。設(shè)A球帶有總電量 Qa=3X 10-8C,球殼B帶有總電量 Qb=2X10-8C。求：（1）球殼B內(nèi)、外表面上所帶的 電量以及球A和球殼B的電勢；（2）將球殼B接地然后斷開，再把金屬球A接A和球殼B的電勢。地。求金屬球 A和球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電

15、量以及球解：（1） Qb內(nèi)Qa3 10 8CQb外 Qa Qb 5 10 8c5.63 103V.1 QaQaQa QbU aA 4 0R1R2R3UBAQB 4.5 103V4 0R3（2） B球接地后斷開，則 B球的帶電量為Qb 3 10 8C ,然后內(nèi)球接地，則內(nèi)球電勢U A 0,設(shè)此時內(nèi)球帶電量為qA則有解得:UaqaQa40R1Qb R3Qb內(nèi)Qa2.12UbQaQb Qa 040R24 0R32.12 10 8C10 C ；qB外 QB qAQb Qa 7.92 102V40R3精選0.88 10 8C4.電荷以相同的面密度分布在半徑為ri=10cm和r2=20cm的兩個同心球面上

16、，設(shè)無限遠處電勢為零，球心處的電勢為 V0=300V。（1）求電荷面密度（2）若要使球心處的電勢也為零，外球面上應(yīng)放掉多少電荷？解：（1）球心處的電勢為兩個同心帶電球面各自在球心處產(chǎn)生的電勢的疊加，(2)V04也當(dāng)4 兀 &0 r1rrV。0121(4兀 r：4兀 e 0r124兀r28.85X 10 9 C/m2)一(r1£01設(shè)外球面上放電后電何面留度為，則應(yīng)有V0 （ r1£0上)0即 紅，所以外球面上應(yīng)變成帶負電，共應(yīng)放掉電荷:22 r19q 4兀 r2 () 4兀 r2 (1) 4兀 r2(r1r2) 4兀 e 0V0r2 6.67X10 Cr25.有兩塊

17、平行板，面積各為100 cm2板上帶有8.9X 10 7c等值異號電荷,兩板間充以介電物質(zhì)，已知介質(zhì)內(nèi)部場強為電常數(shù)；（2）介質(zhì)表面上的極化面電荷Q'。1.4X106Vm1,求：（1）介質(zhì)的相對介解：（1）由電介質(zhì)中的高斯定理得 DQ5-2=-8.9 10 5C/m2SD0E7.2（2） Q S S P S 0（ r 1）E 7.7 10 9C6.半徑為R的導(dǎo)體球，帶有正電荷 Q,球外有一同心均勻電介質(zhì)球殼，球 殼的內(nèi)外半徑分別為 a和b,相對介電常數(shù)為£ r。求：（1）介質(zhì)內(nèi)外的D和E; （2）介質(zhì)內(nèi)的極化強度矢量P和介質(zhì)表面的極化電荷面密度。解：（1）由電介質(zhì)中的高斯定理

18、得：r R, D 0Qr R,D 24 ur又由E 旦，得： r R, E 00 rQR r a, E 4 710r精選24兀0 J20rD和E的方向均沿徑向向外。(2)介質(zhì)內(nèi)的極化強度矢量的大小P 0 eE0(1)Een介質(zhì)下表面極化電荷面密度0(r 1)24 兀 0 ra介質(zhì)上表面的極化電荷面密度0( rQ1)24710 rb7.兩同心導(dǎo)體球殼中間充滿相對介電常數(shù)為 £ r的均勻 電介質(zhì)，其余為真空，內(nèi)球殼半徑為 Ri,帶電量為Qi；外 球殼半徑為 R2,帶電量為 Q2,如圖所示。求圖中距球心 O 分別為ri、2、r3的a、b、c三點的場強和電勢。解：分別取半徑為ri、r2、r3

19、的高斯球面，利用高斯定C計算題7圖理得：Ea=0Eb 塵方，沿徑向方向向外4 兀 0 rr2EcQl q2 ,沿徑向方向向外4兀 0r2riRiRi, Uar2R2，R2, UcEdrrir200Qi i i Qi Q2ri EbdrR2Ecdr EGR2) ；r28Qii iQi Q2Ub EdrEbdrEcdr3()-2r2r2R24 兀 0 r r2 R24 兀 0R2coEcdrr3r3 4兀 0r24兀 0r38 . 一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S,板間距離 為d,在兩極板間平行地插入一面積也是S,厚度為t的金屬片，試求：(i)電容C等于多少？ (2)金屬片在兩極板間放 置的位

20、置對電容值有無影響？解：設(shè)極板上分別帶電量+q和q；金屬片與A板距離精選為di,與B板距離為d2；金屬片與A板間場強為Ei =q / ( £ o S )金屬板與B板間場強為E2 =q / ( £ o S )金屬片內(nèi)部場強為E 0則兩極板間的電勢差為Ua UB=Eidi+E2d2=( q / e oS)(di+d2)= (q / e oS) (d t)由此得C=q /(Ua Ub) = £ oS /(d t)因C值僅與d、t有關(guān)，與di、d2無關(guān)，故金屬片的安放僅置對電容值無影響。9 .為了測量電介質(zhì)材料的相對電容率，將一塊厚為i.5cm的平板材料慢慢地插進一電容器

21、的距離為 2.Ocm的兩平行板之間。在插入過程中，電容器的電荷 保持不變。插入之后，兩板間的電勢差減小為原來的6O%問電介質(zhì)的相對電容率為多少？解：加入電介質(zhì)后，電容器極板上的電荷保持不變，則空氣中的場強保持不變，空氣中的場強E ,，而電介質(zhì)中的場強 E 旦，兩極板間的電勢差 dr d r為U E(d d ) Ed 由此得Ud(U U )d Ud2.iiO.假想從無限遠處陸續(xù)移來微量電荷使一半徑為R的導(dǎo)體球帶電。(i)當(dāng)球上已帶有電荷q時，再將一個電荷元 dq從無限遠處移到球上的過程中，外力作多少功？ ( 2)使球上電荷從零開始增加到Q的過程中，外力共作多少功?解：(i)令無限遠處電勢為零，則

22、帶電量為 q的導(dǎo)體球，其電勢為q4 兀soR將dq從無限遠處搬到球上過程中外力作的功等于該電荷遠在球上所具有電勢能dW dWe -q-dq4兀 e OR(2)帶電球體的電荷從零增加到 Q的過程，外力作功為2dWQ qdq Qo 4兀 eOR 8兀 e ORii.半徑為2.O厘米的導(dǎo)體球外套有一個與它同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)外半徑分別為4.O厘米和5.O厘米，球與殼間是真空，殼外也是真空。當(dāng)內(nèi)球帶電荷為3.OX iO 8庫侖時，試求：(i)這個系統(tǒng)的靜電能；(2)如果用導(dǎo)線把殼與球精選連在一起，結(jié)果如何?解：(1)設(shè)內(nèi)球帶電量為Q,由高斯定理，球殼內(nèi)外空間場強均為球半徑為ri，導(dǎo)體球殼內(nèi)外半徑分別

23、E4 710r外球殼的電勢V2Q 2dr Q 5.4 103Vr3 4 710r4 兀eor3內(nèi)球的電勢 V1r2Q-dr%dr(1r14 710rr3 4 710r 4兀河。-1)2%1.215 104V11系統(tǒng)的靜電能We Q2V2 -Q1V1221Q2 = 0Q1 = Q - We Q1V12(2)用導(dǎo)線把殼與球連接在一起，此時Q1 = 0等勢體V1 V2 Q 4 710r3115.WeQ2V2QV2 8.1X10 J41.8X10 JQ2= Q ,球殼以內(nèi)為12. 一平行板電容器的極板面積為S=1m2,兩極板夾著一塊 d=5mm厚同樣面積的玻璃板，已知玻璃的相對介電常數(shù)為£

24、r=5,電容器充電到電壓 U=12V以后切斷電源，求把玻璃板從電容器中抽出來外力需做多少功。解：玻璃板抽了前后電容器能量的變化即外力作的功，抽出玻璃板前后的電容值分別為C =( £ 0£ rS )/d, C = ( 8 0S )/d撤電源后再抽玻璃板，板上電荷不變，但電壓改變，即 Q=CU=C U由此得 U =(CU)/C= e r U抽玻璃板前后電容器的能量分別為1 212WeCU ( 0 rS/d)U2 21 212 -2WCU2(0：S/d)U22 2外力作功W We We 1( 0 rSU2/d)( r 1) 2.5x10 6J213. 一電容器由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為 a,外筒半徑為b,長都是L,中間充滿相對介電常數(shù)為£的各向同性場勻介質(zhì)，內(nèi)外筒分別帶有電荷Q,精選設(shè)L>>b,即可忽各邊緣效應(yīng)。求：（1）圓柱形電容器的電容；（2）