01線性空間與子空間

1、第一講線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)知識預(yù)備集合：籠統(tǒng)的說是指一些事物（或者對象）組成 的整體集合的表示：枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算：并（u）,交（n）另外，集合的“和”（+）:并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)?它限定了集合中元素須有可加性。數(shù)域：一種數(shù)集，對四則運(yùn)算 封閉（除數(shù)不為零）。比如有理 數(shù)域、實(shí)數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用 的兩個(gè)數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一， 也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的 重要基礎(chǔ)。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個(gè)抽象。1.線性空間的定義：設(shè)V是一個(gè)非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一個(gè)數(shù)域，其元素用k,l,m等表示。如

2、果V滿足如下8條性質(zhì)，分兩類（I）在V中定義一個(gè)“加法”運(yùn)算，即當(dāng)x,ywV時(shí)，有唯一的和x+yWV （封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（1）結(jié)合律x + （y+Z = x+）y +; z（2）交換律x+ y = y + x（3）零元律存在零元素o,使x + o=x；(4)負(fù)元律對于任一元素 xw V ,存在一元素 yw V ,使x+y=o,且稱y為x的負(fù)元素，記為(-x)。貝U有x + (-x)= o。(II )在V中定義一個(gè)“數(shù)乘”運(yùn)算，即當(dāng)xwV, kwK時(shí)，有唯 一的kxw V (封閉性)，且數(shù)乘運(yùn)算滿足下列性質(zhì)(5)數(shù)因子分配律k(x + y)= kx+ky ;(6)分配律(k十l)

3、x = kx+lx ;(7)結(jié)合律k(lx)=(kl)x;(8)恒等律1x=x;數(shù)域中一定有1則稱V為數(shù)域K上的線性空間。注意：1)線性空間不能離開某一數(shù)域來定義，因?yàn)橥粋€(gè)集合， 如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。(2)兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)數(shù)域K中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算，而V中所定義的加法運(yùn) 算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。(3)除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉 性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集 合小、運(yùn)算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，V就稱為實(shí)線性空間；K為復(fù)數(shù)域，V就 稱為復(fù)線性空間。例1.設(shè)r+=全體正實(shí)數(shù),其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為

4、x !y=xykk ox = x證明：R是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。證明首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性唯一性和封閉性唯一性顯然若x>0,y>0, k亡R ,則有xay=xyw R*kox = xkwR+ 封閉性得證。八條性質(zhì)(1) xh (ytuz) =x(yz)=(xy)z=(xny)Ez(2) x3y=xy=yx= y x(3) 1 是零元素xa1= x 1=xx臼 o=x>xo=x >o=11 一，, 一一 11(4) 一是 x 的負(fù)兀素xei = x ' = 1 x+y=o xxxk(5) ko (xsy) = (xy ) = x y =kox田koy

5、 數(shù)因子分配律(6) (k + l )ox = xk41 = 乂卜乂1 = (kox)國(lox)分酉已律k(7) k o( 1 o x= ( x = 乂 ?)ko x結(jié)合律(8) 1ox= x= x恒等律由此可證，R +是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。2. 定理：線性空間具有如下性質(zhì)(1)零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。(2)如下恒等式成立：0x = o, (T)x=(-x)。證明(1)采用反證法：零元素是唯一的。設(shè)存在兩個(gè)零元素Oi和6,則由于5和。2均為零元素，按零元律有交換律a +。2 =。1=。2 + °1 =。2所以即。1和。2相同，與假設(shè)相矛盾，故只有一個(gè)零元素。任

6、一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè) vx- V ,存在兩個(gè)負(fù) 元素y和z,則根據(jù)負(fù)元律有x y =。=x zy = y o = y x z = y x z = oz = z零元律結(jié)合律零元律即y和z相同，故負(fù)元素唯一。(2) ：設(shè) w=0x,貝U x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故 w=。恒等律：設(shè) w=( 1)x,則 x+w=1x+( 1)x=1+( 1)x=0x=。, 故 w= x。3. 線性相關(guān)性線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。?線性組合：- x1 , xL xmV,1cLec mc KmC1x1 c2x2 L Cmxm - cixii=1稱為元素組x1,x2

7、L xm的一個(gè)線性組合。?線性表示：V中某個(gè)元素x可表示為其中某個(gè)元素組的線性組 合，則稱x可由該元素組線性表示。?線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù) g,C2L CmW K ,使得 對于元素x1 ,x2 L xm w V有m “ cixi = 0 i=1則稱元素組xi,x2L xm線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概 念是個(gè)非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維 數(shù)、基和坐標(biāo)。4. 線性空間的維數(shù)定義：線性空間V中最大線性無關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為V的維數(shù)，記為dimV。本課程只考慮有限維情況，對于無限維情況不涉及。例2.全體mx n階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間（對于

8、矩陣加 法和數(shù)對矩陣的數(shù)乘運(yùn)算），求其維數(shù)。解一個(gè)直接的方法就是找一個(gè)最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡 單。令Ej為這樣的一個(gè)mxn階矩陣，其（i, j）元素為1,其余元 素為零。顯然，這樣的矩陣共有 mn個(gè)，構(gòu)成一個(gè)具有mn個(gè)元素的線性無關(guān)元素組e11,e12,lEm；E2i,E22,LE2n；L；Emi,Em2,LEmn。另一,都可由以上方面，還需說明元素個(gè)數(shù)最大。對于任意的 A=(aj) m n元素組線性表示，A 八 aijEij > q ajEj A = 0 i，ji,j即Eij|i=1: m,j=1: n)構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間 的維數(shù)為mn。線性空間的基與坐標(biāo)1.

9、 基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，Xi,X2L xr(r >1)是屬于V的r個(gè)任意元素，如果它滿足(1) X1 , X2 L Xr線性無關(guān)；(2) V中任一向量x均可由X1,X2L Xr線性表示。則稱X1K2L Xr為V的一個(gè)基，并稱X1 , X2 L Xr為該基的基元素。?基正是V中最大線性無關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素 的個(gè)數(shù)。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個(gè)數(shù)相等。例3考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合 Co如果K=C (復(fù)數(shù)域)，則該集 合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，具基可取為1,空間維數(shù)為1；如果取K = R (實(shí)數(shù)域)，則該集合對復(fù)數(shù)加法 及實(shí)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)

10、成線性空間，具基可取為 1,i,空間維 數(shù)為2。數(shù)域K兩種運(yùn)算基Ed空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C(1)復(fù)數(shù)加法；(2)復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1c = c 1復(fù)線性空間1實(shí)數(shù)域R(1)復(fù)數(shù)加法；(2)實(shí)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1,ic = a 1 + b i實(shí)線性 空間22. 坐標(biāo)的定義：稱線性空間Vn的一個(gè)基X1K2L Xn為Vn的一個(gè)坐標(biāo)系，VxWVn,它在該基下的線性表示為： n“ iXii K,Xi V,i =1,2,L ni 1則稱12 L、為x在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)或分量，記為 (%L討論：(1) 一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。 但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了

11、起來，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。(2)更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。1 x+y=(，x + 2*L+n*n) +(i"x +小2十 +x )=(11 )Xi ( 22)X2 L ( n n)Xn正對應(yīng)_ xL 'X y 11， 22， n nnXn = k 1 Xi k 2 X2 L k n Xn：X = (WL Jn)：y = ()2,L ,”n)2 kX = k 1x12x2 L> k i,k 2,L ,k n正對應(yīng) X = ( 1, 2,L , n), kX

12、= k1 , k,L ,，nk(3)顯然，同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時(shí)坐標(biāo)變換的規(guī)律。設(shè)X1K2L Xn是Vn的舊基，y1,y2L yn是Vn的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示nyj 八 cijxi(i = 1,2,L n)C12LC22LM OCn2L1X1,X2L Xn 1Ci 1c11§1,y2L yn =X1K2L Xn C：M_Cn1其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。i1£ 2Mn設(shè)xw Vn ,它在舊基下的線性表示為n'

13、; iXi IX1,X2,L Xn i=1它在新基下的線性表示為X iYi =Y1,Y2,L Yn1 i 1lYi,y2,L Yn 11匕2I M卜-n -由于基元素的線性無關(guān)性，得到坐標(biāo)變換關(guān)系一5 12 M-,-L1士2I MV 一2MEn=C1i七2I MJn 一補(bǔ)充：證明對于線性空間的零元素o, k K ,均有 ko= o。線性子空間、線性子空間的定義及其性質(zhì)1 .定義：設(shè)Vi是數(shù)域K上的線性空間V的一個(gè)非空子集合，且對V已有的線性運(yùn)算滿足以下條件(1)如果 x、ywVi,則 x+ ywVi；(2)如果 xwV1, kwK,則 kxwV1,則稱Vi是V的一個(gè)線性子空間或子空間。2 .性

14、質(zhì)：(1)線性子空間Vi與線性空間V享有共同的零元素；(2) Vi中元素的負(fù)元素仍在 Vi中。證明(1) 0x = 0Qx Vi V二V中的零元素也在Vi中，Vi與V享有共同的零元素。(2) x Vi(i) x=( x)w Vi封閉性二Vi中元素的負(fù)元素仍在Vi中3 .分類：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：0和V本身非平凡子空間：除以上兩類子空間4 .生成子空間：設(shè)也、乂2、一、xm為V中的元素，它們的所有線性 組合的集合m1k k因 | % 匚 K, i = i,2L ml J也是V的線性子空間，稱為由xi、乂2、xm生(張)成的子空間，記為L(xx2、xm)或者Span(x

15、i、x2、 xm) °若xi、x2、xm線性無關(guān)，則10dimL(x1、x2、xm)=m5 .基擴(kuò)定理：設(shè)Vi是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個(gè)m維子空間， x1、x2、 、乂由是丫1的一個(gè)基，則這m個(gè)基向量必可 擴(kuò)充為Vn的一個(gè)基；換言之，在 Vn中必可找到n-m 個(gè)元素xm+i、xm+2、xn,使得xi、乂2、一、xn成為 Vn的一個(gè)基。這n-m個(gè)元素必不在V1中。二、子空間的交與和1.定義：設(shè)Vi、V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則V1 V2 = x|x V1K V2V1V2 = x y|x V1,y V2)分別稱為Vi和V2的交與和。2.定理：若Vi和V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，

16、則V1c V2, Vi + V2均為V的子空間證明(1) Vx,y- Vi I V2x y V1 x y V x y V11V2-x Vi I V2 k Kkx V1 kx V kx V11V2二Vi I V2是V的一個(gè)線性子空間。(2) xi,x2 Vi yi , y2M(xiyi)V1V2(x2 y2)ViV2(xix2)V1(yi y2)V211(Xi yi)(X2 y2)= (Xi X2) (yi y2)V1 V2- k Kkx1Vl ky 1V2k(x 1 y1) = kx1 ky1 V1V2 V1 +V2是V的子空間。4.維數(shù)公式：若V1、V2是線性空間V的子空間，則有dim(V1

17、+V 2)+ dim(V1 V2)= dimV1+ dimV2證明設(shè) dimV1=n1, dimV2=n2, dim(V1c V2)=m需要證明 dim(V1+V2)= n n2 m設(shè)XX2、Xm是V1 c V2的一個(gè)基，根據(jù)基擴(kuò)定理存在 1) yv y2、.、yn1 m 三 V1,使 XX2、一、Xm、y丫2、.、yn1-m成為V1的一個(gè)基；2) Z1、Z2、Zn2 mV2,使 X1、X2、Xm、ZZ2、 、Zn2 m成為V2的一個(gè)基；考察 X1、X2、Xm、yv y2、yn1 m、Z1、Z2、一、Zn2 m, 若能證明它為V1+V2的一個(gè)基，則有dim(V1+V2)= m + n2m。成為

18、基的兩個(gè)條件：1) 它可以線性表示V1+V2中的任意元素2) 線性無關(guān)顯然條件1)是滿足的，現(xiàn)在證明條件2),采用反證法。假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)k1、k2、一、km、P1、P2、.、Pn1 m、5、q2、.、Qn2 m 使"kiXi " Piyi " qiZi = 012令 z = £ qz w V2,則k 卜兇+£ PiYi = zw V2但v Vi I V2根據(jù)基擴(kuò)定理Zkixi wVic V2YiVi IV2,xi、X2、一、Xm、yi、y2、Yn1-m成為Vi的一個(gè)基Pi =0同理：qi 0 兄=0這與假設(shè)矛盾，

19、所以上述元素線性無關(guān)，可作為Vi+V2的一個(gè)基。dim(Vi+V2) = ni + n2 m三、子空間的直和i.定義：設(shè)Vi、V2是線性空間V的子空間，若其和空間Vi+V2中的 任一元素只能口i一的表示為Vi的一個(gè)元素與V2的一個(gè)元素 之和，即VxWVi+V2,存在唯一的yWVi、zw V2 ,使 x = y + z,則稱Vi+V2為Vi與V2的直和，記為V#V2子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是Vi + V2 = x + y |xw V1,y亡 V2,反映的是兩個(gè)子空間的關(guān)系特殊。2.定理：如下四種表述等價(jià)(1) Vi+V2成為直和ViaV2(2) Vi V2 = 0)(3) dim(Vi+V2)=dimVi+ dimV2(4) x x2、,、為VI的基，y1、y2、丫1為丫2的基，13則 x1、x2、 、5、y1、y2、.一、比為丫1十丫2 的基證明(2)和(3)的等價(jià)性顯然采用循環(huán)證法：(1) T (2) T (4) T (1)(1) T (2):已知 V1 + V2 = V16V2彳段定x# 0且xw V1c v2 ,則0 = 0 0 = x (-x