運用雙向表求解古典概型問題研究

1、發(fā)表于上海中學數(shù)學2011年第1期運用“雙向表”求解古典概型問題研究314300 浙江海鹽元濟高級中學 盧明 1問題的提出列舉法是解高中數(shù)學古典概型問題的常用方法按照參變量的個數(shù)分類，列舉法可以分為一維列舉、二維列舉乃至多維列舉例如，“同時擲2顆骰子，求向上的數(shù)字之積大于6的概率”就是一個“二維列舉”的問題此類問題，通常采用“實數(shù)對”的方法來列舉、求解然而，隨著基本事件個數(shù)的增加，“實數(shù)對”法列舉時非常容易遺漏情況，從而導致出錯橫標目縱標目兩個變量滿足的某種關系（表1）“雙向表”是教育統(tǒng)計學中研究雙變量問題的一種常用工具表格的橫標目表示一個變量的情況，縱標目表示另一個變量的情況，表格的中間部分

2、表示兩個變量所滿足的某種關系（見表1）筆者借助這一工具，嘗試求解“二維列舉”型古典概率問題，起到了事半功倍的效果 2“雙向表”的基本應用例1 將一個骰子先后擲2次，向上的數(shù)字之和等于6的概率是多少？分析：這是一個“二維列舉”問題，滿足條件的基本事件可以用“實數(shù)對”來列舉：，共5種本題中的基本事件總數(shù)為種，于是，所求的概率等于123456123456723456783456789456789105678910116789101112下面介紹怎樣用“雙向表”來求解解：記第一次擲的點數(shù)為，第二次擲的點數(shù)為，則的取值情況見“雙向表”（表2）因為擲骰子時，骰子的每個面向上的可能性都是相等的，即為等可能事

3、件又兩次擲骰子是互相獨立的，所以，所取到的每一個值也是等可能的故兩次擲得的向上的數(shù)字之和等于6的概率為：（表2） 點評：以上解法，所有的基本事件都已經在“雙向表”中列出，由于取到表內的各數(shù)值是等可能的，所以，計算基本事件個數(shù)只要數(shù)一下表內相應數(shù)字的個數(shù)就可以了如果將題目改成“將一個骰子先后擲2次，求向上的數(shù)字之和大于6的概率”，那么，用“雙向表”法明顯比用“實數(shù)對”法要簡捷得多，且列舉時可以避免遺漏現(xiàn)象例2（09·浙江理樣卷19）甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片中任取一張用、分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字（1）求概率；（2）記，求的

4、分布列與數(shù)學期望123452××4××××解：（1）記“”為事件，則的發(fā)生情況見“雙向表”（表3）因為甲、乙抽卡片抽到的結果是等可能事件，所以表內的10個結果出現(xiàn)的情況也是等可能的記“”表示滿足，“×”表示不滿足（表3）于是 （2）由題意，則，見（表4），的分布列為：12345222345444445， ，（表4）， 點評：“雙向表”中橫向、縱向兩個變量的取值個數(shù)可以是不同的；“雙向表”中所填的數(shù)據(jù)也不一定是兩個變量的運算結果，如兩個變量的“和”、“積”等，它們可以是兩個變量大小比較的結果例3（04·浙江理18）盒

5、子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為1251236234756710（1）求隨機變量的分布列；（2）求隨機變量的期望解：（1）記第一次抽到的標號為，第二次抽到的標號為，則的取值情況（表5）見“雙向表”（表5） 依題意得，取到1號球、2號球和5號球的概率分別是、和，所以，表5內的取值不是等可能的，故不能用“數(shù)個數(shù)”的方法來計算基本事件的個數(shù)但我們可以用排列組合的思想來計算基本事件的個數(shù)隨機變量的分布列為： ， ， ， （2）略點評：如

6、果“雙向表”中所列出的基本事件（數(shù)據(jù)）不是可能性的，則必須用排列組合的方法來求基本事件的個數(shù)在求的分布列時，諸如中的系數(shù)“”表示“雙向表”中基本事件“”出現(xiàn)的次數(shù)（下同） 錯解：由“雙向表”得，隨機變量的分布列為：，例4（06·安徽卷理19）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方案作比較在試制某種牙膏新品種時，需要兩種不同的添加劑現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用根據(jù)試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和求的各概率分析：記第一種添加劑的芳香度為，0123450

7、5;1234511×3456223×5673345×7844567×955（表6）6789×第二種添加劑的芳香度為，則的取值情況見“雙向表”（表6）因為表示所選用的兩種不同添加劑的芳香度之和，故“雙向表”中對角線上的數(shù)據(jù)不存在（具體解題過程略）點評：此例進一步說明了“雙向表”內的數(shù)據(jù)可以隨具體情況的變化而變化，進而說明了“雙向表”在解“二維列舉”型概率問題時適用的廣泛性 3“雙向表”的拓展應用例5 如圖，是一個從的“闖關”游戲規(guī)則規(guī)定：每過一關都要拋擲正四面體骰子，正四面體骰子是一個在各面上分別刻有1，2，3，4點數(shù)的均勻正四面體在過第關時，需

8、要拋擲次骰子，假如這次面朝下的點數(shù)之和大于，則算闖關成功記闖關成功的關數(shù)為，求的分布列和期望分析：首先，要正確理解“過第2關”與“過兩關（即）”的區(qū)別過“第2關”，只要看兩次擲骰子所得的點數(shù)之和是否大于4就行了；而“過兩關（即）”的意思是第1關要過、第2關也要過、第3關沒過，三個條件必須同時滿足其次，當時，可以用“雙向表”直接求解；但當時，參變量的個數(shù)增加到了3個，還能不能借助于“雙向表”來求解呢？回答是可以的解：記“擲次，所得的點數(shù)之和大于”為事件，則過第關的概率為 1°當時， 2°當時，記兩次擲得的點數(shù)分別為、，123412345234563456745678當時過第2

9、關，的取值見“雙向表”（表7） （表7） 3°當時，記三次擲得的點數(shù)分別為、，考察的情況，借助于“雙向表”（表7）： 當時，有1種； 當時，有3種；當時，有6種；當時，有10種于是 又，則的分布列為：，（略）點評：當時，若用實數(shù)對的形式來列舉，由于基本事件的情況比較多，非常容易遺漏但借助“雙向表”，并結合分類討論，就方便得多了本題為我們提供了一個“三維列舉”問題如何借助“雙向表”求解的范例123423456345674567856789678910789101189101112錯解：當時，記三次擲得的點數(shù)分別為、，的取值見“雙向表”（表8） 則（表8）點評：以上解法出錯的原因是因為“表8”中的各數(shù)字出現(xiàn)的情況不是等可能事件這是我們在運用“雙向表”解題時務必注意的地方變式 甲、乙兩隊進行罰點球比賽，每隊3人，每人罰一個球，罰進得1分，罰不進得0分假設甲隊每人進球的概率都是，乙隊的3名隊員進球的概率分別是、和，且各人進球與否相互不影響求甲、乙兩隊總分之和等于3的概率01230012311234223453（表9）3456分析：記甲隊得分為，乙隊得分為，的取值見“雙向表”（表9）注意到表9中取到“”有4中情況，它們不