連續(xù)馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移 概率及應用

1、隨機過程 課程設(shè)計（論文）題 目: 連續(xù)馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移 概率及應用 學 院： 理學院 專 業(yè)： 應用統(tǒng)計學 班 級： 13090501 學 生 姓 名： 張志達 學 生 學 號： 1309050131 2015年 12 月 29 日 摘要 選取 1978 2009 年四川農(nóng)村居民人均生活消費值的 32 個樣本，首先，通過 Markov 預測法預測未來生活消費水平的增長速度以 10% 20% 的概率較大; 然后，為提高預測精度，在傳統(tǒng) ARMA 模型中加入時間變量 t 進行建模并預測，預測結(jié)果表明平均相對誤差率 為 1 56% ，其中 2006 2009 年的相對誤差的絕對值均小于 0 5%

2、 ; 最后，將 Markov 預測和 ARMA 模型對 2010 2012 年的預測結(jié)果對比， 發(fā)現(xiàn)兩者在生活消費增長幅度上吻合，預測結(jié)果可靠。結(jié)果表明，在與目前相似的政策力度下，短期內(nèi)四川省農(nóng)村居民消費需求將持續(xù) 增長，需進一步擴大消費市場。關(guān)鍵詞農(nóng)村居民; 生活消費; Markov 預測 目錄一.連續(xù)馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移概率及其應用4二.連續(xù)時間馬爾可夫鏈基本理論52.1定義52.2轉(zhuǎn)移概率5三. 馬爾可夫過程研究的問題的分析7數(shù)據(jù)來源與研究方法72.計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣93.結(jié)果與分析10四 結(jié)論和展望11五.參考文獻12六 計算結(jié)果及程序12一.連續(xù)馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移概率及其應用1951

3、年前后，伊藤清建立的隨機微分方程的理論，為馬爾可夫過程的研究開辟了新的道路。1954年前后， W.費勒將半群方法引入馬爾可夫過程的研究。流形上的馬爾可夫過程、馬爾可夫向量場等都是正待深入研究的領(lǐng)域。 類重要的隨機過程,它的原始模型馬爾可夫鏈,由俄國數(shù)學家.馬爾可夫于1907年提出。人們在實際中常遇到具有下述特性的隨機過程：在已知它目前的狀態(tài)(現(xiàn)在)的條件下，它未來的演變（將來）不依賴于它以往的演變（過去）。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機過程叫做馬爾可夫過程。荷花池中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過程的一個形象化的例子。青蛙依照它瞬間或起的念頭

4、從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的,當現(xiàn)在所處的位置已知時,它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關(guān)。如果將荷葉編號并用分別表示青蛙最初處的荷葉號碼及第一次、第二次、跳躍后所處的荷葉號碼，那么 就是馬爾可夫過程。液體中微粒所作的布朗運動，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在電子層中的跳躍，人口增長過程等等都可視為馬爾可夫過程。還有些過程（例如某些遺傳過程）在一定條件下可以用馬爾可夫過程來近似。 關(guān)于馬爾可夫過程的理論研究，1931年.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了概率論的解析方法，首先將微分方程等分析方法用于這類過程，奠定了它的理論基礎(chǔ)。1951年前后，伊藤清在P.萊維和C.H.伯恩斯坦

5、等人工作的基礎(chǔ)上，建立了隨機微分方程的理論，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒將泛函分析中的半群方法引入馬爾可夫過程的研究中，.登金（又譯鄧肯）等并賦予它概率意義（如特征算子等）。50年代初，角谷靜夫和J.L.杜布等發(fā)現(xiàn)了布朗運動與偏微分方程論中狄利克雷問題的關(guān)系，后來G.A.亨特研究了相當一般的馬爾可夫過程（亨特過程）與 位勢的關(guān)系。目前，流形上的馬爾可夫過程、馬爾可夫場等都是正待深入研究的領(lǐng)域。二.連續(xù)時間馬爾可夫鏈基本理論2.1定義設(shè)隨機過程，狀態(tài)空間,若對任意及非負整數(shù)及非負整數(shù)有，則稱為連續(xù)時間馬爾可夫鏈。2.2轉(zhuǎn)移概率在s時刻處于狀態(tài)i，經(jīng)過時間t后轉(zhuǎn)移到狀

6、態(tài)j的概率定義.2 齊次轉(zhuǎn)移概率 (與起始時刻s無關(guān)，只與時間間隔t有關(guān))轉(zhuǎn)移概率矩陣命題：若i為過程在狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前停留在狀態(tài)i的時間，則對s, t0有 (1) (2) i 服從指數(shù)分布定理1 齊次馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率具有： (1) ; (2) (3) 正則性條件 定義3(1)初始概率: (2)絕對概率: (3)初始分布: (4)絕對分布: 定理2 齊次馬爾可夫過程的絕對概率及有 限維概率分布具有下列性質(zhì)：(1) (2) (3) (4) (5) 三. 馬爾可夫過程研究的問題的分析 農(nóng)村居民的生活消費是消費需求的重要組成之一，頗受學者關(guān)注。已有研究內(nèi)容主要集中于農(nóng)村居民生活消費的 區(qū)域差異、消

7、費行為、消費結(jié)構(gòu)、消費的影響因素等幾方面。 在研究方法上，主要采用了回歸分析法、擴展性指出系統(tǒng)模 型、最小二乘回歸法、因子分析法、習慣性偏好的生命周期模 型等進行分析1 8; 從已有研究來看，大都立足于短期的消費數(shù)據(jù)，在研究方法偏向于回歸分析研究，以提高農(nóng)村的消費水平、促進經(jīng)濟發(fā)展為目的。實際上，正確預測農(nóng)村的居民消費趨勢及需求，及時建立合理的消費結(jié)構(gòu)，也有利于提高消費水平。四川省是一個農(nóng)業(yè)大省，農(nóng)村居民相對較多，對農(nóng)村居民生活消費進行較精確的預測，有利于充分調(diào)動農(nóng)村消費對經(jīng)濟的拉動作用。然而對消費水平預測時，一次性預測出具體的結(jié)果難免會受到社會、經(jīng)濟、政策等因素的影響而產(chǎn)生較大的偏差。若能同

8、時預測出各種結(jié)果的概率，將概率與具體結(jié)果對比分析，可進一步提高預測可信性，有利于對未來消費水平的把握。鑒于此，筆者采用預測事件發(fā)生概率的 Markov 預測，避免了預測中因平穩(wěn)性差或數(shù)據(jù)欠缺等帶來的偏差，提高了預測的可靠性. 數(shù)據(jù)來源與研究方法1 1 數(shù)據(jù)來源 選取 1978 2009 年四川農(nóng)村居民人均生活 消費數(shù)據(jù)，包括食品，衣著，居住，家庭設(shè)備、用品及服務(wù)，醫(yī)療保健，交通通訊，文教娛樂用品及服務(wù)，其他商品和服務(wù)共8 類消費總數(shù)( 數(shù)據(jù)來源于 1979 2010 年統(tǒng)計年鑒) 。并根 據(jù)其逐年增長幅度( ri ) 確定狀態(tài)。具體可分為大幅度增長 ( E1 ，ri 20% ) 、中幅度增長(

9、 E2 ，10% ri 20% ) 、小幅度增 長( E3 ，0% ri 10% ) 和負增長( E4 ，ri 0% ) 。以 1978 年為基準年，歷年農(nóng)村居民人均生活消費增長狀態(tài) ri 見表 1。表 1四川農(nóng)村居民生活消費的狀態(tài)轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)年份序號ri %狀態(tài)年份序號ri %狀態(tài)1978119941739 67E11979218 12E219951817 35E21980312 24E219961927 21E11981415 40E21997206 71E31982513 13E21998210 02E31983610 99E2199922 1. 02E4198478 96E32000234

10、 45E3198589 70E32001240 54E31986912 55E22002256 27E319871012 03E22003269 78E319881122 44E120042715 10E219891211 05E220052813 09E21990137 51E32006295 31E31991148 49E320073014 71E21992153 09E320083113 86E219931613 69E220093232 40E11 2 研究方法1 2 1 Markov 預測。Markov 預測是一種預測事物發(fā)生概率的方法，根據(jù)事物目前狀況預測將來時期變動狀況的預測方法

11、。在事件發(fā)展過程中，Markov 過程表示每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，與過去的狀態(tài)無關(guān)，Markov 預測就是對事件在 Markov 過程中各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率進行預 測9。預測步驟如下: 確定狀態(tài)并得出狀態(tài) Ei 到狀態(tài) Ej的轉(zhuǎn)移概率 pij ; 結(jié)合某一事件發(fā)展過程中的 n 種可能狀 態(tài)，構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 Pn × n ; 根據(jù)初始狀態(tài) ( 0) ，求 出經(jīng)過 k 次狀態(tài)轉(zhuǎn)移以后，在第 k 個時期處于狀態(tài) Ej 的概 率，公式為:j( k) = i ( k 1) pij ，j= 1，2，n( 1)由公式( 1) 對該事件在第 k 個時期的各狀態(tài)概率進行預測。2.計

12、算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣假定某一個事件的發(fā)展過程有n個可能的狀態(tài)，即E1，E2， ，En。記為從狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，則矩陣 從表3.7.1中可以知道，在3個從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去）的狀態(tài)中，有0個是從E1轉(zhuǎn)移到E1，有2個是從E1轉(zhuǎn)移到E2，有1個是從E1轉(zhuǎn)移到E3，有0是從E1轉(zhuǎn)到E4所以： 3.結(jié)果與分析2 1 Markov 預測與分析 根據(jù)表 1 數(shù)據(jù)，分別計算出從 Ei 到 Ej 的轉(zhuǎn)移概率 pij ( i，j= 1，2，3，4) ，得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 如下:記 2009 年農(nóng)村居民生活消費狀態(tài)為 ( 0) = ( 1，0，0，0) ，利用公式( 1) ，計算得出 2010 2

13、012 年可能出現(xiàn)的各種 狀態(tài)的概率( 表 2) 。表 22010 2012 年生活消費增長狀態(tài)預測結(jié)果年份狀態(tài)概率2010E10E20 666 7E30 333 3E402011E10.1905E20 444 4E30 337 3E40 027 82012E10.127E20 461 6E30 383 3E40 028 1由表 2 可知，狀態(tài) E2 ( 中幅度增長) 的概率較其他狀態(tài) 大，表明在未來幾年農(nóng)村居民生活消費的增長速度為 10% 20% 的概率較大。運用模型對歷年農(nóng)村人均居民消費進行擬合和預測，部分結(jié)果見表 3。表 3 2013 2015 年四川省農(nóng)村居民生活消費預測結(jié)果年份預測值

14、元實際值元相對誤差%20092 572 812 572 000 0320102 934 842 949 210 4920113 355 573 362 000 1920123 887 853 891 000 0820134 425 7520145 019 63 20155 600 02由表 5 可知，2009 2012 年的實際值和預測值之間的相 對誤差小于 0 5% ，再次說明模型預測值和真實值比較接近。 通過預測結(jié)果，進而計算出 2013、2014、2015 年的農(nóng)村居民消 費的增長幅度分別為 13 74% 、13 42% 、11 56% ，即符合10% 20% 的中幅度增長。四 結(jié)論和展

15、望從上面的例子中可以看出利用連續(xù)馬爾可夫過程求解以及matlab使用的重要性，通過這個例子，我們可以更好的理解馬爾可夫過程，理解柯爾莫哥洛夫方程，同時知道怎樣求解一些實際問題，例如：排隊問題，機器維修問題、零件壽命、隨機游動等問題。馬爾可夫鏈近一二十年來在近似算法設(shè)計的重要應用，使它受到越來越廣泛的關(guān)注。以后將會更加的普及到現(xiàn)實社會當中，來幫助我們解決更多的實際問題。五.參考文獻應用隨機過程，錢敏平，龔光魯，北京大學出版社， 1998.隨機過程論， 錢敏平 高等教育出版社 2000應用隨機過程， 林元烈 清華大學出版社 2002隨機過程， 劉次華 華中科技大學出版社 2008Matlab在時間

16、序列分析中的應用 張善文 雷英杰 馮有前 西安電子科技大學出版社 2007六 計算結(jié)果及程序MATLAB代碼實現(xiàn)A=t=length(A); % 計算序列“A”的總狀態(tài)數(shù)B=unique(A); % 序列“A”的獨立狀態(tài)數(shù)順序，“E” tt=length(B); E=sort(B,'ascend');a=0;b=0;c=0;d=0;for j=1:1:ttLocalization=find(A=E(j); % 序列“A”中找到其獨立狀態(tài)“E”的位置for i=1:1:length(Localization)if Localization(i)+1>tbreak; % 范圍限定elseif A(Localization(i)+1)= E(1)a=a+1;elseif A(Localization(i)+1)= E(2)b=b+1;elseif A(Localization(i)+1)= E(3)c=c+1;% 依此類推，取決于獨立狀態(tài)“E”的個數(shù)endendT(j,1:tt)=a,b,c; % “T”為占位矩陣endTT=T;for u=2:1:ttTT(u,:)= T(u,:)- T(u-1,:);endTT; % 至此，得到轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣Y=sum(TT,2);for uu=1:1:ttTR(uu,:)= TT(uu,:).