高數(shù)習(xí)題(六版)下冊練習(xí)題

1、班級 姓名 學(xué)號 第七章 常微分方程7.3 齊次方程一、求下列齊次方程的通解：1. 2. 二、求微分方程滿足初始條件的特解。三、求通過點(diǎn)的曲線方程，使曲線上任意點(diǎn)處切線與原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值。7.4 一階線性微分方程一、求下列微分方程的通解。1. 2. 3. 4. 二、求下列貝努利方程的通解1. 2. 三、已知確定使曲線積分與路徑無關(guān)。四、用適當(dāng)?shù)刈兞看鷵Q求下列方程的通解。1. 2. 3. 7.5 可降階的高階微分方程一、求下列微分方程的通解：1. 2. 3. 4. 二、求下列微分方程滿足初始條件的特解。1. 2. 三、已知某曲線滿足方程，并與另一曲線相切于點(diǎn)，求此曲線的方程。四、

2、一動點(diǎn)的加速度與其速度立方成正比，而方向相反，求該動點(diǎn)在時間中所經(jīng)過的路程，設(shè)。7.6 高階線性微分方程一、填空1. 在其定義域內(nèi)線性 關(guān)；2. 在其定義域內(nèi)線性 ；3. 與在定義域內(nèi)，當(dāng) 時，線性相關(guān)，當(dāng) 時，線性無關(guān)；4. 已知是方程的兩個解，因?yàn)榕c線性 關(guān)，故其通解為 。二、已知是方程的解，求此方程的通解。 7.7 常系數(shù)齊次線性微分方程一、求下列方程的通解：1. 2. 3. 4. 5. 6. 二、求下列微分方程滿足初始條件的特解。1. 2. 三、已知二階常系數(shù)齊次微分方程的兩個特征根為0,1，求此微分方程，并且寫出方程的通解。四、設(shè)方程的一條積分曲線通過點(diǎn)，且在該點(diǎn)處和直線相切，求這曲

3、線的方程。7.8 常系數(shù)非齊次線性微分方程一、寫出下列非齊次方程的特解形式:1. 2. 3. 4. 5. 6. 一、 求方程的通解.二、 求方程滿足初始條件的特解。三、 潛水艇在水中下沉?xí)r，其所受阻力與下沉速度成正比，若潛水艇由靜止?fàn)顟B(tài)開始下沉，求運(yùn)動規(guī)律。四、 求具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，使,且。第七章 綜合復(fù)習(xí)題一、求以為通解的微分方程（為任意常數(shù)）。二、設(shè)是方程的三個特解( 為已知函數(shù))且常數(shù)，求證： (是任意常數(shù))是方程的解。三、設(shè)，且當(dāng)時，求函數(shù)。四、求微分方程的通解。1. 2. 3. 4. 5. 6. 五、求微分方程滿足初始條件的通解。第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何8.1向量及其線性

4、運(yùn)算（一）一、已知平行四邊形ABCD的邊BC和CD的中點(diǎn)為K和L，設(shè)，試用和表示和。二、已知ABC的兩頂點(diǎn)A（-4，-1，-2），B（3,5，-16），并知AC的中點(diǎn)在y軸上，BC的中點(diǎn)在xOz面上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。三、證明：三角形的3條中線構(gòu)成的矢量首尾連接正好構(gòu)成一個三角形。四、已知ABC兩邊的和，求證BC邊上的中線向量，其中D是BC邊的中點(diǎn)。五、已知點(diǎn)A（2，-3，-1），求它們分別關(guān)于下列平面、直線或點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）xOy面 （2）yOz面 （3） z軸 （4）原點(diǎn)六、過點(diǎn)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面，問在它們上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？七、試證明：以點(diǎn)A(4,3,

5、1)，B（7,1,2）和C（5,2,3）為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形。八、在z軸上求與A（-4,1,7）和點(diǎn)B（3,5，-2）等距離的點(diǎn)。九、已知兩力，作用于同一點(diǎn)，問要加上怎樣的力才能使它們平衡？十、 已知矢量和，求矢量。8.1 向量及其線性運(yùn)算（二）一、分別求出向量，的模，并分別用單位向量表示。二、試求向量，的單位向量的和。三、從點(diǎn)沿向量的方向取，求的坐標(biāo)。四、端點(diǎn)，的線段交面于且，求的值。五、設(shè)向量，軸的正向與三坐標(biāo)軸的正向構(gòu)成相等的銳角，試求：（1）向量在軸上的投影；（2）向量與軸的夾角。六、點(diǎn)的向徑與軸成60度角，與軸成45度角且向徑的模為8，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)值，求點(diǎn)M。8.2 數(shù)

6、量積 向量積 混合積一、已知，求。二、已知、為單位向量，且滿足，計算。三、求一向量，使?jié)M足：1. 與軸垂直 2. ， 3. ，四、已知且，求。五、求與共線且的。六、已知，且，求。七、求同時垂直于，的單位向量。八、試用向量法證明：如果，那么有：。習(xí)題課（一）一、 設(shè)平行四邊形兩鄰邊為，求這個平行四邊形的面積。二、 設(shè)和垂直，和垂直，求非零向量與的夾角。三、 已知與垂直，且，計算：1. 2. 四、 設(shè)，向量與共面，且，試求向量。五、 已知，求。六、 已知三角形的三個頂點(diǎn)是，和，求其重心坐標(biāo)。七、 已知向量，點(diǎn)在上1. 求證的面積；當(dāng)間夾角為何值時，的面積最大8.3 曲面及其方程一、 一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)

7、和等距離，求這一動點(diǎn)的軌跡方程。二、 已知兩點(diǎn)和，求到它們距離平方和為的點(diǎn)的軌跡。三、 將yOz坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。四、 指出下列方程在平面、空間解析幾何中分別表示什么圖形。（1） （2） （3）五、 填空1. 寫出下列曲面的方程橢球面 橢圓拋物面 旋轉(zhuǎn)拋物面 雙曲拋物面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 2. 說明下列方程所表示的曲面 六、 畫出下列二次曲面的圖形（1）（2）（3）（4）8.4空間曲線及其方程一、直線(式中)在yoz面上的投影是什么？二、求曲線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程。三、將下列曲線的一般式方程化為參數(shù)方程。1 2. 四、通過空間曲線作一

8、柱面，使其母線平行于z軸。五、畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形。（1）（2）（位于第一卦限內(nèi)部分）（3）（位于第一卦限內(nèi)部分）（4）8.5平面及其方程一、求平面的方程，如果已知1. 由原點(diǎn)引該平面的垂線，其垂足為點(diǎn)；2.平面過點(diǎn)，且垂直于直線，這里點(diǎn)為；3.坐標(biāo)平面與所成二面角的平分面；4.通過點(diǎn)，且平行于坐標(biāo)面。二、平面過原點(diǎn)，且垂直于平面及求此平面方程。三、求平面與各坐標(biāo)面的夾角的余弦。四、一平面過點(diǎn)且平行于向量和，求這平面方程。五、若平面過軸且與面成o角，求該平面方程。六、求過兩點(diǎn)與且垂直于平面的平面方程。8.6空間直線及其方程一、用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線。二、求直線與直線的夾角的

9、余弦。三、求過點(diǎn)且平行于直線和的平面方程。四、在直線方程中，取D為何值才能使直線與z軸相交？五、在平面上求一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于直線的直線。六、求過點(diǎn)且平行于平面，又和直線相交的直線方程。七、求點(diǎn)到的距離。八、求點(diǎn)在直線上的投影點(diǎn)。九、求直線和平面的交點(diǎn)。十、求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)。第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用9.1 多元函數(shù)的基本概念一、填空1. 函數(shù)的定義域?yàn)?2. 函數(shù)的定義域?yàn)?3. 函數(shù)的定義域?yàn)?4. 函數(shù)的定義域?yàn)?二、設(shè)，求。三、設(shè)，求。四、設(shè)，若當(dāng)時，,求函數(shù)及。五、求極限1. 2. 3. 4. 六、下列極限存在嗎？為什么？1. 2.七、討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。9.2 偏導(dǎo)

10、數(shù)一、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1. 2. 3. 4. ,求5. ,求及。二、設(shè)，求。三、證明1. 設(shè)，其中可微，則。2. 若，則。四、設(shè)，問在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？五、曲線上點(diǎn)處的切線與軸正向所成的傾角是多少？9.3 全微分一、選擇題1. 考慮二元函數(shù)在點(diǎn)處4條性質(zhì)：（1）連續(xù)，（2）兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，（3）可微，（4）兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，則 （A）（B）（C）（D）2. 二元函數(shù)在點(diǎn)處 （A）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （B）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在（C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （D）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)也不存在3. 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)處可微，下列結(jié)論不正確的是 （A）在點(diǎn)處連續(xù) （B）在點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在（C）在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有界（

11、D）在點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)二、求下列函數(shù)的全微分1. 2. 3.在點(diǎn)（2,1）處三、求函數(shù),當(dāng)時的全增量和全微分。四、考察函數(shù)在點(diǎn)處是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微？五、設(shè)函數(shù)，其中在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，問:1. 應(yīng)滿足什么條件才能使偏導(dǎo)數(shù)存在？2. 在上述條件下，在點(diǎn)處是否可微？ 9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求。2. 設(shè)，求。3. 設(shè)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。二、設(shè)，且二階可導(dǎo)，求。三、設(shè)，而為可導(dǎo)函數(shù)，證明。四、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1. 設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。2. 設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。五、設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方

12、程，求證：函數(shù)也滿足。9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、計算1. 設(shè)，求。2. 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求。3. 設(shè)由確定，其中為可微函數(shù)，求。二、設(shè)由方程確定，求。三、設(shè)，求。四、已知，求證。五、設(shè)，求。六、設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求。習(xí)題課一、 求下列各函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)及二階混合偏導(dǎo)數(shù)：1. 2.3. 4. 二、 設(shè)，求。三、 試證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的一個鄰域內(nèi)均存在，但在點(diǎn)處，它的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，而函數(shù)卻在點(diǎn)處可微。四、 設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1. 2. ，其中可微五、 設(shè)函數(shù)，求。六、 設(shè)，求。七、 設(shè)和是由方程和所確定的函數(shù)，其中和分別具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，試證明

13、：9.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、求曲線在對應(yīng)于處的切線和法平面方程。二、求曲面在處的切平面方程和法線方程。三、設(shè)曲線，求在點(diǎn)處的切線和法平面方程。四、求出曲面上的點(diǎn)，使該點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫出這法線方程。五、試證與錐面相切的平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)。六、求曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)單位法向量。七、求球面與橢球面交線上對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程和法平面方程。9.7 方向?qū)?shù)和梯度一、判斷1. 若在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)存在。 （ ）2. 若在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)存在，則在點(diǎn)處可微。 （ ）3. 若在點(diǎn)處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)存在。 （ ）4. 若在點(diǎn)處

14、的方向?qū)?shù)存在，則在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在。 （ ）二、計算：1. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。2. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向的方向?qū)?shù)。3. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。4. 求函數(shù)在點(diǎn)處和點(diǎn)處的梯度。5. 求函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的最大值和最小值。6. 求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。7. 求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度和最大方向?qū)?shù)。三、設(shè)，證明在點(diǎn)處沿任何方向（除外）的方向?qū)?shù)都存在，但不可微。9.8 多元函數(shù)的極值及其求法一、 如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上的哪些點(diǎn)處可能取得最大值，最小值？二、求下列函數(shù)的極值：1. 2. 為由方程所確定的隱函數(shù)。三、求函數(shù)在條件下的極值。四、在

15、拋物線上求一點(diǎn)，使它與直線的距離最短，最短距離是多少？五、拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離。六、求函數(shù)在球面上的最大值，并證明對任何正實(shí)數(shù)都有。第九章 綜合練習(xí)題一、填空1. 函數(shù)的定義域?yàn)?，且表達(dá)式 2. 若，則 ， ， ， 。3. 若具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則 ， 。4. 設(shè)，則在點(diǎn)處沿方向 的變化率最大，且最大變化率為 。5. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，法平面方程為 。6. 曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 。二、設(shè)，求。三、利用變量代換可以把方程化為什么方程？四、證明曲面與正交。五、證明：曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都過原點(diǎn)。六、證明：在曲線的所有切線中，與平面平行的切線

16、只有兩條。七、某廠要生產(chǎn)容積為2m3的長方體箱子，其側(cè)面、底面和頂部選用材料不同，它們每平方米的價格分別為20元和5元，問如何設(shè)計箱子的尺寸，使其成本最小。第十章 重積分10.1 二重積分的概念與性質(zhì)一、利用二重積分表示下列幾何量或物理量：1. 由平面，曲面與所圍成的幾何體的體積。2. 平面上的有界閉區(qū)域的面積。3. 平面上的一塊薄板，所在區(qū)域?yàn)?，密度為，用二重積分表示其質(zhì)量。4. 平面區(qū)域上的薄板上分布電荷，電荷分布密度為，用二重積分表示板上的總電荷量。二、利用定義證明：如果在區(qū)域上，則。三、利用二重積分的性質(zhì)，比較積分的大小，與，其中是由軸，軸與直線所圍成。四、若在上連續(xù)，求證。五、利用二

17、重積分的性質(zhì)，估計下列二重積分的值：1. 2. 10.2（一）利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、填空1. 化下列二重積分為累次積分（用兩種次序分別表示）（1）由直線及拋物線所圍成 （2）由軸及半圓所圍成 （3）由直線所圍成 2. 改換下列二重積分的積分次序：(1) (2) (3) 二、計算下列二重積分：1. 畫出積分區(qū)域，并計算：（1），其中為由所圍成的區(qū)域。（2）,由所圍成。（3）,由所圍成。（4）（5）2. 求由平面及拋物面所圍成的立體的體積。10.2（二）利用極坐標(biāo)計算二重積分一、將下列二重積分表示成極坐標(biāo)形式的二次積分（先畫積分區(qū)域）。1. 2. 3. 4. 二、利用極坐標(biāo)計算下列二重積分：

18、1，其中區(qū)域?yàn)?. 3. 4. ,由圓周,及直線所圍成的第I象限內(nèi)的區(qū)域。5. ,由,所圍成的區(qū)域。6. 三、1. 求由平面及球面圍成的在第一、五卦限的立體的體積。2. 求在極坐標(biāo)系下與所確定的平面圖形的面積。10.3（一）利用直角坐標(biāo)計算三重積分一、化下列三重積分為三次積分：1. 已知由曲面與所圍成 2. 已知由三個坐標(biāo)平面與平面所圍成 3. 由平面與三個坐標(biāo)面所圍成 二、計算下列三重積分1. ,其中由及所圍成。2. ,由曲面和所圍成。3. 4. 三、1. 利用三重積分推算橢球體的體積公式。2. 設(shè)有一物體所在區(qū)域，密度為，求物體的質(zhì)量。10.3（二）利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分一、1

19、. 將下列三重積分化為柱面坐標(biāo)系下的三次積分。（1）設(shè)由曲面圍成的區(qū)域 （2）設(shè)是由所確定的積分區(qū)域 2. 將下列三重積分化為球面坐標(biāo)系下的三次積分。（1）設(shè)由所確定 （2）設(shè)由曲面及所圍成 二、選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換計算下列三重積分1. 2. ，其中為兩個曲面所圍成立體在及的部分。3. ，由錐面與平面所圍成的區(qū)域。4. 三、計算由曲面所圍成立體的體積。四、計算三重積分，其中。10.4 重積分的應(yīng)用一、求曲面包含在圓柱面內(nèi)那部分（記為）的面積。二、求半徑相等的兩直交圓柱面所圍成的立體的表面積。第十章 綜合練習(xí)題一、1. 將下列積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分。 其中是圓域被直線分成的兩個部分。2. 將

20、下列三重積分分別表示成直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)系下的三次積分。= = = 二、計算下列重積分1. 2. ，由曲線及直線所圍成。34. 5. ，由錐面及平面所圍成。6. 7. 8. 三、計算下列重積分1. 2. 3. ，由和兩曲面圍成。四、用“先二后一”方法求下列積分。五、求由曲面所圍成立體的體積。六、設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。第十一章 曲線積分與曲面積分11.1 對弧長的曲線積分一、計算下列對弧長的曲線積分。1. ，其中為圓周。2. ，其中為連接及的直線段。3. ,其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界。4. ,其中為曲線上相應(yīng)于從0變到2的這段弧。5. ，其中為右半個單位圓

21、。11.2 對坐標(biāo)的曲線積分一、設(shè)為面內(nèi)軸上從點(diǎn)到的一段直線。證明二、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分。1. ，其中是拋物線上從點(diǎn)(0,0)到(2,4)的一段弧。2. ，其中為圓周上對應(yīng)從0到的一段弧。3. ，其中為圓周（按逆時針方向繞行）。4. ，其中為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,3,4)的一段直線。5. ，其中為有向閉折線ABCA，這里A、B、C依次為點(diǎn)(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。三、設(shè)為曲線上相應(yīng)于從0到1的曲線弧，把對坐標(biāo)的曲線積分化為對弧長的曲線積分。11.3 格林公式及其應(yīng)用一、計算：，其中為拋物線及所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線。二、計算：，其中是圓周上由點(diǎn)(0,0)到(

22、1,1)的一段弧。三、計算：，其中為沿曲線由點(diǎn)A(1,0)到點(diǎn)B(-1,0)上的一段弧。四、證明曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算其值。五、利用曲線積分求由星形線圍成的圖形的面積。六、驗(yàn)證下列在整個xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求出這樣一個：1. 2. 習(xí)題課（一）一、 判斷下列各題的等號是否成立？若不成立，請予以糾正。1. 2. ,其中為從點(diǎn)的直線段閉合曲線，為所圍成的閉區(qū)域。3. ,其中。4. 設(shè)和是包圍原點(diǎn)的任意兩條同向閉曲線，則二、計算下列各曲線積分。1. ，其中是正方形的邊界。2. ，其中為橢圓上自左向右上半邊的一段弧。3. ，其中為連接點(diǎn)與在線段下方添的一光滑簡單曲線，

23、已知與圍成的面積為2。三、設(shè)在面上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算，其中為從點(diǎn)到的直線段。四、試確定值，使的值與路徑無關(guān)，其中與軸不相交。全微分方程五、 下列方程是否為全微分方程，并求全微分方程的通解。1. 2. 3. 4. 二、用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解。1 2. 11.4 對面積的曲面積分一、當(dāng)是面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，曲面積分與二重積分有何關(guān)系？二、計算下列曲面積分1. ,其中為曲面2. ,其中為四面體的整個邊界曲面。3. ,其中為平面在第一卦限部分。4. ，其中是介于平面及之間的圓柱面。三、求拋物面殼的質(zhì)量，設(shè)其面密度為。11.5 對坐標(biāo)的曲面積分一、當(dāng)為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，曲面積分與二

24、重積分有何關(guān)系？二、計算下列對坐標(biāo)的曲面積分1 ,其中是球面的下半部分的下側(cè)。2. 設(shè)是面上的閉區(qū)域的上側(cè)，計算。3. ,其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)。三、計算，其中為圓柱面在第一卦限中被平面及所截出部分曲面塊的前側(cè)，和均為正數(shù)。四、把對坐標(biāo)的曲面積分化為對面積的曲面積分，其中是拋物面在面上方部分的上側(cè)。11.6 高斯公式一、利用高斯公式計算下列曲面積分1. ，其中是柱面與平面所圍成的立體表面的外側(cè)。2. ，其中是平面 所圍成的立方體的全表面的外側(cè)。3. ，其中是上半球面的上側(cè)。11.7 斯托克斯公式一、，其中是圓周，若從軸的正向看去，這圓周取逆時針方向。2. ，其中是圓周，

25、若從軸正向看去，這圓周是取逆時針方向。習(xí)題課（二）及綜合練習(xí)一、 計算，其中為曲線，積分路線方向是從原點(diǎn)經(jīng)到。二、求，其中是的正向。三、設(shè)是圓周的逆時針方向，是恒正的連續(xù)函數(shù)，證明：。（提示：利用格林公式）四、設(shè)函數(shù)關(guān)于中間變量具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，證明：對任意光滑閉曲線有。五、計算，其中為曲面被所截下部分。六、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求，并計算。七、設(shè)空間閉區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù)，記表面外側(cè)為，的體積為。證明：。八、證明:其中是球面。第十二章 無窮級數(shù)12.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng)。1. 2. 3. 二、用定義判斷下列級數(shù)的斂散性。1. 2. 3. 三、判斷下列級數(shù)的斂散性。1. 2. 3. 四、試證：若數(shù)列收斂于，則級數(shù)收斂，且和為。12.2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法(一)一、用