高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)解答題)

1、概率與統(tǒng)計(jì)解答題1、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為.（）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；（）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。（）解：設(shè)A表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2；B表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2 依題意有 P(A)=2=, P(A)=, P(B)=, P

2、(B)=2=,所求的概率為p=P(BA)P(BA)P(BA)= 6分（） x的可能取值為0，1，2，3，且 xB(3,), P(x=0)=()3=, P(x=1)=C()2=, P(x=2)=C()2=, P(x=3)=()3= x的分布列為x0123p 數(shù)學(xué)期望Ex=3= 12分2、設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）（）求方程有實(shí)根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率.解:（I）基本事件總數(shù)為，若使方程有實(shí)根，則，即。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，, 目標(biāo)事件個(gè)數(shù)

3、為 因此方程 有實(shí)根的概率為(II)由題意知，則 ，故的分布列為012P的數(shù)學(xué)期望 (III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實(shí)根” 為事件N，則， .3、如圖是在豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，依次類推現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動(dòng)記小彈子落入第層第個(gè)豎直通道（從左至右）的概率為（已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道）（）求的值，并猜想的表達(dá)式（不必證明）（）設(shè)小彈子落入第6層第個(gè)豎直通道得到分?jǐn)?shù)為，其中，試求的分布列及數(shù)學(xué)期望解：（1），2分 4分 6分（2

4、）3219分12分4、2009年10月1日，為慶祝中華人們共和國(guó)成立60周年，來(lái)自北京大學(xué)和清華大學(xué)的共計(jì)6名大學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名北京大學(xué)志愿者的概率是。 （1）求6名志愿者中來(lái)自北京大學(xué)、清華大學(xué)的各幾人； （2）求清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)人各一人的概率； （3）設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求分布列及期望。解：（1）記“至少一名北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，則A的對(duì)立事件為“沒(méi)有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，設(shè)有北京大學(xué)志愿者x個(gè)，1x6，

5、 那么P（A）= ，解得x=2，即來(lái)自北京大學(xué)的志愿者有2人，來(lái)自清華大學(xué)志愿者4人； -3分（2）記清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各有一人為事件E，那么P（E）=，所以清掃衛(wèi)生崗位恰好北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各一人的概率是；-6分（3）的所有可能值為0，1，2，P（=0）=，P（=1）=， P（=2）=，-8分所以的分布列為 -11分 -12分命題意圖：本題考查了排列、組合、概率、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查了含有“至多、至少、恰好”等有關(guān)字眼問(wèn)題中概率的求法以及同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)綜合解決問(wèn)題的能力。5、小白鼠被注射某種藥物后，只會(huì)表現(xiàn)為以下三種癥狀中的一種：興奮、無(wú)變化（藥物沒(méi)有發(fā)生作用

6、）、遲鈍若出現(xiàn)三種癥狀的概率依次為現(xiàn)對(duì)三只小白鼠注射這種藥物（I）求這三只小白鼠表現(xiàn)癥狀互不相同的概率；（II）用表示三只小白鼠共表現(xiàn)癥狀的種數(shù)，求的頒布列及數(shù)學(xué)期望解：（）用表示第一只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)癥狀為興奮、無(wú)變化、及遲鈍，用表示第二只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)癥狀為興奮、無(wú)變化、及遲鈍，用表示第三只小白鼠注射藥物后表現(xiàn)癥狀為興奮、無(wú)變化、及遲鈍.三只小白鼠反應(yīng)互不相同的概率為 3分 5分（）可能的取值為.,，8分或.10分所以，的分布列是123所以，12分6、某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為，

7、. . . ，.由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示（）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；（）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列；（）從流水線上任取5件產(chǎn)品，估計(jì)其中恰有2件產(chǎn)品的重量超過(guò)505克的概率.解：（）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是件 -2分（）的所有可能取值為0,1,2 （只有當(dāng)下述沒(méi)做或都做錯(cuò)時(shí)，此步寫對(duì)給1分） , （以上（）中的過(guò)程可省略，此過(guò)程都對(duì)但沒(méi)列下表的扣1分）的分布列為012 -9分（每個(gè)2分，表1分）（）由（）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知，抽取的40件產(chǎn)品中有12件產(chǎn)品的重量超過(guò)505克，其頻率為，可見從流水線上任取一件產(chǎn)

8、品，其重量超過(guò)505克的概率為，令為任取的5件產(chǎn)品中重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)，則，-11分故所求的概率為 -13分HCA1A2B1B2L1L2A37、張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，（）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由解：（）設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件

9、，則 4分所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為（）依題意，的可能取值為0，1，2 ， ， 8分隨機(jī)變量的分布列為：012P 11分（）設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以 12分因?yàn)?，所以選擇L2路線上班最好 14分8、某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層停靠.已知該電梯在1層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.() 求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；() 用表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：() 設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為, 1分由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是，

10、3分則 . 6分() 的可能取值為0,1,2,3,4, 7分由題意可得每個(gè)人在第4層下電梯的概率均為，且每個(gè)人下電梯互不影響，所以，. 9分01234 11分. 13分9、甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).（）求選出的4名選手均為男選手的概率.（）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望.解：（）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知 3分. 5分（）的可能取值為. 6分， 7分， 9分， 10分. 11分的分布列：12分. 13分10、某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，

11、要求選拔過(guò)程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x拔合格后方可進(jìn)入第二次選拔，兩次選拔過(guò)程相互獨(dú)立。根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為，。第二次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為，。（1）求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；（2）分別求出甲、乙、丙三人經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后合格的概率；（3）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后恰有兩人合格的的概率；解：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件、；設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，則 4分（2）分別設(shè)甲、乙、丙三人經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后合格入選為事件A、B、C，則， 。 8分（3）經(jīng)過(guò)前后兩次選拔后合格入選的人數(shù)為，則

12、、1、2、3。則，（或者）。的概率分布列為0123P。 12分11、某工廠有120名工人，其年齡都在2060歲之間，各年齡段人數(shù)按20，30)，30,40)，40，50)，50，60分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進(jìn)了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每個(gè)工人都要參加A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試，已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示.假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響。年齡分組A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)20，30)301830，40)362440，50)12950,6043(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求各年

13、齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)，并估計(jì)全廠工人的平均年齡；(2)隨機(jī)從年齡段20，30)和30,40)中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解：（1）由頻率分布直方圖知，年齡段的人數(shù)的頻率分別為因?yàn)樗阅挲g段應(yīng)取的人數(shù)分別為14；16；6；4；3分因?yàn)楦髂挲g組的中點(diǎn)值分別為25；35；45；55；對(duì)應(yīng)的頻率分別為則由此估計(jì)全廠工人的平均年齡為35歲. 6分（2）因?yàn)槟挲g段的工人數(shù)為人，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率所以A,B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為。8分因?yàn)槟挲g段的工人數(shù)為人，

14、從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率；B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率。 所以A,B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為。10分由題設(shè)X的可能取值為0,1,2；, 。 12分12、 某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)x681012y2356 （1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； （3）試根據(jù)（II）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力。 （相關(guān)公式：）解：（）如右圖： 3分 ()解：=62+83+105+126=158，=，=，故線性回歸方程為 10分()解：由回歸直

15、線方程預(yù)測(cè)，記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. 12分13、某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為50的學(xué)生成績(jī)樣本，得頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組80.16第二組0.24第三組15第四組100.20第五組50.10合 計(jì)501.00(1)寫出表中位置的數(shù)據(jù)；(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1名是第四組的概率 解：(1) 位置的數(shù)據(jù)分別為12、0.3； 4分(2) 第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、1； 8分(3) 設(shè)上述6人為abcdef(其中第四組的兩人分別為d，e)，則從6人中任取2人的所有情形為：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有15種10分記“2人中至少有一名是第四組”為事件A，則事件A所含的基本事件的種數(shù)有9種所以，故2人中至少有一名是第四組的概率為 14分14、某市舉行一次數(shù)學(xué)新課程培訓(xùn)，共邀請(qǐng)15名研究不同