隨著迅猛發(fā)展和普及起來的的計算機技術(shù)hk

1、有限元法發(fā)展綜述黃康 裝備1202班 201206040206摘要：隨著迅猛發(fā)展和普及起來的的計算機技術(shù)，有限單元法在現(xiàn)在工程領(lǐng)域中的研究越來越廣泛。 有限元分析的最終目的是還原一個實際工程系統(tǒng)的數(shù)學行為特征。即分析必須針對一個物理原型準確的數(shù)學模型。模型包括所有節(jié)點、單元、材料屬性、實常數(shù)、邊界條件以及其他用來表現(xiàn)這個物理系統(tǒng)的特征。有限元法在機械領(lǐng)域已成為重要工具。本文在有限元基本原理的基礎(chǔ)上，介紹了有限元的概念、分析了有限元的設(shè)計過程、介紹了有限元軟件和其在機械設(shè)計中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：有限元法；基本思想；分析；發(fā)展趨勢一、有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展大約在300年前，牛頓和萊布

2、尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術(shù)對定義域的劃分是不同的，前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了一個理論基礎(chǔ)。在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀，另一位數(shù)學家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經(jīng)。在19世紀末及20世紀初，數(shù)學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學家伽遼金提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽

3、遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。所以，到這時為止，實現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個理論基礎(chǔ)也已確立。20世紀50年代，飛機設(shè)計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學方法分析飛機的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個離散的成功。20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了物質(zhì)條件。1960年前后，美國的R.W.Clough教授及我國的馮康教授分別獨立地在論文中提出了“有限

4、單元”，這樣的名詞。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生。1990年10月美國波音公司開始在計算機上對新型客機B777進行“無紙設(shè)計”，僅用了三年半時間，于1994年4月第一架B777就試飛成功，這是制造技術(shù)史上劃時代的成就，其中在結(jié)構(gòu)設(shè)計和評判中就大量采用有限元分析這一手段。在有限元分析的發(fā)展初期，由于其基本思想和原理的“簡單”和“樸素”，以至于許多學術(shù)權(quán)威都對其學術(shù)價值有所鄙視，國際著名刊物Journal of Applied Mechanics 許多年來都拒絕刊登有關(guān)于有限元分析的文章。然而現(xiàn)在，有限元分析已經(jīng)成為數(shù)值計算的主流，不但國際上存在如ANSYS等數(shù)種通用有限元分

5、析軟件，而且涉及到有限元分析的雜志也有幾十種之多。二、有限元法的基本思想有限元法是一種高效能、常用的計算方法有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學計算

6、有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。有限元法的通用性與實用性導致了有限元通用程序的發(fā)展。大多數(shù)設(shè)計單位都采用商業(yè)的有限元軟件，自行開發(fā)的很少。通用有限元軟件的發(fā)展在數(shù)量和規(guī)模上是驚人的，它們基本上均有較好的前處理、

7、后處理和計算能力，可以滿足產(chǎn)品開發(fā)的要求。歸納起來有以下特點：1，功能強大。一般都可進行多種物理場分析，如結(jié)構(gòu)分析、溫度分析、電磁場分析、流場分析、多場耦合分析等。2，具有豐富的材料庫?？梢蕴幚矶喾N材料，如金屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混凝土、復(fù)合材料等。3，具有多種自動網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動進行單元形態(tài)、求解精度檢查及修正。4，具有強大的后處理及圖像顯示功能。5，具有與多種CAD 系統(tǒng)直接連接的接口。有限元分析軟件的一個發(fā)展趨勢是與通用CAD軟件的集成使用，即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計后，能直接將模型傳送到CAE軟件中進行有限元網(wǎng)格劃分并進行分析計算，如果分析的結(jié)果不滿足

8、設(shè)計要求則重新進行設(shè)計和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件(例如ProENGINEER、Solid-Edge、SolidWorks、IDEAS、Bentley 和AutoCAD等)的接口。6，具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境和良好的培訓維護能力。隨著商業(yè)化的提高，各軟件開發(fā)商為了擴大自己的市場份額，滿足用戶的需求，在軟件的功能、易用性等方面花費了大量的投資，但由于用戶的要求千差萬別，不管他們怎樣努力也不可能滿足所有用戶的要求，因此必須給用戶一個開放的環(huán)境，允許用戶根據(jù)自己的實際情況對軟件進行擴

9、充，包括用戶自定義單元特性、用戶自定義材料本構(gòu)(結(jié)構(gòu)本構(gòu)、熱本構(gòu)、流體本構(gòu))、用戶自定義流場邊界條件、用戶自定義結(jié)構(gòu)斷裂判據(jù)和裂紋擴展規(guī)律等等。著名的通用有限元軟件有MSCMarc、ANSYS、ADINA、MSCNASTRAN 、ALGOR等軟件。對于有限元方法，其解題步驟可歸納為：1.建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。2.區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和

10、確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應(yīng)的邊界值。3.確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。4.單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。5.總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形

11、成總體有限元方程。6.邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。7.解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。三、有限元的應(yīng)用及其發(fā)展趨勢有限元的應(yīng)用范圍也是相當?shù)膹V的。它涉及到工程結(jié)構(gòu)、傳熱、流體運動、電磁等連續(xù)介質(zhì)的力學分析中，并在氣象、地球物理、醫(yī)學等領(lǐng)域得到應(yīng)用和發(fā)展。電子計算機

12、的出現(xiàn)和發(fā)展是有限元法在許多實際問題中的應(yīng)用變?yōu)楝F(xiàn)實，并具有廣闊的前景。國際上早20世紀在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局(NASA)在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。從那時到現(xiàn)在世界各地的研究機構(gòu)和大學也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件,主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BO

13、SOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。當今國際上FEA方法和軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢特征1.從單純的結(jié)構(gòu)力學計算發(fā)展到求解許多物理場問題有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析,實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明,只要用于離散求解對象的單元足夠小所得的解就可足夠逼近于精確值。所以近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算,最近又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。例如當氣流流過一個很高的鐵塔時就會使鐵塔產(chǎn)生變形而塔的變形又反過來影響到氣流的流動這就需

14、要用固體力學和流體動力學的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解,即所謂"流固耦合"的問題。2. 由求解線性工程問題進展到分析非線性問題隨著科學技術(shù)的發(fā)展,線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設(shè)計的要求。例如建筑行業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾何非線性問題;航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力,也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn),僅靠線性計算理論就不足以解決遇到的問題,只有采用非線性有限元算法才能解決。眾所周知,非線性的數(shù)值計算是很復(fù)雜的,它涉及到很多專門的數(shù)學問題和運算技巧,很難為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年來國

15、外一些公司花費了大量的人力和投資開發(fā)諸如MARC、ABQUS和ADINA 等專長于求解非線性問題的有限元分析軟件,并廣泛應(yīng)用于工程實踐。這些軟件的共同特點是具有高效的非線性求解器以及豐富和實用的非線性材料庫。3.增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能早期有限元分析軟件的研究重點在于推導新的高效率求解方法和高精度的單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善,尤其是計算機運算速度的飛速發(fā)展,整個計算系統(tǒng)用于求解運算的時間越來越少,而數(shù)據(jù)準備和運算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。但是如果用手工方式來建立這個模型,然后再處理大量的計算結(jié)果則需用

16、幾周的時間?？梢院敛豢鋸埖卣f,工程師在分析計算一個工程問題時有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結(jié)果分析上。因此目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強調(diào)"可視化"的今天,很多程序都建立了對用戶非常友好的GUI(Graphics User Interface),使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)格自動劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。4. 與CAD軟件的無縫集成當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用CAD軟件的集成使用,即在用CAD軟件完成部件和零件的造

17、型設(shè)計,自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算,如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計要求則重新進行造型和計算,直到滿意為止,從而極大地提高了設(shè)計水平和效率。今天,工程師可以在集成的CAD和FEA軟件環(huán)境中快捷地解決一個在以前無法應(yīng)付的復(fù)雜工程分析問題。所以當今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。5. 在Wintel平臺上的發(fā)展早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計算機(主要是Mainframe) 上開發(fā)和運行的,后來又發(fā)展到以工程工作站(EWS,En

18、gineering WorkStation )為平臺,它們的共同特點都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機的出現(xiàn)使計算機的應(yīng)用發(fā)生了根本性的變化,工程師渴望在辦公桌上完成復(fù)雜工程分析的夢想成為現(xiàn)實。但是早期的PC機采用16位CPU和DOS操作系統(tǒng),內(nèi)存中的公共數(shù)據(jù)塊受到限制,因此當時計算模型的規(guī)模不能超過1萬階方程。Microsoft Windows操作系統(tǒng)和32位的Intel Pentium 處理器的推出為將PC機用于有限元分析提供了必需的軟件和硬件支撐平臺。因此當前國際上著名的有限元程序研究和發(fā)展機構(gòu)都紛紛將他們的軟件移植到Wintel平臺上。下表列出了用ADINA V7.3 版在PC機的Win

19、dows NT環(huán)境和SGI工作站上同時計算4個工程實例所需要的求解時間。從中可以看出最新高檔PC機的求解能力已和中低擋的EWS不相上下。為了將在大中型計算機和EWS上開發(fā)的有限元程序移植到PC機上,常常需要采用Hummingbird公司的一個仿真軟件Exceed。這樣做的結(jié)果比較麻煩,而且不能充分利用PC機的軟硬件資源。所以最近有些公司,例如IDEAS、ADINA和R&D開始在Windows平臺上開發(fā)有限元程序,稱作"Native Windows"版本,同時還有在PC機上的Linux操作系統(tǒng)環(huán)境中開發(fā)的有限元程序包。在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機，所有的設(shè)計制造都離不開有限元分析計算，有限元法在工程設(shè)計和分析中將得到越來越廣泛的重視。目前以分析、優(yōu)化和仿真為特征的CAE(Computer aided Engineering CAE)技術(shù)在世界范圍內(nèi)蓬勃發(fā)展。它通過先進的CAE技術(shù)快速有效地分析產(chǎn)品的各種特性、揭示結(jié)構(gòu)各類參數(shù)變化對產(chǎn)品性能的響，進行設(shè)計方案的