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文檔簡介
1、動態(tài)幾何解題方法與思考策略重慶市渝中區(qū)第57中劉曉豐以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題,稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一,其特點是圖形中的某些元素(點、線段、角等)或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化,從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化,但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存,具有一定的規(guī)律可尋.一、動態(tài)幾何問題涉及的幾種情況動態(tài)幾何問題就其運動對象而言,有:1、點動(有單動點型、多動點型).2、線動(主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型)。線動實質(zhì)就是點動,即點動帶動線動,進而還會產(chǎn)生形動,因
2、而線動型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.3、 形動(就其運動形式而言,有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動)二、解決動態(tài)幾何問題的基本思考策略與分析方法:動態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識點,解答時要特別注意以下七點:1、把握運動變化的形式及過程;2、思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系,以及可求出的幾何量;3、動中取靜:(最重要的一點)要善于在“動”中取“靜”(讓圖形和各個幾何量都“靜”下來),抓住變化中的“不變量”和不變關(guān)系為“向?qū)А?,求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系:利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系,找出基本的等量關(guān)
3、系式;5、列方程:將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型;(某些幾何元素的變化會帶來其它幾何量的變化,所以在求變量之間的關(guān)系時,通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點、特殊值、特殊位置關(guān)系問題時常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類討論:將變化的幾何元素按題目指定的運動路徑運動一遍,從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況,看圖形的形狀是否改變,或圖形的有關(guān)幾何量的計算方法是否改變,以明確是否需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決,7、確定變化分界點:若需分類討論,要以運動到達的特殊點為分界點,畫出與之對應(yīng)情況相吻合的圖形,找到情況發(fā)生改變的時刻,確定變化的范
4、圍分類求解。例:如圖,有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形RQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點B、C、Q、R在同一條直線上,當C、Q兩點重合時開始,t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為Scm.解答下列問題:(1)當t=3秒時,求S的值; (2)當t=5秒時,求S的值;(3)當5秒t8秒時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.ABQCRPD分析:當?shù)妊黀QR從C、Q兩點重合開始,以1cm/秒的速度沿直線向左勻速運動時,正方形ABCD與等腰PQR重合部分圖形的形狀在改變,因此,我們需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決。運動過程中有四個特殊位置點,它們分別是點B、
5、C、R和等腰PQR底邊的中點E,這四個特殊位置點就是分類討論問題的“分界點”.因為正方形ABCD的邊長為5cm,等腰三角形RQR的底邊QR=8cm,(1)所以當t4秒時,QE逐漸地與與BC完全重合,則S是QCG的面積,所以,當t=3秒時,S是QCG的面積(如圖一的“靜態(tài)”);(2)當4秒t5秒時,即在點E落在線段上到點Q與點B重合,S是四邊形QCGP的面積(如圖二的“靜態(tài)”);CB (圖一)AQRPDGE(圖一)(3)當5秒t8秒時,點Q、R都在線段BC外,點E在BC上,S是一個五邊形BCGPH的面積(如圖三的“靜態(tài)”).RABCD(Q)PEG(圖二)ABCDPQREHG(圖三)即1、運動規(guī)律
6、;2、思考初始;3、動中取靜;4、找等量關(guān)系; 5、列方程;6、是否分類討論:7、確定分界點。三、 典型例題(2006重慶)如圖1所示,一張三角形紙片ABC,ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個三角形(如圖2所示).將紙片沿直線(AB)方向平移(點始終在同一直線上),當點于點B重合時,停止平移.在平移過程中,與交于點E,與分別交于點F、P.(1) 當平移到如圖3所示的位置時,猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(2) 設(shè)平移距離為,與重疊部分面積為,請寫出與的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;(3)對于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的的值,使重疊部分的面積
7、等于原面積的.若存在,求x的值;若不存在,請說明理由. PEFAD1BD2C1C2圖2圖1圖3分析:1、把握運動變化的形式及過程:題目條件:將沿直線(AB)方向平移(點始終在同一直線上),當點于點B重合時,停止平移.所以這是一個圖形的平移運動2、思考初始;找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系:(1)因為在中,所以由勾股定理,得(2)因為,CD是斜邊上的中線,所以,即.(3),.第1問:“動”中取“靜”:讓圖形和各個幾何量都“靜”下來。因為是平移,所以,所以.所以,所以,.同理:.又因為,所以.所以第2問:(1)是求變量之間的關(guān)系,則建立函數(shù)模型。(2)按題目指定的運動路徑運動一遍,重疊部分圖
8、形的形狀不發(fā)生改變,則不需要分類討論解決。(3)找等量關(guān)系式:用面積割補法知道(4)“動”中取“靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積,注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1,需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為“不變量”,以為“向?qū)А比デ蟪鋈切蔚牡缀透?。(A)、的面積等于面積的一半,等于12.(B)、又因為,所以,所以,由得,又的邊上的高,為.設(shè)的邊上的高為,所以.所以.(C)、又因為,所以.在直角三角形PFC2中,C2F=X,又因為,.所以 ,而所以第3問:是求特殊值問題,則建立方程模型求解;存在. 當時,即整理,得解得
9、,.即當或時,重疊部分的面積等于原面積的.解析 (1).因為,所以.又因為,CD是斜邊上的中線,所以,即所以,所以所以,.同理:.又因為,所以.所以(2)因為在中,所以由勾股定理,得即又因為,所以.所以在中,到的距離就是的邊上的高,為.設(shè)的邊上的高為,由探究,得,所以.所以.又因為,所以.又因為,.所以 ,而所以(3) 存在. 當時,即整理,得解得,.即當或時,重疊部分的面積等于原面積的.(2006山東青島)如圖,有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點A與點E重合),已知AC8cm,BC6cm,C90,EG4cm,EGF90,O是EFG斜邊上的中點如圖,若整個EFG從圖的位
10、置出發(fā),以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移,在EFG 平移的同時,點P從EFG的頂點G出發(fā),以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動,當點P到達點F時,點P停止運動,EFG也隨之停止平移設(shè)運動時間為x(s),F(xiàn)G的延長線交 AC于H,四邊形OAHP的面積為y(cm2)(不考慮點P與G、F重合的情況)(1)當x為何值時,OPAC ?(2)求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍(3)是否存在某一時刻,使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324?若存在,求出x的值;若不存在,說明理由(參考數(shù)據(jù):1142 12996,1152 13225,1162 13456或4.42 19
11、.36,4.52 20.25,4.62 21.16)分析:1、把握運動變化的形式及過程:題目條件:若整個EFG從圖的位置出發(fā),以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移,在EFG 平移的同時,點P從EFG的頂點G出發(fā),以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動,當點P到達點F時,點P停止運動,EFG也隨之停止平移(1)整個EFG從圖的位置出發(fā),以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移;(2)點P從EFG的頂點G出發(fā),以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動;0x3.2、思考初始;(1)注意參考數(shù)據(jù)運用于計算平方、平方根或估算。(2)找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系;RtEFGRtABC
12、,F(xiàn)G3cmEGAC第1問:(1)是特殊位置關(guān)系問題,建立方程模型求解。(2)“動”中取“靜”,讓圖形和各個幾何量都在特殊位置關(guān)系(OPAC)“靜”下來,畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形。O是EFG斜邊上的中點當P為FG的中點時,OPEG ,EGAC ,OPAC x 31.5(s)當x為1.5s時,OPAC 第2問:(1)是求變量之間的關(guān)系,則建立函數(shù)模型。(2)題目明確了是求四邊形OAHP的面積,則不需要分類討論解決。(3)找等量關(guān)系式:用面積割補法知道Y=S四邊形OAHP SAFH SOFP(4)“動”中取“靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積,選擇OFD
13、的底為FP,需求邊FP上的高。我們視自變量為“不變量”,以PG=X為“向?qū)А比デ蟪鯫FD的底和高。在RtEFG中,由勾股定理得:EF5cmEGAH ,EFGAFH AH( x 5),F(xiàn)H(x5)過點O作ODFP ,垂足為 D 點O為EF中點,ODEG2cmFP3x ,S四邊形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP(x5)(x5)2(3x )x2x3 (0x3第3問:是求特殊值問題,則建立方程模型求解;假設(shè)存在某一時刻x,使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHPSABCx2x3686x285x2500 (計算時注意參考數(shù)據(jù)的運用)解得 x1, x2 (舍去)0x3
14、,當x(s)時,四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324解析 (1)RtEFGRtABC ,F(xiàn)G3cm 當P為FG的中點時,OPEG ,EGAC , x 31.5(s)當x為1.5s時,OPAC (2)在RtEFG 中,由勾股定理得:EF5cmEGAH ,EFGAFH AH( x 5),F(xiàn)H(x5)過點O作ODFP ,垂足為 D 點O為EF中點,ODEG2cmFP3x ,S四邊形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP(x5)(x5)2(3x )x2x3 (0x3(3)假設(shè)存在某一時刻x,使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHPSABCx2x3686x285x
15、2500解得 x1, x2 (舍去)0x3,當x(s)時,四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324(2006河北)如圖,在RtABC中,C90,AC12,BC16,動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動,動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動在運動過程中,PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ設(shè)運動時間為t(秒)(1)設(shè)四邊形PCQD的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式;(2)t為何值時,四邊形PQBA是梯形?(3)是否存在時刻t,使得PDAB?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;A
16、PCQBD(4)通過觀察、畫圖或折紙等方法,猜想是否存在時刻t,使得PDAB?若存在,請估計t的值在括號中的哪個時間段內(nèi)(0t1;1t2;2t3;3t4);若不存在,請簡要說明理由 分析:1、把握運動變化的形式及過程:題目條件:動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動,動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動在運動過程中,PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ所以,這是雙動點P、Q+圖形PCQ翻折的運動。(1)動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C運動;(2)動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B運動;(3)
17、PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ.2、思考初始;找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系;在RtABC中,C90,AC12,BC16,AB=20,第1問:(1)是求變量之間的關(guān)系,則建立函數(shù)模型。(2)題目明確了是求四邊形PCQD的面積,則不需要分類討論解決。(3)找等量關(guān)系式:PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱,y=2SPCQ(4)“動”中取“靜”,求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積,注意選擇直角PCQ的兩直角邊為底和高。我們視自變量(動量)為“不變量”(靜量),則以CQ4t,AP=3t為“向?qū)А鼻蟪鯬C123t,SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱,
18、y=2SPCQ 第2問:(1)實質(zhì)是特殊位置關(guān)系問題,建立方程模型求解。(2)“動”中取“靜”,讓圖形在特殊情況(四邊形PQBA是梯形)“靜”下來,畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.當四邊形PQBA是梯形時有PQAB.(2)PQAB時,應(yīng)有,則以此建立方程模型求解.(3)求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。)當時,有PQAB,而AP與BQ不平行,這時四邊形PQBA是梯形,CA=12,CB=16,CQ4t, CP123t, ,解得t2當t2秒時,四邊形PQBA是梯形第3問:題目條件:是否存在時刻t,使得PDAB?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;(1)實質(zhì)是求兩線的特殊位值
19、關(guān)系,則仿照第2問的方法建立比例方程求解.(2)“動”中取“靜”,讓圖形在PDAB的情況“靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.設(shè)存在時刻t,使得PDAB,那么延長PD交BC于點M,如下圖,PDAB,APCQBDM(3)視“動量”為“靜量”,求出相關(guān)的常量或者以含有變量t的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。 若PDAB,則,QD=CQ=4t,CP=AC-AP=12-3t, AC12,AB=20,QMD=B,QDM=C=90,RtQMDRtABC,從而,QM= CM=CQ+QM=4t+,解得t當t秒時,PDAB 第4問:通過觀察、畫圖或折紙等方法,猜想是否存在時刻t,使得PDAB?若存在,請估計t的值在
20、括號中的哪個時間段內(nèi)(0t1;1t2;2t3;3t4);若不存在,請簡要說明理由 (1)“動”中取“靜”,讓圖形 “靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.(2)由第3問知道當秒1t秒時,PDAB應(yīng)有1t,(3)“動”中取“靜”,讓圖形“靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.假設(shè)PDAB于D, AP=3t,CPPD=123t,RtAPDRtABC4t=20-5t ,t= 存在時刻t,使得PDAB時間段為:2t3 解析 (1)由題意知 CQ4t,PC123t,SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱,y=2SPCQ (2)當時,有PQAB,而AP與BQ不平行,這時四邊形PQBA是梯形,CA=
21、12,CB=16,CQ4t, CP123t, ,解得t2當t2秒時,四邊形PQBA是梯形 (2) 設(shè)存在時刻t,使得PDAB,延長PD交BC于點M,如下圖,若PDAB,則,QD=CQ=4t,CP=AC-AP=12-3t, AC12,AB=20,APCQBDMQMD=B,QDM=C=90,RtQMDRtABC,從而,QM= CM=CQ+QM=4t+,解得t當t秒時,PDAB (4)存在時刻t,使得PDAB 時間段為:2t3 (2010年河北?。┤鐖D16,在直角梯形ABCD中,ADBC,AD=6,BC=8,點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,到達點B后立刻以原
22、速度沿BM返回;點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P,Q的運動過程中,以PQ為邊作等邊三角形EPQ,使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點P,Q同時出發(fā),當點P返回到點M時停止運動,點Q也隨之停止設(shè)點P,Q運動的時間是t秒(t0)(1)設(shè)PQ的長為y,在點P從點M向點B運動的過程中,寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫t的取值范圍)(2)當BP=1時,求EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積(3)隨著時間t的變化,線段AD會有一部分被EPQ覆蓋,被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值,請回答:該最大值能否持續(xù)一個時段?若能,直接寫出t的取值范圍;若不能,請說明理由MADCBP
23、QE圖1ADCB(備用圖)M分析:1、把握運動變化的形式及過程:題目條件:點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,到達點B后立刻以原速度沿BM返回;點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P,Q的運動過程中,以PQ為邊作等邊三角形EPQ,使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點P,Q同時出發(fā),當點P返回到點M時停止運動,點Q也隨之停止表明上動的是兩點,實際上由兩點引出的等邊三角形EPQ是運動圖形。題目中點P從點M出發(fā)沿MB向B點勻速運動,到達點B后立刻以原速度沿BM返回;而點Q從點M出發(fā)在射線MC上勻速運動,由于點P的往返運動,且P、Q兩點的運
24、動速度相同,所以這兩點運動形成的等邊三角形EPQ的特征為:當0t4時,三角形EPQ的大小隨著時間的增加逐漸變大,但PQ邊的中點始終是點M,相當于位似變換;當t4時,隨著時間的增加,三角形EPQ的大小始終不變,相當于平移變換。(這樣的變換非常新穎,但是涉及的變換又是很簡單的)2、思考初始;找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系;在直角梯形ABCD中,ADBC,AD=6,BC=8,點M是BC的中點,則MB=MC=4. CD可求。PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱,第1問:在點P從點M向點B運動的過程中,P、Q兩點的運動速度相同,y=MP+MQ=t+t=2t第2問:(1)BP=1有點P到達點B點前、后兩
25、種情況,則需分類討論解決。當BP=1時,有兩種情形:如圖2,若點P從點M向點B運動,有MB = 4,MP=MQ =3,ADCBPMQE圖2PQ=6(現(xiàn)在判斷點E落在梯形ABCD內(nèi)、外的位置,以確定EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀。連接EM,EPQ是等邊三角形,EMPQAB=,點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ,其面積為若點P從點B向點M運動,由題意得t=4+1=5PQ=BM+MQBP=4+5-1=8,PC=8-1=7(此時點E顯然是在AD上方?!皠印敝腥 办o”,讓圖形 “靜”下來,畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形. 以確定EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀) .ADCBPM
26、QEFHG圖3設(shè)PE與AD交于點F,QE與AD或AD的延長線交于點G,過點P作PHAD于點H,則HP=,AH=1在RtHPF中,HPF=90-60=30, HF=3,PF=6FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2又FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2,F(xiàn)G= FD=2,點G與點D重合。如圖3此時EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG,其面積為(把握運動變化的全過程,確定EPQ與梯形ABCD重疊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵)第3問:求隨著時間t的變化,線段AD被EPQ覆蓋線段的長度能否持續(xù)一個時段達到最大值。因為當t4時,隨著時間的增加,三角形EPQ的大小始終不變,相當于平移變換。這樣,線段AD被EPQ覆蓋線段的長度達到最大值,且持續(xù)到被覆蓋線段的右端點到達D點,根據(jù)前面的解答知,此時t=5。所以,能4t5解:(1)y=2t;(2)當BP=1時,有兩種情形:ADCBPMQE圖2如圖2,若點P從點M向點B運動,有MB = 4,MP=MQ =3,PQ=6連接EM,EPQ是等邊三角形,EMPQAB=,點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ,其面積為 若點P從點B向點M運動,由題意得 PQ=BM+MQBP=8,PC=7設(shè)PE與AD交于
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