動態(tài)幾何解題方法與思考策略

1、動態(tài)幾何解題方法與思考策略重慶市渝中區(qū)第57中劉曉豐以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.一、動態(tài)幾何問題涉及的幾種情況動態(tài)幾何問題就其運動對象而言，有：1、點動（有單動點型、多動點型）.2、線動（主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型）。線動實質(zhì)就是點動，即點動帶動線動，進而還會產(chǎn)生形動，因

2、而線動型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.3、 形動（就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動）二、解決動態(tài)幾何問題的基本思考策略與分析方法：動態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識點,解答時要特別注意以下七點:1、把握運動變化的形式及過程；2、思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動中取靜：（最重要的一點）要善于在“動”中取“靜”（讓圖形和各個幾何量都“靜”下來），抓住變化中的“不變量”和不變關(guān)系為“向?qū)А?，求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出基本的等量關(guān)

3、系式;5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；(某些幾何元素的變化會帶來其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點、特殊值、特殊位置關(guān)系問題時常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類討論：將變化的幾何元素按題目指定的運動路徑運動一遍，從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改變，或圖形的有關(guān)幾何量的計算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決，7、確定變化分界點：若需分類討論，要以運動到達的特殊點為分界點，畫出與之對應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時刻，確定變化的范

4、圍分類求解。例：如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點B、C、Q、R在同一條直線上，當C、Q兩點重合時開始，t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為Scm.解答下列問題：（1）當t=3秒時，求S的值； （2）當t=5秒時，求S的值；（3）當5秒t8秒時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.ABQCRPD分析：當?shù)妊黀QR從C、Q兩點重合開始，以1cm/秒的速度沿直線向左勻速運動時，正方形ABCD與等腰PQR重合部分圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決。運動過程中有四個特殊位置點,它們分別是點B、

5、C、R和等腰PQR底邊的中點E,這四個特殊位置點就是分類討論問題的“分界點”.因為正方形ABCD的邊長為5cm，等腰三角形RQR的底邊QR=8cm，（1）所以當t4秒時，QE逐漸地與與BC完全重合，則S是QCG的面積，所以，當t=3秒時，S是QCG的面積（如圖一的“靜態(tài)”）；（2）當4秒t5秒時，即在點E落在線段上到點Q與點B重合，S是四邊形QCGP的面積（如圖二的“靜態(tài)”）；CB （圖一）AQRPDGE(圖一)（3）當5秒t8秒時，點Q、R都在線段BC外，點E在BC上，S是一個五邊形BCGPH的面積（如圖三的“靜態(tài)”）.RABCD（Q）PEG(圖二)ABCDPQREHG(圖三)即1、運動規(guī)律

6、；2、思考初始；3、動中取靜；4、找等量關(guān)系; 5、列方程；6、是否分類討論：7、確定分界點。三、 典型例題（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖2所示）.將紙片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一直線上），當點于點B重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點E,與分別交于點F、P.(1) 當平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2) 設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積

7、等于原面積的.若存在，求x的值；若不存在，請說明理由. PEFAD1BD2C1C2圖2圖1圖3分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：將沿直線（AB）方向平移（點始終在同一直線上），當點于點B重合時，停止平移.所以這是一個圖形的平移運動2、思考初始；找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：（1）因為在中，所以由勾股定理，得（2）因為，CD是斜邊上的中線，所以，即.（3），.第1問：“動”中取“靜”：讓圖形和各個幾何量都“靜”下來。因為是平移，所以，所以.所以，所以，.同理：.又因為，所以.所以第2問：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）按題目指定的運動路徑運動一遍，重疊部分圖

8、形的形狀不發(fā)生改變，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補法知道（4）“動”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為“不變量”，以為“向?qū)А比デ蟪鋈切蔚牡缀透?。（A）、的面積等于面積的一半，等于12.（B）、又因為，所以，所以，由得，又的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，所以.所以.（C）、又因為，所以.在直角三角形PFC2中，C2F=X，又因為，.所以 ，而所以第3問：是求特殊值問題，則建立方程模型求解；存在. 當時，即整理，得解得

9、，.即當或時，重疊部分的面積等于原面積的.解析 （1）.因為，所以.又因為，CD是斜邊上的中線，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因為，所以.所以（2）因為在中，所以由勾股定理，得即又因為，所以.所以在中，到的距離就是的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，由探究，得，所以.所以.又因為，所以.又因為，.所以 ，而所以(3) 存在. 當時，即整理，得解得，.即當或時，重疊部分的面積等于原面積的.（2006山東青島）如圖，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O是EFG斜邊上的中點如圖，若整個EFG從圖的位

10、置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，EFG也隨之停止平移設(shè)運動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點P與G、F重合的情況）（1）當x為何值時，OPAC ?（2）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19

11、.36，4.52 20.25，4.62 21.16）分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：若整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，EFG也隨之停止平移（1）整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移；（2）點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動；0x3.2、思考初始；（1）注意參考數(shù)據(jù)運用于計算平方、平方根或估算。（2）找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；RtEFGRtABC

12、，F(xiàn)G3cmEGAC第1問：（1）是特殊位置關(guān)系問題，建立方程模型求解。（2）“動”中取“靜”，讓圖形和各個幾何量都在特殊位置關(guān)系（OPAC）“靜”下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形。O是EFG斜邊上的中點當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）當x為1.5s時，OPAC 第2問：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）題目明確了是求四邊形OAHP的面積，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補法知道Y=S四邊形OAHP SAFH SOFP（4）“動”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，選擇OFD

13、的底為FP，需求邊FP上的高。我們視自變量為“不變量”，以PG=X為“向?qū)А比デ蟪鯫FD的底和高。在RtEFG中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過點O作ODFP ，垂足為 D 點O為EF中點，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 （0x3第3問：是求特殊值問題，則建立方程模型求解；假設(shè)存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHPSABCx2x3686x285x2500 （計算時注意參考數(shù)據(jù)的運用）解得 x1， x2 （舍去）0x3

14、，當x（s）時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324解析 （1）RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm 當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ， x 31.5（s）當x為1.5s時，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過點O作ODFP ，垂足為 D 點O為EF中點，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 （0x3（3）假設(shè)存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHPSABCx2x3686x285x

15、2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，當x（s）時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324（2006河北）如圖，在RtABC中，C90，AC12，BC16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動在運動過程中，PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ設(shè)運動時間為t（秒）（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形？（3）是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；A

16、PCQBD（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段內(nèi)（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，請簡要說明理由 分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動在運動過程中，PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ所以，這是雙動點P、Q+圖形PCQ翻折的運動。（1）動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C運動；（2）動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B運動；（3）

17、PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ.2、思考初始；找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在RtABC中，C90，AC12，BC16，AB=20，第1問：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）題目明確了是求四邊形PCQD的面積，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，y=2SPCQ（4）“動”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇直角PCQ的兩直角邊為底和高。我們視自變量（動量）為“不變量”（靜量），則以CQ4t，AP=3t為“向?qū)А鼻蟪鯬C123t，SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，

18、y=2SPCQ 第2問：（1）實質(zhì)是特殊位置關(guān)系問題，建立方程模型求解。（2）“動”中取“靜”，讓圖形在特殊情況（四邊形PQBA是梯形）“靜”下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.當四邊形PQBA是梯形時有PQAB.（2）PQAB時，應(yīng)有，則以此建立方程模型求解.（3）求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。）當時，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2當t2秒時，四邊形PQBA是梯形第3問：題目條件：是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（1）實質(zhì)是求兩線的特殊位值

19、關(guān)系，則仿照第2問的方法建立比例方程求解.（2）“動”中取“靜”，讓圖形在PDAB的情況“靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.設(shè)存在時刻t，使得PDAB，那么延長PD交BC于點M，如下圖，PDAB，APCQBDM（3）視“動量”為“靜量”，求出相關(guān)的常量或者以含有變量t的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。 若PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，QMD=B，QDM=C=90，RtQMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當t秒時，PDAB 第4問：通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得PDAB？若存在，請估計t的值在

20、括號中的哪個時間段內(nèi)（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，請簡要說明理由 (1)“動”中取“靜”，讓圖形 “靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.(2)由第3問知道當秒1t秒時，PDAB應(yīng)有1t，（3）“動”中取“靜”，讓圖形“靜”下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.假設(shè)PDAB于D， AP=3t，CPPD=123t，RtAPDRtABC4t=20-5t ，t= 存在時刻t，使得PDAB時間段為：2t3 解析 （1）由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，y=2SPCQ （2）當時，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形，CA=

21、12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2當t2秒時，四邊形PQBA是梯形 （2） 設(shè)存在時刻t，使得PDAB，延長PD交BC于點M，如下圖，若PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，APCQBDMQMD=B，QDM=C=90，RtQMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當t秒時，PDAB （4）存在時刻t，使得PDAB 時間段為：2t3 （2010年河北?。┤鐖D16，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原

22、速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點P，Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止設(shè)點P，Q運動的時間是t秒(t0)（1）設(shè)PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）（2）當BP=1時，求EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由MADCBP

23、QE圖1ADCB（備用圖）M分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點P，Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止表明上動的是兩點，實際上由兩點引出的等邊三角形EPQ是運動圖形。題目中點P從點M出發(fā)沿MB向B點勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；而點Q從點M出發(fā)在射線MC上勻速運動，由于點P的往返運動，且P、Q兩點的運

24、動速度相同，所以這兩點運動形成的等邊三角形EPQ的特征為：當0t4時，三角形EPQ的大小隨著時間的增加逐漸變大，但PQ邊的中點始終是點M,相當于位似變換；當t4時，隨著時間的增加，三角形EPQ的大小始終不變，相當于平移變換。（這樣的變換非常新穎，但是涉及的變換又是很簡單的）2、思考初始；找出初始位置時某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點M是BC的中點，則MB=MC=4. CD可求。PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，第1問：在點P從點M向點B運動的過程中，P、Q兩點的運動速度相同，y=MP+MQ=t+t=2t第2問：（1）BP=1有點P到達點B點前、后兩

25、種情況，則需分類討論解決。當BP=1時，有兩種情形：如圖2，若點P從點M向點B運動，有MB = 4，MP=MQ =3，ADCBPMQE圖2PQ=6（現(xiàn)在判斷點E落在梯形ABCD內(nèi)、外的位置，以確定EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀。連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為若點P從點B向點M運動，由題意得t=4+1=5PQ=BM+MQBP=4+5-1=8，PC=8-1=7(此時點E顯然是在AD上方?！皠印敝腥　办o”，讓圖形 “靜”下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形. 以確定EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀) .ADCBPM

26、QEFHG圖3設(shè)PE與AD交于點F，QE與AD或AD的延長線交于點G，過點P作PHAD于點H，則HP=，AH=1在RtHPF中，HPF=90-60=30， HF=3，PF=6FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2又FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2，F(xiàn)G= FD=2，點G與點D重合。如圖3此時EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為（把握運動變化的全過程，確定EPQ與梯形ABCD重疊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵）第3問：求隨著時間t的變化，線段AD被EPQ覆蓋線段的長度能否持續(xù)一個時段達到最大值。因為當t4時，隨著時間的增加，三角形EPQ的大小始終不變，相當于平移變換。這樣，線段AD被EPQ覆蓋線段的長度達到最大值，且持續(xù)到被覆蓋線段的右端點到達D點，根據(jù)前面的解答知，此時t=5。所以，能4t5解：（1）y=2t；（2）當BP=1時，有兩種情形：ADCBPMQE圖2如圖2，若點P從點M向點B運動，有MB = 4，MP=MQ =3，PQ=6連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為 若點P從點B向點M運動，由題意得 PQ=BM+MQBP=8，PC=7設(shè)PE與AD交于