高三數(shù)學一輪復習7.3空間點、直線、平面之間的位置關

1、空間點、直線、平面之間的位置關系（45 分鐘 100 分 ）一、選擇題 （ 每小題 5 分 , 共 40 分 ）1. 若兩條直線和一個平面相交成等角 , 則這兩條直線的位置關系是（）A. 平行B. 異面C. 相交D. 平行、異面或相交【解析】 選 D. 當平行、異面或相交時, 均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現(xiàn).2 .已知E,F,G,H是空間內(nèi)四個點,條件甲：E,F,G,H四點不共面,條件乙：直線EF和6杯相交,則甲是乙成立 的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【解析】 選A.點E,F,G,H四點不共面可以推出直線EF和GH不相交；但由

2、直線EF和GH相交不一定能推出E,F,G,H四點不共面.例如，EF和GH平行,這也是直線EF和GH不相交的一種情況，但E,F,G,H四點共面. 故甲是乙成立的充分不必要條件.3 .若直線l不平行于平面a ，且l ? a ,則（）A. a內(nèi)的所有直線與l異面B. a內(nèi)不存在與l平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與l平行D. a內(nèi)的直線與l都相交【解析】選B.由題意知直線l與平面a相交，不妨設直線l A a =M,對A,在a內(nèi)過M點的直線與l不異面，A 錯誤；對B,假設存在與l平行的直線 m,則由m/ l且l ?a得l / a，這與l A a =M矛盾，故B正確,C錯誤； 對D, a內(nèi)存在與l異面

3、的直線，故D錯誤.4 .（2013 湖州模擬）下列四個命題中真命題是（）A. 垂直于同一直線的兩條直線互相平行B. 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條C. 底面各邊相等、側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱D. 過球面上任意兩點的大圓有且只有一個【解析】 選 B. 垂直于同一條直線的兩條直線之間的關系可以平行、相交和異面; 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線只有一條；正四棱柱的概念是底面是正四邊形，側(cè)棱都與底面垂直；過球面上任意兩點的大圓不一定是唯一的，若所取的任意兩點與球心在同一直線的話，就可以得到無數(shù)個大圓了 .故選B.5 .（2013 臺州模擬）下列四個命題中，真命題的個數(shù)

4、為（）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；兩條直線可以確定一個平面；若 MC a ,M 3 , a A 3 =l ,則 MC l ；空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi).A.1B.2C.3D.4【解析】選A.兩個平面有三個公共點，若這三個公共點共線，則這兩個平面相交，故不正確；兩異面直線 不能確定一個平面，故不正確；在空間，交于一點的三條直線不一定共面 （如墻角），故不正確；據(jù)平面的 性質(zhì)可知正確.6 .（2013 東城模擬）設人臼右。是空間四個不同的點,在下列命題中,不正確的是（）A.若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C.若

5、AB=AC,DB=DC,U AD=BCD.若 AB=AC,DB=DC,U AD± BC【解析】選C.A中，若AC與BD共面，則A,B,C,D四點共面，則AD與BC共面；B中，若AC與BD是異面直線，則A,B,C,D四點不共面，則AD與BC是異面直線；C 中，若 AB=AC,DB=DC,A冰一定等于 BC;D 中，若 AB=AC,DB=DCT以證明 AD± BC.7 .（2013 沈陽*II擬）正方體AC中,E,F分別是線段BC,GD的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是（）A.相交B.平行C.異面D.以上都有可能【解析】 選A.如圖所示，連接CD,則CDnCD=F，因為

6、AB/CD,所以直線AiB與CD確定的平面為AiBCD.E BC,所以EF?平面AiBCD,且兩直線不平行，故兩直線 相交.【加固訓練】將正方體紙盒展開如圖所示，直線AB,CD在原正方體中的位置關系 是（）C.相交成60°角D.異面且成60°角【解析】選D.折起后如圖，顯然AB與CD異面，因為AM/ CDQAM斯正三角形，所以/ MAB=60 .8 .正四棱錐S-ABCD勺側(cè)棱長為 在,底面邊長為V3,E為SA的中點,則異面直線BE和SC所成的角為（）A.30 °B.45 °C.60°D.90 °【解析】選C.如圖，設AC中點為。，則

7、OE SC,101 詬則/ BEO使其補角）即為異面直線 BE和SC所成的角,由EO=SCj,BOBDj, 22221 va 一c 缶 / c V Vs ABZ-FAEZ-BEZ在 SAB中,cos / SAB=3=一=SA <2 42 AB AE所以 BE=/2.在 BEO中,cos / BEO=,XL-所以/ BEO=60 .【方法技巧】求異面直線所成角的三步驟（1）作：通過作平行線得到相交直線.（2）證:證明相交直線夾角為異面直線所成的角.（3）算：通過解三角形求出角.二、填空題（每小題5分，共20分）9 .（2013 嘉興模擬）a,b,c是空間中的三條直線，下面給出三個命題：若a

8、/ b,b / c,則all c;若a / b,b與c異面，則a與c異面；若a,b與c成等角，則a / b.上述命題中正確的命題是 （只填序號）.【解析】由基本性質(zhì)知正確；當a / b,b與c異面時,a與c可能相交也可能異面，故不正確；當a,b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故不正確 答案：，則表示直線 GH與MN是異面直線的圖形10 .如圖，G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點【解析】中,GM/ HN,所以G,M,N,H四點共面，從而GH與MNtt面；中，根據(jù)異面直線的判定定理，易知GH與MN#面.答案：【加固訓練】 如圖，E,F是AD上互異的兩點,G,H是BC上互

9、異的兩點，由圖可知，AB與CD互為異面直線FH分別與DC,DB互為異面直線；EG與FH互為異面直線；EG與AB互為異面直線.其中敘述正確的是A.B.C.D.【解析】選A.根據(jù)圖形，AB與CM為異面直線，故正確；當5點與D重合時，B,F,C,H四點共面，F(xiàn)H與DC,DB不為異面直線，故錯誤；由于EG與FH不可能共面（否則A,B,C,D四點共面），所以EG與FH互為異面直線, 故正確；當G與B重合時，AB與EG為共面直線,故錯誤.所以應選A.11 .如圖，已知圓柱的軸截面 ABBAi是正方形,C是圓柱下底面弧 AB的中點，Ci是圓柱上底面弧 AB的中點，那么異面直線 AG與BC所成角的正切值為 .

10、A V.“二萬 B【思路點撥】取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接GD,AD,則可得直線AG與AD所成角等于異面直線 AG與BG所成角，利用圓柱的軸截面 ABBAi是正方形，可得CD=/2aD,從而可得結(jié)論.【解析】取圓柱下底面弧 AB的另一中點D,連接GD,AD,則因為G是圓柱下底面弧AB的中點，所以 AD）/ BC,所以直線AC與AD所成角等于異面直線 AC與BC所成角,因為。是圓柱上底面弧 AiBi的中點,所以CiDL圓柱下底面，所以0D±AD,因為圓柱的軸截面 ABBAi是正方形,所以 CiD=.二AD,所以直線AC與AD所成角的正切值為 V2,所以異面直線 AC與BC所成角

11、的正切值為 V2.答案：二12 .已知線段AB,CD分別在兩條異面直線上，M,N分別是線段 AB,CD的中點，則MNJ（AC+BD）（填“>”).【解析】如圖所示，四邊形ABC虛空間四邊形，而不是平面四邊形，要想求MNf AC,BD的關系，必須將它們轉(zhuǎn)化到平面來考慮 .取AD的中點為G,再連1接”6。6在 ABD4同理，在 ADC中,NG / AC,且 NG-AC,又根據(jù)三角形的三邊關系 知,MN<MG+NG, 即 MN<BD+AC=(AC+BD).答案：< 三、解答題（13題12分,1415題各14分）13.已知在空間四邊形 ABCM ,AB=CD=3,E,F分別為B

12、C,AD上的點，并且BE： EC=AF： FD=1 ： 2,EF=V7,求AB與CD所成的角的大小. 【解析】 取BD上一點H,使得BH： HD=1： 2.連接FH,EH,由題意知FH/ AB,EH/ CD,則/ EHF為異面直線 AB 與CD所成的角（或其補角）. ,M,G分別是線段 AB,AD的中點，則MG/ BD,且MG=BD,又 AF : FD=BH HD=BE： EC=1: 2,21所以 FH= AB=2,HE= CD=1.一 , 一在4EFH中，由余弦定理知：cos / EHF=EH34-FHz-KF2 13+2z-72EHFH-9 -即異面直線AB與CD所成的角為60°

13、【誤區(qū)警示】 本題易忽視異面直線所成角的取值范圍(0, .在解答過程中易誤認為/ EHF即為異面直線AB與CD所成的角.實際上，當/EHF為銳角或直角時，為兩條異面直線 AB與CD所成白角；而當/ EHF為鈍角時，它為異面直線 AB與CD所成角的補角14 .如圖，已知：E,F,G,H 分別是正方體 ABCD-ABiCiD的棱AB,BC,CC,CQ的中點，證明：FE,HG,DC三線共點.【證明】連接CB,HE,FG,由題意知HC/ EB,且HC=EB.所以四邊形 HCBE是平行四邊形.所以HE/ CiB.又 CiG=GC=CF=BF GF/ CiB,1且 GF= CiB, 2所以GF/ HE,且

14、GFw HE,所以HG與EF相交.設交點為 K,則KC HG,HG平面DGCD,所以KC平面DGCD.因為 KC EF,EF?平面 ABCD,所以KC平面ABCD.因為平面DCCDH平面ABCD=DC,所以KC DC,FE,HG,DC三線共點.15 .(能力挑戰(zhàn)題)(2013 杭州模擬)如圖，在三麴t A-BCD中,E,F,G,H分別是以邊 AB,BC,CD,DA 的中點.若AC=BD求證：四邊形EFGK菱形.e 吁£(2)當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH正方形？。1之【解析】(1)在4ABC中,E,F分別是邊AB,BC中點，/j*. 1B FC所以 EF/ AC,且 EF= AC,1同理有