雙曲線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

1、雙曲線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講 一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2的距離的差的絕對(duì)值 等于常數(shù)（大于零且小于 F1F2 ）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為M |MF1 MF2| 2a（0 2a F1F2）注（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支（2）當(dāng)2a F1F2時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以Fi和F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a 0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 的垂直平分線.（3） 2a F1F2時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：條件" |F1F2 2a”是否成立；要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定

2、a2, b2的值），注意a2 b2 c2的應(yīng)用.二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)如表10-2所示.表 10-2標(biāo)準(zhǔn)方程22今冬 1(a 0,b 0)a2b222與與 1(a 0,b 0)a2 b2圖形bly xBr42滬父生by - x a工xaKV bx焦點(diǎn)坐標(biāo)E( c,0), F2(c,0)F1(0, c), F2(0,c)對(duì)稱性關(guān)于x , y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1( a,0), A2 (a,0)AM0,a), A2(0, a)范圍lxl aly a實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為2a ,虛軸長(zhǎng)為2b離心率c bb2e a寸1 3 (e 1)漸近線方 程22.人x

3、yb令 r370y_x ,aba焦點(diǎn)到漸近線的距離為b22人yxa令二：0 y _ x , abb焦點(diǎn)到漸近線的距離為b點(diǎn)和雙曲 線的位置關(guān) 系1,點(diǎn)(x0, y0)在雙曲線內(nèi)x2y2(含焦點(diǎn)部分)a2 了 1,點(diǎn)(x0, y0)在雙曲線上1,點(diǎn)(x0,yo)在雙曲線外1,點(diǎn)(x0, y0)在雙曲線內(nèi)y2x2(含焦點(diǎn)部分)a2b21,點(diǎn)(x0, y0)在雙曲線上1,點(diǎn)(x0, y0)在雙曲線外共焦點(diǎn)的 雙曲線方 程221( a2 k b2) a k b k221( a2 k b2) a k b k共漸近線 的雙曲線 方程22與 a ( 0)a b22匕 2(0)a b切線方程W與1,(x0,y

4、。)為切點(diǎn) a by0 yx0x岑T1, (x。, V。)為切點(diǎn)a b切線方程對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)(x°, y°)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中 x2換為x°x , y2換成yoy便得.切點(diǎn)弦所 在直線方 程-0T- "y02y 1,(x°, y°)為雙曲線外一 a b占八、2-02-1, (x0, y0)為雙曲線外一a b占八、點(diǎn)(x°, y°)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為 A(x1, 則弦長(zhǎng)AB J k2 x1 x2 x1 x2 x x1 x2 2 4x1x2 的一元二次方程的“ x

5、2”系數(shù).y1)，B(x2,y2), kAB k.J1 .2 |y1 y2|(k 0),k kI,其中“ a”是消“ y ”后關(guān)于“ x” a通徑一一 _ _2b通徑(過焦點(diǎn)且垂直于 F1F2的弦)是同支中的最矩弦，其長(zhǎng)為a雙曲線上一點(diǎn)P(xo，yo)與兩焦點(diǎn)Fi,F2構(gòu)成的 PF1F2成為焦點(diǎn)三角形,設(shè)F1PF2PFiPF22,則 cos 1 空焦點(diǎn)三角形PF1F21r1r2 sin2sin1 cosb2b2tanC y0|,焦點(diǎn)在x軸上c|x0|,焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是PFiPF1F2F1F2PPF2 2a(2a 2 c) 12 PF1 PF2 sin F1PF2PF1

6、PF22PF1 PF2等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線a b 離心率等軸雙曲線兩漸近線互相垂直 漸近線方程為yx 方程可設(shè)為(0).題型歸納及思路提示題型1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程思路提示求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：(1)在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù) 求方程.a , b, c,即利用待定系數(shù)法(2)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義 法求方程.5例10.11設(shè)橢圓C1的離心率為 ,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1326,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于 8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)

7、方程為Ax2422 y 322B. 17C x22D.17解析設(shè)G的方程為2x-2a0)，2ac265 ,得1313橢圓Cl的焦點(diǎn)為Fi( 5,0), F2(5,0),因?yàn)?FlF2且由雙曲線的定義知曲線C2是以Fl,F2為焦22x y點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 r 1 ,故選A.4232變式1設(shè)命題甲：平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)又下2和一動(dòng)點(diǎn)M ,使得|MFiMF21為定值，命題乙：點(diǎn) M的軌跡為雙曲線，則命題甲是命題乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 變式2已知M( 2,0)和N(2,0)是平面上的兩個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足|PMPN| 2 ,

8、求點(diǎn)的P軌跡方程.變式3已知M( 2,0) , N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足PM例10.12 求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：PN 2< 2，記動(dòng)點(diǎn)的P軌跡為W ,求W的方程.(1)經(jīng)過點(diǎn)(5,2),焦點(diǎn)為(76,0);22(2)實(shí)半軸長(zhǎng)為2J3且與雙曲線 匕 1有公共焦點(diǎn);164(3)經(jīng)過點(diǎn) P(3,2T7) , ( 62,7).分析利用待定系數(shù)法求方程.設(shè)雙曲線方程為故可設(shè)雙曲線方程為ycv16 ,所以 a2 b2故所求雙曲線方程為y2 1.22y-1 ( a 0 , ba 2 b 2求雙曲線方程，即求參數(shù) a, b,為此需要找出并解關(guān)于a, b的兩個(gè)方程.解析(1)解法一：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐

9、標(biāo)為(J6,0),焦點(diǎn)在X軸上,a254一一.x ,又雙曲線過點(diǎn)(5,2),所以二) 1 ,又因?yàn)閎a2b2一 . 一 226 ,解得 a 5 , b 1 ,解法二：由雙曲線的定義|MF1MF2| 2a,35 10 635 10 62a J 5 .6 2 22 V 5 <6 2 22|30 V5 %/J30 V5| 2J5.2得a v5 , c 而故b 1,雙曲線方程為y2 1.(2)解法一：由雙曲線方程161,得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為FK 2，5,0), F2(2j5,0),由題意，可設(shè)所求雙曲線方程為y由已知a 2J3,c 2<5 ,得 b22雙曲線方程為12解法二：依題意，設(shè)雙曲線的方

10、程為16 k1(3)2mx評(píng)注一 2由 2J316 k .得 k 4,故所求曲線的方程為因?yàn)樗箅p曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，但不知焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,122匕1.8故可設(shè)雙曲線方程為ny2 1(mn 0),因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,2>/7) , ( 672,7),所以2彳75 ,故所求雙曲線方程為 L12521.7525求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，若焦點(diǎn)坐標(biāo)確定，一般僅有一解;在x軸上還是在y軸上，可能有兩個(gè)解，而分類求解較為繁雜，2mxny2 1(mn 0),求出即可 m,n ,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.變式1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)2y 1有共同的漸近線，且過點(diǎn) (3,3/

11、3);16(2)2與雙曲線162、一1有公共焦點(diǎn)；且過點(diǎn)(3/2,2).4變式2若動(dòng)圓M與圓C1 : x 3 2 y2 9外切，且與圓C2 : x 39m72m28n49n若焦點(diǎn)坐標(biāo)不能確定是此時(shí)可設(shè)雙曲線的統(tǒng)一方程22, ,，一 - _. 一y 1內(nèi)切，求動(dòng)圓M的圓心M的軌跡方程例 10.13已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)分別為(4,0), (4,0),則雙曲線方程為(2 x A.42匕112B.12C.10D.2 y10解析由焦點(diǎn)為(4,0),(4,0),可知焦點(diǎn)在x軸上,故設(shè)方程為1(a0,b 0),22.所以a 4c2 1612,故所求雙曲線的方程為2 y121.故選A.2變式1已知雙曲

12、線與 a2y2 1(a 0,b b20)的一條漸近線方程為v 3x , 一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線2y224x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為(2A. 362工1108B.22x y9272C.1082L 136D.2 x27變式2已知雙曲線2 x -2 a2 y b2的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為()2A. 20B.2 y20C.802匕1202D.202 y80變式3已知點(diǎn)P(3,2 x4)是雙曲線五 a2 y b21(a0,b0)漸近線上的一點(diǎn),E,F是左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若EP FP 0 ,則雙曲線的方程為(22x y /A.1 B.34C.2L 1162 x D.16題型2雙曲

13、線的漸近線思路提示掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求;由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可b的關(guān)系式，為求雙曲線方程提供了一個(gè)條件.另外,焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)b .例 10.14x2雙曲線22y-1的漸近線方程為()4A. yB. y 2xC. y1D. y x2分析 對(duì)不標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線方程應(yīng)首先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再去研究其圖形或性質(zhì)，不然極易出現(xiàn)錯(cuò)誤解析2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)41 ,焦點(diǎn)在y軸上，且a224, b 2 ,故漸近線方程為y b x ,故所求漸近線方程為y2-=x ,即 yJ2x.故選 A.,2評(píng)注應(yīng)熟記，若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22x- y- 1,則焦點(diǎn)落在x軸

14、上，漸近線方程為 ya2 b2b x ;若雙a22曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y201,則焦點(diǎn)落在y軸上，漸近線方程為 y a bax.本題也可以直接寫出漸近 b一 一x2線方程為上22y0 ,化簡(jiǎn)得y4、,2x.2變式1已知雙曲線x2 Yyb21(b 0)的一條漸近線的方程為 y 2x ,則b變式22y- 1(a 0)的漸近線方程為3x 2y 0 ,則a的值為( 9A.4B.3C.2D.1變式3x2已知雙曲線一221 1(b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為FF2,其中一條漸近線方程為y x,點(diǎn)bP(J3,y°)在該雙曲線上，則 PE PF2等于()A.-12B.-2C.0D.4例 10.15雙曲線16

15、2y- 1的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離是9解析 由題設(shè)可知其中一條漸近線方程為3x 4y 0 ,則焦點(diǎn)(5,0)到該漸近線的距離3 532423.2評(píng)注雙曲線告 a2b.y- 1的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離(焦?jié)u距)為 b2變式,x21雙曲線一61的漸近線與圓x 3 2y2r2(r0)相切，則r ()A.B. 2C.3D.622變式2已知雙曲線 2 y 1(a 0,b 0)的兩條漸近線均和圓 a2b2C :x22y 6x 5 0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(2A. x_522bJ匕1452C. £32D. 土6例 10.16過雙曲線2 x-2 a2yr1(a 0

16、,bb0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為BC,作為雙曲線的漸近線方程為解析解法一：對(duì)于 A(a,0),則直線方程為 x0 ,將該直線分別與兩漸近線聯(lián)立，解得abi b則有BC2a2ba2 b2,2a2ba2 b2ABaba baba b，因?yàn)?AB - BC ,2abba2b2r2 ，ab得b 2a ,故b2 4a2,得雙曲線方程為2 y 4a21,則雙曲線的漸近線方程為2x0.解法二：如圖故 D( 2a,0).10-5所示，過1則由AB 12又 CDOBOA COD ,所以CD CO,則 H 為 OD 中點(diǎn)，即 H( a,0).又在直角三角形CHA中，C

17、HA45，故 CHAH2a, 1PC( a,2a).故 b a2a 2a即b 2 ,故雙曲線的漸近線方程為 a2x y 0.評(píng)注在解法一種，若注意到 AC3AB ,則可利用 y 3yB巧妙求解；解法二更能幫助我們挖掘出圖形的本質(zhì)特征.變式1過雙曲線C：x2 y2 1的右頂點(diǎn) A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于 P, Q兩點(diǎn)，且PA 2AQ ,則直線l的斜率為題型3離心率的值及取值范圍 思路提示求離心率的本質(zhì)就是探求a, c間的數(shù)量關(guān)系，知道a , b , c中任意兩者的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出e或其范圍，具體方法為標(biāo)準(zhǔn)方程法和定義法例 10.172 已知雙曲線x-2y1 ,則此雙曲線的離

18、心率3A.B.2C.解析2由題思可知ab2 3,故c2b27 ,所以離心率e -三7 .故選D.a 2評(píng)注本題若借用公式e ,則更為簡(jiǎn)潔，因?yàn)榇朔N方法在求解過程中避 2開了基本量c的求解從而使得求解過程變得更為簡(jiǎn)捷.但是同學(xué)們應(yīng)對(duì)公式：橢圓中1b2(0e 1)；雙曲線中e2ab2(e 1),加以熟練識(shí)記.a變式卜列雙曲線中離心率為的是2A.2B.4C.2D.42L 110變式已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線2 c x C:-a2 y b21(a0,b 0)上,C的焦距為4,則它的離心率為變式公 ,x2已知雙曲線41的離心率(1,2),則m的取值范圍是(A.12,0) B.(,0)C.(3,0)D. (

19、 60, 12)例10.18已知雙曲線的漸近線方程是2xy 0,則該雙曲線的離心率等于分析c222a b得出離心率.解析依題意，雙曲線的漸近線方程是y 2x.若雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，則因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為b x ,故有92 ,所以離心率因?yàn)椴淮_定焦點(diǎn)在 x軸上還是在y軸上，所以需分情況求解，由漸近線中的a, b關(guān)系，結(jié)合若雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上，則因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為yax ,故有芻2 ,即b -,所以離bba2心率e;故離心率e等于J5或2,52評(píng)注若雙曲線方程為2 y b11（a 0,b 0）時(shí)（焦點(diǎn)在x軸上），其漸近線方程為y2若雙曲線方程為4a1（a 0,b 0）時(shí)（焦點(diǎn)在y

20、軸上），其漸近線方程為 yabx；若雙曲線的漸近線方程為y kx（k 0）；則其離心率e Ji k2 （焦點(diǎn)在x軸上）點(diǎn)在y軸上）；若雙曲線的離心率為則其漸近線方程為 yqe2 1 x （焦點(diǎn)在x軸上）或yx (焦點(diǎn)在y軸上）.變式1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（4, 2）,則它的離心率為（A. 6 B. .5C.22變式2若雙曲線白 a2 匕 b21（a 0,b 0）的離心率e43 ,則其漸近線方程為例10.19已知雙曲線2A 1(a 0,b 0). b（1）若實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率 ；（2）若實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距成等比數(shù)列，則該雙曲線的離

21、心率 .2解析 （1）由題設(shè)可知2b a c,且c2 a2 b2,故c2 a2 -ac ,2得 c a a一c ,即 3c 5a,所以 e 5 .43（2）由題設(shè)可知b2 ac,且c2 a2 b2,即c2 a2 ac ,由e ,可得e2 e 1 0,得ea或5 （舍去），所以e 三5.22變式1設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為 F ,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么雙曲線的離心率是（A. 2 B. ,3C C.222變式2如圖10-6所示，雙曲線與 與 1(a 0,b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 AA,虛軸兩個(gè)端點(diǎn)為 巳艮, a b兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi,F2,若以A4為直徑的圓內(nèi)切于菱形

22、F1B1F2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則(1)雙曲線的離心率e 菱形F1B1F2B2的面積S與矩形ABCD的面積S2的比值Fi, F2,過Fi作傾斜角為30的直線交2x例10.20雙曲線？a2y2 1(a b0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為雙曲線右支于點(diǎn)M ,若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為(A. ,6 B. .3.3D.3解析 依題意，如圖10-7所示，不妨設(shè)MF21,則 MF12變式1 已知MF1 MF2,變式2 已PF1PF2F1F2J3,則2XFi,F2是雙曲線x7aMF2 F1-6B.22c2aF1F2MF1mf2v3 ,故選B.24 1(a Qb 0)的兩個(gè)焦點(diǎn) b230

23、,則雙曲線的離心率為(3 1D.222F1,F2是雙曲線與yY 1(a 0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，a b6a,且PFR的最小內(nèi)角為30 ,則C的離心率為為雙曲線上的點(diǎn)P是C上一點(diǎn)22例10.21雙曲線x21 1(a 0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，若P為其上一點(diǎn)，且PF12 PF2a b則雙曲線的離心率的取值范圍是(A. (1,3) B. 1,3 C. (3,) D. 3,解析解法一：由雙曲線的定義知PFiPF2| 2a, PF1 2PF2 ,故 PFi 4a, PF2 2a,又PFiPF2F1F2 2c ,故 6a 2c,即 e 3 ,又 e 1,故 1 e 3,故選 B.PFi解法二：利用

24、-的單調(diào)性,PF2PF1PF2PF2 2aPF22aPF2PF2的增加,PF1PF2減小,也就是說,當(dāng)P點(diǎn)右移時(shí),PF1值減小，故要在雙曲線上找到一點(diǎn)PF222評(píng)注 若在雙曲線x2 -yr 1(a a b1、，11 e ,汪息與橢圓中 e110,b 0)上存在一點(diǎn)P ,使得| PR1(1)類似結(jié)論的區(qū)分和對(duì)比識(shí)記.PF2 (1),則PF1P ,使得L 2 ,而當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線的右頂PF2PF1 一 a c點(diǎn)時(shí)，-2,得幺c 2 3a c,則1 e 3,PF2Ic a故選B.圖 10-822變式1已知雙曲線 1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1( c,0), F2(c,0),若雙曲線上存在a

25、 bsin PFEa點(diǎn)P使式2 a ,則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .sin PF2F1c題型4焦點(diǎn)三角形思路提示對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即PFj |PF2|2a,在焦點(diǎn)三角形_一一 、一 一一，.，一 一 ，一1一 i _面積問題中右已知角，則用 Spf f PF1 PF2 Sin , PF1 PF22a及余弦定理等知識(shí)；若未知2,1角，則用 S pf1f2 2c yo .2 2例10.22過雙曲線 - -y- 1左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于兩點(diǎn)M,N, F2為其右焦點(diǎn)，則43MF2NF2 MN 的值為.分析利用雙曲線的定義求解解析 如圖10-8所示，由定

26、義知 MF2MF14, NF2NF14,所以 MF2 NF2MF1 NF1 8,所以 MF2 NF2 MN 8.變式1設(shè)P為雙曲線x22y ，一一 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i12是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若12PFi : PF23: 2 ,則PF1 F2的面積為（）A. 6 .3B.12C. 12,3D.24變式2雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1 ,F2，點(diǎn)P在雙曲線上,pfe的面積為J3,則pf1 pf2A.2B. .3C.-2D.,3變式3已知Fi,F2分別為雙曲線C：2 y271左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)AC ,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0） , AM為F1AF2的平分線,則 AF2有效訓(xùn)練題21.已知雙曲線 m2y 1,直線l過其左焦點(diǎn)7F1,交雙曲線左支于A, B兩點(diǎn)，且AB4, F2為雙曲線的右焦點(diǎn)，ABF2的周長(zhǎng)為20,則的值為（A. 8B. 9C. 16D. 202.若點(diǎn)。和點(diǎn)F（ 2,0）分別為雙曲線1(a0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則OP FP的取值范圍為（A.3 2.3,B.2.3,C.74,3.已知F1 ,F2為雙曲線2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF12PF2，貝Ucos F1PF