大學(xué)物理答案第7～8章

1、第七章真空中的靜電場q2q-4q2q習(xí)題71圖71 在邊長為a的正方形的四角，依次放置點電荷q,2q,-4q和2q，它的幾何中心放置一個單位正電荷，求這個電荷受力的大小和方向。解：如圖可看出兩2q的電荷對單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為方向由q指向-4q。72 如圖，均勻帶電細(xì)棒，長為L，電荷線密度為。（1）求棒的延長線上任一點P的場強(qiáng)；(2)求通過棒的端點與棒垂直上任一點Q的場強(qiáng)。解：（1）如圖72 圖a，在細(xì)棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標(biāo)，dqldx，設(shè)棒的延長線上任一點P與坐標(biāo)原點0的距離為x，則0dqxdx,P習(xí)題72 圖ax則整根細(xì)棒在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為

2、方向沿x軸正向。（2）如圖72 圖b，設(shè)通過棒的端點與棒垂直上任一點Q與坐標(biāo)原點0的距離為y0dqxdx,P習(xí)題72 圖bydEqyQq00， 因，代入上式，則，方向沿x軸負(fù)向。73 一細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分布有電荷q，求半圓中心O處的場強(qiáng)。解：如圖，在半環(huán)上任取dl=Rdq的線元，其上所帶的電荷為dq=lRdq。對稱分析Ey=0。dqqqdExy習(xí)題73圖R，如圖，方向沿x軸正向。74 如圖線電荷密度為1的無限長均勻帶電直線與另一長度為l、線電荷密度為2的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。解：在2的帶電線上任取一dq，1的帶電線是無限長，它在dq處產(chǎn)生的

3、電場強(qiáng)度由高斯定理容易得到為，a12習(xí)題74圖0xdq兩線間的相互作用力為如圖，方向沿x軸正向。75 兩個點電荷所帶電荷之和為Q，問它們各帶電荷多少時，相互作用力最大？解：設(shè)其中一個電荷的帶電量是q，另一個即為Qq，若它們間的距離為r，它們間的相互作用力為相互作用力最大的條件為由上式可得：Q=2q，q=Q/276 一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為，求球心處電場強(qiáng)度的大小。 yqr習(xí)題76圖o解：將半球殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為dq在o點產(chǎn)生的電場據(jù)（710）式為，。如圖，方向沿y軸負(fù)向。77 設(shè)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E與半徑為R的半球面對稱軸平行，計算通過此半球面電場強(qiáng)度的通量

4、。S1S2E習(xí)題77圖解：如圖，設(shè)作一圓平面S1蓋住半球面S2，成為閉合曲面高斯，對此高斯曲面電通量為0，即78 求半徑為R，帶電量為q的空心球面的電場強(qiáng)度分布。解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而它所產(chǎn)生的電場分布也具有球?qū)ΨQ性，與帶電球面同心的球面上各點的場強(qiáng)E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S1與S2。對S1與S2，應(yīng)用高斯定理，即先計算場強(qiáng)的通量，然后得出場強(qiáng)的分布，分別為r0R習(xí)題718圖得 （r<R） (r>R)79 如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為，求板內(nèi)外的電場分布。解:帶電平板均勻帶電，在厚度為d

5、/2的平分街面上電場強(qiáng)度為零，取坐標(biāo)原點在此街面上，建立如圖坐標(biāo)。對底面積為A，高度分別為x<d/2和x>d/2的高斯曲面應(yīng)用高斯定理，有d習(xí)題79圖0xE得 710 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其體電荷密度為，0為常數(shù)。求場強(qiáng)分布。習(xí)題710圖ro解： 據(jù)高斯定理有時：時：711 帶電為q、半徑為R1的導(dǎo)體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為R2、R3。（1）球殼的電荷及電勢分布；（2）把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢分布；（3）再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢。解：（1）靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶q，外表面帶q電荷。據(jù)（723）式的結(jié)論得： oR1R

6、2R3q-qq習(xí)題711圖（2） （3）再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶q/，球殼內(nèi)表面帶q/，外表面帶q/q。得：712 一均勻、半徑為R的帶電球體中，存在一個球形空腔，空腔的半徑r(2r<R)，試證明球形空腔中任意點的電場強(qiáng)度為勻強(qiáng)電場，其方向沿帶電球體球心O指向球形空腔球心O/。證明：利用補(bǔ)缺法，此空腔可視為同電荷密度的一個完整的半徑為R 的大球和一個半徑為r 與大球電荷密度異號完整的小球組成，兩球在腔內(nèi)任意點P產(chǎn)生的電場分別據(jù)例77結(jié)果為oo/pr2r1習(xí)題712圖, E=E1+E2=上式是恒矢量，得證。713 一均勻帶電的平面圓環(huán)，內(nèi)、外半徑分別

7、為R1、R2，且電荷面密度為。一質(zhì)子被加速器加速后，自圓環(huán)軸線上的P點沿軸線射向圓心O。若質(zhì)子到達(dá)O點時的速度恰好為零，試求質(zhì)子位于P點時的動能EK。（已知質(zhì)子的帶電量為e，忽略重力的影響，OP=L）R2oR1xp習(xí)題713圖解：圓環(huán)中心的電勢為 圓環(huán)軸線上p點的電勢為 質(zhì)子到達(dá)O點時的速度恰好為零有=714 有一半徑為R的帶電球面，帶電量為Q，球面外沿直徑方向上放置一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為，長度為L（L>R），細(xì)線近端離球心的距離為L。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場中的電勢能。解：在帶電細(xì)線中任取一長度為dr的線元，其上所帶的電荷元為dq=ldr，據(jù)（723）式帶電球面

8、在電荷元處產(chǎn)生的電勢為orQdr習(xí)題714圖電荷元的電勢能為: 細(xì)線在帶電球面的電場中的電勢能為： *715 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點P到盤心的距離為L。試求P點的電勢并利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系求電場強(qiáng)度。解：P到盤心的距離為L，p點的電勢為p習(xí)題715圖xo圓盤軸線上任意點的電勢為利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系得：P到盤心的距離為L，p點的電場強(qiáng)度為：716 兩個同心球面的半徑分別為R1和R2,各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)城電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？解：（1）據(jù)（723）式的結(jié)論得各區(qū)城電勢分布為oQ1Q2R1

9、R2習(xí)題716圖 （2）兩球面間的電勢差為717 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為，若取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出電勢分布曲線。習(xí)題710圖ro解： 據(jù)高斯定理有時：時，V=0，則時：RroV時：空間電勢分布并畫出電勢分布曲線大致如圖。718 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為R1、R2，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為U，求：（1）圓柱面單位長度帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度。解：設(shè)圓柱面單位長度帶電量為l，則兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度大小為習(xí)題718圖ro兩圓柱面之間的電勢差為由上式可得：所以719 在一次典型的閃電中，兩個放電點間的電勢差約為

10、109V，被遷移的電荷約為30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰?（冰的熔解熱為3.34×105Jkg-1)解：兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的電荷約為30庫侖，其電勢能為上式釋放出來的能量可融化冰的質(zhì)量為：8.98×104kg720 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動。（1）若把電子從原子中拉出來需要克服電場力作多少功?（2）電子在玻爾軌道上運(yùn)動的總能量為多少？解：電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動，其電勢能為（1）把電子從原子中拉出來需要克服電場力作功為：（2）電子在玻爾軌道上運(yùn)

11、動的總能量為：電子的總能量為：第八章 靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)81 點電荷+q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為Rl和R2，試求，電場強(qiáng)度和電勢的分布。解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q電荷在r<R1的區(qū)域內(nèi)R2R1習(xí)題 81圖q-qq，在R1<r<R2的區(qū)域內(nèi)在r>R2的區(qū)域內(nèi):82 把一厚度為d的無限大金屬板置于電場強(qiáng)度為E0的勻強(qiáng)電場中，E0與板面垂直，試求金屬板兩表面的電荷面密度。E0E0習(xí)題 82圖s1s2解：靜電平衡時，金屬板內(nèi)的電場為0，金屬板表面上電荷面密度與緊鄰處的電場成正比所以有83 一無限長圓柱形導(dǎo)體，半徑為a，單位長度帶有電荷量l1，

12、其外有一共軸的無限長導(dǎo)體圓簡，內(nèi)外半徑分別為b和c，單位長度帶有電荷量l2，求（1）圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量；（2）求電場強(qiáng)度的分布。解：（1）由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量為習(xí)題 83圖（2）在r<a的區(qū)域內(nèi):E=0在a<rb的區(qū)域內(nèi):Een在r>b的區(qū)域內(nèi):Een84 三個平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。如果A板帶正電3.0×107C，略去邊緣效應(yīng)（1）求B板和C板上感應(yīng)電荷各為多少?（2）以地為電勢零點，求A板的電勢。ABC習(xí)題 84圖d1d2解：（1

13、）設(shè)A板兩側(cè)的電荷為q1、q2，由電荷守恒原理和靜電平衡條件，有（1），（2）依題意VAB=VAC,即代入（1）（2）式得q11.0×10-7C，q22.0×10-7C，qB1.0×10-7C，qC=-q22.0×10-7C，（2）=2.3×103V85 半徑為R1=l.0cm的導(dǎo)體球帶電量為q=1.0×1010 C，球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心導(dǎo)體球殼，殼帶有電量Q=11×1010 C，如圖所示，求（1）兩球的電勢；（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢；（3）外球接地時，兩球電勢各為多

14、少？（以地為電勢零點）解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q+Q電荷（1）代入數(shù)據(jù)習(xí)題 85圖q-qq+Q3.3×102V=2.7×102V（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢為=2.7×102V（3）外球接地時，兩球電勢各為60Vq2AB習(xí)題 86圖q1q3q486 證明:兩平行放置的無限大帶電的平行平面金屬板A和B相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6×108 C和QB=4×108C，略去邊緣效應(yīng)，求兩個板的四個表面上的電面密度。證：

15、設(shè)A板帶電量為QA、兩側(cè)的電荷為q1、q2，B板板帶電量為QB、兩側(cè)的電荷為q3、q4。由電荷守恒有（1）（2）在A板與B板內(nèi)部取兩場點，金屬板內(nèi)部的電場為零有，得（3），得（4）聯(lián)立上面4個方程得：,即相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同，本題得證。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6×108 C和QB=4×108C，則5.0×106C/m2,1.0×10-6C/m287 半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用細(xì)導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距離為D=3R處有一點電荷+q，試求金屬球上的感應(yīng)電荷。解：

16、設(shè)金屬球上的感應(yīng)電荷為Q，金屬球接地qQD=3RR習(xí)題 87圖電勢為零，即88 一平行板電容器，兩極板為相同的矩形，寬為a，長為b，間距為d，今將一厚度為t、寬度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入，略去邊緣效應(yīng)，求插入金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系。tdbx習(xí)題 88圖解：設(shè)如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2左右電容并聯(lián)，總電容即金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系，為=89 收音機(jī)里的可變電容器如圖（a）所示，其中共有n塊金屬片，相鄰兩片的距離均為d，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定不動（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉(zhuǎn)動（叫動片）每片的形狀如圖（b）所示。求當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為q

17、時，電容器的電容。解：當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度(a)(b)習(xí)題 89圖為q時，電容器的電容的有效面積為此結(jié)構(gòu)相當(dāng)有n-1的電容并聯(lián)，總電容為810 半徑都為a的兩根平行長直導(dǎo)線相距為d（d>>a），（1）設(shè)兩直導(dǎo)線每單位長度上分別帶電十l和一l求兩直導(dǎo)線的電勢差；（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容。解：（1）兩直導(dǎo)線的電電場強(qiáng)度大小為or習(xí)題 810圖兩直導(dǎo)線之間的電勢差為（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容為=811 如圖，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB間的電容；（2）在AB間加上100V電壓時，求每個電容器上的電荷量和電壓；（3）如果C1被擊穿，問C

18、3上的電荷量和電壓各是多少？解：（1）AB間的電容為=3.75mF；（2）在AB間加上100V電壓時，電路中的總電量就是C3電容器上的電荷量，為ABC1C3C2習(xí)題 811圖（3）如果C1被擊穿，C2短路，AB間的100V電壓全加在C3上，即V3=100V，C3上的電荷量為812 平行板電容器，兩極間距離為l.5cm，外加電壓39kV，若空氣的擊穿場強(qiáng)為30kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？現(xiàn)將一厚度為0.3cm的玻璃插入電容器中與兩板平行，若玻璃的相對介電常數(shù)為7，擊穿場強(qiáng)為100kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？結(jié)果與玻璃片的位置有無關(guān)系?V習(xí)題 812圖解：（1）未加玻璃前，兩極

19、間的電場為不會擊穿（2）加玻璃后，兩極間的電壓為空氣部分會擊穿，此后，玻璃中的電場為，玻璃部分也被擊穿。結(jié)果與玻璃片的位置無關(guān)。813 一平行板電容器極板面積為S，兩板間距離為d,其間充以相對介電常數(shù)分別為er1、er2，的兩種均勻電介質(zhì)，每種介質(zhì)各占一半體積，如圖所示。若忽略邊緣效應(yīng)，求此電容器的電容。解：設(shè)如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2er1er2習(xí)題 813圖左右電容并聯(lián)，總電容為814 平行板電容器兩極間充滿某種介質(zhì)，板間距d為2mm，電壓600V，如果斷開電源后抽出介質(zhì)，則電壓升高到1800V。求（1）電介質(zhì)相對介電常數(shù)；（2）電介質(zhì)上極化電荷面密度；（3）極化電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。解：設(shè)電介質(zhì)抽出前后電容分別為C與C/815 圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱和與它共軸的導(dǎo)體圓筒組成。圓筒的半徑為R2，電容器的長度為L，其間充滿相對介電常數(shù)為er的電介質(zhì)，設(shè)沿軸線方向單位長度上圓柱的帶電量為+l，圓筒單位長度帶電量為-l，忽略邊緣效應(yīng)。求（1）電介質(zhì)中的電位移和電場強(qiáng)度；（2）電介質(zhì)極化電荷面密度。解：R1R/習(xí)題 81