最佳水庫捕魚問題__終結(jié)版__論文

1、2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 20019014 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?湖南城市學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 許丹丹 2. 段智強(qiáng) 3. 楊永吉 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2012 年 8 月 11 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：最佳水庫捕魚問題摘要 在已知魚的總量、水位、水位隨時(shí)間的變化關(guān)系、魚損失的變化率隨水

3、位的變化關(guān)系、捕魚成本隨水位的變化關(guān)系及不同供應(yīng)量時(shí)魚的價(jià)格的情況下，要求下面幾個(gè)問題： 問題一：建立草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系，主要是考慮當(dāng)隨捕魚量取不同值時(shí)，魚的價(jià)格，然后再把其聯(lián)系在一塊，做出其函數(shù)關(guān)系。 問題二：建立草魚的捕撈成本隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，由于是自然放水，所以水的深度和時(shí)間是一個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系，但水的深度降低時(shí)，捕撈成本越來越低，并且降低的速度越來越快。經(jīng)過一系列的模型建立與求解最終得出捕撈成本隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 問題三：當(dāng)水位下降時(shí)，捕魚的損失率會(huì)越來越大，并且其損失率會(huì)加速增大，據(jù)查詢的可靠資料，最后得出水位和損失率的關(guān)系跟反函數(shù)圖像最接近，最后就采用以水位為自

4、變量，損失率為因變量建立模型，最終的出其函數(shù)模型為：，然后再聯(lián)系水位與時(shí)間的關(guān)系，最終可以得出草魚的損失率與時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系為：，并將所求的函數(shù)關(guān)系用MATLAB軟件制圖，生動(dòng)形象地體現(xiàn)其關(guān)系。 問題四：為取得最大的總經(jīng)濟(jì)效益，保證在放水的過程中，每一天都達(dá)到了最大的經(jīng)濟(jì)利潤。其中要考慮到捕魚成本隨水深的變化和損失率隨水深的變化，同時(shí)水深又是隨時(shí)間的變化，建立相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型，用lingo軟件求解得出：捕撈量天數(shù)1234567 417 417 418 419 420 421 422捕撈量天數(shù)891011121314 1183 1275 1280 1286 1292 1300 1309捕撈量

5、天數(shù)15161718192021 1320 1333 1350 1371 1400 866 500 最后求得總的利潤為： 299759.8 元 關(guān)鍵詞：函數(shù)關(guān)系 反比例函數(shù) 目標(biāo)規(guī)劃 MATLAB軟件 LINGO軟件 一、問題重述 在已知日供應(yīng)量在400公斤以下，價(jià)格為20元/公斤，日供應(yīng)量在4001200公斤，超過部分價(jià)格降至18元/公斤，日供應(yīng)量超過1200公斤時(shí)，超過部分價(jià)格降至15元/公斤，當(dāng)水位于10米時(shí)，捕撈成本為每公斤5元，當(dāng)水位降至2米時(shí)，為1元/公斤，隨著水位的下降草魚死亡和捕撈造成損失增加，至最低水位2米時(shí)損失率為20%，聯(lián)系魚的總量、水位、水位隨時(shí)間的變化關(guān)系、魚損失的變

6、化率隨水位的變化關(guān)系、捕魚成本隨水位的變化關(guān)系及不同供應(yīng)量時(shí)魚的價(jià)格的情況下，解決以下的幾個(gè)問題：問題1：建立草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系；問題2：建立草魚的捕撈成本隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系；問題3：討論損失率與水位關(guān)系，并進(jìn)一步建立簡明合理的草魚損失率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系； 問題4：如何捕撈并將鮮活草魚投放市場，效益最佳？二、模型假設(shè)1）假設(shè)魚在這段時(shí)間體重沒有變化。2）假設(shè)魚在這段時(shí)間內(nèi)沒有出生和死亡。3）假設(shè)水下降的深度呈線性模式。4）假設(shè)水的深度與捕撈成本之間的函數(shù)關(guān)系精確。5）假設(shè)水的深度與損失率之間的函數(shù)關(guān)系精確。3、 定義與符號(hào)說明每日捕魚的重量Q收益J在某數(shù)量區(qū)間的魚的價(jià)格

7、t時(shí)間天數(shù)C捕撈成本S捕撈魚的損失率日供應(yīng)量總利潤日利潤四、問題分析與模型準(zhǔn)備 對(duì)于某水壩有20000斤魚，在自然放水的情況下，考慮到每天水庫的水的深度在不斷地變化，伴隨著捕撈成本的降低、損失率的增大，為獲得最佳的總利潤，就必須保證每天的利潤是最大的，在這就必須處理好時(shí)間、捕撈成本、損失率、日利潤之間的關(guān)系。由于水的深度降低時(shí)，捕撈成本越來越低，并且降低的速度越來越快，水深降低時(shí)，捕魚的損失率也呈加速增加，所以并不能單純地考慮用一次函數(shù)，而應(yīng)該二次函數(shù)、反函數(shù)等其它函數(shù)，求得函數(shù)之后再用MATLAB制圖。對(duì)于第四問，要求最佳的效益，就必須求得每天的捕魚量、損失率、捕撈成本，所以就得建立相應(yīng)的目

8、標(biāo)函數(shù)、約束條件，最后用LINGO求解。五、模型的建立于求解5.1.1問題分析： 因?yàn)樵谝阎~的供應(yīng)量在400kg以下，價(jià)格為20元/kg，日供應(yīng)量在4001200公斤，超過部分價(jià)格降至18元/公斤，日供應(yīng)量超過1200公斤時(shí)，超過部分價(jià)格降至15元/公斤以下，日供應(yīng)量到1800公斤處于飽和。所以根據(jù)以上的條件就可以得出草魚的銷售收益隨供應(yīng)量量變化的函數(shù)關(guān)系。5.1.2模型的建立與求解: 將已知化為函數(shù)關(guān)系：日供應(yīng)量與日捕撈量的關(guān)系是： （=1,2,3 21）（其中 表示每天日供應(yīng)量，表示損失率，表示每天的捕撈量） （表示價(jià)格，=1,2,3 21） 所以得出函數(shù)： （表示受益） 最終用圖形表示

9、為： <圖一>銷售收益隨供應(yīng)量變化的關(guān)系圖5.2.1問題分析： 由已知可以分析得出：由于是自然放水，所以水的深度和時(shí)間是一個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系，所以可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)函數(shù)。然后再討論水深和捕撈成本之間的關(guān)系，聯(lián)合實(shí)際得：但水的深度降低時(shí)，捕撈成本越來越低，并且降低的速度越來越快。同時(shí)所求的模型必須經(jīng)過當(dāng)水深10米時(shí)，捕撈成本為5元，但水深2米時(shí)，捕撈成本1元。所以根據(jù)其要求建立合理的數(shù)學(xué)模型。5.2.2模型的建立與求解： 水深隨時(shí)間的關(guān)系： .模擬水深和捕撈成本關(guān)系圖，并分析其函數(shù)，經(jīng)過一系列的思考實(shí)驗(yàn)最終找到最合適的函數(shù)關(guān)系。可以把它當(dāng)成二次函數(shù)以（2,1）、（10,5）兩點(diǎn)間的連線

10、作為對(duì)稱軸對(duì)稱的圖形。將圖形所過的兩點(diǎn)（2,1）、（10,5）代到二次函數(shù)的模型中去，得出，所得函數(shù)為： .（其中表示水位，表示捕撈成本）再根據(jù)兩點(diǎn)，得其連線的直線方程（對(duì)稱軸）： .由已知的二次函數(shù)及對(duì)稱軸，可以得出其對(duì)稱圖像的函數(shù)式為： .再將式 代到式可以得出捕撈成本與時(shí)間的關(guān)系式為： .將捕撈成本與水深的關(guān)系圖： <圖二>捕撈成本與水深的關(guān)系圖 捕撈成本與時(shí)間的關(guān)系圖如下： <圖三>捕撈成本與時(shí)間的關(guān)系圖5.3.1問題分析：聯(lián)系實(shí)踐情況，當(dāng)水位下降時(shí)，捕魚的損失率會(huì)越來越大，并且其損失率會(huì)加速增大，所以不能把損失率與水位的關(guān)系當(dāng)成一次函數(shù)來處理，經(jīng)過理智性的考慮

11、和可靠資料的查詢，最后得出水位和損失率的關(guān)系跟反函數(shù)圖像最接近，最后就采用以水位為自變量，損失率為因變量建立模型。然后再聯(lián)系水位與時(shí)間的關(guān)系，最終可以得出草魚的損失率與時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。5.3.2模型的建立與求解： 由問題的合理分析，最終決定將水位與捕魚的損失率確定為反函數(shù)關(guān)系，基本模型為，將最低水位2米時(shí)損失率為20%代入基本模型，即可以求出，所以損失率與水位的關(guān)系為： .（表示損失率，表示水位）將其用圖像的直觀地描述出來，見下圖： <圖四>損失率與水深的關(guān)系圖再聯(lián)系水位與時(shí)間的關(guān)系 .將其帶入損失率與水位的關(guān)系式 . 中，即得出損失率與時(shí)間的關(guān)系： .再將其用圖像表示出來：

12、<圖五>損失率與時(shí)間的關(guān)系圖5.4.1問題分析：這個(gè)問題主要是求在給整個(gè)水庫20000斤魚做一次徹底清理中，為取得最大的經(jīng)濟(jì)效益，保證在放水的過程中，每一天都達(dá)到了最大的經(jīng)濟(jì)利潤。其中要考慮到捕魚成本隨水深的變化和損失率隨水深的變化，同時(shí)水深又是隨時(shí)間的變化，主要是充分處理好這幾個(gè)因素之間的聯(lián)系，并利用其關(guān)系解決此問題。5.4.2模型的建立與求解：水深天數(shù)123456710.09.69.28.88.48.07.6水深天數(shù)8910111213147.26.86.46.05.65.24.8水深天數(shù)151617181920214.44.03.63.22.82.42.0 <表一>

13、;水深與時(shí)間關(guān)系表格捕撈成本天數(shù) 1 2 3 4 5 6 75.084.754.444.143.853.583.32捕撈成本天數(shù) 8 9 10 11 12 13 143.072.842.622.412.222.041.87捕撈成本天數(shù) 15 16 17 18 19 20 211.721.581.451.341.241.151.08 <表二>捕撈成本與時(shí)間關(guān)系表格損失率天數(shù)12345670.04000.04170.04350.04550.04760.05000.0526損失率天數(shù)8910111213140.05560.05880.06250.06670.07140.07690.083

14、3損失率天數(shù)151617181920210.09090.10000.11110.12500.14290.16670.2000 <表三>損失率與時(shí)間關(guān)系的表格 總利潤=總收益-總捕撈成本 即 . .（其中表示總利潤，表示總收益，表示每天的捕撈成本，表示日供應(yīng)量，表示每日的捕撈量，表示每日的利潤）目標(biāo)函數(shù)：總利潤=每日的利潤和 . .（表示總利潤表示每日的利潤，表示每日的捕撈量）用LINGO求解得：捕撈量天數(shù)1234567 417 417 418 419 420 421 422捕撈量天數(shù)891011121314 1183 1275 1280 1286 1292 1300 1309捕撈量

15、天數(shù)15161718192021 1320 1333 1350 1371 1400 866 500 <表四>每天的捕撈量捕撈成本/kg天數(shù)12345675.084.754.444.143.853.583.32捕撈成本天數(shù)8910111213143.072.842.622.412.222.041.87捕撈成本天數(shù)151617181920211.721.581.451.341.241.151.08 <表五>每天的捕撈成本利潤天數(shù)1234567 5883 6017 6143 6265 6383 6493 6599利潤天數(shù)891011121314 17279 18779 190

16、46 19301 19531 19748 19952利潤天數(shù)15161718192021 20130 20293 20443 20562 20664 12788 7460 <表六>每天的利潤六、對(duì)模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)： 1）符合現(xiàn)實(shí)情況，模型建立合理，精確度高。 2）運(yùn)用MATLAB制圖，明了，形象，有利于問題的后期探討。 3）運(yùn)用LINGO求解，準(zhǔn)確、易解。 4）想法大膽、新穎，同時(shí)又合情合理。 5）比較合理地求出了每天的捕撈量及最佳利潤。 6.2 模型的缺點(diǎn) 1）由于題目所給的數(shù)據(jù)不夠，不能做到100%精確。 2）由于最后的數(shù)據(jù)是小數(shù)，將其進(jìn)行了四舍五入。6.3模型

17、的改進(jìn)： 1）增加數(shù)據(jù)量以便提高模型的精確度。 2）應(yīng)考慮到魚的自然死亡和生長。 七、參考文獻(xiàn)1謝金鑫、薛毅編著.謝金星優(yōu)化建模與LINGO.2005.2卓金武，魏永生，秦建，李必文Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 M 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，20113胡運(yùn)權(quán)，郭耀煌.運(yùn)籌學(xué)教程.清華大學(xué)出版社，2010.4韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用.高等教育出版社.2009.八、附錄草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系代碼：clear allclcx1=1100400;y1=20x1;x2=4011001200;y2=8000+18(x2-400);x3=12011001800;y3=22400+15

18、(x3-1200);x4=1801100020000;y4=31400;plot(x1,y1,'-k.',x2,y2,'-b',x3,y3,'-r',x4,y4,'-g');xlabel('捕撈量 單位：kg');ylabel('收益 單位：元');legend('捕撈量小于400kg','捕撈量大于400kg,小于1200kg','捕撈量大于1200kg，小于1800kg','捕撈量大于1800kg小于20000kg')title(&

19、#39;草魚的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系')捕撈成本與水深的關(guān)系代碼：clcclear allx=1:1:21;y=(1/24)*x.2+5/6;plot(y,'-r*');xlabel('水深');ylabel('捕撈成本');title('捕撈成本與水深的關(guān)系圖')捕撈成本與時(shí)間的關(guān)系代碼：clc;clear all;t=1:1:40;c=(0.04*t.2-2.08*t+32.5)/6;plot(c,'-r*');xlabel('時(shí)間');ylabel('捕撈成本'

20、);title('捕撈成本與時(shí)間的關(guān)系圖')損失率與水深關(guān)系的代碼：clcclear allx=0:2:20;y=0.4./x;plot(y,'-r*');xlabel('水深');ylabel('損失率');title('水深與損失率關(guān)系圖')損失率與時(shí)間關(guān)系的代碼：clcclear allt=1:1:21;y=0.4./(10.4-0.4*t);plot(y,'-r*');xlabel('時(shí)間');ylabel('損失率');title('損失率與時(shí)間關(guān)系

21、圖');Lingo求解結(jié)果： Feasible solution found. Objective value: 299759.8 Infeasibilities: 0.3637979E-11 Total solver iterations: 445 Model Title: The Model of Optimal Fishing Game Variable Value Reduced Cost SUMP 20000.00 0.000000 R( 1) 0.4000000E-01 0.000000 R( 2) 0.4166667E-01 0.000000 R( 3) 0.434782

22、6E-01 0.000000 R( 4) 0.4545455E-01 0.000000 R( 5) 0.4761905E-01 0.000000 R( 6) 0.5000000E-01 0.000000 R( 7) 0.5263158E-01 0.000000 R( 8) 0.5555556E-01 0.000000 R( 9) 0.5882353E-01 0.000000 R( 10) 0.6250000E-01 0.000000 R( 11) 0.6666667E-01 0.000000 R( 12) 0.7142857E-01 0.000000 R( 13) 0.7692308E-01

23、0.000000 R( 14) 0.8333333E-01 0.000000 R( 15) 0.9090909E-01 0.000000 R( 16) 0.1000000 0.000000 R( 17) 0.1111111 0.000000 R( 18) 0.1250000 0.000000 R( 19) 0.1428571 0.000000 R( 20) 0.1666667 0.000000 R( 21) 0.2000000 0.000000 M( 1) 5.080000 0.000000 M( 2) 4.750000 0.000000 M( 3) 4.440000 0.000000 M(

24、4) 4.140000 0.000000 M( 5) 3.850000 0.000000 M( 6) 3.580000 0.000000 M( 7) 3.320000 0.000000 M( 8) 3.070000 0.000000 M( 9) 2.840000 0.000000 M( 10) 2.620000 0.000000 M( 11) 2.410000 0.000000 M( 12) 2.220000 0.000000 M( 13) 2.040000 0.000000 M( 14) 1.870000 0.000000 M( 15) 1.720000 0.000000 M( 16) 1.

25、580000 0.000000 M( 17) 1.450000 0.000000 M( 18) 1.340000 0.000000 M( 19) 1.240000 0.000000 M( 20) 1.150000 0.000000 M( 21) 1.080000 0.000000 L( 1) 10.00000 0.000000 L( 2) 9.600000 0.000000 L( 3) 9.200000 0.000000 L( 4) 8.800000 0.000000 L( 5) 8.400000 0.000000 L( 6) 8.000000 0.000000 L( 7) 7.600000

26、0.000000 L( 8) 7.200000 0.000000 L( 9) 6.800000 0.000000 L( 10) 6.400000 0.000000 L( 11) 6.000000 0.000000 L( 12) 5.600000 0.000000 L( 13) 5.200000 0.000000 L( 14) 4.800000 0.000000 L( 15) 4.400000 0.000000 L( 16) 4.000000 0.000000 L( 17) 3.600000 0.000000 L( 18) 3.200000 0.000000 L( 19) 2.800000 0.

27、000000 L( 20) 2.400000 0.000000 L( 21) 2.000000 0.000000 W( 1) 5883.342 0.000000 W( 2) 6017.386 0.000000 W( 3) 6143.271 0.000000 W( 4) 6265.194 0.000000 W( 5) 6382.999 0.000000 W( 6) 6492.631 0.000000 W( 7) 6598.438 0.000000 W( 8) 17279.24 0.000000 W( 9) 18779.00 0.000000 W( 10) 19046.39 0.000000 W(

28、 11) 19301.43 0.000000 W( 12) 19531.08 0.000000 W( 13) 19748.00 0.000000 W( 14) 19952.00 0.000000 W( 15) 20129.60 0.000000 W( 16) 20293.33 0.000000 W( 17) 20442.50 0.000000 W( 18) 20562.29 0.000000 W( 19) 20664.00 0.000000 W( 20) 12787.75 0.000000 W( 21) 7459.998 0.000000 Q( 1) 416.6674 1.730000 Q(

29、2) 417.3909 -0.4866667 Q( 3) 418.1817 -0.7604348 Q( 4) 419.0515 0.8881818 Q( 5) 419.9999 -1.267619 Q( 6) 421.0526 -1.490000 Q( 7) 422.2379 0.1973684 Q( 8) 1183.003 0.000000 Q( 9) 1275.000 -0.1711765 Q( 10) 1280.000 -0.3250000 Q( 11) 1285.714 -0.4600000 Q( 12) 1292.308 2.221429 Q( 13) 1300.000 -0.645

30、3846 Q( 14) 1309.091 -0.7000000 Q( 15) 1320.000 -0.7136364 Q( 16) 1333.333 2.010000 Q( 17) 1350.000 -0.6200000 Q( 18) 1371.429 2.145000 Q( 19) 1400.000 0.000000 Q( 20) 865.5418 0.8000000E-01 Q( 21) 499.9998 -0.9900000 G( 1) 400.0007 0.000000 G( 2) 399.9996 0.000000 G( 3) 399.9999 0.000000 G( 4) 400.0037 0.000000 G( 5) 399.9999 0.000000 G( 6) 400.0000 0.000000 G( 7) 400.0149 0.000000 G( 8) 1117.281 0.000000 G( 9) 1200.000 0.000000 G( 10) 1200.000 0.000000 G( 11) 1200.000 0.000000 G( 12) 1200.000 0.000000 G( 13) 1200.000 0.000000 G( 14) 1200.00