1示范教案(211_數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一))2

1、2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)；3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.（二）過(guò)程與方法：1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性學(xué)習(xí)；3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：1.通過(guò)日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn).理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)；

2、2.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.二、教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.三、教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式四、教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 課本圖2.1-1中的三角形數(shù)分別是多少？生 1，3，6，10，.師 圖2.1-2中的正方形數(shù)呢？生 1，4，9，16，25，.師 像這樣按一定次序排列的一列數(shù)你能否再舉一些？生 -1的正整數(shù)次冪：-1，1，-1，1，;無(wú)窮多個(gè)數(shù)1排成一列數(shù)：1，1，1，1，.生 一些分?jǐn)?shù)排成的一列數(shù)：，.講授新課合作探究折紙問(wèn)題師 請(qǐng)同學(xué)們想一想，一張紙可以重復(fù)對(duì)折多少次？請(qǐng)同學(xué)們隨便取一張紙?jiān)囋嚿?一般折5、6次就不

3、能折下去了，厚度太高了.師 你知道這是為什么嗎？我們?cè)O(shè)紙?jiān)瓉?lái)的厚度為1長(zhǎng)度單位，面積為1面積單位，隨依次折的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？生 隨著對(duì)折數(shù)厚度依次為:2，4，8，16，256，；隨著對(duì)折數(shù)面積依次為, , , , ,.生 對(duì)折8次以后，紙的厚度為原來(lái)的256倍，其面積為原來(lái)的1/256，再折下去太困難了.師 說(shuō)得很好，隨數(shù)學(xué)水平的提高，我們的思維會(huì)更加理性化.請(qǐng)同學(xué)們觀察上面我們列出的這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點(diǎn)？生 均是一列數(shù).生 還有一定次序.師 它們的共同特點(diǎn)：都是有一定次序的一列數(shù).教師精講1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：（1）數(shù)列的

4、數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，.同學(xué)們能舉例說(shuō)明嗎？生 例如，上述例子均是數(shù)列，其中中，“2”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，“16”是這個(gè)數(shù)列中的第4項(xiàng).3.數(shù)列的分類(lèi)：1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列.無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無(wú)窮數(shù)列.2)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分

5、：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.請(qǐng)同學(xué)們觀察：課本P 33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？ 生 這六組數(shù)列分別是(1)遞增數(shù)列，(2)遞增數(shù)列，(3)常數(shù)數(shù)列，(4)遞減數(shù)列，(5)擺動(dòng)數(shù)列，(6)1.遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列.知識(shí)拓展師 你能說(shuō)出上述數(shù)列中的256是這數(shù)列的第多少項(xiàng)？能否寫(xiě)出它的第n項(xiàng)？生 256是這數(shù)列的第8項(xiàng)，我能寫(xiě)出它的第n項(xiàng)，應(yīng)為an=2n.合作探究同學(xué)們看數(shù)列2，4，8

6、，16，256，中項(xiàng)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，項(xiàng)2481632 序號(hào) 1 2 3 4 5你能從中得到什么啟示？生 數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(n),.師 說(shuō)的很好.如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例題剖析1.根據(jù)下面數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng)：(1)an=;(2)an=(-1)n·n.師

7、 由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項(xiàng).生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.師 好！就這樣解.2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)2，-6，12，-20，30，-42，.師 這里只給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，哪位同學(xué)能寫(xiě)出這些數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式？(給學(xué)生一定的思考時(shí)間)生老師，我寫(xiě)好了！解

8、：(1)an2n1；(2)an；(3)an；(4)將數(shù)列變形為10，21，30，41，50，61，70，81，ann；(5)將數(shù)列變形為1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，an(-1)n+1n(n1).師 完全正確！這是由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的例子，解決的關(guān)鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出的規(guī)律性的東西，然后再通過(guò)歸納寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.合作探究師 函數(shù)與數(shù)列的比較(由學(xué)生完成此表)：函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它的有限子集1，2，n解析式y(tǒng)=f(x)an=f(n)圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合師 對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其

9、函數(shù)解析式畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，看來(lái)，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公式來(lái)畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫(huà)數(shù)列:4，5，6，7，8，9，10;1, , , ,的圖象.生 根據(jù)這數(shù)列的通項(xiàng)公式畫(huà)出數(shù)列、的圖象為師 數(shù)列4，5，6，7，8，9，10,的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？生 與我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)y=x+3的圖象有關(guān).師 數(shù)列1, , , ,的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？生 與我們學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)的圖象有關(guān).師 這兩數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)？生 其特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的點(diǎn).生 它們都位于y軸的右側(cè)，即特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側(cè)的點(diǎn).本課時(shí)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程以學(xué)生自主探究為主，教師

10、起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)新課程的理念.課堂小結(jié)對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式.布置作業(yè) 課本33頁(yè)習(xí)題2.1 A組第1、2題.五、板書(shū)設(shè)計(jì)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一)定義1.數(shù)列 例12.項(xiàng)3.一般形式 例2 函數(shù)定義4.通項(xiàng)公式 5.有窮數(shù)列 6.無(wú)窮數(shù)列2.1.2數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(二)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).（二）過(guò)程與方法：1.經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程；2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，

11、作好探究性實(shí)驗(yàn)；3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.二、教學(xué)重點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).三、教學(xué)難點(diǎn) 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.四、教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？生 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.師 你能舉例說(shuō)明嗎？生 如數(shù)列0，1，2，3，的通項(xiàng)公式為an=n-1(nN*);1,1,1的通項(xiàng)公式為an=1(nN*,1n3)；1, , ,

12、 ,的通項(xiàng)公式為an= (nN*).合作探究數(shù)列的表示方法師 通項(xiàng)公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？生 圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)(以前面提到的數(shù)列1, ,為例，作出一個(gè)數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).師 說(shuō)得很好，還有其他的方法嗎？生 師 下面我們來(lái)介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法知識(shí)都來(lái)源于實(shí)

13、踐，同時(shí)還要應(yīng)用于生活，用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.下面同學(xué)們來(lái)看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型. 生 模型一：自上而下第1層鋼管數(shù)為4,即1：41+3;第2層鋼管數(shù)為5,即2：52+3;第3層鋼管數(shù)為6,即3：63+3;第4層鋼管數(shù)為7,即4：74+3;第5層鋼管數(shù)為8,即5：85+3;第6層鋼管數(shù)為9,即6：96+3;第7層鋼管數(shù)為10,即7：107+3.若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1n7). 師 同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)用這一關(guān)

14、系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律)生 模型二：上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此類(lèi)推：an=a n-1+1(2n7).師 對(duì)于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解?生 若知其第1項(xiàng)，就可以求出第二項(xiàng)，以此類(lèi)推，即可求出其他項(xiàng).師 看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.推進(jìn)新課1.遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或

15、前n項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如下列數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.例題剖析【例1】 設(shè)數(shù)列an滿足.寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).師 分析：題中已給出an的第1項(xiàng)即a1=1，題目要求寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，因而只要再求出二到五項(xiàng)即可.這個(gè)遞推公式：an=1

16、+我們將如何應(yīng)用呢?生 這要將n的值2和a1=1代入這個(gè)遞推公式計(jì)算就可求出第二項(xiàng)，然后依次這樣進(jìn)行就可以了.師 請(qǐng)大家計(jì)算一下!生 解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=師 掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項(xiàng)與后項(xiàng)，或前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系.【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想an.師 由例1的經(jīng)驗(yàn)我們先求前5項(xiàng).生 前5項(xiàng)分別為2，4，8，16，32.師 對(duì)，下面來(lái)猜想第n項(xiàng).生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23觀察可得，我猜想an=2n.

17、師 很好!生 老師，本題若改為求an是否還可這樣去解呢?師 不能.必須有求解的過(guò)程.生 老師，我由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即，依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然后將它們乘起來(lái)，就有×，所以an=a1·2n-1=2n.師 太妙了，真是求解的好方法.你所用的這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題中是比較常用的方法，對(duì)應(yīng)的還有迭加法.知識(shí)拓展已知a1=2，an+1=an-4,求an.師 此題與前例2比較，遞推式中的運(yùn)算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢?生1 寫(xiě)出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，觀察可得：an=2+(n-1

18、)(n-4)=2-4(n-1).生2 他這種解法不行，因?yàn)椴皇遣鲁鯽n，而是要求出an.我這樣解：由an+1-an=-4依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來(lái),an-a n-1=-4 an-1-an-2=-4 an-2-an-3=-4 an=2-4(n-1).師 好極了，真是觸類(lèi)旁通啊，這種方法也請(qǐng)同學(xué)們課后多體會(huì).教師精講(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無(wú)初始值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的.例如，由數(shù)列an中的遞推公式an+1=2an+1無(wú)法寫(xiě)出數(shù)列an中的任何一項(xiàng)，若又知a1=1，則可以依次地寫(xiě)出a2=3,a3=7,a4=15,.(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出通項(xiàng)公式.學(xué)生活動(dòng)根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.(1)a10，an+1an(2n-1)(nN)；(2)a11，a n+1 (nN)；(3)a13，an+13an-2(nN).解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2.(2)a11，a2，a3=，a4，a5 =，an.(3)a131+2×30，a271+2×31，a3191+2×32，a4551+2&#