泰勒公式與泰勒中值定理的系統(tǒng)理論與使用技巧

1、 智軒 2010 考研數(shù)學(xué)第 4 專題講座-泰勒公式與泰勒中值定理的系統(tǒng)理論與使用技巧 http:/bbs.qinjing.cc f ¢¢ (h ) æ 1 ö f ¢¢ (x ) 1 = é - f ( 0 ) + f (1) ù ÷+ ë û ò f ( x ) dx = f ç 24 2 12 è2ø 1 0 證明：設(shè) F ( x ) = ò f ( t ) dt ， F ( x ) 在在 0, 1 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， F (

2、x ) 在 x x 0 2 3 0 = 1 泰勒展開。再利用連 2 續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上的介值定理。 1 ö 1 æ 1 öæ 1ö 1 1ö æ1ö æ 1 öæ æ F ( x ) = F ç ÷ + F ¢ ç ÷ ç x - ÷ + F ¢¢ ç ÷ ç x - ÷ + F ¢¢¢ (x 0 ) ç x -

3、 ÷ 2 ø 2 è 2 øè 2ø 6 2ø è2ø è 2 øè è æ1ö 1 æ1ö 1 æ1ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö 1 ¢¢ f (x1 )LL (1) Þ F ( 0 ) = F ç ÷ - F ¢ ç ÷ + F ¢&

4、#162; ç ÷ - F ¢¢¢ (x1 ) = F ç ÷ - f ç ÷ + f ¢ ç ÷ - è 2 ø 2 è 2 ø 8 è 2 ø 48 è 2 ø 2 è 2 ø 8 è 2 ø 48 æ1ö 1 æ1ö 1 æ1ö 1 æ 1 ö 1 æ 1 

5、46; 1 æ 1 ö 1 ¢¢ F (1) = F ç ÷ + F ¢ ç ÷ + F ¢¢ ç ÷ + F ¢¢¢ (x 2 ) = F ç ÷ + f ç ÷ + f ¢ ç ÷ + f (x 2 )LL ( 2 ) è 2 ø 2 è 2 ø 8 è 2 ø 48 è 2 ø 2

6、è 2 ø 8 è 2 ø 48 1 æ 1 ö 1 f ¢¢ (x1 ) + f ¢¢ (x 2 ) æ 1 ö 1 ¢¢ f (x ) x Î ( 0, 1) = f ç ÷+ ( 2 ) - (1) Þ ò0 f ( t )dt = F (1) = f ç ÷+ ´ 2 è 2 ø 24 è 2 ø 24 又 f ( x ) 在 x

7、0 = 0 泰勒展開 1ö 1 1ö æ1ö æ 1 öæ æ f ( x ) = f ç ÷ + f ¢ ç ÷ ç x - ÷ + f ¢¢ (h0 ) ç x - ÷ 2ø 2 2ø è2ø è 2 øè è ì æ1ö 1 æ1ö 1 ï f ( 0 ) = f

8、 ç 2 ÷ - 2 f ¢ ç 2 ÷ + 8 f ¢¢ (h1 ) ï è ø è ø Þí Þ f ( 0 ) + f (1) = 2 f 1 1 ï f (1) = f æ ö + f ¢ æ 1 ö + 1 f ¢¢ (h ) 2 ç ÷ ç ÷ ï è2ø 2 è2ø

9、 8 î 2 æ 1 ö 1 ¢¢ ç ÷ + f (h3 ) è2ø 4 1 1 1 1 æ1ö 1 f ( 0 ) + f (1) ù f ¢¢ (x ) + f ¢¢ (h3 ) é = f ç ÷ + f ¢¢ (h3 ) = ò f ( t )dt - ë û 0 2 24 8 è2ø 8 1 f ¢¢ (h

10、 ) 3 f ¢¢ (h3 ) - f ¢¢ (x ) 1 1 f ( 0 ) + f (1) ù f ( 0 ) + f (1) ù h Î ( 0, 1) . Þ ò f ( t )dt = é - = é - ë û ë û 0 2 24 2 12 第二問的另一種解法也很有價值，現(xiàn)解答如下： 1ö 1ö 1ö æ æ æ x - ÷ = f ( x ) ç x

11、- ÷ | - ò ç x - ÷ f ¢ ( x ) dx ò f ( x ) dx = ò f ( x ) d ç 2ø 2ø 2ø è è è 1 1 0 0 1 0 1 0 = 1æ 1 1ö é - ò ç x - ÷ f ¢ ( x ) dx f ( 0 ) + f (1) ù ë û 0 2 2ø è 1 1ö 1

12、 æ1ö æ 而在x = 點(diǎn)展開 Þ f ¢ ( x ) = f ¢ ç ÷ + f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ , h1介于x與 之間 2 2ø 2 è2ø è Þ ò f ( x ) dx = 0 1 1æ 1 1 öù 1 1ö 1 1 öé æ 1 ö æ æ f ( 0 ) + f (1) ù

13、 - ò f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ dx é - ò ç x - ÷ ê f ¢ ç ÷ + f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ ú dx = é f ( 0 ) + f (1) ù ë û ë û 0 0 2 øû 2 2ø 2 2øë è 2ø è è

14、 è 2 f ¢¢ ( x ) 在 0，上連續(xù)，故存在最大值 M 和最小值m, 使得 1 1æ 1 1æ 1ö 1ö 1ö æ m ò ç x - ÷ dx £ ò f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ dx £ M ò ç x - ÷ dx 0 0 0 2ø 2ø 2ø è è è 2 2 2 1 1 1ö

15、 m M 介值定理 1ö æ æ £ f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ dx £ ¾¾¾¾ ® $h , f ¢¢ (h ) = 12 ò f ¢¢ (h1 ) ç x - ÷ dx 0 2ø 12 ò0 2 12 è è ø 1 1 1 Þ ò f ( x ) dx = é f ( 0 ) + f (1

16、) ù û - 12 f ¢¢ (h ) . 0 2ë 2 2 Þ 6 智軒 2010 考研數(shù)學(xué)第 4 專題講座-泰勒公式與泰勒中值定理的系統(tǒng)理論與使用技巧 http:/bbs.qinjing.cc 【例 9】設(shè)函數(shù) f ( x ) 在 -1, 1 上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明： 存在 x Î ( -1, 1) ，使得 ò 1 -1 xf ( x ) dx = 2 1 f ¢ (x ) + f ¢¢ (x ) . 3 3 證明：令 j ( x ) = xf ( x ) ，則 j ( x )

17、 在 -1, 1 上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) j ( x ) = j ( 0 ) +j ¢ ( 0 ) x + j ¢¢ (h ) x 2 1 2 ( -1 < h < 1) 1 1 1 1 Þ xf ( x ) = f ( 0 ) x + é x 2 Þ ò xf ( x ) dx = ò é x 2 dx 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) ù 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) ù 

18、35; û ë û - - 1 1 2 2 根據(jù)最值定理， j ¢¢ (h ) = 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) 在 -1, 1 上存在最大值 M 和最小值 m Þ m £ 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) £ M Þ 1 1 m 1 2 M 1 2 2 ¢ ¢¢ h h h £ é + ù £ 2 x dx f f x dx x dx (

19、) ( ) û 2 ò-1 2 ò-1 ë 2 ò-1 m 1 1 M 3 1 2 ¢ ¢¢ h h h Þ £ ò é + £ Þ £ f f x dx m x 2 dx £ M 2 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) ù ù é ( ) ( ) ë û ë û ò - - 1 1 3 2 3 2 根據(jù)介值定理，

20、 $x Î -1, 1 ，使得 3 1 3 1 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) ù 2 f ¢ (x ) + x f ¢¢ (x ) ù x 2 dx = ò é x 2 dx é ë û ë û ò - - 1 1 2 2 1 3 = é 2 f ¢ (x ) + x f ¢¢ (x ) ù x 2 dx = 2 f ¢ (x ) + x f &#

21、162;¢ (x ) ë û ò - 1 2 1 1 x 2 dx ，故 é 2 f ¢ (h ) + h f ¢¢ (h ) ù ë û ò-1 ò - 1 2 1 2 1 存在 x Î ( -1, 1) ，使得 ò xf ( x ) dx = f ¢ (x ) + f ¢¢ ( x ) 。 -1 3 3 而 1 xf ( x ) dx = 【例 10】函數(shù) f ( x ) 在 0, 1 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， f ( 0

22、 ) = f (1) = 0 ，證明： 證明：由于函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，故使用拉格朗日余項的泰勒展開。 1 ò f ( x ) dx £ 4 max f ¢ ( x ) 。 1 0 0£ x £1 f ( x ) = f ( 0 ) + f ¢ (x1 ) x = f ¢ (x1 ) x f ( x ) = f (1) + f ¢ (x 2 )( x - 1) = f ¢ (x 2 )( x - 1) 1 ò 0 f ( x ) dx = ò 2 f ¢ (x1 ) xdx +

23、 ò1 f ¢ (x 2 )( x - 1) dx 0 2 1 1 Þ ò 1 0 1 æ 1 ö 1 f ( x ) dx £ max f ¢ ( x ) ç ò 2 xdx + ò1 ( x - 1) dx ÷ = max f ¢ ( x ) 0 0£ x £1 2 è ø 4 0£ x £1 7 智軒 2010 考研數(shù)學(xué)第 4 專題講座-泰勒公式與泰勒中值定理的系統(tǒng)理論與使用技巧 http:/bbs.

24、qinjing.cc 【例 11】 f ( x ) 在 0, 1 上二階可導(dǎo)，且滿足 f ( x ) £ a, 意 x Î ( 0, 1) Þ f ¢ ( x ) ³ 2a + f ¢¢ ( x ) £ b ，其中 a, b 為非負(fù)數(shù)，試證明：對于任 b 2 1 2 f ¢¢ (x )( x - x0 ) 2 x0 Î ( 0, 1) 證明：由泰勒中值公式有： f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 )( x - x0 ) + Þ f ( 0 )

25、 = f ( x0 ) - f ¢ ( x0 ) x0 + 1 f ¢¢ (x1 ) x0 2 x1在x0與0之中 2 1 2 f (1) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 )(1 - x0 ) + f ¢¢ (x 2 )(1 - x0 ) x 2在x0與1之中 2 1é 2 f ¢¢ (x 2 )(1 - x0 ) - f ¢¢ (x1 ) x0 2 ù Þ f (1) - f ( 0 ) = f ¢ ( x0 ) + û 2

26、5; 1é 2 2ù Þ f ¢ ( x0 ) = é ë f (1) - f ( 0 ) ù û - 2 ë f ¢¢ (x 2 ) (1 - x0 ) - f ¢¢ (x1 ) x0 û 1 2 Þ f ¢ ( x0 ) £ f (1) + f ( 0 ) + é f ¢¢ (x 2 ) (1 - x0 ) + f ¢¢ (x1 ) x0 2 ù û 2

27、ë b b 2 2 £ a + a + é x0 2 + (1 - x0 ) ù = a + a + é x0 2 + (1 - x0 ) ù û û 2ë 2ë 2 2 Q x0 2 + (1 - x0 ) - 1 = 2 x0 ( x0 - 1) < 0 Þ é x0 2 + (1 - x0 ) ù < 1 ë û b Þ f ¢ ( x0 ) £ 2a + 2 b 由 x0 的任意性知： f

28、62; ( x ) £ 2a + 2 【例 12】設(shè) f ( x ) 在 0, 1 連續(xù)，在 ( 0, 1) 可導(dǎo)， f ( 0 ) = f (1) = 0, max f ( x ) = 2, 試證明： 0 £ x £1 x Î ( 0, 1) Þ f ¢¢ (x ) £ -16 。 證明： f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 )( x - x0 ) + 假設(shè) x0 為最大值點(diǎn)，則有 1 2 f ¢¢ (x )( x - x0 ) 2 x 介于 x0 與 x 之

29、間； f ( x0 ) = 2, f ¢ ( x0 ) = 0 f ( x) = 2 + 1 2 f ¢¢ (x )( x - x0 ) 2 (1 (2 1 f ¢¢ (x1 ) x0 2 =0 0<x1 < 1 2 1 2 x = 1 Þ f (1) = 2 + f ¢¢ (x 2 )(1 - x0 ) = 0 0 < x 2 < 1 2 1 4 如果： 0 < x0 £ 由(1 Þ f ¢¢ (x1 ) = - 2 £ -16 2

30、x0 x = 0 Þ f ( 0) = 2 + 如果： 1 4 < x0 < 1 由(2 Þ f ¢¢ (x 2 ) = - £ -16 2 2 (1 - x0 ) 故原命題得證。 8 智軒 2010 考研數(shù)學(xué)第 4 專題講座-泰勒公式與泰勒中值定理的系統(tǒng)理論與使用技巧 http:/bbs.qinjing.cc 【例 13】設(shè) f ( x ) 在 ( a, b ) 內(nèi)二階可導(dǎo)，若 f ¢¢ ( x ) < 0, 試證明： 對于 "x1 Î ( a, b ) , x2 Î ( a

31、, b ) , x1 ¹ x2 Þ f ç æ x1 + x2 ö 1 ÷> é ë f ( x1 ) + f ( x2 ) ù û。 è 2 ø 2 證明：對于高階導(dǎo)數(shù)存在的情形，應(yīng)首先想到利用拉氏余項的泰勒中值公式： 1 2 f ¢¢ (x )( x - x0 ) 2 x + x2 再根據(jù)需證明結(jié)論的特點(diǎn)，自然想到取 x0 = 1 ，問題是：題中未直接或間接給出 f ¢ ( x0 ) ，所以關(guān) 2 f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 )( x - x0 ) + 鍵是如何消除 f ¢ ( x0 ) ，一般有兩種辦法，一是取 x0 為駐點(diǎn) Þ f ¢ ( x0 ) = 0 ，第二種辦法是通過加減消元，在 大多數(shù)利用拉氏余項的泰勒中值公式的題型中，第二種方法是十分常用的。 1 2 f ¢¢ (x )( x - x0 ) < f ( x0 ) + f ¢ ( x0 )( x - x0 ) 2 x +x