2020年江蘇省常州市溧陽市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、期中數(shù)學(xué)試卷題號一一二總分得分一、選擇題（本大題共 8小題，共24.0分）1.已知點A （1, 2） , B （5, 6）,則線段AB中點的坐標(biāo)為（）A. （2,3）B. （3,2）C. （3, 4）D. （4,3）2 .已知點A （-a, 3）,點B （5, -a）,直線AB的斜率為1,則a的值為（）A. 4B. -3C.3D. -43 .在 AABC 中，如果 sinA： sinB： sinC=2 ： 3： 4,那么 cosC 等于（）A. 7B.C. 4D. -I4 .若長方體三個面的面積分別為 2 褥，則長方體的體積等于（）A.B. 6C. 'D. 365 .若三條線段的長分別

2、為 2, 3, 4,則用這三條線段（）A.能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形D.不能組成三角形6 . 如果ACv0, BC>0,那么直線 Ax+By+C=0不通過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限7 .空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結(jié)四邊中點的四邊形一定是（）A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形8 . 已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O, ZBAD=120 °, AB=1, AD = CD=2,則四邊形 ABCD 面積的大小是（）A. 4欄B. CC. 2會D.不能確定二、填空題（本大題共 8小題，共32.0分）9 . 過點（2,

3、3）,且與直線x-y-3=0垂直的直線方程為 .10 .直線5x-12y-2=0與直線5x-12y+15=0之間的距離為 .11 .已知m, n為兩條不同的直線，”，3為兩個不同的平面，則下列正確命題的序號為(1) m? a, n? a, m/& n II? a/3, (2) n/m, n±a? m±a;(3) a/3, m? a, n?3?m/n； (4) m±a, mln? n /a.12 .在那BC中，已知/C=rBC=a, AC=b,且a, b是方程x2-13x+40=0的兩根，貝UAB的長度為13 .設(shè)P, A, B, C是千O表面上的四個點，P

4、A, PB, PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1,則球O的表面積為.14 .如圖，某人在高出海面600米的山上P處，測得海面上 的航標(biāo)在A正東，俯角為30°,航標(biāo)B在南偏東60°, 俯角為45。，則這兩個航標(biāo)間的距離為 米.15 .已知點A （-4, 1） , B （3, -1）,若直線y=kx+2與線段AB恒有公共點，則實數(shù) k 的取值范圍是.16 .銳角 “BC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且滿足(a-b) (sinA+sinB) =(c-b) sinC,若u = 耳，則b2+c2的取值范圍是 .三、解答題(本大題共 6小題，共64.0分)17

5、 .根據(jù)下列條件分別求出直線的方程：(1)過點(3, -2),斜率為降(2)過點(2, 0) , (0, -3).18 .在那BC中，a, b, c分別是A, B, C的對邊.(1)已知仇=1, 4 = 60。，u = 求 C；(2)已知c=2acosB,試4ABC判斷的形狀.19 .如圖，在正方體 ABCD-A'B'C'D'中，求證：AC1BD'.20 .已知a, b, c分別為那BC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，c=3 asinC-ccosA.(1)求 A; 若M是上BC一點，且 甑=2；/, b=3, AM=：",求a的值.21.在底面

6、是菱形的四棱錐 P-ABCD中，"BC=60°,PA=AC=a, PB=PD=#|a.(1)證明：PA1：平面 ABCD;(2)點E在PD上.(I)如圖1,若點E是線段PD的中點，證明：PB/印面AEC;(n)如圖2,若PE: ED=2: 1,在棱PC上是否存在點 F,使得BF/狂面AEC? 證明你的結(jié)論.22. L市實施全域旅游，將鄉(xiāng)村旅游公路建設(shè)與特色田園鄉(xiāng)村發(fā)展結(jié)合，精心打造全長365公里的“ 1號公路”，對內(nèi)串聯(lián)區(qū)域內(nèi)主要景區(qū)景點和自然村，對外通達(dá)周邊縣(市)，以路引景、為景串線，形成一個“大環(huán)小圈、 內(nèi)連外引”的路網(wǎng)體系. 如 今的“1號公路”，不僅成為該市旅游業(yè)

7、的“顏值擔(dān)當(dāng)”，更成為推動鄉(xiāng)村振興的“實力擔(dān)當(dāng)”，農(nóng)村居住環(huán)境日益改善，新農(nóng)村別墅隨處可見.圖是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖，屋頂由四 坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面 ABFE和CDEF是全等的等腰梯形， 左右兩坡屋面 EAD和FBC是全等的三角形.點F在平面ABCD和BC上的射影分別為 H, M (即： FH1平面 ABCD,垂足為 H; FM1BC,垂足為 M).已知 HM=5m, BC=10m,梯 形ABFE的面積是4FBC面積的2.2d 一一4 吟倍/ = 第3頁，共12頁(1)當(dāng)日=:時，求屋頂面積的大小；(2)求屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；a (a為正的常數(shù)

8、)，下部(3)已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為16a.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅，試問：當(dāng)。為何值時，總造價最低？第 # 頁，共 12 頁第5頁，共12頁答案和解析1 .【答案】C【解析】解：點A (1, 2) , B (5, 6),則線段AB的中點坐標(biāo)為(1,與)，化 為：(3, 4).故選：C.利用中點坐標(biāo)公式即可得出.本題考查了中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2 .【答案】D【解析】解：由題意可得： 4=1，解得a=-4.故選：D.利用斜率計算公式即看得出.本題考查了斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)

9、題.3 .【答案】D【解析】 解：由正弦定理可得；sinA： sinB： sinC=a： b: c=2： 3： 4可設(shè) a=2k, b=3k, c=4k (k>0)由余弦定理可得，1roM =白''三產(chǎn)四 吧；=故選：D.由正弦定理可得；sinA： sinB： sinC=a： b： c,可設(shè) a=2k, b=3k, c=4k (k>0),由余弦定理CosC =。三可求得答案.ZOO1本題主要考查了正弦定理.焉=D=媼及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.4 .【答案】A【解析】解：如圖，設(shè)長方體ABCD-AiBiCiDi的側(cè)面AA1B的面積為隹，側(cè)面AA1D的

10、側(cè)面積為<3,側(cè)面ABD的側(cè)面積為.卮 再設(shè)側(cè)棱 AA1=a, AD = b, AB=c.則,三式作積得：a2b2c2=6.長方體的體積等于卜丘 故選：A.由題意作出草圖，設(shè)出過一個頂點的三條側(cè)棱長，由矩形的面積公式得到面積，三式作 積后即可得到答案.本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了長方體的側(cè)面積和體積，是基礎(chǔ)的計算題.5 .【答案】C4所對的角,【解析】解：.3+4=7且7>4,三條線段可以組成一個三角形，且該三角形的最大角為 設(shè)最大角為 "根據(jù)余弦定理得COSaWV。，結(jié)合 長（0,花），得“為鈍角，.,此三角形為鈍角三角形.故選：C.根據(jù)題意，由兩條較短線段之和大于

11、最長線段，可得三條線段能組成一個三角形，再由 余弦定理算出最大角為鈍角，即可得到三條線段能組成鈍角三角形.本題給長度為2、3、4的三條線段，問它們能構(gòu)成什么樣的三角形，著重考查了三角形 兩邊之和大于第三邊和用余弦定理解三角形等知識，屬基礎(chǔ)題.6 .【答案】B【解析】 解：直線Ax+By+C=0化為：y=-：x-，.ACV0, BC>0,假設(shè)C>0,則B>0, Av0. .-；>0, <0.則直線Ax+By+C=0不通過第二象限.假設(shè)CV0,則Bv0, A>0. Y>。，-3V0.則直線 Ax+By+C=0不通過第二象限. 故選：B.直線Ax+By+C=

12、0化為：y=-x-.由ACv0, BC>0,對C分類討論即可得出.本題考查了直線斜率與截距的意義、分類討論，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ) 題.7 .【答案】C【解析】【分析】空間四邊形 ABCD中，由AC1BD, E、F、G、H分別是AB、/ /BC、CD、AD 的中點，推導(dǎo)出 EH = GF, EF= HG, EHXEF,由此能證明四邊形 EFGH是矩形.本題考查四邊形形狀的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形中位線定理的合理運(yùn)用.【解答】解：如圖，空間四邊形 ABCD中，.AC1BD, E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、AD 的中點，. EH/BD,且 EH=：

13、BD, GF/BD,且 GF=HD,EF /AC,且 EF=：AC, HG/AC,且 HG = 'aC,/. EH = GF,EF = HG, EH 1EF,四邊形EFGH是矩形.故選：C.8 .【答案】C【解析】解：連結(jié) BD,由于 A+C=180° , , /BAD=120° ,故/C=60° , 由題設(shè)及余弦定理得：在 AABD 中，BD2=AB2+DA2-2AB?DAcosA=1+4+2=7 ,在 ABCD 中，BD2= BC2+CD 2-2 BC ?CD cosC,得 7=BC2+4-2BC,即 BC2-2BC-3=0,故 BC=3,所以邊形AB

14、CD的面積S= S>AABD+SBCD=1 上 'i | . .= , +:.故選：C.連接BD,利用余弦定理求出 BD,再用余弦定理求出 BC,根據(jù)面積公式求出即可.本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.9 .【答案】x+y-5=0【解析】 解：設(shè)過點（2, 3）,且與直線x-y-3=0垂直的直線方程為 x+y+m=0,把點（2, 3）代入可得：2+3+m=0,解得m=-5.直線方程為x+y-5=0,故答案為：x+y-5=0 .設(shè)過點（2, 3）,且與直線x-y-3=0垂直的直線方程為 x+y+m=0,把點（2, 3）代入可

15、得：2+3+m=0,解得 m.本題考查了直線相互垂直與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10 .【答案】言【解析】解：根據(jù)題意，直線5x-12y-2=0與直線5x-12y+15=0之間的距離d=；：=： 故答案為：.根據(jù)題意，由平行線間計算公式計算可得答案.本題考查平行線間的距離計算，注意平行線間距離公式即可，屬于基礎(chǔ)題.11 .【答案】（2）【解析】 解：m, n為兩條不同的直線，a, 3為兩個不同的平面，對于（1） , m? a, n? a, m/3, n /3,若m, n為相交直線，可得 a/3,故（1）錯誤；對于（2） , n/m, n,a可得m±a,故（

16、2）正確；對于（3） , a/3, m? a, n? 3可得m/n或m, n異面，故（3）錯誤；對于（4） , m±a, m-可得n版或n?電故（4）錯誤.故答案為：（2）.由面面平行的判定定理可判斷（1）;由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷（2）；由面面平行的定義可判斷（3）;由線面的位置關(guān)系可判斷（4）.本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12 .【答案】7【解析】解：:a, b是方程x2-13x+40=0的兩根，.a=5, b=8, 或 a=8, b=5,由余弦定理 AB2=c2=a2+b2-2abcosC=25

17、+64-2 >8>5X=49,故答案為：7.求出方程的解，根據(jù)余弦定理即可求出.本題考查了方程的解和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題13 .【答案】3?！窘馕觥拷猓合劝讶忮F擴(kuò)展為正方體，求出對角線的長，即：對角線邊長為(號,所以球的半徑為 專,所以球的表面積為 斗花舟£ =先把三棱錐擴(kuò)展為正方體，求出對角線的長，就是球的直徑，然后求出表面積.本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及公式的利用，是基礎(chǔ)題.14 .【答案】600【解析】【分析】求出BC, AC的值，由余弦定理再求 AB,即可得結(jié)論.本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：航標(biāo)A在正東，俯角為 30&#

18、176;,由題意得"PC=60°, /PAC=30°.航標(biāo)B在南偏東60。，俯角為45。，貝U有/ACB=30° , ZCPB=45° .FC fiOfl故有 BC=PC=600, AC=；, =600§.所以，由余弦定理知AB2= BC2+AC2-2BC ?AC?COS/ACB=360000+360000 3-2 K。K 6皿2 x g =360000 .可求得AB=600.故答案為：600.15 .【答案】(-*T|U* +電考查了推理能力與計算能【解析】解：如圖所示，直線y=kx+2經(jīng)過定點P (0, 2).11"2

19、I 11-1-2kPA= 0=4, kPB=1.直線y=kx+2與線段AB恒有公共點，k > :或 k 5故答案為：(一 8, 1U +8).如圖所示，直線y=kx+2經(jīng)過定點P (0, 2).利 用斜率計算公式可得：kpA, kPB.由于直線y=kx+2 與線段AB恒有公共點，則k/pa或kqPB.本題考查了直線的方程及其應(yīng)用、斜率的計算公式及其應(yīng)用,力，屬于中檔題.16.【答案】(20, 24【解析】 解：(a-b) (sinA+sinB) = (c-b) sinC, .( a-b) ( a+b) = (c-b) c,. c2+b2-a2=bc.第11頁，共12頁. cosA=+；口

20、 =：, AC (0,兀)由正弦定理可得:.b=4sinB, c=4sinC.貝U b2+c2=16sin2B+16sin2C=8 (1-cos2B)+8 (1-cos2C) =16-8cos2B-8cos2 ©-B)=8sin (2B-：) +16,WFT.銳角 AABC 中，.t<B<7.Q-g H 5T0 I (2BR e Q 百)，.sin (2B* C (可 1. b2+c2e (20, 24.故答案為：(20, 24.(a-b) (sinA+sinB) = (c-b) sinC,利用正弦定理可得：(a-b) ( a+b) = (c-b) c, 再利用余弦定理可

21、得 A.由正弦定理可得：b=4sinB, c=4sinC.代入b2+c2,利用倍角公 式和差公式化簡整理，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出本題考查了正弦定理余弦定理、倍角公式和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能 力與計算能力，屬于中檔題.17 .【答案】解：(1)設(shè)直線的點斜式方程為 y-yo=k (x-x0),代入條件，得直線方程為：y + 2 = &*-3),即工一¥47-328 = 0(2)設(shè)直線的截距式方程為：+:=1,代入可得直線方程為：；+與=1 ,即3x-2y-6=0 .* J【解析】(1)設(shè)直線的點斜式方程為 y-y0=k (x-x。)，代入求值;(2)設(shè)直線

22、的截距式方程為：+ ： = 1,代入求值.本題考查直線方程的求法，注意根據(jù)不同的已知條件，設(shè)不同的直線方程，是基礎(chǔ)題.18 .【答案】解：(1)在3BC中由正弦定理總=而得 言， |rhi60 n即,tin匚=g,IT I 百a>c, a>c, o<c<y, c = g.(2)在C =彳中由余弦定理 e5H =一詬一,得 c = 2a. a2=b2,.a=b9BC是等腰三角形.【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理可求 sinC,進(jìn)而可求C;(2)由已知結(jié)合余弦定理化簡即可求解.本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.19 .【答案】 證明：在

23、正方體 ABCD-A'B'C'D'中，DD'4 ABCD .AC?面 ABCD,DDMC.在正方體 ABCD-A'B'C'D'中，四邊形 ABCD是正方形，DBLAC. BD?面 ABCD, DD'?面 ABCDBD ADD'=D, .AC 刀 BDD ',. BD'?面 BDD', . AC1BD'.【解析】 推導(dǎo)出DD'加 ABCD.從而DD'AC,推導(dǎo)出DB/C.從而AC BDD', 由此能證明ACXBD'.本題考查線線垂直的證明，考查空

24、間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考 查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20 .【答案】解：(1)在AABC中由正弦定理總二焉=幺=闔，2RsinC =察 2 Rs In As I n C- 2RsinCcosA,C 6 (0,角. 2RsinC>0 得1 = J3 sinA-cosA = 2sin(A-),w 51r ir v fr不）"一技二針1:口（2）X9M 是 BC 中點，/"c + h3則 7 ="+2 T ）,/IM 1 AC rW BAC.代入得 c2+3c-18=0,c=3 或 c=-6 （舍）.在 ZABC 中口2 =匕2 + （?2b

25、cC0SA = 0+ 93mg = 9 ,【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式對已知進(jìn)行化簡即可求解；(2)結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)及余弦定理即可求解.本題主要考查了正弦定理，余弦定理及向量的數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬 于中檔試題. EO /PB.21 .【答案】解：(1)證明：在菱形ABCD中，AB=BC, ZABC=60 °,，9BC是等邊三角形.又AC=a,故菱形邊長為 a,在 APAB 中，PA2+AB2=2a2=PB2,. PALAB,同理 PA1AB.又 AD, AB?面 ABCD, AD AAB=A,. PA!面 ABCD .(2) (I)證明：連結(jié) B

26、D交AC于O.連接EO.在菱形ABCD中。為BD中點又E是線段PD的中點，. EO?面 AEC, PB?面 AEC, . PB /面 AEC .(n)解：存在，f是pc中點.取PE中點Q,連結(jié)BQ, FQ.在ABQD中以？=杷月=。為BD中點，則EO/QB,又 EO?面 AEC, QB?面 AEC, . QB 峋 AEC .同理QF /面AEC.又.QB, QF?面 BQF, QBAQF = Q, .面 QBF /面 AEC, 又 BF?面 BQF, BF/印面 AEC.【解析】(1)推導(dǎo)出AABC是等邊三角形，PAAB, PASB .由此能證明PAFF面ABCD .(2) (I)連結(jié)BD交A

27、C于O.連接EO.推導(dǎo)出EO/PB.由此能證明 PB峋AEC.(II )存在，F(xiàn)是PC中點，取PE中點Q,連結(jié)BQ, FQ.推導(dǎo)出EO /QB,從而QB / 面AEC.同理 QF/面 AEC.進(jìn)而面 QBF /M AEC ,由此能證明 BF /狂面AEC.本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.22.【答案】 解：(1)由題意FH"面ABCD, FMXBC.又.HM ?平面 ABCD , . FH _LHM .J51。百在 RtAFHM 中，歸M=5.= HM =;二干.因此AFBC的面積為Ox幽=塔. jJU則屋頂面積(2)在 RtAFHM 中，.HM=5, ZFMH =0,=因此疔BC的面積為卜0乂總=磊從而屋頂面租5 = 25+ 2$梯何加E = 2 X而而+2X藐熊X 22 =,屋頂面積s關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式5 = 搐0<a<(3)在 R