漩渦理論與勢(shì)流理論

1、Cha pter 4Vortex Theory and Poten tial Theory第四章漩渦理論與勢(shì)流理論流體由于具有易變形的特性，因此流體的流動(dòng)要比剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流 體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。 由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知， 有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度0的流動(dòng)，無旋流動(dòng)是指=0的流動(dòng)。實(shí)際上,粘性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)。流體的無旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但 無旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡單得多，因此，在流體力學(xué)中無旋流動(dòng)的研究 具有重大的意義。對(duì)工程中的某些問題，在特定條件下對(duì)粘性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行 無旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是

2、繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí) 踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。本章首先對(duì)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，同時(shí)得出無旋運(yùn)動(dòng)和有旋運(yùn)動(dòng)的概念。 然 后討論理想流體運(yùn)動(dòng)的基本方程和求解。在此基礎(chǔ)上本章側(cè)重討論旋渦基本理論和 平面勢(shì)流基本理論。4.1流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析在流體流動(dòng)時(shí)，流體微團(tuán)除了可以像剛體那樣平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之外，還伴有變形運(yùn)動(dòng)，如圖4-1所示。由于有變形運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)也不像剛體轉(zhuǎn)動(dòng)那樣簡單。 如果從流體微團(tuán)中引 出若干條直線，它們的 旋轉(zhuǎn)角速度可以各不 相等，所以流體微團(tuán)的 旋轉(zhuǎn)角速度是指過同 一點(diǎn)，若干條直線旋轉(zhuǎn) 角速度的平均值。y*Rukilion直轉(zhuǎn)由于流體所具有的易流動(dòng)性，流體微團(tuán) 即使是在

3、一個(gè)很小的 力的作用下，只要時(shí)間 足夠長，就可以發(fā)生足 夠大的變形。因此，在 對(duì)流體微團(tuán)進(jìn)行變形rinnskHii>n 平移near det(*nna(ii>n線變形AnmiLir detnniiaiiouFluid Llunicjit 流體做團(tuán)Fig. 4-1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，不是看其變形量的大小，而是看其變形速度的大小。作為分析流體微 團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本量，引入線變形速度，剪變形角速度和平均旋轉(zhuǎn)角速度。4.1.1線變形速度如圖4-2所示，首先考慮最簡單的一維流動(dòng)情況。在 t時(shí)刻，在x軸上取一微 小線段AB= x,A點(diǎn)的速度為vx,按泰勒級(jí)數(shù)展開，B點(diǎn)的速度可表示為 經(jīng)過t時(shí)間之

4、后，AB線段運(yùn)動(dòng)到新的位置 A B。AB線段經(jīng)過t時(shí)間之后，其長 度的改變量為X.1 * AtAxifI事|di-,g十d*山）加Fig. 4-2 Lin ear Deformati on Velocity單位長度在單位時(shí)間內(nèi)長度的改變量為(4.1)把x叫做線段AB的線變形速度。x是正值時(shí)為拉伸，負(fù)值時(shí)為壓縮。將上述推廣到三維空間的情況。三維空間 的流體微團(tuán)，不僅具有x方向上的線變形速度，還有y方向和z方向上的線變形速 度。在三維空間中，流體微團(tuán)的速度是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即所以，流體微團(tuán)在x、y、z方向上的線變形速度分(4.2)下標(biāo)X、y、z表示變形發(fā)生的方向。所以流體微團(tuán)的線變形速度是單位長度

5、在 單位時(shí)間內(nèi)長度的改變量。d;'IV V I 氓 AJ) d *估“）dy(1 +£ At) dz（1 *£山）山J + e, Al) djr（I +兀川2窩< t )C b)Fig. 4-3 Fluid Eleme ntDeformati on-44-3所示，圖（a）為初始狀態(tài)。作若在流場(chǎng)中取一平行六面體的流體微團(tuán)，如圖為一種特殊情況，當(dāng)時(shí)，流體微團(tuán)變形之后仍為平行六面體，當(dāng)時(shí)，為膨脹變形，變形如圖（b）所示，當(dāng)時(shí)，為壓縮變形。當(dāng)時(shí)，變形情況如圖（C）所示。對(duì)于不可壓縮流體，由于在變形過程中，體積不發(fā)生改變，所以有展開上式，并略去高階無窮小量，得(4.3a

6、) (4.3b)這就是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，與方程4.1.2剪變形角速度首先仍以最簡單的平面問題為例。如 圖4-4所示，圖中OACB為初始狀態(tài)的流體 微團(tuán)。（3.29） 一致。廠,A經(jīng)過t時(shí)間之后，流體微團(tuán)變形如圖4-4（ b）中虛線所示，0B邊轉(zhuǎn)過的角度； 0A邊轉(zhuǎn)過的角度為。4.1.3平均旋轉(zhuǎn)角速度Fig. 4-5在t時(shí)間內(nèi)，流體微團(tuán)中直角 AOB的改變量的一半為單位時(shí)間內(nèi)改變量的一半為對(duì)于三維空間，類似有(4.4)上式就是流體微團(tuán)的剪變形角速度。剪變形角速度是流體微團(tuán)中某一直角的減 小速度的一半。下標(biāo)x、y、z表示剪切變形發(fā)生面的法線方向。由于流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生 變形，在流體微

7、團(tuán)中某一點(diǎn)引出的若干 條直線所轉(zhuǎn)過的角度各不相等。流體微 團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，是指過同一點(diǎn)，若干條直線 旋轉(zhuǎn)的平均值，等于過該點(diǎn)的直角角平 分線轉(zhuǎn)過的角度。在圖4-4中，當(dāng)= 時(shí)，角平分線沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這是一種 純剪切運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。作為一般情況，如圖 4-5所示，矩形OACB是初始位置。經(jīng) 過t時(shí)間之后，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到 OA C B根據(jù)幾何關(guān)系，在t時(shí)間內(nèi)， 角平分線轉(zhuǎn)過的角度單位時(shí)間內(nèi)角平分線轉(zhuǎn)過的角度為將這一結(jié)果推廣到三維空間，則有(4.5)上式就是流體微團(tuán)的平均旋轉(zhuǎn)角速度三個(gè)分量表達(dá)式。可將方程(4.5)用矢量式表示為(4.6)流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中，可同時(shí)發(fā)生線變形運(yùn)動(dòng)，剪切變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 而線

8、變形速度、剪變形角速度、平均旋轉(zhuǎn)角速度分別是度量這三種運(yùn)動(dòng)的特征量。 Exa mple 4.1It is known that the velocity distributi on of a planar flow field isAn alyze the deformati on and rotati on happen duri ng the motio n of fluid eleme nt. 例4. 1已知平面流場(chǎng)的速度分布為試分析流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中所發(fā)生的變形與旋轉(zhuǎn)。Solutio n:Lin ear deformatio n velocity解：線變形速度An gular vel

9、ocity of sheari ng deformati on剪變形角速度Average an gular rotat ing velocity平均旋轉(zhuǎn)角速度4.2理想流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)4.2.1有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義流體的流動(dòng)是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。流體在流 動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有 旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無 旋流動(dòng)。這里需要說明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)，僅僅由流體 微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。在圖 4-6(

10、a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng); 在圖4-6(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無 旋流動(dòng)。004hlrTPlLitionLil Flow無旋流動(dòng)Fig. 4-6 Rotati onal and Irrotati onal Flow速度場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，根據(jù)矢量場(chǎng)的旋度的概念，速度矢量的旋度為將上式與平均旋轉(zhuǎn)角速度相比較，得(4.7)所以，平均旋轉(zhuǎn)角速度不僅是分析流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量, 也是判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)。判斷流體微團(tuán)無旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足對(duì)于無旋流動(dòng)=0or

11、或rotv=0對(duì)于有旋流動(dòng)0 or或rotv 0422旋渦的基本概念在第三章我們給出了描述速度場(chǎng)的流線、流管、流量等基本概念。速度場(chǎng)和旋 渦場(chǎng)都是體現(xiàn)流動(dòng)特征的矢量場(chǎng)，因此，描述速度場(chǎng)和旋渦場(chǎng)的基本概念之間，具 有對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例如速度場(chǎng)（V） 速度 流線 流管旋渦場(chǎng)（） 平均旋轉(zhuǎn)角速度 渦線 渦管這樣，就很容易理解旋渦的一些基本概念了。1.渦線某一瞬時(shí)的渦線是這樣的一條曲線，在該曲線上 各點(diǎn)的平均旋轉(zhuǎn)角速度矢量與該曲線相切，如圖4-7 所示。與流線一樣，在定常流場(chǎng)中，渦線的形狀保 持不變，在非定常流場(chǎng)中，渦線的形狀是變化的。 類似流線方程，渦線的方程可寫為Fig. 4-7 Vortex Lin

12、e2. 渦管在旋渦場(chǎng)中通過任一不是渦線的封閉曲線的 每一點(diǎn)作渦線，這些渦線所形成的管狀表面稱為 渦管，如圖4-8所示。3. 渦束截面積無限小而強(qiáng)度（渦通量）為有限值的 渦管。cFig. 4-8 Vortex Bun4.2.3速度環(huán)量為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一 度環(huán)量。在流場(chǎng)中任取封閉曲線K，如圖4-9所示。速度j 速度沿封閉曲線K的環(huán)量，簡稱速度環(huán)量，用 表示，速.8)式中在封閉曲線上的速度矢量；速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有 關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向 有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)镵的 正方向

13、，即封閉曲線所包圍的面積 總在前進(jìn)方向的左側(cè) 示。當(dāng)沿順時(shí)針方向應(yīng)加一負(fù)號(hào)。實(shí)際上， 表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉 動(dòng)的總的趨勢(shì)的大小，或 映的是流體的有旋性。由于4.2.4旋渦強(qiáng)度ig.4-9 Velocity Circulation和則代入式（4.8），得(4.9)V,淚須閉曲線的連廈11不量4-7所 式(4.8)F. +沿封閉曲線K的速度環(huán) 旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要的關(guān)系， 以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩 形封閉曲線，其面積A=dxdy ,流體在A 點(diǎn)的速度分量為 Vx和vy，貝U B、C和D點(diǎn) 的速度分量分別如下： dr 1Q"w1輕V +=b1B

14、AVleiocify Ci/rtiktr/tfii tjioE/eruc t itutyfiectangie Path沿餓矩比的速S師量ex3眄Fig. 4-10于是，沿封閉曲線反時(shí)針方向 ABCDA的速度環(huán)量(4.5)的第三式,將點(diǎn)的速度值代入上式，略去高于一階的無窮小各項(xiàng)，根據(jù)方程 得(4.10)然后將式(4.10)對(duì)面積積分，得(4.11)上式即為所謂的反映速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理，其表明:沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二倍，稱 之為旋渦強(qiáng)度I，即或式中n 在微元面積dA的外法線n上的分量。(4.12)由式(4.8)可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋

15、流動(dòng)的量，稱為渦量，以表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在z軸方向的分量為疋對(duì)于流體的三維流動(dòng)，同樣可求得 x和y軸方向渦量的分量。于是得(4這意味著，在有旋流動(dòng)由此可見，在流體流 流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng) 速度環(huán)量都等于零，則如果渦量的三處的渦量分量區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一有旋在此舉兩個(gè)簡單的例子來說明速度環(huán)量 和旋渦強(qiáng)度的物理意義，以及有旋流動(dòng)和無 旋流動(dòng)的區(qū)別。Exa mple 4.2As shown in Fig. 4-11, a flow rotates coun terclockwise like a rigid body at an gular velocity . Find

16、 velocity circulation along a closed curve in the flow field, and dem on strate the flow is rotati onal flow.例4.2 個(gè)以角速度按反時(shí)針方向作像 剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖4-11所示。試 求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并 證明它是有旋流動(dòng).Fig. 4-11Exam pie 4.2Solutio n:Randomly take two circles of radius nand r2 in flow field, their velocities are andrespect

17、ively, velocity circulation along the circumfereneeABCDA of the sector area highlighted by in cli ned lines is 解：在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑r1和r2的圓周，其速度各為 沿圖中畫斜線扇形部分的周界 ABCDA的速度環(huán)量It is obvious that flow in the regi on is rotati on al. Since the sector area is可見，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積Thus上式正上結(jié)論可用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。VAo radint,o

18、rse prreThe above equati on is just a dem on strati on of Stocks theorem, and the con clusi on may be popu larized to any regi on in the circle.Exa mple 4.3 A planar point O, the m at each point is that is shown in Fig. circulati on of a clos and an alyze the flotates cone of perily aboutvelocity/4于

19、是例4.3 流體繞0點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該點(diǎn) 半徑成反比，即，其中C為常數(shù)，如圖4-12所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。Solutio n:The velocity circulati on along the boun dary of the sector area is解：沿扇形面積周界的速度環(huán)量Fig. 4-12Exam pie 4.3It can be see n that flow in this regi on is irrotati on al. This con clusi on may be popu larized

20、to any area that does not in clude the circle cen ter O, such as ' '' A'.lf the area in cludes point 0( r=0), since its velocity is infin ite, it should be dis po sed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumferenee of radius r可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動(dòng)。這結(jié)論可

21、推廣適用于任何不包圍圓心0的區(qū)域內(nèi)，例如A'B'C'D''若包有圓心(r=0)，該處速度等于無限大，應(yīng)作例外來處理。 現(xiàn)在求沿半徑r的圓周封閉曲線的速度環(huán)量The above expression circumfere ntial curve in flow fie flow is rotati on al. But the velo in clude point O must equal zero sin gular point.上式說明，繞任何一個(gè)圓周的流 所以是有旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓 圓心0點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是strates that no

22、t be zer irculatio n centeelocity circulation along any quals a con sta nt, therefore the any circumfere nee that does not isolated vortex point, and is called量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù), 圓周的速度環(huán)量必等于零，故在 ,稱為奇點(diǎn)。4.3無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在任意時(shí)刻處處為零，即滿足的流動(dòng)為無旋流動(dòng)，無旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。4.3.1速度勢(shì)函數(shù)引入由數(shù)學(xué)分析可知，是成為某一標(biāo)量函數(shù)全微分的充分必要條

23、件。則函數(shù) 稱為速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說，存在速度勢(shì) 函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù)的全微分可寫成于是有(4.15)按矢量分析(4.16)對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有(4.17)從而從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還 是非定常流動(dòng)，只要滿足無旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。4.3.2速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)1.不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中 將式(4.15)代入到不可壓縮流體式中數(shù)為拉普拉斯算方程，是調(diào)和函數(shù)。，則有(4.18)X為拉普拉斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿足拉普 函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中稱為調(diào)和函數(shù)，所以速從上可見，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)

24、中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì) 特殊形式，這樣把求解無旋流動(dòng)的問題，就變?yōu)榍鬂M定邊 斯方程的問題。12.任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端I 形狀無關(guān)。根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線m立斯方程的程的一種 的拉普拉而凡是滿 是一個(gè)調(diào)和函這樣，將求環(huán)量問題，變?yōu)榍?若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函數(shù)是 度環(huán)量等于零，即曰差，而與曲線的3.等勢(shì)面與流線垂直將流場(chǎng)中速度勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來, 流動(dòng)中，稱為等勢(shì)線。在等勢(shì)面上為等勢(shì)面。在平面勢(shì)函數(shù)值之差的問題于任意封寸閉曲線，(封閉曲線的速(X, y, Z) = C因?yàn)榇肷鲜?，?4.19)因?yàn)閐l是等勢(shì)面上的有向線段，所以上式說明4.速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)，等于速度

25、在該根據(jù)數(shù)學(xué)上方向?qū)?shù)的概念，速度勢(shì) 在任意方所以與流線垂直。的投影 的方向4.4平面流動(dòng)的流函數(shù)4.4.1流函數(shù)的引入對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng):1函數(shù)稱為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式(4.2|可由式(4.22)，令d =0，即=常數(shù)，可 (x,y)=常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)彳或簇。由數(shù)學(xué)分析可知，式(4.21 )是 表示該函數(shù)，則有改寫成下列形式(4.20)呈，(4.23)由此，只1.對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)將式(4.23)代入式(4.21),得即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿足連續(xù)性方程。ble fluid, strea足拉普拉斯方程,對(duì)于平面無旋流動(dòng)，因

26、為將式(4.23)代入上式，得給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)(xo,yo)代入流函數(shù)，便可得到一條過該點(diǎn)的確定 的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。對(duì)于極坐標(biāo)系，方程(4.22)與(4.23)可寫成(4.24)(4.25)在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)一樣，可由曲線積分得出。至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù)(x,y)，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程， 論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù)。這里需說明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于三維

27、流動(dòng)，不 存在流函數(shù)，但流線還是存在的。4.4.2流函數(shù)的性質(zhì)數(shù)也是調(diào)和函，則永遠(yuǎn)滿足連續(xù),ion satisfiesT2. For planar potential flow of inco Lap lace' equatio n, and is a harm onic func對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函 數(shù)。It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies LapI acesequati on, and is a harm onic fu

28、n cti on.可見，不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的流函數(shù) 也滿足拉普拉斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿 足邊界條件的拉普拉斯方程。3.平面流動(dòng)中，通過兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的 流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。如圖4-13所示，在兩流線間任取一曲線 AB，則通過曲線AB單位厚度的體積 流量為(4.26)由式(4.26)可知，平面流動(dòng)中兩條流線間單位寬度通過的流量等于這兩條流線上 的流函數(shù)之差。4.4.3和的關(guān)系1.滿足柯西-黎曼條件如果是不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速度勢(shì)和流函數(shù)，比較 式

29、(4.15)和式(4.23)，可得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等 數(shù)學(xué)中稱作柯西-黎曼條件。因此， 和互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有 可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣有 力的工具求解此類問題。當(dāng)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)二者知 其一時(shí)，另一個(gè)則可利用式(4.27) 的關(guān)系求出，而至多相差一任意常 數(shù)。(4.27)Fig. 4-14 Flow Net1.流線與等勢(shì)線正交式(4.27)是等勢(shì)線簇(x,y)=常數(shù)和流線簇(x,y)=常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線，貝尼們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)， 如圖4-14所示。Exa mple 4.4Veloci

30、ty distribution of an incompressible planar flow is.Fi nd :(1) whether there exist stream fun ctio n and velocity poten tial in the planar flow; (2) the expressions of and if they do exist; (3) if the absolute pressure at point A(1m, 1m) in the flow field is 1.4 >105Pa, density of the fluid is 1.

31、2kg/m3, what is the absolute p ressure at point B(2m, 5m)?例4.4有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為。(1)該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；(2)若存在，試求出其表達(dá)式；(3)若在流場(chǎng)中A (1m, 1m)處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4 X05Pa,流體的密度1.2kg/m3,貝U B (2m, 5m)處的絕對(duì) 壓強(qiáng)是多少？Solutio n:(1) From continuity equation of incompressible planar flow解由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程The flow meets con ti nui

32、ty equati on, thus there exist stream fun ctio n.該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)。For planar flow,對(duì)于平面流動(dòng),and because，又因?yàn)镾o the flow is irrotati on al, there exist velocity poten tial fu該流動(dòng)無旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。(2) According to the total differential of stream function, we o由流函數(shù)的全微分得：By in tegrati on, we have積分，得Accord ing to

33、 the total differe ntial of velocity poten tial , we obta in由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得：By in tegrati on, we have積分，得Exa mple 4.5Assume velocity distributio n of a planar flow isFind: (1) whether it satisfies continu ity equati on; (2) velocity poten tial ; (3) stream fun cti on例4.5設(shè)平面流動(dòng)的速度分布為求：（1）是否滿足連續(xù)方程；（2）速度勢(shì)；（

34、3）流函數(shù)。Solutio n:(1) Si nee 由于The flow satisfies con ti nu ity equati on.流動(dòng)滿足連續(xù)方程。/x =x=(2) For planar flow, x= y=0. 對(duì)于平面流動(dòng)，x= y=0。So the flow is irrotati on al, th potential :所以流動(dòng)是無旋流動(dòng)，存在速Take in tegral p ath as show n in sec ond term on the right-ha nd side is con sta nt, thus取積分路徑如圖4-15所示，上式 為常數(shù)，所

35、以(3) Since continuity equation is satisfied, there must exist stream function . Because the in tegratio n is independent of in tegral p ath, we may take the same in tegral p ath show n in Fig. 4-15.因?yàn)闈M足連續(xù)性方程，故存在流函數(shù)。由于積分與路徑無關(guān)，可以取圖4-15 相同的積分路徑。Exa mple 4.6Stream function of incompressible planar flow

36、is =5xy, (1) Prove the flow is a poten tial flow, the n find velocity poten tial fun cti on; (2) Fi nd velocity at point (1,1); (3) If pressure at point (1, 1) is 105Pa, the density of the fluid is =1000kg/m3. Find the p ressure at the stag nati on point in flow field.例4.6不可壓縮平面流場(chǎng)的流函數(shù)為=5xy，( 1)證明流動(dòng)有

37、勢(shì)，并求速度勢(shì)函數(shù)；(2)求(1,1)點(diǎn)的速度(單位為m/s);( 3)如果點(diǎn)(1,1)的壓強(qiáng)為105Pa, =1000kg/m3。 試求流場(chǎng)中的駐點(diǎn)壓強(qiáng)。Solutio n:(1) Si nee解： 因?yàn)锳nd because the flow istwo-dime nsio nalflow, x=0, y=0,therefore the flow is potential flow, there existvelocity poten tial fun cti on.,故流動(dòng)為有勢(shì)又因?yàn)槭瞧矫媪鲃?dòng)，x= y=0,流動(dòng)，存在速度勢(shì)函數(shù)。(2)velocity components at po

38、int (1, 1) are v=5(m/s) and vy=-5(m/s)(1，1)點(diǎn)的速度分量為 vx=5(m/s), vy=-5(m/s)(3) Suppose pressure at the stagnation point is po, from Bernoulli ' equation for incomp ressible fluid, we obta in設(shè)駐點(diǎn)的壓強(qiáng)為P0，由不可壓縮流體的伯努利方程，得4.5基本平面勢(shì)流及其疊加4.5.1直均流所謂直均流，就是流體質(zhì)點(diǎn)以相同的速度相互平行地作等速直線運(yùn)動(dòng)。如圖4-16所示，取流體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閛x軸，其速度分布為Vx=V0

39、，Vy=0.因?yàn)?vox所以是無旋運(yùn)動(dòng)，存在速度勢(shì)(4.29)當(dāng)=常數(shù)時(shí)，x=常數(shù)，所以等勢(shì)線是 x = C的一族與y軸平行的直線 口圖4-16 中的虛線所示。將速度分布函數(shù)代入人連續(xù) 因?yàn)闈M足存在流函數(shù)=V0y(4.30)當(dāng)=常數(shù)時(shí)，y=常數(shù)，所以流線是平4.5.2源和匯如果在無限平面上流體不斷從一 流動(dòng)稱為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，如圖 均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱 顯然，這兩種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) 都只有徑向速度Vr?，F(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)Fig. 4-16 Parallel Flow 軸的直線族，如圖4-16中箭頭線所示。這個(gè)點(diǎn)稱勺放射線，即從原點(diǎn)或匯點(diǎn),向各方流出，則這種 流體不斷沿徑向

40、直線如圖4-12(b)所示。在出和向匯點(diǎn)流入系中的速度分布(4.31)可以證明該流場(chǎng)滿足速度勢(shì)和流函數(shù) 的存在條件，速度勢(shì)為(4.32)SinkCiD(b) Si nkSource < 源)Fig. 4-17 (a) Source或者(4.33)當(dāng)=常數(shù)時(shí)，r=常數(shù)，所以等勢(shì)線是r= C的一族同心圓。C為任意常數(shù)。 流函數(shù)為(4.34)當(dāng)=常數(shù)時(shí)，=常數(shù)，所以流函數(shù)的等值線是 =常數(shù)的射線族，如圖4-17所示。列出流場(chǎng)中任一點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)間的伯努利方程，得式中P為無窮遠(yuǎn)處(速度為零)的壓強(qiáng)，則任意一點(diǎn)的壓強(qiáng)可表示為(4.35)由上式可知，壓強(qiáng)隨距離r減小而減小，在處壓強(qiáng)變?yōu)榱恪?0Fi圖4

41、-18為匯的壓強(qiáng)分布圖4.5.3點(diǎn)渦設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為I的無限長直線渦束，該 渦束以等角速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦 束周圍的流體繞其環(huán)流。由于直線渦束為 無限長，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有 平面上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說，這 種繞無限長直線渦束的流動(dòng)可以作為平面 流動(dòng)來處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流 線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯 托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的 速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即Fig. 4-19于是(4.36)因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 樣的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦，又稱為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí),，則成為一條渦線，這，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。向?，F(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)

42、和流函數(shù)。由于積分后得速度勢(shì)又由于積分后得流函數(shù)時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針方向，如圖4-14所示;(4.37)時(shí),(4.38)順時(shí)針由式(4.37)和式(4.38河知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是 同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。設(shè)渦束的半徑為ro,渦束邊緣上的速度為，壓強(qiáng)為P0；時(shí)的速(4.40)度顯然為零，而壓強(qiáng)為P。代入伯努里方程(3.41),得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為(4.39)由上式可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓 強(qiáng)為所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常數(shù)。又由式(4.39)可知，在處，壓強(qiáng)，顯然這是不可能的。所以在

43、渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱為渦核區(qū)。由式(4.40)可得渦核的半徑。以dx和得積分得將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度vx=- y和vy=由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面 定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為在r=ro處，p=p0、v =v0，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為(4.41)(4.42)于是渦核中心的壓強(qiáng)所以可見，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核 內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如圖 4-20所示。t/ore.4-204.6基本平面勢(shì)流的疊加的"CVelocity and rnes:sin but

44、mi既然在上述章節(jié)所給出的基本流函數(shù) 那么也可以將這些基本流動(dòng)進(jìn)行疊加，從而得到由方程(4.15)與(4.23)可知，速度是流函數(shù)或勢(shì)函數(shù)的線性函數(shù)。另外，拉普拉 斯方程也是線性函數(shù)。根據(jù)拉普拉斯方程的線性關(guān)系可知，如果已知兩個(gè)解，則該兩個(gè)解的任何線性 組合也構(gòu)成一個(gè)解。這意味著通過疊加、即將簡單的解相加，可以構(gòu)造出方程更復(fù) 雜的解。換句話說，如果存在兩個(gè)無旋不可壓的速度場(chǎng)，則速度的矢量合也是無旋不可 壓流動(dòng)方程的有效解。設(shè)有勢(shì)函數(shù)1、 2、3等等，這些函數(shù)的疊加便構(gòu)成一個(gè)新的勢(shì)函數(shù)1+ 2+ 3+?(4.43)從而因此(4.44)流函數(shù)也存在類似的關(guān)系。由于所有勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則(4

45、.45)類似有(4.46)4.6.1螺旋流回旋式燃燒室或離心式除塵器內(nèi)的流動(dòng)可視為匯流與渦流的疊加，稱為螺旋流。如環(huán)流的方向是逆時(shí)針方向，貝»加后的勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)可表示為式中q為流量，r為半徑，為轉(zhuǎn)角， 為速度 等勢(shì)線與流線的方程為(4.48)(4.49)(4.47)(4.50)z0二CFig. 4-21P 二 CSpiral Flow 螺旋流該兩方程構(gòu)成了相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線，如圖4-21所示。徑向速度及切向速度為(4.51)(4.52)利用伯努利方程，可導(dǎo)出壓強(qiáng)分布的表達(dá)式為(4.53)4.6.2偶極偶極被定義為等強(qiáng)度的源和匯的極限情況。當(dāng)源與匯相互靠攏時(shí)，其強(qiáng)度與間距的乘積為一

46、常數(shù)。如圖4-22(a)所示，源位于點(diǎn)A(-a,0)，而等強(qiáng)度的匯位于點(diǎn)B(a,0)。偶極的強(qiáng)度為(4.54)式中M為一常數(shù)，具有體積流量單位。y屮=ClPAi.-'A, 0)/v<p=cFig.4-22 Doublet 偶極偶極的軸線為由匯到源、也就是它們相互靠攏的直線。速度勢(shì)為° 0 )Z/(4.55)式中。注意，式中為無窮由圖4-22(a)的幾何關(guān)系有 小。貝U所以勢(shì)函數(shù)為(4.56)等勢(shì)線的方程為等勢(shì)線為一族通過原點(diǎn)且圓心在 x軸上的圓，如圖4-22(b)所示。 利用關(guān)系對(duì)偶極，有積分，得4.58)流線方程為(4.59)流線為一族通過原點(diǎn)且圓心在 y軸上的圓。原

47、點(diǎn)為奇點(diǎn)，其速度為無窮大，如 圖4-22(b)所示。4.7繞圓柱體流動(dòng)4.7.1繞圓柱體無環(huán)流流動(dòng)偶極與均勻流的疊加可用來表征繞圓柱體流動(dòng)，見圖 數(shù)為4-23。此時(shí)勢(shì)函數(shù)與流函(4.60)(4.61)流線方程為y3DFig. 4-23 Flow around5 =0的流線可由y=o及的圓。對(duì)于定常流動(dòng)的流線, 表示了繞半徑為r0的圓柱體流動(dòng)。根據(jù)勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)，可得流場(chǎng)中任一'(4.62)這即為這速為軸和半徑方程(4.61)x可能的,(4.63)由方程(4.63)可知，在無窮遠(yuǎn)處Vx= V、Vy= 0。這說明在無窮遠(yuǎn)處仍然為均勻流。 在點(diǎn)A與B處速度為零，分別稱為前駐點(diǎn)與后駐點(diǎn)。在極坐

48、標(biāo)系中速度表示為(4.64)繞圓柱體的速度環(huán)量為(4.65)圓柱體表面r=ro，速度為(4.66)在=0與=(駐點(diǎn))處速度為零，在=/2及=3 /2處速度達(dá)到最大值2v 。 由伯努利方程得從而(4.67)定義壓強(qiáng)系數(shù)為此時(shí)，壓強(qiáng)系數(shù)(4.68)(4.69)Fig. 4-24 P ressure Coefficie nt壓強(qiáng)系數(shù)可知壓強(qiáng)系數(shù)與圓柱體的半徑、無窮遠(yuǎn)處的速度及壓強(qiáng)無關(guān)。如圖4-24所示,對(duì)于理想流體，壓強(qiáng)系數(shù)是對(duì)稱的。故圓柱體的升力及阻力都為零。事實(shí)上，沒有粘性，根本就不會(huì)有升力及阻力。理想流體繞任何物體的流動(dòng)， 會(huì)在該物體的前端與尾部產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)，壓強(qiáng)在流動(dòng)方向上的增量永遠(yuǎn)為零。

49、1： (deal lluid： 2:屁AR廣氐4.7.2繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng)承接上節(jié)的例子，在偶極均勻流中加上渦流，可表征繞圓柱體有環(huán)流流動(dòng), 圖4-25所示。在極坐標(biāo)系中，勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)為(4.70)繞圓柱體由環(huán)流流動(dòng)Fig. 4-25 Flow around a Cyli nder with Circulati on 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度為(4.72)在圓柱體表面r= ro,流函數(shù)為,表明圓柱體表面為一條流線。y'a )由伯努利方程，圓柱體表面壓強(qiáng);通過對(duì)壓強(qiáng)在表面進(jìn)行積分，可得作用(h )Fig. 4-26 P osition of Stagn圓柱體表面的速度為(4.73)這說明流體

50、繞圓柱體表面流動(dòng)時(shí)不會(huì)分離。無窮遠(yuǎn)處vx=v，vy=0,即無窮遠(yuǎn)處的流動(dòng)為均勻流動(dòng)。如果渦流順時(shí)針流動(dòng)，即 <0，則速度在圓柱體上半部增加而在下半部減小, 其關(guān)于x軸的對(duì)稱性被破壞，從而導(dǎo)致駐點(diǎn)偏離 x軸，駐點(diǎn)的位置由下式確定(4.74)如果環(huán)量的絕對(duì)值I |<4 r0v，貝U |sin | <1，駐點(diǎn)位于如圖4-26(a)所示的位置。 如果| |<4 r0v，駐點(diǎn)位于y軸的負(fù)方向，如圖4-26(b)所示。如果| |<4 r0v，駐點(diǎn) 將脫離圓柱體的表面。y1(4.76)將(4.75)式代入(4.76)式，得(4.77)(4.78)方程(4.78 )表明，升力與流

51、體的密度、速度及環(huán)量成正比，這就是庫塔-儒可夫斯基定理。Dd is describethetionId itis suggested thatvz=2z4.6 It is known that streaconcen tric &y方程給出vz=2zv=x2yi xmp ressible fl equati ons2yvy=該流動(dòng)是否無旋？(有旋)ntthe con ti nuitation isvelocityity distributio n isP roblems4.1 The velocity field of a rotati onal flow is give n byFi nd the average an gular rotat ing velocity at point (2,2,2).已知有旋流動(dòng)的速度場(chǎng)為求在點(diǎn)(2,2,2)處平均旋轉(zhuǎn)角速度。(x=0.5，