(完整版)大連理工大學(xué)高等數(shù)值分析有限元簡述-2017

1、橢圓與拋物微分方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅(qū)的一套求解偏微分方程 的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉(zhuǎn)化成一種變分 方程(微分積分方程)，從而降低了對解的光滑性和邊值條 件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個單元(有限元) 構(gòu)造分片光滑函數(shù)， 這個光滑函數(shù)由其在單元頂點上的函數(shù) 值決定；最后，把這個分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方 程中去，就得到關(guān)于單元頂點函數(shù)值的一個線性方程組，解 之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條 件，易于利用分片高次多項式等等來提高逼近精度?？臻gHm作為例子，我們將考慮區(qū)間I 0,1上的微分方程。用L2(I)表示在I上勒貝格平方可積函數(shù)的

2、集合，Hm表示本身以及直到m階的導(dǎo)數(shù)都屬于L2(I)的函數(shù)的集合。我們 下面用到的主要是 H1(I)O這里所說的導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確地說是應(yīng)該是 廣義導(dǎo)數(shù)，對此我們不予詳細(xì)說明，只需知道比如說，連續(xù) 的分片線性函數(shù)(折線函數(shù))就屬于 H1(I),其廣義導(dǎo)數(shù)是分 片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到空間HE(I) v H1(I),v(0) 0 o(空間=函數(shù)集合。)微分方程考慮兩點邊值問題（pu ） qu f, x （0,1）（1）u（0） 0（2）u （1） 0（3）其中p, q, f都是區(qū)間（0,1）上的光滑函數(shù)，q 0,并且p P0, P0是 一個正常數(shù)。 用HE中任一函數(shù)v乘（1）式兩端，并在0,1 上積分

3、，得 10 （ pu ） v quv fvdx 0（4）利用分部積分，并注意u （1） 0和 v（0） 0，得1111（pu ）vdx pu v |0 pu v dx pu vdx以此代入到（4）得到1 （pu v quv fv）dv 0（5）為了方便，定義1w,v w vdx（ 7）a（w, v） （pw ,v ） （qw,v）（8）則相應(yīng)于微分方程（1）-（3）的變分方程 為：求u hE滿 足a（u,v） （f ,v） v H 1E （I ）（9）注意在（9）中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)。可以證明，滿足微分方程（1） -（ 3）的光滑解一定滿足變分方程（9） 。 （ 9）的解稱之為（ 1） -（ 3）

4、的廣義解，它可能只有一階導(dǎo)數(shù)，因此可能不是(1) - (3)的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是(1)-(3)的解。另外注意，在變分方程(9)中，我們強制要求廣義解u滿 足邊值條件u(0) 0,因而稱之為強制(或本質(zhì))邊界條件； 而對邊值條件u(1) 0,則不加要求。但是可以證明，如果廣 義解u在通常意義下二階可微，則一定有u(1) 0,即這個邊界條件自然滿足。這類邊界條件稱之為自然邊界條件。總之，變分方程(9)不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了 對邊值條件的要求。有限元空間 構(gòu)造有限元法的第一步與差分法一樣， 也是 對求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分 0 X0 X1 L Xn 1。相鄰節(jié)點

5、X1,Xi之間 的小區(qū)間Ii X 1，X稱為第i個單元，其長度為 hi Xi Xi 1 o記 h maX h o在空間HE(I)中，按如下原則選取有限元空間Vh：它的元素Uh(X)滿足所謂本質(zhì)邊界條件 Uh(0) 0,在每一單元上是 m次 多項式，并且在每個節(jié)點上都是連續(xù)的。當(dāng) m 1時，就得到 最簡單的線性元，這時每個qVh可表為Uh(X) jX-XUi 1 X Xi 1 U X I i 1,2,L ,n(10)hihi其中 Ui Uh(Xi), U0 Uh(0) 0O線性元的另外一種表示方法是利用以下具有局部支集的基函數(shù)：1 xTXi x x h，、, x x.一.i(x)1 ，X x x

6、 i i 1,2,L ,n 1h 10,在別處.x xn1n,xn 1 x xnn (x)hn0,在別處(11)(12)圖2.線性元的基函數(shù)顯然，任一 Uh Vh可以表為nUh(x) Ui i (x)(13)i 1有限元方程將變分方程(9)局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解Uh Vh滿足a(Uh,Vh) (f,Vh)Vh Vh(14)注意到Uh和Vh都可以表示成(13)形式，容易看由(14)等 價于如下的線性方程組：求節(jié)點上的近似解U1,L ,Un滿足na( i, j)Ui (f, j), j 1,L ,n(15)i 1這個線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解?？梢园盐⒎址?/p>

7、程(1)、變分方程(9)和有限元方程(15) 比喻為確定“好人”的三種標(biāo)準(zhǔn)：他每一時刻表現(xiàn)都好；每 一個人都說他好；一個遴選委員會說他好。誤差估計 可以證明，微分方程(1)-(3)的解u和有限 元方程(14)或(15)的解山之間的誤差滿足|u Uh| h|u Uh| Ch|u |(16)其中C是一個常數(shù)；|?|表示L2(I)范數(shù)，定義為., b b 22c/IIv| J(v,v)v dx , v L (I)(17)a二維橢圓方程有限元法以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： 22-4 -4 f(x,y), (x,y) G(18)x yu| 0(19)其中G是以 為邊界的一個二維區(qū)域

8、。利用Green公式，容易推生相應(yīng)的變分方程：求 u H 1(G)滿足a(u,v) (f,v), v H0(G)(20)其中空間H0(G)由在邊界上為零且廣義偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域G上勒貝格可積的所有函數(shù)組成，(w, v) wv dxdy(21)Gw v w v(a(w,v) ()dxdy(22)g x x y y二維區(qū)域上最常用的剖分是形如下圖的三角剖分：9181D我們可以相應(yīng)地構(gòu)造三角剖分上的線性元。對內(nèi)點集合Gh（例如上圖中3， 6， 5 這三個點）中每個節(jié)點i ，定義其基函數(shù)i（x,y）為一個分片線性函數(shù)，它在節(jié)點 i取值為1,而在 所有其他節(jié)點為0。這樣，有限元空間Vh中任一元素就可以表示成U

9、h（X）Ui i（x）o把它帶入到變分方程（20）使得有限i Gh元方程：求Gh上的近似解Ui滿足a（ i, j）ui （f, j）, j Gh（ 23）i Gh高次元可以從兩個途徑來提高有限元法的精度，一個是加密網(wǎng)格，另一個是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite 三次元，它在每一個單元Iixi 1,xi 上是一個三次多項式，由兩個端點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值總共4 個參數(shù)確定。這時，相應(yīng)于（16）我們有誤差估計3|U Uh| h|U Uh| Ch4|U（k）|（ 24）k0其中u（k）表示k階導(dǎo)數(shù)。對于二維問題也可以使用高次元，但 是其定義要稍微復(fù)雜一點。拋物方程有限元法考慮一

10、維拋物方程-u -(p-u) qu f, 0<t T, 0x1(25)t x xu(x,0) U0(x), 0 x 1(26)u(0,t) 0, -u(1,t) 0, 0 t T(27)x其中系數(shù)p,q,f都是x和t的已知光滑函數(shù)，初值u0(x)是x的已知光滑函數(shù)。它的變分方程為：求u(x,t)使得對每一個固定的t 0,T,都有 u(x,t) HE(I),并且(n) a(u,v) (f,v), v HE(I)(28)其中1(w, v)0 wv dxdy( 29)w v a(w,v) (p ,一)(qw,v)(30)x x拋物方程有限元法的通常做法是在時間方向用差分法， 在空間方向用有限元

11、法。象在(10)中那樣，可以關(guān)于變量 x構(gòu)造線性有限元空間Vho令時間方向步長為 。若時間方向 用向前差商，空間方向用線性有限元，并記fk f(x,k ),則有n限元方程為：對k 1,L ,K T/ ,逐層求ukuik i(x) Vh滿足i 1k 1 k(-,vh) a(u：,vh) (fk”h), vh Vh(31)這相當(dāng)于在每一層要解一個線性方程組：nk 1 k n(i, j)(-) a( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,ni 1i 1或者稍微整理一下：nnn(i, j)uk 1( i, j)uika( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,n (32)i 1i 1i 1如果在時間方向用梯形公式，則類似于（31）得到所謂Crank-Nicolson 格式kUhkUh,Vh)a(kUhkUh,Vh)fk 1,Vh),VhVh(33)習(xí)