線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、大學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 行列式二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和 n =送（一1）的2叫門屜.j1j2jnaj（奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式d=dt）行列式依行（列） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列） 兀素全 為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不變展

2、開(kāi)：余子式 Mj、代數(shù)余子式 Aj =（_1）宀Mij定理:克萊姆法則：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。非齊次線性方程組:當(dāng)系數(shù)行列式 D H0時(shí)，有唯一解：Xj =詈仃=1、2n）齊次線性方程組:當(dāng)系數(shù)行列式D =10時(shí)，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零a11a12a13a11a21a31轉(zhuǎn)置行列式：a21a22a23Ta12a22a32a31a32a33a13a23a33特殊行列式:對(duì)稱行列式：aj =aji反對(duì)稱行列式：ajj二-ajj奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零三線性行列式：aiiai2a21a31a220ai30a33方法：用kia22把a(bǔ)2i化

3、為零，。化為三角形行列式上（下）三角形行列式行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念:需n （零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣的運(yùn)算:加法（同型矩陣）交換、結(jié)合律數(shù)乘 kA = (kaj )m*n分配、結(jié)合律lA* B = ( aik )m*l * (bkj )|*n = (S aikbkj ) m*n乘法1注意什么時(shí)候有意義般AB=BA，不滿足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0 矩陣的秩r（A）:滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若a是非奇異矩陣，則r（ AB

4、）=r（ B） 初等變換不改變矩陣的秩幾種特殊的矩陣:轉(zhuǎn)置（At）t =A(A+ B)t =At + Bt(kA)kAT方幕：AklAk2 =Akl*2(AB)t = BtAt (反序定理)對(duì)角矩陣:若 AB 都是 N 階對(duì)角陣，k是數(shù)，則 kA、A+B、AB都是n階對(duì)角陣數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣 階梯型矩陣:每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方 都是0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注：把分出來(lái)的小塊矩陣看成是元素階矩陣b的ab=ba=i則稱 a是可逆的,逆矩陣：設(shè)a是N階方陣，若存在 NA，

5、= B（非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣初等變換 1、交換兩行（列）2.、非零倍加到另一行（列） 初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過(guò)一次初等變換得到的（對(duì)換陣h|r 0、Q 0丿等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣Dr =k乘某一行（列）3、將某行（列）的 K 初等矩陣都可逆倍乘陣倍加陣）求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣， 矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等,就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣（kaj）k（aij）n ,行列式十kn|aij|n逆矩陣注：AB=BA=I則a與B 一定是方陣 BA=AB=則A與B 一定互

6、逆;不是所有的方陣都存在逆矩陣；若a可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律：1、可逆矩陣的逆矩陣也是可逆的，且 （A）-* = a2、可逆矩陣ill的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且（kA） =-ak3、可逆矩陣的轉(zhuǎn)置at也是可逆的，且（At）=（A-'）t4、兩個(gè)可逆矩陣 a與B的乘積AB也是可逆的，且（AB）=但是兩個(gè)可逆矩陣 a與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（A + B） H aa為N階方陣，若|A|=0,則稱a為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。5、若a可逆，則A-4=a伴隨矩陣：a為N階方陣，伴隨矩陣:AA12 'A21A22 丿（代數(shù)余子式）3、特殊矩陣的逆

7、矩陣：（對(duì)1和2，前提是每個(gè)矩陣都可逆）1、分塊矩陣D ='A-ABC"C>則D =<OC丿N、iA，、A2、準(zhǔn)對(duì)角矩陣a =A，則 A"=A2_4.AA、一人丿、A4 >AA = A A = A-44、A = a a（A可逆）5、6、A (A可逆)*n 1A= A 一7、(A* ) =(At *8、(AB ) = B A1a*判斷矩陣是否可逆：充要條件是 A H0，此時(shí)A± = 求逆矩陣的方法：定義法AA = I*伴隨矩陣法A=A初等變換法（A|ln ）=（ln|A）只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系設(shè)A =(a j m*n是m*n階

8、矩陣,則對(duì) A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等（行變左乘,于用同等的m階初等矩陣左乘以 A :對(duì)A n階初等矩陣右乘以 A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種 列變右乘）第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組r（AB）=r（B）=rr（AB） Hr（B），無(wú)解齊次線性方程組：僅有零解充要當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù) 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù) 齊次線性方程組若有零解，:增廣矩陣7簡(jiǎn)化階梯型矩陣當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng) r H n時(shí)，有無(wú)窮多解N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。特殊的向量：行（列）向量，零向量 向量間的線性關(guān)系：線性組合或線性表示r（A）=n有非零解充要r（A）n未知量個(gè)

9、數(shù)，一定有非零解=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0 1定是無(wú)窮多個(gè)希臘字母表示0,負(fù)向量，（加法數(shù)乘）相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）:定乂 p79向量組的秩：極大無(wú)關(guān)組（定義 P188）定理：如果a ji，aj2,.口人是向量組aas的線性無(wú)關(guān)的部分組，則它是極大無(wú)關(guān)組的充要條件是：叫尸2,0S中的每一個(gè)向量都可由 a h ,a j2,.a h線性表出。秩:極大無(wú)關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè)A為m*n矩陣，則r（A） =r的充要條件是：A的列（行）秩為現(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系 線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量 a3,若a = kP則 a是 B線性組合單位向量組任意

10、向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合 向量組間的線性相關(guān)（無(wú)）注：n個(gè)n維單位向量組一定是線性無(wú)關(guān)一個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量B可由a 12,.an線性表示的充要條件是（02丁叫丁）=（口口2丁.皿PT）判斷是否為線性相關(guān)的方法： 1定義法：設(shè)kik2.kn，求kik2kn （適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法R83 :部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)3、分量法（n個(gè)m維向量組）F180 :線性相關(guān)（充要）=©企丁叫?。﹏線性無(wú)關(guān)（充要

11、）二推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則=0 ；無(wú)關(guān)，貝U 口（/2丁口3丁當(dāng)m<n時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量a1 2,.as組線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)S為奇數(shù)時(shí)，向量組aa2/za3,.aa1也線性無(wú)關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。1,定理：如果向量組 些，口2，.口5, P線性相關(guān)，則向量 P可由向量組a 1/2,.as線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是 a 10 2,a S線性無(wú)關(guān)。極大無(wú)關(guān)組 注：向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的; 不全為零的向量組的極大無(wú)關(guān)組一定存在；無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組是其本身；向量組與其極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組(I)解的結(jié)構(gòu)：解為aa

12、?.(I)的兩個(gè)解的和on +«2仍是它的解;(I)解的任意倍數(shù)ka還是它的解;(I )解的線性組合 &口1 +02«2 +.CsOts也是它的解，Ci,C2,.Cs是任意常數(shù)。非齊次線性方程組(II )解的結(jié)構(gòu)：解為k,(II )的兩個(gè)解的差 1 - »2仍是它的解;若卩是非齊次線性方程組 AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的一個(gè)解，則U+V是(II ) 的一個(gè)解。定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩r(A) = r c n，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在,且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個(gè)解。若4是非齊次線性方程組 AX=B的一個(gè)解，V是其導(dǎo)出組 A

13、X=O的全部解，則U+V 是(II)的全部解。第四章向量空間向量的內(nèi)積實(shí)向量定義：(a, 3) =apT =印0 +a2b2 +. +anbn性質(zhì):非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性(a,k 3)=k( a, 3)；2(k a,k3)= k ( a, 3);(a+Y + 合)=(a 丫)+( a 6 )+( B, 丫)+( 3);r(送kii =1srsiW,2； Ij Pj)k lj(%,Pj)j =1y jT向量的長(zhǎng)度=0的充要條件是 a=0 ； a是單位向量的充要條件是(a, a) =1單位化 向量的夾角 正交向量：a3是正交向量的充要條件是( 正交的向量組必定線性無(wú)關(guān)a,3) =0正交矩陣：n階矩

14、陣AaA =A A=性質(zhì):1、若A為正交矩陣，則A可逆，且 A，= AT，且A，也是正交矩陣;2、若A為正交矩陣，則A = ±1 ；3、若A、5為同階正交矩陣，則AB也是正交矩陣;4、n階矩陣A=（ aj ）是正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量;第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量A是N階方陣，若數(shù) 幾使AX= AX，即（A I-A ） =0有非零解，則稱 幾為A的一 個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值A(chǔ)的特征向量。|A|=打*為*入n注:1、2、AX= AX求特征值、特征向量的方法XI A =0求幾i將hi代入（A -A）X=0求出所有非零解3、對(duì)

15、于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的）特殊：（打）n的特征向量為任意 N階非零向量或C2 （ci不全為零）匕丿4、特征值：若入仏工0）是A則A1Z則Am-mA則kAk兀若A2 =A則幾=0或1若A2 =則-幾=-1或1k若A -0則幾=0的特征值跡 tr(A ):跡(A) =aii +a22 +ann性質(zhì)：1、N階方陣可逆的充要條件是 A的特征值全是非零的 2、A與A二有相同的特征值3、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)4、5、 P281相似矩陣定義P283： A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足PAP = B，則矩陣A與B性質(zhì)相似，記作AB1、自身性：AA, P

16、=l2、對(duì)稱性：若AB貝U B-AP，AP = BA=PBP (P)-*B P=A3、傳遞性：若AB、BC則ACPAR = BF2BP2=C-注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣的特征值為主對(duì)角線。-(PPzf&ppo =c4、若AB，貝y A與B同(不)可逆5、若AB，貝U ABPAP = B兩邊同取逆， PAP =6、若AB，則它們有相同的特征值。(特征值相同的矩陣不一定相似)7、若AB，則r (A) = r (B)初等變換不改變矩陣的秩例子:pJAP=B則 A100= PB100pJA=OA=IP'ap =幾 I矩陣對(duì)角化A有N個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是注：1、P與A中的X與順序一致2、Aa,則A與P不是唯一的(P281)推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則 AA定理：n階方陣AA的充要條件是對(duì)于每一個(gè)Ki重特征根 ，都有r()Yl A) = nKi約當(dāng)形矩陣約當(dāng)塊：形如J =的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊;約當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)約當(dāng)