2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十篇10.6條件概率、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布練習(xí)(含解析)

1、專(zhuān)題10.6 條件概率、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布【考試要求】1 .了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系；2 .會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率；3 .了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4 .了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征【知識(shí)梳理】1 .條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A, B為兩個(gè)事件，且RA) >0,稱(chēng)RB| A)= *AB為在事件A發(fā)生的條件下，事件P(A)B發(fā)生的條件概率(1)0 W RB|A) W1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BU

2、 q A) =RB| A)+P(C| A)2 .事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè) A, B為兩個(gè)事件，如果 RAB) =P(A)P(B),則稱(chēng)事件 A與事件B相互獨(dú)立.(2)性質(zhì)：若事件 A與B相互獨(dú)立，則 A與B, A與B, A與B也都相互獨(dú)立，P(日A) = P(B), RAB)=RA).3 .全概率公式(1)完備事件組：設(shè)Q是試驗(yàn)E的樣本空間，事件 A, A2,，A是樣本空間的一個(gè)劃分，滿足： AU AU U A= Q.A, A,，A兩兩互不相容，則稱(chēng)事件 A, A,，A組成樣本空間 Q的一個(gè)完備事件組.(2)全概率公式n設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A, A,，A是兩兩互斥的事件，且有RA)

3、>0, i=1, 2,，n, iU 1A =nS,則對(duì)任一事件 B,有P(B)=： 1RA)RB| A)稱(chēng)滿足上述條件的 A, A,，A為完備事件組.4 .獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中 A(i =1, 2,，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(AAAA) =F(A1) P( A) P(AO R A).(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用 X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為p,則P(X= k)= dpk(1 p)nk(k=0, 1, 2,，n),此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，記作 XB(n, p),并稱(chēng)p為

4、成功概 率.5 .正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a, b(avb),隨機(jī)變量X滿足RavXw b) = "，(x)dx,則稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分a,、21 (x -四)布，記為 XNU, J).其中 6 ", ,(x)=小- e二(7>0).(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為1;曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x= w對(duì)稱(chēng)；曲線在x= w處達(dá)到峰值一 cr y2 %當(dāng)11 一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)

5、取值的概率值 P( (1 d <X< (1 + (T) = 0.6826 ;P( -2(r <X< ti+2 a)= 0.954_4 ;P( -3(r <X< + 3(T ) = 0.997_4.【微點(diǎn)提醒】1 .相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(A§ = P(A)P( B),互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AU B) = P(A) + RB).2 .若X服從正態(tài)分布，即 XN(w, 。2),要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X=對(duì)稱(chēng)和曲線與x軸之間的面積為1.【疑誤辨析】1

6、.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“x”)(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.()(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P( AB) = P( A) P( B)都成立.()(3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X= k) = Cnp (1 p) , k= 0, 1, 2,，n表示的概率分布列，它表示了 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.()(4)從裝有3個(gè)紅球，3個(gè)白球的盒中有放回地任取一球，連取 3次，則取到紅球的個(gè)數(shù) X服從超幾何分布.()【答案】(1) X (2) X (3) V (4) X【解析】對(duì)于(1),相互獨(dú)立事件的發(fā)生互不影響，而互斥事件是不能同時(shí)發(fā)生，故 (1)錯(cuò)；對(duì)

7、于(2),只有當(dāng)A, B為相互獨(dú)立事件時(shí)，公式 RAB = P(A!RB)才成立；對(duì)于(4),取到紅球的個(gè)數(shù) X服從二項(xiàng)分布.【教材衍化】2.(選彳2-3P54練習(xí)2改編)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()3A.103C.82 D.924一，人一，一21A, “第二次拿到紅球”為事件B,依題意 PA)=-, PAB10 5【解析】 設(shè)“第一次拿到白球”為事件2X3 1=10X9 =詢生P(AB1a PB|A) = =3.N(3 , 1),且 RX>2c1) =RX<c+3

8、),貝U c=3.(選彳2-3P75B2改編)已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布4【答案I Q 3【解析】XN(3, 1), 正態(tài)曲線關(guān)于 x = 3對(duì)稱(chēng)，且 RX>2c 1) =F(X<c+3), 2 c 1 + c+ 3 = 2X3> . c= .3【真題體驗(yàn)】4.(2018 全國(guó)出卷)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，口 X)=2.4, P(X= 4)<RX= 6),則p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【解析】由題意知，該群體的 10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，

9、所以D(X) = 10p(1 p)所以p=0.6或 p=0.4.由 RX=4)<RX= 6),得C：0p4(1 -p)6<C60p6(1-p)4,即(1 -p)2<p10 12=4 5,所以p>0.5 ,所以p=0.6.5.(2019,2f 3為一和一43 4'3A.45C.75D."712根據(jù)題意,恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒(méi)有獲得或甲沒(méi)有獲得乙獲得，則所求概率是3* 14+4X 1-35126.(2019 青島聯(lián)考)已知隨機(jī)變量 XN(1若 P(X>0)= 0.8 ,則 P(X>2)=【答案】0.2【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N

10、1 , 一),，正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，. P(X>2)=RXw0)=1 汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別 甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為P(X>0) =0.2.【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一條件概率與事件獨(dú)立性【例1】(1)( 一題多解)從 1, 2, 3, 45中任取2個(gè)不同的數(shù),事件 A= "取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A) = (1A.81B.42C.5d+d 4 2P(A)=T=W = 5C2P(AB = P(B)=&=10.由條件

11、概率計(jì)算公式，得 P(B|A) =P (AB)P (A)事件A包括的基本事件：(1 , 3)(1 , 5), (3, 5), (2, 4)共 4 個(gè).事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2, 4)一種情形,即 n(A§ = 1.2 33和5.現(xiàn)故由古典概型概率 地網(wǎng)=.(2)(2019 天津和平區(qū)質(zhì)檢 )某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品 B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列 .【答案】

12、見(jiàn)解析【解析】記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功, F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功,由題設(shè)知 RE)=2，RE)=1, P(F) = 333-, P(F) = 2,且事件E與F, E與F, E與F, E與F都相互獨(dú)立. 55記H= 至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功 ，則kE F,口122于是 P(H) = RE)RF)=3X5 = 15, 3 515213故所求的概率為 PH) = 1-FH) = 1-=15 15一 一一，、, 一,122設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為 X(萬(wàn)兀)，則X的可能取值為 0, 100, 120, 220,因?yàn)镻(X= 0) = P(EF)= x- = ,35 151331P(X= 100) = F( E

13、F) =-x 3 5 15 5 2 24P(X= 120) = RED=3X 5=再 2 3 62P(X= 220) = R EF> = .x -= = 3 5 15 5故所求的分布列為X01001202202142P155155【規(guī)律方法】1.求條件概率的兩種方法P(AB)(1)利用定義，分別求 RA)和P(AB»,得RB|A!=<7%這是求條件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù) n(A),再求事件 A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB»,得RB|A) = 嚶) n( A)2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法(1)利

14、用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.【訓(xùn)練1】(1)(2019 珠海一模)夏秋兩季，生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚(yú)回游到長(zhǎng)江，歷經(jīng)三千多公里的溯流博擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚(yú)長(zhǎng)大到15厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海 .一個(gè)環(huán)保0.15 ,雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟組織曾在金沙江中放生一批中華魚(yú)魚(yú)苗，該批魚(yú)苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05,若該批魚(yú)苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為（）A.0.05B.0.007 5（2）（2018 濮陽(yáng)

15、二模）如圖，已知電路中1C.31D.614個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是 2,且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為13C.16D.4【解析】（1）設(shè)事件A為魚(yú)苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域長(zhǎng)成熟，事件B為該雌性個(gè)體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知P(A) = 0.15 , P(AB =0.05 , . RB|A) =P(ABP(A)0.050.1513.（2）燈泡不亮包括兩種情況：四個(gè)開(kāi)關(guān)都開(kāi)，下邊的2個(gè)都開(kāi)，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開(kāi),316'111111111111，燈泡不亮的概率是-x-X-X _+-x-x-x-+-x-x-x- =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.燈亮和燈不亮是兩個(gè)對(duì)立

16、事件, 313燈鳧的概率是 1而=布.考點(diǎn)二全概率公式【例2】 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%二廠生產(chǎn)的占50%三廠生產(chǎn)的占20%已知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% 1% 1%,問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)事件 A為“任取一件為次品”，事件B為“任取一件為i廠的產(chǎn)品"，i=1, 2, 3.B1U B2U Bs=S,由全概率公式得P(A =RAB)RB)+P(A| B)P(B2)+ RA R)RR).P(B)=0.3, P(8)=0.5, RB3) = 0.2,P(A| B) = 0.02 , RAB2) = 0.01, P(A

17、|R) = 0.01,故 F(A) =P(A| B) P(B) + RA B2)P(B) + P(A| B3) R B3) =0.02 X 0.3 +0.01 X 0.5 +0.01 X 0.2 = 0.013.【規(guī)律方法】 全概率公式是計(jì)算概率的一個(gè)很有用的公式，通常把 B, R,，B看成導(dǎo)致 A發(fā)生的一組原因.如若A是“次品”，必是 n個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了次品；若 A是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е翧發(fā)生；若A表示“被擊中”，必有幾種方式或幾個(gè)人打中(1)何時(shí)用全概率公式：多種原因?qū)е率录陌l(fā)生(2)如何用全概率公式：將事件分解成兩兩不相容的完備事件組(3)從本質(zhì)上講，全概率公式是加法公式與乘法公

18、式的結(jié)合【訓(xùn)練2】一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，求第二次取到白球的概率.【答案】見(jiàn)解析【解析】A= 第一次取到白球, B= 第二次取到白球.因?yàn)锽= ABJ AB,且A*AB互不相容，所以P(B)=RAB + RAB)=RA)P(B|A)+R A)P(B| A)邛個(gè) + 今 6= 0.6. 10 910 9考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱(chēng)出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490, 495, (495, 500,，(510, 515.由此得到樣本 的頻率分布直

19、方圖(如下圖).頻率 施 仆G.IUU(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求 X的分布列； 從該流水線上任取 2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求 Y的分布列.【答案】見(jiàn)解析【解析】 質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品的頻率為 5X0.05+5X0.01=0.3,所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40X0.3= 12(件).(2)重量超過(guò)505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過(guò) 505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0, 1, 2,X服從超幾何分布.a 63C2c28 28P(X= 0)=CT麗 RX= 1

20、)=丁=6?C2211P(X= 2)=cr 的X的分布列為X012P63130286511130(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過(guò)505克的概率為12340=10.從流水線上任取 2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成 2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件數(shù)Y的可能取3所以 P(Y= 0) =C0 -271049100'值為0, 1, 2,且YB2,13721p(Y= XQlmq23 kkk 33P(Y= k)=Q 1-而而，9P( Y= 2) = C2 , = '.10100Y的分布列為Y01249219P10050100【規(guī)律方法】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式

21、可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X= k) =Ckpk(1 p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p; (2) n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了 k次的概率.100名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查,【訓(xùn)練3】為研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況，交通部門(mén)隨機(jī)選取得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為：在55名男性駕駛員中,平均車(chē)速超過(guò) 100 km/h 的有40人，不超過(guò)100 km/h的有15人;在45名女性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100 km/h的有2

22、0人，不超過(guò)100km/h的有25人.(1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率;(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車(chē)平均車(chē)速超過(guò)100 km/h且為男性駕駛員的車(chē)輛為X,求X的分布列.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)平均車(chē)速不超過(guò)100 km/h的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取2人的方法總數(shù)為C20,記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件 a則事件A所包含的基本事件數(shù)為C15C25,所以所求的概率C；5區(qū) 15X25 _RA) = C20 = 20X

23、39 =2552.(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從總體中任取2=5,故XB3, 2 .5c 2 0 3 327所以 P(X= 0)=C3 5 5 =法，1輛車(chē)，平均車(chē)速超過(guò) 100 km/h且為男性駕駛員的概率為401001 2 p(X= 1) =C3 - 53 _ 545 =125'222336P(X= 2) =C3 55 = 125?.2P(X= 3) =C3 -58125X0123P2712554125361258 125所以X的分布列為考點(diǎn)四正態(tài)分布【例4】(2019 鄭州模擬)已知隨機(jī)變量 E服從正態(tài)分布 N2,),且P( E<4) = 0.8 ,則P(0< E&

24、lt;4)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)(2019 茂名一模)設(shè)XN1 , 1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是()(注：若 XM 八 )，則 PU bVXw+b)： 68.26% , P(-2(t<X<+2(t) = 95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587【答案】(1)A(2)D【解析】(1)因?yàn)殡S機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2,(t2), ti=2,得對(duì)稱(chēng)軸為x= 2,P(己<4) =0.8 ,P(4) = P(己 W 0) = 0.2，.二 P

25、(0< E <4) = 0.6.(2) XN(1 , 1) , . .= 1, d = 1. P(-(r<X<w+ ”=68.26%,P(0<X<2) = 68.26%,則 P(1<X<2) =34.13%,，陰影部分的面積為1 0.34 13 = 0.658 7.向正方形ABC珅隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是10 000X 0.658 7=6 587.【規(guī)律方法】(1)利用3d原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的。進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于 (1一 b, (i+b), ( (1 2 cr , |i

26、+2(r), ( i 3 a , (i+3cr)中的哪一個(gè).(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱(chēng)，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個(gè)結(jié)論的活用： P(Xv a) = 1 - P( X> a)； RXv-(r) = RX>°).【訓(xùn)練4】(2019 淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且XN(800 , 502).則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為()(參考數(shù)據(jù)：若X Nw,2),有 Rjib <XW (1 + d) = 0.682 6 ,P(1 2 d<X<+

27、 2o-)= 0.954 4 ,P( W 3(T <X<+ 3(T ) = 0.997 4)A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4【答案】 A21 0.954 4【解析 】XN(800, 50 ), .R700WXW 900)= 0.954 4 , ，P(X>900)=2= 0.022 8 ,，P(XW 900)= 1- 0.022 8 =0.977 2.【反思與感悟】1 .古典概型中，A發(fā)生的條件下 B發(fā)生的條件概率公式為P(日A)=?黑="黑，其中，在實(shí)際應(yīng)用中PIA)n( A)P(B| A) = n黑是一種重要的求條件概

28、率的方法.n(A)2 .全概率公式的理論和實(shí)用意義在于：在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易，但B總是伴隨著某個(gè) A出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組 A往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.3 .二項(xiàng)分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實(shí)際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地位(1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.(2)對(duì)于二項(xiàng)分布，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X= k)=dpkqn-k.其中k=0, 1,，n, q=1-p.【易錯(cuò)防范】1 .運(yùn)用公

29、式P(AB=P(A>RE)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件 A, B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立.2 .注意二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別.有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體數(shù)量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理【核心素養(yǎng)提升】【數(shù)據(jù)分析】一一三局兩勝制的概率問(wèn)題1 .數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象 知識(shí)的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過(guò)程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.2 .教材和考題中涉及到“三局兩勝制”的概率計(jì)算問(wèn)題，對(duì)于“三局兩勝”的比賽賽制其實(shí)是有兩種：一 種

30、是比賽完 3局，勝兩局的一方獲勝；另一種是比賽的一方先獲勝兩局則比賽結(jié)束，兩種不同的賽制對(duì)于 同一問(wèn)題的概率計(jì)算結(jié)果是否一樣呢？我們可通過(guò)教材的習(xí)題對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)識(shí)【例題】(選彳2- 3P59習(xí)題2.2B組1)甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6 ,乙勝的概率為0.4 ,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？你對(duì)局制長(zhǎng)短的設(shè)置有何認(rèn)識(shí)？【答案】見(jiàn)解析【解析】每局比賽只有兩個(gè)結(jié)果，甲獲勝或乙獲勝，每局比賽可以看成是相互獨(dú)立的，所以甲獲勝的局?jǐn)?shù) 是隨機(jī)變量，X服從二項(xiàng)分布. 在采用3局2勝制中，XR3, 0.6),事件XA 2表示“甲獲勝”.所以甲獲勝的概率為P(X>

31、2)=RX=2) + RX= 3) =C3X 0.6 2X 0.4 + 0.6 3= 0.648.(2)在采用5局3勝制中，XB(5 , 0.6),事件X>3表示“甲獲勝”.所以甲獲勝的概率為P(X>3) = P(X= 3) +RX= 4) + P(X= 5) = 03X 0.6 3X 0.4 2+C5X0.6 4X 0.4 + 0.6 5=0.683.可以看出采用5局3勝制對(duì)甲更有利，由此可以猜測(cè)“比賽的總局?jǐn)?shù)越多甲獲勝的概率越大”，由此可以看出為了使比賽公平，比賽的局?jǐn)?shù)不能太少.在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景中，比賽局?jǐn)?shù)越少，對(duì)乙隊(duì)越有利；比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)甲隊(duì)越有利 .【拓展延伸】先后參賽

32、對(duì)比賽公平性的影響【拓展1】(兩方參賽)匣中有3紅5黑2白共10個(gè)球.現(xiàn)甲、乙二人輪流從匣中取球，甲先取而乙后?。幻咳嗣看稳∫磺蚯胰『蟛环呕?按規(guī)定先取到紅球者獲勝，而出現(xiàn)白球時(shí)為平局.分別求甲獲勝、乙獲勝和平局的概率.【答案】見(jiàn)解析【解析】甲獲勝則必為甲先取到了紅球，即：甲取到黑球時(shí)乙必取黑球，甲取到紅球后比賽馬上結(jié)束，比賽過(guò)程中不會(huì)取到白球.記B= "第i次取到黑球"，R= "第i次取到紅球”.則P(甲勝)=P(R) + P(B8R) +RBBB3BR)35435432383=W + 10 9 8+萬(wàn)9 8 7 6=210,同理可得P(乙勝)=焉 P(平局)=

33、2. 2 105【拓展2】(三方參賽)甲、乙、丙三人進(jìn)行比賽，規(guī)定每局兩個(gè)人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩局為止，此人即為冠軍.已知每次比賽雙方取勝的概率都是0.5 ,現(xiàn)假定甲、乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率 .【答案】見(jiàn)解析【解析】記事件 A, B C分別為“甲、乙、丙獲冠軍”，事件 A, B, C分別為“第i局中甲、乙、丙獲 勝”.則 F(A)=F( AA) + P( AGBAA5) + P( AGBA4GBAA0 + P( BGAA) + P( 口供區(qū)型6)+ 1111115=萍萍落+邛落尸+=石542因?yàn)榧?、乙兩人所處地位是?duì)稱(chēng)的，所以P(B) =RA)=訶，P(

34、C) =1RA) P(B)=14 = 7.552即甲、乙、丙得冠軍的概率分別為> > :.14 14 7【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)、選擇題1.打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則他們同時(shí)中靶的概率是(A 14A. -2512B.25C.4因?yàn)榧酌看?0次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以R甲)=4, R乙)=,所以他們 510都中靶的概率是-X=51410 25,2.(2019衡水模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是(1 A.83B.85C.8三次均反面朝上的概率是1 71 =1 8 8.A.

35、4.56%D.31.74%C.27.18%【答案】B【解析】依題設(shè)，XM。，32),其中=0，b=3. . P( 3<X<3) = 0.682 6 , P( 6<X<6) = 0.954 4.因此 P(3<X<6) = % R 6<X<6) R 3<X<3)1= 2(0.954 4 - 0.682 6) = 0.135 9 = 13.59%.3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次5.(2019 廈門(mén)二模)袋中裝有2個(gè)紅千3個(gè)黃球，有放回地抽取抽到黃球的概率是(2A.-B.-18C.125D.54125【解析】 袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球

36、，有放回地抽取 3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率 P = 3,52 3354 3次中恰有2次抽到黃球的概率是 P= C3 5 1-5 =125.二、填空題6 .已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(0 , 82),若RX>2) = 0.023 ,則R 2W朽2) =【答案】0.954【解析】因?yàn)?a = 0,所以 P(X>2)=RX<2) = 0.023,所以 P( 2WXW2)= 1 2X0.023= 0.954.7 .某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8 ,且每

37、個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.則該選手恰好回答了 4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于 .【答案】0.128【解析】 記"該選手恰好回答了 4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪”為事件 A由題意，若該選手恰好回答了 4個(gè)問(wèn) 題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，故P(A) =1X0.2 X0.8 X0.8= 0.128.8 .某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18, 19, 20層?？?若該電梯在底層有 5個(gè)乘客，且每位乘客. 1_、.在這三層的每一層下電梯的概率均為£用X表示這5位乘客在第 20層下電梯的人數(shù)，則P(X= 4)=3【答案】10243【解析

38、】考察一位乘客是否在第 20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故 XB5, 1 ,3k5 k即有 P(X= k) = C5 - X -, k= 0, 1 , 2, 3, 4, 5.334 1 42 110故 rx= 4) = C4 3 X 3 =24-.33243三、解答題9 .在某中學(xué)籃球體育測(cè)試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項(xiàng)測(cè)試，“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機(jī)會(huì)，先進(jìn)行“立定投籃”測(cè)試，如果合格才有機(jī)會(huì)進(jìn)行“三步上籃”測(cè)試，為了節(jié)約，、一一，.、，一，1，八，一時(shí)間，每項(xiàng)只需且必須投中一次即為合格.小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為2, “三步上籃”的命中率為34

39、,假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì)且每次投籃是否命中互不影響(1)求小明同學(xué)一次測(cè)試合格的概率；(2)設(shè)測(cè)試過(guò)程中小明投籃的次數(shù)為E ,求E的分布列.【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件 A,第i次“三步上籃”命中為事件 B(i =1, 2),依題意13有RA)=5，P(B)=4(i=1, 2), “小明同學(xué)一次測(cè)試合格”為事件 C22111,31-十1 x -X1+ -x22242-I19(1) P(C) = RAA) +P(A1AaBiB2) +RABR) = P(A)P(A)+RA1)RA)P(B)RB2) +RA) - P(B1) F( B2)(2)依題意知己=2,

40、3, 4,5P(己=2) =P(AB) +RAA) = P(A)P(B) +RA) RA)=1,8P( E =3) =P(ABB2) + RAAB) +P(ABB2) =P( A) P(B) P( R) + P( A) P(A) P( B) +5P(A)P(B)RB) =大1P( E =4)=P(AiA2B)=RA)P(A2)RBi)=有故投籃的次數(shù) E的分布列為：E234P5518161610.空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQuality Index ,簡(jiǎn)稱(chēng)AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染；151200為中度污染；

41、201300為重度污染；300以上為嚴(yán)重污染一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的數(shù)據(jù)分別為：45, 50, 75, 74, 93, 90, 117, 118, 199,215.(1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQIW100)的天數(shù)；(2)將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取 3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為己，求己的分布列.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)從所給數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2,空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4,，該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為6 310=5,從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30X 3= 18.5(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為3,

42、5W的所有可能取值為 0, 1, 2, 3,且己B 3, 3 .5 P( E = 0)=3_ 8 =125,P(己=1) =c32 2365 =125'P( E =2) =C54125'27125'33 P( E = 3)=-5E的分布列為0123P8365427125125125125【能力提升題組】（建議用時(shí)：20分鐘）11.箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第 4次取球之后停止的概率為 （）C3C4 A.T35B. 93C.5X4 -9X35 -9X&D.【答案】 B【解析】由題意知，第四次取球后停止是當(dāng)且僅當(dāng)前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情況,5 3 4此事件發(fā)生的概率為-X-9912.（2019 南昌月考）已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球、2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入