解析幾何中的定值問題

1、解析幾何中的定值問題2 21、(2014安徽高考)如圖，已知兩條拋物線 Ei : y 2pix(pi 0), E2 : y 2p2X(p2 0), 過點(diǎn)O的三條直線h、I2和I3.I1與E!和E2分別交于 A,A2兩點(diǎn),12與Ei和E2分別交于S1與S2，求證B,B2，I3與Ei和E2分別交于Ci,C2.記 AEG, A2B2C2的面積分別為的值為定值.S2證明：設(shè)直線Ii,l2,l3的方程分別為ykiX, yk2X, y ksX.把直線與拋物線聯(lián)立求解得:2 pi52piL2(2pik2)，B2(Ci2pk322P22P2ki2'ki2p2 k;2p2'k22P2 k；2P2

2、，k3)，)，,C2 ().由三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)面積公式得:2 iA (2pi)応丄ki丄k2i / iiki k3 kik3k2 k3 k2k32 iiiS2= (2P2)(一 () kik2 kik2所以Si=(t)2為定值.注：(i)設(shè)？abc三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Xi, yi),(X2, y2),(X3, y3)，貝US ABC 1 Xi (y3 y2) X2W3 y2)2(X3 X2) yi(x3 X2) |；(2)原解答包含一個重要結(jié)論，AiBiCi, A2B2C2三邊對應(yīng)平行，進(jìn)而， A BQ sa2b2c2S!A1B1S22、(2007重慶)已知F是橢圓點(diǎn) RAR，使 RFP2求此

3、定值.A2B22x2a2 y b2P2FP3證：弓I入橢圓的極坐標(biāo)方程,準(zhǔn)線的距離,B是極徑與極軸的夾角ep ，則1 ecos|FP2|ep21 ecos( )3IFP2I1 ecos(ep2)IFP1 |IFP2IIFP3IP2)21(a b 0)的右焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個不同P3FP1，證明11 為定值，并IFP1 I I FP2 I IFP3 Iep一 其中e是橢圓的離心率,1 ecosecos cos(2 2)cos( )33epP是相應(yīng)焦點(diǎn)到卑為定值.b22 2例1、設(shè)AB是過橢圓務(wù)葺 1(a b 0)右焦點(diǎn)F的一條弦，P是橢圓上異于代B的 a b任一點(diǎn)，直線PA,PB分別交橢圓的右

4、準(zhǔn)線I于M , N兩點(diǎn).求證：M ,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求該定值.分析：此題若按常規(guī)方法設(shè)立坐標(biāo)求解，將會異常困難，不妨從平面幾何的角度考慮角平AC CMAB MB分線的性質(zhì)：如圖 1 ,從BC中，若AM平分/ ABC,等價(jià)于，同理若AN平分/ BAC的外角/ BAD，等價(jià)于ACABCNNBC解：如圖2，延長PF交I于Q，延長BA交I于C,連FM，下證FM平分/ PFA的外角/ QFA,|am | aa |af |設(shè)AP'為A, P在I上的射影，貝U，所以FM為/ PFA的外角平|MP | |PP | PF |分線，即FM平分/ QFA,同理FN平分/ PFB的外角(即FN平分

5、/ QFB)，從而/ MFN =90 o2b4a2 b2CyAMA.=P'OQBN設(shè)I交軸于K,則| KM | | KN | | KF | ,從而yM yN2、A為橢圓2 x2 a(1)過原點(diǎn)A，所以沒有常數(shù)項(xiàng)設(shè)直線BC的方程為mx ny 1 .則過B, C兩點(diǎn)的直線 AB, AC的方程是2 2a1xc1 y(dx ey)(mx ny) 0 (2)(2)的左邊是的二次齊次式，所以它表示兩條過原點(diǎn)A的直線.而B, C的坐標(biāo)均適合(2)，所以表示AB，AC).因?yàn)锳B，AC互相垂直，所以(2)作為的方程，兩根之積為一1 ,x即(a dm) (c en) 0，de整理為 m() n()1(3

6、).g&比較(2)與(3)，得直線BC經(jīng)過定點(diǎn)a1eC1).P為直線l : x 4上的動點(diǎn)，223、如圖，已知A,B是圓O: x y4與x軸的兩個交點(diǎn)PA, PB與圓O的另一個交點(diǎn)分別為 M , N .證明：直線MN過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)證:設(shè) P(4,y°),M (X1,y1),N(X2,y2).則ky。 3 y。k BP32 63y1y23k ap9(4xf)42X29(2兀)2X2x12 x22(洛2)aP(,y°), M (X1,yJ N(X2,y2), A( a,0), A2(a,0)c(X22)222X22x1x2 5(x1x2) 8 0 (1).設(shè) Imn

7、 ： y k(x m).代入x2 y2 4 0得(1 k2)x2 2k2mx k2m240.由韋達(dá)定理得2k2mxi x2 TV"/k2m241 k2代入(1)式并整理得k2(m2 5m 4) 0.當(dāng) k 0, m 1 或 m=4(舍).當(dāng)k 0時(shí)，直線MN即為AB.所以，直線MN過點(diǎn)(1,0).另證：設(shè)直線MN與軸的交點(diǎn)為 K(m, 0),因?yàn)镻K2 P的幕(關(guān)于OO)K的幕(關(guān)于O O) ,(4 m)2 y0!16 y：4 (m 2)(2 m) m 1 .2 24、：已知Al A2分別為橢圓 務(wù) 占 1(a b 0)的左右頂點(diǎn)，P為橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)a b連接PA1 ,PA2分別

8、交橢圓于M , N兩點(diǎn)，求證:直線MN恒過橢圓的右焦點(diǎn)證：設(shè)MN所在直線為y kx m ,由 y°yiI由2aXiaac2 2 2 yocyia2 (a c)2(x1 a)2ax1ax1(1).2 2y°c a2(a c)22 2VoCa X?同理有 2：°、22(2)，a (a c)a x22 2(1) (ac)(ax1)(ax2)aa(x1x)x1x2I由(2) (ac)(ax1)(ax 2)aa(x1x2)x1x2c(a c)2X1x2a(xiX2)x1x2聯(lián)立直線MN與橢圓，得2 2 2 2 2 2 2 2(a k b )x 2a kmx a (m b )

9、0,由韋達(dá)定理有，XiX22a2kma2k2,XiX2b2( 2 a (m _2| 2a k即，代入(3)得bckm(a c)2 (ak m)2m kc.所以直線MN恒過橢圓的右焦點(diǎn)例5 :已知F為橢圓1的右焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的弦 AB , CD ,設(shè)M, N分別為AB , CD的中點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)證明：設(shè)AB所在直線方程為：k(x1),聯(lián)立求解得(22 2 2 23k )x 6k x 3kXM3k2 y2 , y M2 3k2k2 3k2Xn2, y N2k 32k2k2 3kK mn310(k k)46(1 k )310(k k)4(x6(1 k4)2k2 3

10、k23k22 3k2當(dāng)斜率不存在時(shí),直線MN即為x軸.35 .直線MN恒過定點(diǎn)5令 y=0, x注：此題不難，難在最后想到令y=0,因?yàn)楫?dāng)斜率不存在時(shí)直線MN即為x軸.例6.已知 ABC的三個頂點(diǎn)在橢圓2 x 2 a2占 1(a b 0)上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為 ABC的重 b心.證明：ABC的面積為定值證法(一)：令 A(acos , bsin),B(a cos , bsin ).則 C( a(cos cos ), b(sinsin ).由點(diǎn)C在橢圓上，代入得(cos cos )2 (sin另一方面S abc3S ABOsin )213ab|cos2cos(sin sin cos |3ab|sin()| ab (定值).24證法(二):記 ABC的面積為S.對橢圓進(jìn)行相應(yīng)的仿射變換x x a 1y yx2變換后橢圓變換成單位圓,橢圓內(nèi)接