解析匯報幾何中與角有關(guān)地問題1

1、解析幾何中與角有關(guān)的問題.課前熱身:1 .在平面直角坐標系xOy中，已知25161上，則sin A sinCsin BABC頂點A( 4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓5/42 .已知直線y=2x上一點P的橫坐標為a，兩定點 A(-1,1)、B(3,3)。若/APB為鈍角，則a 的取值范圍是 0 <a<2 且 a工1L23 .已知點B(-1,1)，點A在圓(x- . 2 )2+(y- , 2 )2=1上，貝U/AOB的最大值是 3 最小值是(O為坐標原點)3 _二.典型例析：4 .如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1, F2在x軸上，長軸 A1A2的長為4，左準線I與x軸的交

2、點為 M , |MA1| ： |A1F1|= 2 : 1 .(I )求橢圓的方程；(n )若直線h： x= m(|m| > 1), P為h上的動點，使/則22 aa2(ac由題意，得 2a4222abca|MA 1|= -a , |A 1F1 |=a-c ,cc),_ 2 2a=2,b= 3 ,c=1 故橢圓方程為143(n)設 P(m,y 0), |m|>1.當 yo=O 時，/FiPF2=0 ,當 yo丸 時，O< ZFiPF2< ZP Fi M<,2只需求tan ZF1PF2的最大值即可。設直線 PFi的斜率ki =，直線 PF2的斜率k2= m 1m 1/

3、tan ZFi PF2=k2ki2|yo|1 k1k22yo2|yo|_2、m2 1gy°|當且僅當 Jm2 1 =|y 0|時，ZF1PF2最大， Q (m, ±Jm2 1 ), |m|>1.2 25 :如圖，橢圓右七與過點 A (2 , 0 ) B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率3e= 一2(I )求橢圓方程;(n)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,x解：(I)過A、B的直線方程為y22 2x y 彳因為由題意得 孑b2 1,有惟一解。y 1 x 121.B2M為線段AF1的中點，求證：Z ATM= ZAF 1 T.即(b2才環(huán)2六曲O有惟一

4、解，所以2 2 2 2a b (a 4b 4)0(ab 工0),故 a2 + 4 b2 4 = 0.又因為c歩即寧所以故所求的橢圓方程為2y21.a2 = 4 b2 .從而得 a2 = 2 , b21,23由(I)得c寧，所以F1(于,。)，于,。)，從而M(16,0).4x由22y21,解得 X1 = X2 = 1,_x 1所以T (1,因為tan /AF1T 歲又tan tam1,tan TMF22，得2 1-6 2tan ATM一-6 ，因此 /atm = ZAF1T1；2*66 設F1、F2分別是橢圓2y 1的左、右焦點(I)若P是該橢圓上的一個動點，求 PF1 PF2的最大值和最小值

5、(n)設過定點M (0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點 A、B，且/ AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線I的斜率k的取值范圍.解：(I)解法一：易知 a 2,b所以F1.3,0 ,F2 .3,0，設P x, y，則uurPF1UULU-PF2、3 x, y ,、3x, y x2 y23x23 丄 3x2 84因為x 2,2，故當x 0,即點P為橢圓短軸端點時,uurPF1UJIUPF2有最小值 22，即點uur luluP為橢圓長軸端點時，PF1 PF2有最大值1解法二：易知a 2,b 1,c.3, 所以 F1J3,0 , F2 73,0，設 P x,y，則LULT UULUPF1 P

6、F2UJLTPF1UJUTPF2COSF1PF2UUITUULUUULTPF12ULUPF22uuuurF1F22UJUTUU02 PF1 PF21 x 2 y2 x 5 2 y2 122x2 y2 3 (以下同解法一)(n)顯然直線x0不滿足題設條件，可設直線I : y kx 2,A X1,y2 ,B X2,y2 ,聯(lián)立y kx 2x2，消去y，整理得:12 1 2k - x 4kx 304x1x2必k2 1x2k2 144由214k4k-34k2 30得：k3或k422又00A0 B 900uuuuuucosA0B 0OAOB04k3uur uuuOA OB xix2 y1y20kx 2

7、kx22k2x1x22k x1X23 k28 k2k2 1故由、得2 k6.如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為 F(3,0)，右準線I的方程為:x 12 .(1 )求橢圓的方程;(n)在橢圓上任取三個不同點R , P2, P3，使/ RFP2Z F2FP3Z P3FP1 ,證明:1FP11FP21FP3為定值，并求此定值.因焦點為F (3,0)，故半焦距c 3 .yP2/C=P1IQ1"L可Ax-F3答(22)圖2 2解：(I)設橢圓方程為2 y1.a b2又右準線I的方程為x ，從而由已知c2a212, a 36 , c因此 a 6, b . a2 c227 3.3 .2故所求橢圓

8、方程為362y- 1 27(II)記橢圓的右頂點為A，并設 AFPi 1 , 2 , 3),不失一般性,又設點P在I上的射影為Qi，因橢圓的離心率3-，從而有a 2FR2(9解得因此1RQi SFR cosFR而cosFR cos i ei)(i1cos21,2,3).(i1,2,3).1_FP2FR3cos1 cos23cos 1coscoscos1 cos2、3 .sin21 cos2.3 .sin2FR1FR2FR3-為定值.3三.拓展延伸:7設 A、x2y2B分別為橢圓-a2b2a, b 0的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距，且x 4為它的右準線.(I)求橢圓的方程；(n)設R為右準

9、線上不同于點(4, 0)的任意一點，若直線 AP、BR分別與橢圓相交于異于 A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)解:2aI)依題意得 a = 2c,= 4，解得a = 2, c =c2 2故橢圓的方程為143PMA07B(4oTN(n)解法1 ：由(I得 A (- 2, 0), B ( 2, 0)設 M (xo, yo)3-1M 點在橢圓上， yo =(4 xo2)4又點M異于頂點A、B,2<xo<2，由P、A、M三點共線可以得6yoxo 2uuuuBP =uuua BM從而 BM =( xo 2 , yo),2uuu6y 22BP = 2Xo - 4 +=(X。2 4

10、+ 3yo2)©Xo 2Xo 2uuuu mu 5將©弋入© 化簡得BM BP = - (2 xo) <uuur uur2 Xo>0 , BM BP>0,則ZMBP為銳角，從而/ MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)設 M (xi, yi) , N (X2 , y2),解法 2 :由(I)得 A ( 2, o), B (2 , o)則一2< Xi<2 , 2< X2< 2 ,又MN的中點Q的坐標為XiX22yiy22),依題意，計算點 B到圓心Q的距離與半徑的差BQ2|mn 2 =(4y-i y22 i22)21 (x

11、ix2)2+( yiy2)2= (xi 2 )(X2 2) + yiyi又直線APyi的方呈為y = 丁y2(x 2)，直線BP的方程為y =2X22(x 2)，而點兩直線AP與BP的交點P在準線x = 4上,.6yi_2Xi6y2X2,即 y2=(X22)yi2Xi22 2Xiyi又點M在橢圓上，貝U - 1，即yi2 3(4434Xi2)于是將勺弋入化簡后可得BQMN = -(2- xi)(x22)從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)8 .已知兩定點 A 0, 1 ,C 0,2，動點M滿足MCA 2 MAC.(I )求動點M的軌跡Q的方程;(n )設曲線Q與y軸的交點為B，點E、F是曲線Q上兩個

12、不同的動點，且uuu uuu EF AB 0 ,直線AE與BF交于點P Xq, y0，求證:2 2Xq 3yo為定值;(川)在第(n)問的條件下，求證：過點P 0,yo和點E的直線是曲線 Q的一條切線uuu uuu(W )在第(n )問的條件下，試問是否存在點E使得EC EBuuir umEP EA (或uuuECuuuuuu uuuEPEB EA，若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，說明理由解: (I)設動點M x, y，因為MCA 2 MAC所以 一y化簡得:xTi2y i2Xix2uuu uuu由EF AB 0可設點"i,Fxi,yi則由A、P、E三點共線可得Xq yi iy°i x,，同理可得：Xq % iyo 1 Xi ,兩式相乘得2X0 y； 1x2 y0 1 ,又因為 y：蟲 1，所以 x0 3y0 =33（川）點E處曲線Q的切線的斜率為AE、BF的方程為yx，則 yoX1X 3J1 壬 y 3 O，所以P在上述切線上，即過點O,yo和點E的直線是曲線Q的一條切線(W)先證： CEP BEAy11y1tan CEPX1y 2X1tan BEA1cy1y12y12X16y1334x1 y1 2x1 2x12（其中用到y(tǒng)21 互代換）3X1X1y12%由此可得：cep'